Регуляризация некорректной задачи Коши на отрезке отрицательной полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ НА ОТРЕЗКЕ

ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ПОЛУОСИ

© П.Г. Сурков

Ключевые слова: дифференциальные уравнения с запаздыванием; некорректные задачи; асимптотические методы.

Для автономной системы линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием найдены асимптотические формулы, определяющие аналитические зависимости регу-ляризованных решений этой системы на конечном отрезке отрицательной полуоси. Задача решена с условием необходимой гладкости начальных функций, но при нарушении условий, обеспечивающих непрерывное продолжение решений этой системы на отрезок отрицательной полуоси.

Рассматривается линейная автономная система дифференциальных уравнений с запаз-

ДЫВЭ.НИ6М

= Ах(Ь)+Вх(Ь — г), Ь е М- = (-то,0], (1)

где х: М- ^ М™ , г > 0 , А и В — постоянные п х п матрицы, det В = 0 .

Для начального момента Ьо = 0 и произвольной начальной функции

у е С = С ([—г, 0], М™) система (1) имеет единственное решение х(-,у) на полуоси (—г, то) , удовлетворяющее условию х(Ь,у) = у(Ь) , Ь е [—г, 0] и непрерывно зависящее от начальной функции. Решение системы (1) на любом отрезке положительной полуоси можно построить, используя процедуру метода шагов [1].

Задача нахождения решений системы (1) на отрицательной полуоси заменяется обратной задачей построения решений в сторону возрастания времени, как было предложено в работе [2]. Испольоуя процедуру метода шагов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н = [—г, 0], М™) хМ™ со скалярным произведением (у,ф) = ^т(0)у(0) +фт (в)у(в)йв,

получаем уравнения вида

ихк = хк+\ к < —1.

Здесь линейный оператор и определяется формулами

(иУ)(Ь) =

I

ехр(А(£ + Д))у(0) + У ехр(А(£ — в))Вут(в) йв, Ь е [—А, 0],

-А

у(Ь + А), Ь е [—г, —А),

где ут(д) = у(^д — (т — 1)Д) , д е [—г, 0] , А > 0, тД = г, т е N. Последние задачи являются некорректными, и для их решения используется метод регуляризации А.Н. Тихонова [3]. Так как выполнено условие

\\их — у\\н = \\их — у\\нА

то эти задачи допускают сужение на гильбертово пространство На = ([—А, 0], М™) х М'

оо

А

со скалярным произведением (у,ф) = ^т(0)у(0) + /_°а ^Т(в)у(в) йв . Поэтому выбираем

стабилизирующий функционал вида

о

П[х] = хТ(0)Сх(0) + J 2хТ (в)Qx(в) + х/Т (в)Рх'(в)0 йв, х е ^ [— А, 0],

-А

где G, P, Q — положительно определённые матрицы. Для фиксированного значения параметра регуляризации а> 0 будем искать эле мент xa Е W^—A, 0] , минимизирующий сглаживающий функционал

Ma[y, x] = \\Ux — у||яд + aQ[x], x Е W2{—A, 0].

Утверждение!.. Пусть det B = 0 . Тогда, минимизирующий элемент xa является компонентой решения следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений

x" = P-1Qx + a-1P-1 (ф — z(d)),

ф' = —(B-1AB )Тф — BTx, (2)

x' = Ax + Bx

с краевыми условиями

x'(—r) = 0, ф(—г) + aBT(Gx(0) + Px'(0)) = z(—r),

(3)

ф(0) = B Tx(0), x(0) = (—r).

Здесь y>m(d) Е Нд , функция z является решением задачи Коши для, системы обыкновенных дифференциальны,х уравнений

z' = —(B-1AB)Tz — BTyi(d), z(0) = B Ty(0),

a — малый положительный параметр.

Частный случай m = 1 полностью рассмотрен в работе [4]. Решение системы (2), (3) находится с использованием асимптотических методов для обыкновенных дифференциальных уравнений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

2. Долгий Ю.Ф., Путилова Е.Н. Продолжение назад решений линейного дифференциального уравнения с запаздыванием как некорректная задача // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 8. С. 1317-1323.

3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

4. Долгий Ю.Ф., Сурков П.Г. Асимптотика регуляризованных решений линейной автономной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Проблемы динамического управления: Сб. науч. тр. фак. ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова. 2007. Вып. 2. С. 71-99.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Программы Президиума РАН «Математическая теория управления», Урало-Сибирского междисциплинарного проекта и Программы поддержки ведущих научных школ НШ-65590.2010.1.

Surkov P.G. Regularization of an ill-posed Cauchy problem on an interval of negative halfline. For an autonomous system of linear retarded differential equations, we find asymptotic formulas analytically determining how the regularized solutions of this system on a interval of the negative half-line depends on the admissible error. The problem is solved in the following setting: additional smoothnes conditions are imposed on the initial functions, but the conditions providing a continuous extension of the solutions of this sysmet to an interval of negative half-line are violated.

Key words: retarded differential equation; ill-posed problems; asymptotic methods.

Сурков Платон Геннадьевич, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, младший научный сотрудник, e-mail: platon.surkov@gmail.com.

УДК 517.977

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ В КОНСТРУКЦИЯХ СЕТОЧНОГО ОПТИМАЛЬНОГО СИНТЕЗА

© Т. Б. Токманцев

Ключевые слова: задача оптимального управления; функция цены; оптимальный синтез; уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана; гамильтоновы дифференциальные включения.

Рассматривается задача оптимального управления с фиксированным моментом окончания. Качество управления оценивается с помощью терминально-интегрального функционала Больца. Рассматриваются обобщенные характеристики уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана — решения гамильтоновых дифференциальных включений. На базе обобщенных характеристик конструируется сеточный оптимальный синтез (оптимальное управление по принципу обратной связи [1]). Приводятся результаты численного решения модельных задач.

На фиксированном отрезке времени [0,Т] рассматривается управляемая система

ВИДс1

= / (t,x,u), (1)

х е М™

и е Р, Р С Мт — компакт. Введем множество и(£о,Т) , £о е [0,Т] допустимых управлений — измеримых функций и(-) : [£о,Т] ^ Р. Траектория динамической системы (1), выходящая из начальной точки (£о,хо) е с1Пт оод воздействием управления и(-) е и(£о,Т), обозначается символом х(-) = х(■; £о,хо,и(-)) : [£о,Т] ^ М™. Качество управления и(-)

оценивается с помощью функционала Больца

т

1(Ьо,хо; и(-)) = а(х(Т; £о,хо,и(-)) ) + / д(£,х(£),и(£)) йЬ ^ ш1п . (2)

V >.] пей (ь0,т)

to

Символами Пт и с1 Пт обозначим полосы в пространстве М™+1 : Пт = (0,Т) х М™, с1Пт = [0,Т] х М™.

Задача рассматривается при следующих предположениях.

А^. Функции f (Ь,х,и) и д(£, х, и) в (1), (2) определены и непрерывны на с1Пт х Р,

/, \ _ п г> 9ЪН,х,и) до(Ь,х,и)

существуют непрерывные ПО (Ь,х,и) е Пт х Р частные производиые дХ ■ , дх’ ,

% е 1, п, ] е 1, п, ограниченные константой Ь\ > 0.

А2. Терминальная функция платы а(х) в (2) определена и пепрерывпа па М™ вместе

со своими частными производными дхг , % е 1,п.

Введем функцию Гамильтона Н(£,х,р) = ш\п(р,/(Ь,х,и)) + д(Ь,х,и) и множество

иеР

ио(£, х,р) = {и0 е Р: {р, f (£, х, и0)) + д(Ь, х, и0) = Н(£, х,р) .