Построение регуляризирующего оператора для решения нелинейного операторного уравнения первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 519.683.5 И. А. Усенов

ПОСТРОЕНИЕ РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩЕГО ОПЕРАТОРА

ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ

ПЕРВОГО РОДА

В Гильбертовом пространстве исследован класс нелинейных операторных уравнений первого рода. Построено приближённое решение, устойчивое относительно исходных данных задач. Доказана сходимость приближённого решения к точному решению исходного уравнения. Произведён выбор параметра регуляризации от погрешностей.

Ключевые слова: оператор, нелинейный, регуляризация, сходимость, уравнение первого рода.

Для регуляризации решения нелинейного операторного уравнения в гильбертовом пространстве посвящены работы авторов [1], [2], [3], [5].

Ранее авторами построены регуляризирующие операторы для решения операторного уравнения первого рода Гаммерштейна, когда точно и приближённо задан линейный оператор.

В случае, когда линейный оператор является самосопряжённым, положительным, операторное уравнение Гаммерштейна первого рода исследовано в работе [4].

1. Постановка задач

В данной работе исследовано операторное уравнение первого рода Гаммерштейна

Л¥ ф = и, (1)

когда приближённо заданы линейный и нелинейный операторы, т. е. вместо оператора Л известно его приближённое значение Л такое, что

Л " Л

< h, (2)

Усенов Изат Абдраевич — кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений (Кыргызский Национальный Университет им. Ж. Баласагына, Бишкек, Кыргызстан); e-mail: iausen@mail.ru.

© Усенов И. А., 2019

124

где A: H ^ H — линейный положительный оператор и нелинейный оператор F, F — нелинейный оператор, дифференцируемый по Фреше.

Через A* обозначим оператор, сопряжённый с оператором A.

Таким образом, оператор B = A A является самосопряжённым, положительным оператором.

Для оператора B , при условии || A* || < M, имеет место оценка

IIb - в|| < мн. (2*)

Рассмотрим операторное уравнения первого рода вида

BF (z) = Äu. (1*)

Уравнения (1) и (1*) является эквивалентными.

Допустим, что при u = u0 уравнение (1) имеет точное решение z0,

т. е.

BF (z0 ) = A'u0 (3)

и истокообразно представимо

Z =&B30, где <> 0,<е R, &0 е H. (4)

2. Регуляризация

Наряду с уравнением (1), рассмотрим уравнение

+ BhF(Zah) = A;u , где a>0. (5)

Пусть

Fh( z) = HK ( z ) +CTZ, h1 > 0, (6)

где K — нелинейный оператор, h — параметр погрешности.

В [4] относительно нелинейного оператора K доказано, что для любого z, z2 е H удовлетворяет условию Липшида, т. е.

K (zi)-K (z2 )||< N^ - z^l, Ж <<, (7)

где

a + b

Д < a < b <Д.+1, = 1,2,... a < F '(z) < b, < = ,

где

||K'(z)|| < = N> 0,

125

а также доказана обобщённая лемма М. М. Лаврентьева, что при любом a > 0 и с > 0 имеет место неравенство

||(aE + сБ)-1|| <a_1. (8)

Из (8) следует, что оператор (aE + сБ) 1Б удовлетворяет неравенству

||(aE + сБ) -1 б|| < с 1. (9)

В силу представления (6) из уравнения (5), имеем

az + cBhz + hxBhK (z) = A"hu . (10)

Оператор aE + &Bh представим в виде aE + сБк = (aE + сБ) + (сБк-сБ) = (aE + сБ)(E + (aE + сБ )-1 с (Б, - Б)).

Используя оценки (2) и (8), оценим норму оператора (aE + сБ) 1 с (Б - Б)

(aE + сБ )-1 с( Б - Б) < dMha- = P (сМ)/^, h). (11)

Пусть имеет место предельное соотношение

limHa, h ) = 0. (12)

h^Ü

Из условия (12) следует, что существует число h0 > 0, такое, что

q = P (с,М)/(a, h)< 1, при h < h . (13)

При выборе /(a, h) = h1 ß, 0 < ß < 1, условие (12) выполняется, и ho = P (с,M, ß)> 0.

Тогда в силу теоремы Банаха оператор E + (aE + сБ) !с( Б - Б) имеет обратный оператор, причём справедлива оценка

(E + (aE + сБ)-1 с(Бк - Б<(1 - q)-1 = Q (q). (14)

Таким образом, оператор aE + сБк имеет обратный оператор, и этот оператор представим в виде

126

ЬаА = (аЕ + аВН )-1 = (Е + (аЕ + а В)-1 а (Вн - В)) 1 (аЕ + аВ)-1. (15)

Из (15), используя неравенства (8) и (14), получаем

|(аЕ + аВь)-11| < (1 - д)-1 а1 = д (а, 4) . (16)

Тогда из уравнения (10) переходим к уравнению

2а,НА = Ьа,ЬАЬи - Ьа,ъ\ВЬК (КК ) . (17)

Введём обозначение

ТаАА (2) (а ) = 1аАВНК (2а,Н ) . (18)

Норма оператора (аЕ + аВк) Вй удовлетворяет оценку

(аЕ + аВь)"1В <(1 -д)"1 (МАа1 + а 1 ) = р (а,А,д,а,М). (19) Оценим норму оператора Та А ^ (2)

|Кн,н (z)( zi) - TaMM( (z)( z2)| = IKhhBh (K (zi) - K (z

(20)

Тогда из (20), используя оценки (7), (19), имеем

Там^) - Тан (2)(22)| <|М||||К (2)-К (22)||< р (а,АД, д„ аМ) - г2\\. (21)

Пусть имеет место предельное соотношение

Ит/(а А А ) = 0,

А, А ^0

то следует, что существует число Н0 > 0, такое, что

42 = Р (а, а, а1, дх,а,М)N < 1

при

(22)

Таким образом, оператор Та ь ^ (2) является оператором сжатия.

Уравнение (17) решаем методом последовательных приближений. За нулевые приближения возьмём элемент

(23)

Остальные приближения определяются по формуле

2

127

-■■-: =-:--. ^А.М k = 0,1,2,... (24)

Покажем, что последовательность \zK }^=0 является сходящейся. Сходимость последовательности \zK }œ=0 и функционального ряда

вида

эквивалентны.

~0 + [z1 -~0] + [Z2 -Z1 ] +... + [zk -Zk-1 ] + ...

(25)

Нулевое приближение г0 при условии удовлетворяет

неравенству

Полагая к = 0 из (24), имеем

Полагая в (24) к = 1 и к = 0, вычитая из первого второе, получаем

Далее по методу математической индукции можно доказать, что для любого натурального к > 2 справедливо неравенство

Таким образом, ряд (25) мажорируется следующим числовым рядом

¿сМ|г:||-Л-:>:|А--:0>||.. (30)

Следовательно, условие С]~, < 1 при /?, <).(| обеспечивает сходимость ряда (30), тогда ряд (25) также является сходящимся. Сумму ряда (25) обозначим через . В силу эквивалентности сходимости после-

довательности {рк и ряда (25) имеем

lim zk = zaMA. k 1

(32)

Используя непрерывность оператора при к ^ ю, пере-

ходим к пределу в (24) и, используя предельное соотношение (33), полу-

чим

'ajij\ -Э ^ LaJ\B};K.[Zah ^ J

(34)

128

Таким образом, доказано. Теорема 1

Пусть: 1) задан оператор Вй, удовлетворяющий неравенству (2*), 2) нелинейный оператор F представимый в виде (6), 3) имеет место

предельное соотношение ИтН^ н h ) =0. Тогда уравнение (17) при

h,h ^0

любом ие Н, а >0,а> 0 и /?,/?, <1-,, имеет единственное решение

Za,h,hi

т0

Если решение уравнения (17) при ы = ы0 обозначить через 2ак}^, тогда в силу формулы (34) оно представимо в виде

2°а,НА = 4,нЛЧ - КАВЪК (2°а,нА ) . (35)

Рассмотрим разность z°ahhi — z0

Z°a,h,h Z0 " L J

: hA*U0 - La,hhiBhK (z0h, н ) - z0. (36)

Полагая, что A*u0 = «Bz0 + HBK (z0), переходим в норму разности

Z 0 — Z

a,h 0

z0 -zj <||La,h (<Bz0 Ц + ^М (k(z°M)-K(z0)| +

+l| 4,н (Вн - В) h (K (z0)-K (0))|| + || La,h (Вн - В) hiK (0)|. Используя (4) из (38), имеем

IKm — z01 -a (aP h, q»a>M)+qQ (q )) II v0 II+hai (qi) Q+ (38)

< a (aN_i + Q (qi )) ||v01| + hhia ^Q (q )Q + q^l<hA " z01| >

где

Q = aM ||vo II (a + N ) + || K (0)||.

В силу условия (22) из (38) имеем оценку

Ifchh — zJI <aci + hha lc2, (39)

где

С = C3(N-1 + Q(qi))||v^|, с2 = C3Q(q)Qi, C3 =(i — q2)—1. (40)

129

Минимизируя правую часть (39), имеем

а(И, И) = (41)

Подставляем (41) в правую часть (39), имеем

||<илЧ| < ЧС1С2ИИ1 . (42)

Теорема 2

Пусть: 1) выполнены все условия теоремы 1; 2) при и = Ы0 уравнение

(1) имеет точное решение, представимое в виде (4); 3) зависимость параметра регуляризации от погрешностей определяется по формуле (41).

Тогда решение уравнения (17) при И, И ^ О сходится к точному

решению уравнения (1), скорость сходимости удовлетворяет условию (42). Пусть правая часть уравнения (1) задана с погрешностью 5 , т. е.

и -ио|| < 5 (43)

Решение уравнения (17) при и = щ обозначим через . Тогда в

силу формулы (34) решение представимо в виде

Z a,h, \

= La,hAlus + KhßK (ZSa_ h,h ) . (44)

Оценим разности — . Используя неравенство треугольника,

имеем

\2а II <1125 — 20 11 + 1120 II (45)

|ра,И,И о|| У а,И,И а,И,И || + \\^а,И,И ^0 || . (45)

Второе слагаемое в (45) удовлетворяет оценке (39), оценим первое слагаемое

-^||<||4,И>5 -и\ +||4М ||||К(23аи)—К(2°аи|<Ща1 + ^ ||5 -^|. (46) Отсюда в силу (22) имеем

|<ил — <«11 < с45ал с4 = сзи1. (47) Тогда из (45) имеем оценку

< ас + И«а~1с2 + с а 5а— . (48) Минимизируя правую часть (48), имеем

а(5, И) = ^( с а 5 + ИИс,) с—1 (49)

Za,h,h Z0

130

Подставляем (49) в правую часть (48), имеем

\z*h -z0|| < 2^с4ё+hhc2. (50)

Теорема 3

Пусть: 1) выполнены все условия теоремы 3; 2) элемент Us удовлетворяет неравенству (43); 3) зависимость параметра регуляризации от погрешностей определяется по формуле (49). Тогда решение уравнения (17) является приближённым решением уравнения (1). Скорость сходимости удовлетворяет условию (50).

Список литературы

1. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: 1962. 96 с.

2. Саадабаев А. Приближенные методы решения нелинейных интегральных и операторных уравнений 1-го рода. Бишкек: 1997. 218 с.

3. Усенов И. А. Построение регуляризирующих операторов для решения нелинейных операторных уравнений: дисс. ... к. физ.-мат. наук, Бишкек: 1999. 108 с.

4. Усенов И. А. Регуляризация решения операторного уравнения Гаммерштейна первого рода // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии: сборник статей. Вып. 41. Бишкек: Илим, 2009. С. 63 — 67.

5. Усенов И. А. Построение приближённого решения нелинейного операторного уравнения первого рода в гильбертовом пространстве / / Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2016. № 1. С. 8—14. DOI: 10.18384/2310-7251-2016-1-08-14.

•Jc -Jc -Jc

Usenov Izat A.

CONSTRUCTION OF A REGULARIZING OPERATOR TO SOLVE A NONLINEAR OPERATOR EQUATION OF THE FIRST KIND

(Kyrgyz National University. J. Balasagyn, Bishkek, Kyrgyzstan)

A class of nonlinear operator equations of the first kind is investigated in the Hilbert space. An approximate solution is constructed that is stable with respect to the initial data of the problems. The convergence of the approximate solution to the exact solution of the original equation is proved. The selection of the regularization parameter of the errors.

Keywords: operator, nonlinear, regularization, convergence, equation of the first kind.

References

1. Lavrentiev M. M. O nekotorykh nekorrektnykh zadachakh matematicheskoy fiziki (On some incorrect problems of mathematical physics), Novosibirsk, 1962. 96 p.

2. Saadabaev A. Priblizhennye metody resheniya nelineynykh integral'nykh i operatornykh uravneniy 1-go roda (Approximate methods for solving nonlinear integral and operator equations of the first kind), Bishkek, 1997. 218 p.

3. Usenov I. A. Postroenie regulyariziruyushchikh operatorov dlya resheniya nelineynykh operatornykh uravneniy (Construction of Regularizing Operators for Solving Nonlinear Operator Equations), dissertation, Bishkek, 1999. 108 p.

131

4. Usenov I. A. Regularization of the solution of the first-kind Hammerstein operator equation [Regulyarizatsiya resheniya operatornogo uravneniya Gammershteyna pervogo roda], Issledovaniya po integro-differentsiaVnym uravneniyam v Kirgizii: sbornik statey (Studies on integro-differential equations in Kyrgyzstan: collection of articles), issue 41, Bishkek, Ilim Publ., 2009. pp. 63 - 67.

5. Usenov I. A. Construction of an approximate solution of a non-linear operator equation of the first kind in a Hilbert space [Postroenie priblizhennogo resheniya nelineynogo operatornogo uravneniya pervogo roda v gil'bertovom prostranstve], Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-Matematika, 2016, no. 1, pp. 8-14. DOI: 10.18384/2310-7251-2016-1-08-14.

•Jc -Jc -Jc

132