Принципы оптимальности современной науки: совместный анализ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Панченков А.Н. УДК 510

ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОСТИ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ: СОВМЕСТНЫЙ АНАЛИЗ

I. Исходная идея: объединяющая структура

1. Если начать отсчет времени от Эйлера и Лагранжа, то вариационные принципы (принципы оптимальности) широко и эффективно применяются в различных науках и Естествознании практически 250 лет. Процесс развития аналитических (точных) теорий сопровождался открытием и возникновением различных новых принципов оптимальности. Итог здесь хорошо известен: к началу текущего века - моменту возникновения аналитического Естествознания сформировался большой массив принципов оптимальности. Для завершения сверхважной определяющей проблемы, создания современного Миропонимания, нам в дополнение к аналитическому Естествознанию крайне необходимо выполнить глубокий и всесторонний анализ существующих принципов оптимальности. Заметим, что в отсутствие аналитического Естествознания задача анализа существующих принципов оптимальности была бы обречена на неудачу. Здесь нужна исходная идея - стержневая структура, объединяющая все множество принципов оптимальности. Нужен взгляд сверху. Теперь у нас эта объединяющая структура есть: она находится в основании аналитического Естествознания [38].

В формате аксиоматического описания объединяющая структура содержит две сущности:

- объект аналитического Естествознания,

- фундаментальный принцип оптимальности.

Эти сущности нам хорошо известны:

- хаотическая сплошная среда,

- принцип максимума энтропии Панченкова.

2. В реализации идеи Творца мы прошли большой путь длительностью в два с половиной века, и наступил момент подведения итогов [1-46]. В основе такого документа - приведенного ниже анализа принципов оптимальности - лежат три критерия анализа:

- общность,

- примат,

- сферы применения.

II. Концепция фундаментального принципа оптимальности: общность

Начнем изучение проблемы с верхнего онтологического уровня. В логике аналитического Естествознания на верхнем онтологическом уровне два критерия анализа - общность и примат -тесно связаны и, по существу, именно они, составляя единое целое, и лежат в основании концепции фундаментального принципа оптимальности. Принцип оптимальности верхнего онтологического уровня, будучи фундаментальным принципом аналитического Естествознания, обладает среди известных принципов оптимальности вселенской общностью. Но наибольшая (вселенская) общность этого принципа оптимальности наделяет его и вторым определяющим свойством - приматом.

Общность и примат фундаментального принципа оптимальности определяют идеологию, исходные постулаты и принципы аналитического Естествознания. Обратимся теперь к книге автора «Аналитическое Естествознание» [38]. Как известно, в современном Миропонимании первичной сущностью Природы и Действительности является хаос, реализованный в виде хаотической сплошной среды. Гипотезу о существовании в Природе и Действительности вариационных принципов был введен автором постулатом оптимальности.

Постулат оптимальности - Состояния хаоса поддерживает фундаментальный принцип оптимальности.

Фундаментальный принцип оптимальности играет в Мироздании главную роль: Он придает состояниям хаоса упорядоченность, организованность и, в некотором смысле, оптимальность. Теперь нам для целостного и ясного понимания основных фактов и идей проблемы принципов оптимальности необходим постулат континуума и формула хаоса.

Прежде всего, хотелось бы напомнить читателям определение хаоса [37, 38].

Определение 1. Хаос - это наполняющая пространство неразрывная сплошная среда.

Это определение привело автора к следующему постулату.

Постулат континуума: Хаос существует в континууме.

Теперь первая аксиома хаоса. Первая аксиома хаоса: «Хаос - организованная сплошная среда, содержащая детерминированные объекты, сущности и структуры». И апогей.

Формула хаоса: «Хаос = чистый хаос + структура».

Именно эта формула и определяет цель и назначение принципов оптимальности различных точных наук и аналитического Естествознания. Принцип оптимальности лежит в основе символьного формализма аналитического описания и нахождения структуры хаоса. Эту идея сформулирована в постулате структуры хаоса. Постулат структуры хаоса: «Структура хаоса -оптимальная структура». III. Функционал

1. Исходные постулаты и принципы аналитического Естествознания определяют формат функционала фундаментального принципа оптимальности.

Ключевую роль в конструировании функционала играют:

- принцип несовершенства,

- постулат ансамбля,

- принцип коллективности.

Эти утверждения имеют следующие формулировки [38].

Принцип несовершенства: «В Природе и Действительности отсутствуют реализованные в одном экземпляре обособленные точные оптимальные структуры».

Постулат ансамбля: «В Природе и Действительности не существует та или иная конкретизация структуры хаоса: структуры хаоса являются «копиями», входящими в состав коллективов (либо ансамблей)».

Принцип коллективности: «Точная структура -коллективная структура».

2. Поскольку в соответствии с идеей Высшего Разума, реализованной в постулате структуры хаоса точная структура и есть оптимальная структура; то ее следует искать на множестве реализаций несовершенных структур, входящих в состав ансамбля. Оптимальная структура есть результат коллективного взаимодействия несовершенных структур. Это утверждение и определяет формат функционала: «Функционал фундаментального

принципа оптимальности определен на множестве состояний хаотической сплошной среды».

IV. Хаотическая сплошная среда

Среди известных объектов современной науки наибольшей (вселенной) общностью и приматом обладает хаотическая сплошная среда -объект аналитического Естествознания. Аксиоматическое определение этого объекта введено автором в книге «Аналитическое Естествознание». В этой же книге содержится следующее определение.

Определение 2. Аналитическое Естествознание -часть современного Естествознания, содержащая концепцию, методологию, аксиоматическую базу и инструментальные средства аксиоматического формульного описания объектов Природы и Действительности.

Заметим, что в серии книг «Энтропия» объект энтропии назван автором «виртуальной сплошной средой» [33-37]. Но при создании аналитического Естествознания возникла необходимость введения нового самостоятельного объекта

- хаотической сплошной среды. Строго говоря «хаотическая сплошная среда» является конкретизацией виртуальной сплошной среды. Для дальнейшего важна следующая деталь: «Объект аналитического Естествознания - хаотическая сплошная среда содержит основной (первичный) геометрический объект: фазовое пространство ».

V. Энтропия - первичная сущность аналитического Естествознания

Напомню, что по крупному счету за весь трехсотлетний период существования и развития науки в целом в ней были реализованы только три парадигмы:

- физическая,

- информационная,

- энтропийная.

Как известно, в физической парадигме первичной сущностью является энергия.

В информационной парадигме - информация. Но энергия и информация совершенно непригодны на роль базовых структур современного научного Миропонимания.

В новой современной (энтропийной) парадигме, носителем которой и является аналитическое Естествознание, на переднюю позицию вышла и приняла вид первичной сущности энтропия. Общий результат здесь ясен:

«базовой структурой аналитического Естествознания является энтропия».

В современной семантике энтропии автором в книге «Эконофизика» дано следующее определение.

Определение 3. Энтропия - это логарифмическая мера совершенства объектов Природы и Действительности.

Итак: энтропия это мера совершенства. VI. Принцип максимума энтропии Панченкова

1. Среди известных в современной науке принципов оптимальности наибольшей общностью и приматом обладает принцип максимума энтропии Панченкова [33]. Этот принцип имеет формулировку: «Функционирование хаотической сплошной среды удовлетворяет принципу оптимальности - максимума энтропии».

2. В аналитическом Естествознании исходным представлением энтропии является Больцма-новское представление энтропии [4]:

(1)

Н/ = -|р!прс1О.

Энтропия называется общей энтропией. Ключевую роль в проблеме принципов оптимальности играет тот факт, что этот функционал удовлетворяет формату функционала фундаментального принципа оптимальности.

3. Для Больцмановского представления энтропии принципу максимума энтропии Панченко-ва соответствует экстремальная задача [33].

Н * = тах Н /;

Н/ = -|р!прс1О; ^рсСО = 1.

(2)

Здесь Н* - экстремальное значение общей энтропии.

Обратим внимание на важную техническую деталь: в экстремальной задаче максимизация происходит по скаляру р - плотности хаотической сплошной среды. VII. Задача и теорема Мунка

1. Экстремальной задаче принципа максимума энтропии Панченкова предшествовала достаточно долгая история. Пионерные идеи, приведшие к прообразам этой экстремальной задачи, возникли в теории оптимальных гидроаэродинамических форм. Здесь речь идет о двух независимых направлениях:

- теории несущей поверхности (аэродинамике крыла) [32] ,

- теории корабельных волн.

В теории несущей поверхности характерной задачей теории оптимальной несущей поверхности является экстремальная задача с содержательной формулировкой: «Найти оптимальную геометрию несущей поверхности, на которой реализуется минимальное индуктивное сопротивление при постоянной подъемной силе».

Ее первое достаточно строгое исследование методами теоретической гидродинамики выполнено Мунком в 1919 году [32]: В этом же исследовании Мунком доказана известная теорема (названная автором статьи в книге «Теория оптимальной несущей поверхности» теоремой Мунка) о необходимом условии экстремума этой задачи. Начиная с работы Мунка, принятые математические формулировки и методы исследования приводили к явлению физической некорректности в том смысле, что единственному оптимальному решению не ставилась в соответствие единственная оптимальная геометрия крыла. В связи с этим в теорию была введена более частная формулировка: «Найти оптимальное распределение циркуляции по размаху несущей поверхности, доставляющее минимальное индуктивное сопротивление при постоянной подъемной силе». С позиций сегодняшнего дня науки выдающуюся роль в развитии Миропонимания играет факт физической некорректности. Это росток крайне эффективного фундаментального свойства экстремальнойзадачи принципа максимума энтропии Панченкова.

2. Математическая теория проблемы Мунка приняла завершенный вид в моей монографии «Теория оптимальной несущей поверхности» [32]. Из многочисленных материалов этой книги приведем интересный фрагмент. Одна из наиболее известных формулировок задачи Мунка имеет вид:

1

¥ = тт ГшЖ(ш)СГ;

шеП

0

Т

и с Я; ГшсИ = Б.

(3)

Здесь Ж(ш) - некоторый функциональный (дифференциальный, интегральный, интегродиф-ференциальный и т.д.) оператор.

Имеет место следующая теорема. Теорема Мунка: «Если Ж(ш) устойчив относительно возмущений допустимых экстремалей в окрестности экстремального решения * ш и экстремальное решение принадлежит внутренней

точке множества допустимых экстремалей П, то на решениях задачи Мунка Ж=соп81».

Ключевой элемент задачи Мунка, определяющий, в конечном итоге, ее историческую и фундаментальную значимость в проблеме принципов оптимальности, состоит в том, что ее инте-грант Ж обладает общностью, выводящую эту задачу за пределы классической теории экстремальных задач. По крупному счету задача Мунка - некорректная экстремальная задача. Этот факт, ха-

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫМ ПОДХОД В ИССЛЕДОВАНИЯХ

рактерныи в последовательности научных исследований, один из итогов которых сформулирован авторм в виде:

Утверждение 1. Онтология принципа максимума энтропии Панченкова не входит в онтологию классической теории экстремальных задач.

3. Приведем один важный концептуальный результат книги «Теория оптимальной несущей поверхности». Как известно, в теории оптимального управления задача оптимального управления той или иной системой оказывается намного сложнее, чем задача ее свободной динамики. В теории оптимальной несущей поверхности положение иное. Симметрия - условие Мунка, дает возможность решить первую часть проблемы -определить оптимальное распределение циркуляции для заданного множества конструктивных параметров. Это в конечном итоге позволяет резко упростить исходную математическую модель теории крыла, заданную либо сингулярным интегральным уравнением, либо краевой задачей для уравнения в частных производных. Отсюда следует и эффективный путь упрощения исходной математической модели гидроаэродинамики - постулирование мунковости крыла.

4. Один промежуточный итог. Утверждение 2. Задача Мунка является в определенном смысле предшественницей экстремальной задачи принципа максимума энтропии Панченко-ва.

VIII. Глобальная симметрия - Закон сохранения энтропии. Двойственность представления энтропии

1. Теперь наступил момент для формулировки основного факта энтропийнойпарадигмы и аналитического Естествознания: Решение экстремальной задачи (2) хорошо известно и содержится в монографии автора «Энтропия». Главный результат этого решения сформулирован в виде теоремы.

Теорема 1: «В хаотической сплошной среде, удовлетворяющей принципу максимума энтропии Панченкова, существует глобальная симметрия -энтропия сохраняет постоянное значение

Hf = const ». (4)

2. В аналитическом Естествознании и энтропийном анализе фундаментальную роль играет симметрия - двойственность представления энтропии:

Hf = Hq + Hp ;{q; p} e Q:

(5)

где Hq - структурная энтропия (энтропия Пан-ченкова); H p - энтропия импульса.

Впервые эта симметрия сформулирована в 1970 году в статье «Энтропия физических и кибернетических систем» [19].

IX. Энтропийное многообразие

Среди геометрических объектов аналитического Естествознания и энтропии ключевую роль играет энтропийное многообразие. Энтропийное многообразие конструируется путем сужения фазового пространства. Энтропийное многообразие автором вводится следующим образом. Определение 4. Энтропийное многообразие - это многообразие фазового пространства, на котором поддерживается глобальная симметрия -закон сохранения энтропии.

Энтропийное многообразие имеет вид:

Э = [д, р | Э сП, И/ }. (6)

Поскольку в хаотической сплошной среде существует двойственное представление энтропии (5) и фазовое пространство имеет вид прямого произведения, то энтропийное многообразие будет также иметь структуру прямого произведения: д

Э = Эд + Эр ,

Эд = [д | Эд с Пд, ИЧ}, Эр = {р | Эр сПр,Ир}.

Здесь:

Эд - энтропийное многообразие конфигурационного пространства,

Эр - энтропийное многообразие пространства импульса.

В настоящее время широко известны, введенные в книгах серии «Энтропия», основные суждения энтропийного многообразия:

-соленоидальное многообразие, -многообразие потенциала ускорений, -Гильбертово поле, -особое Гильбертово поле, -Диффузионное поле.

X. Феноменология энтропийного многообразия

Энтропийное многообразие обладает чрезвычайно важной и глубокой феноменологией. Эта феноменология содержится в следующем утверждении.

Утверждение 3. Принцип максимума энтропии Панченкова утверждает факт существования в фазовом пространстве многообразия, поддерживающего глобальную симметрию - закон сохранения энтропии.

Это многообразие и есть энтропийное многообразие. Вне всякого сомнения, здесь определяющую роль играет факт значения принципа

д

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

максимума энтропии Панченкова в аналитическом Естествознании и современной науке: Этот принцип оптимальности порождает в фазовом пространстве энтропийное многообразие.

Ясно, что энтропийное многообразие есть следствие принципа максимума энтропии Панченкова. Следующий очевидный вывод: Энтропийное многообразие есть базовый геометрический объект аналитического Естествознания и современной науки.

Еще один концептуальный результат. Дав в руки исследователей энтропийное многообразие мы можем в развитии конкретного символьного вывода точных наук отойти от прямого обращения к принципу максимума энтропии Панченкова. Это означает введение онтологии энтропийного многообразия, и, как следствие, обеспечить переход с верхнего онтологического уровня - уровня принципа максимума энтропии Панченкова на другой (более низкий) онтологический уровень энтропийного многообразия. У нас есть основной закон Мироздания - закон сохранения энтропии и мы должны с ним работать. В частной задаче - проблеме принципов оптимальности будет справедливо утверждение: «Все известные в текущий период принципы оптимальности расположены на энтропийном многообразии». Это утверждение есть следствие вселенской общности упомянутого принципа максимума энтропии. С другой стороны оно дает рецепт совместного конструктивного анализа известных принципов оптимальности. В более общей формулировке - рецепт создания теории принципов оптимальности. XI. Обобщения

1. В энтропийной парадигме и аналитическом Естествознании хорошо известны и формализованы два типа обобщений:

- обобщение объекта исследования;

- обобщение структуры хаотических потоков.

В первом обобщении речь идет о переходе от аксиоматического описания над полем вещественных чисел к аксиоматической теории над полем комплексных чисел. Это означает смену объекта исследования: «Переход от хаотической сплошной среды к комплексной хаотической сплошной среде». Ясно, что в этом акте происходит смена основного геометрического объекта: вместо вещественного фазового пространства в аксиоматической теории той или иной науки участвует комплексное фазовое пространство. Здесь замечательным является выдающийся факт: ком-плексификация является обязательным элементом современных новых теорий. В современный период существует ряд актуальных наук, аксиома-

тическая теория которых не имеет сужения на вещественное фазовое пространство. Здесь образцом является инерция - для этого следует обратиться к книге автора «Инерция» [35].

2. Основной энтропийный формализм серии книг «Энтропия» (включая книгу «Аналитическое Естествознание») была разработана автором для случая гладких (почти всюду) решений. Но этого недостаточно: состояния хаотических потоков над полем вещественных чисел, классифицируемые как события, не поддаются полному эффективному описанию в пространствах гладких функций -необходим переход от классических решений к распределениям. В моих книгах серии «Энтропия» формализм хаотических потоков в пространствах распределений создан. Как правило, первым звеном этого формализма является экстремальная задача принципа максимума энтропии Панченкова в пространстве распределений.

3. Существует еще один вариант отхода от основного формализма энтропийной парадигмы, обязанный модификации экстремальной задачи принципа максимума энтропии.

Имеется ряд попыток подобной модификации, но ничего нового в смысле общности глобальной симметрии - закона сохранения энтропии на вещественных энтропийных многообразиях они не дали. Глубинная причина этих неудач обязана симметрии - двойственности представления энтропии. В этой симметрии автором (по определению) задана двучленная структура общей энтропии И у.. Ключ проблемы состоит в том, что автором постулировано существование двух аддитивных компонент энтропии И ^, имеющих принципиально различные природу и феноменологии. Однако автор ни слова не говорит о явном виде структурной энтропии и энтропии импульса. Отсутствие явного вида структурной энтропии и энтропии импульса и обеспечивает нужную общность.

XII. Характеризация: параметры идентификации принципов оптимальности

1. В аксиоматике хаотической сплошной среды все известные принципы оптимальности расположены на энтропийном многообразии вещественного фазового пространства. Ясно, что в этой ситуации каждый конкретный принцип оптимальности имеет (поддерживает) свое подмногообразие энтропийного многообразия. Теперь можно полагать, что для построения единой цело-стностной структуры принципов оптимальности необходимо:

- найти характеризацию конкретного принципа

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫМ ПОДХОД В ИССЛЕДОВАНИЯХ

{; О, = {д\д е Я"}}.

(7)

Это сужение приводит к фундаментальному результату непараметризованной хаотической сплошной среды:

Н/ = Нч; д е Эд. (8)

оптимальности: выделить и сконструировать подмногообразие энтропийного многообразия;

- построить упорядоченную (иерархическую) структуру онтологических уровней принципов оптимальности.

2. Для решения этих двух задач нам необходимо, опираясь на аксиомы объекта аналитического Естествознания, выделить из аксиоматической базы хаотической сплошной среды параметры идентификации принципов оптимальности.

Комплект параметров идентификации выглядит следующим образом: ^ - астрономическое время, д - обобщенная координата, р - импульс, р

- плотность хаотической сплошной среды, п -плотность хаотической сплошной среды конфигурационного пространства.

XIII. Хаотическая сплошная среда: параметризация состояний

1. Обратимся к аксиоматической базе хаотической сплошной среды. В соответствии с третьей аксиомой ее состояния параметризованы и параметром параметризации является астрономическое время. Но здесь существует один исключительный случай: параметр ^ принял постоянное значение -астрономическое время остановилось. Остановка астрономического времени означает нарушение свойства параметризации состояний хаотической сплошной среды. Это явление и приводит к двучленной классификации видов хаотической сплошной среды:

-параметризованная хаотическая сплошная среда , -непараметризованная хаотическая сплошная среда.

На глубинном уровне нарушение параметризации хаотической сплошной среды привело к серьезным последствиям: вплоть до автономии и создания самостоятельной (информационной) парадигмы науки. Но нас интересуют последствия непараметризации в онтологии глобальной симметрии - закона сохранения энтропии. Основное следствие этого акта: отсутствие импульса. Отсутствие импульса приводит к изъятию из концептуальной модели, методологии и символьного вывода пространства импульса. Акт изъятия происходит путем сужения:

{°; ° = {д, р \ д е0; р е°Р}}

Семантика этого уравнения очевидна: в не-параметризованной хаотической сплошной среде отсутствует энтропия импульса и нарушена симметрия - двойственность представления энтропии. В информационной интерпретации (см. книгу «Энтропия») структурная энтропия приобретает вид информационной энтропии.

2. Конструирование энтропийного многообразия непараметризованной хаотической сплошной среды производятсяпутем задания на энтропийном многообразии структуры - информационной энтропии:

Эд ={д\ Эд е Од;Н1}:Ну = Нд;0р = 0;Эр = 0. (9)

XIV. Параметризованная хаотическая среда: сужение энтропийного многообразия

1. В параметризованной хаотической сплошной среде онтологические уровни определяет цепочка сужений энтропийного многообразия [33-38].

Э з^зпзЗз Ь, з . (10)

В этой цепочке: Э - энтропийное многообразие, I - соленоидальное многообразие, п - многообразие потенциала ускорений, З - Гильбертово поле, Ь5 - Особое Гильбертово поле, - Диффузионное поле.

2. Первым сужением энтропийного многообразия является соленоидальное многообразие. Соленоидальное многообразие получается путем задания на энтропийном многообразие дивергенции

дд др

и = С1УЛ; А =

(11)

дг

В результате мы и получаем это многообра-

зие

I= {д,р \ М с Э;а = СыА}. (12)

На соленоидальном многообразии симметрия - закон сохранения энтропии поддерживается уравнением

° = 0;{д, р} е|. (13)

3. Ведение в теорию потенциала ускорений приводит к очередному сужению энтропийного многообразия - многообразию потенциала ускорений

Г 0 - Е

п = \д, р \ пс|; 0;£ =

Е0

(14)

Здесь:

Г 0 -E Y E

V

0

0 - потенциал ускорений; - кососимметрическая матрица

J

метрики (метрика); Е - единичная диагональная матрица.

Как известно из монографии автора «Энтропия», на многообразии потенциала ускорений справедливы канонические уравнения потенциала ускорений

дд д©

— =--;{q, p} e п,

dt dP

(15)

XV. Классическая физика: Принцип Гамильтона

Состояния объектов классической физики реализуются в параметризованной хаотической сплошной среде и принцип Гамильтона расположен на сужениях энтропийного многообразия (XIV).

Основой выбора многообразия принципа Гамильтона является двойственность представления скорости:

[д,р];р еЦ,,

A =

др = д© д1 дд

4. Одно из центральных мест занимает сужение многообразия потенциала ускорений, содержащее потенциал импульса. Подмногообразие многообразия потенциала ускорений, содержащее потенциал импульса, носит название Гильбертова поля.

Гильбертово поле имеет вид:

3 = {д, р | 3 с п, . (16)

На Гильбертовом поле

р = Т; Т = д, Г) и справедливо уравнение потенциала ускорений

— = ©;{д,р}с3. (17)

5. Сужение Гильбертова поля, содержащее хаотические потоки, выполнено с помощью специализации основной структуры - потенциала ускорений. Потенциал ускорений тонкоматериального Мира был найден и описан в книге автора «Энтропия». Он имеет вид:

© = -(д | р)кп-П;(д, р) е3,

(18)

р = grad Т; П = П(д, /).

Этот потенциал ускорений и выделяет из состава Гильбертова поля подмногообразие - особое Гильбертово поле.

Ь = {д,р 1с 3;© = -(д | р)Д„-П} . (19)

6. Основное энтропийное многообразие диффузии реализуется путем задания на Гильбертовом поле двух известных фундаментальных структур:

Т = Ич;Ич =-1пп;д е Ь,. (20)

Этим актом и конструируется Диффузионное поле:

Д =(д,р|Д сЬ,;¥ = Ид;Ид =-1пп) .

dq dp

"а' "а

; p = p(q,tX q e4 •

(21)

В

этой двойственности импульс {p(q, t), q eQq} - присоединенный импульс, а

p eQp - свободный импульс.

В Гамильтоновом формализме участвует свободный импульс, что и приводит к локальной формулировке закона сохранения энтропии на подмногообразии соленоидального многообразия: Hf = const:divA = 0;A=[q,p] ;{q,p} eлpe.(22)

На этом многообразии принцип Гамильтона поддерживается двумя структурами: гамильтонианом и кососимметрической метрикой.

Эти структуры и формируют сужение соле-ноидального многообразия:

Г 0 eY

пф =

q, p | Жф сл: H ;£ =

-E 0

(23)

На этом многообразии и существуют канонические уравнения Гамильтона [14]:

дИ . дИ

q = —; p =

dp

dq

: { p}

епф.

(24)

Важным фактом аналитического Естествознания является согласованность канонических уравнений потенциала ускорений и Гамильтона.

Эта согласованность зафиксирована следующим утверждением.

Утверждение 4. При освобождении присоединенного импульса канонические уравнения потенциала ускорений переходят в канонические уравнения Гамильтона при выполнении условия

H = -0

| peQp '

(25)

Здесь существует еще один определяющий факт: Потенциал ускорений обладает большей общностью, чем гамильтониан.

Это факт и определяет классификационный признак принципа Гамильтона: «Принцип Гамильтона расположен на подмногообразии многообразия потенциала ускорений».

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫМ ПОДХОД В ИССЛЕДОВАНИЯХ

p = gradY; q g э ».

(26)

Настоящий факт и лежит в основе важного свойства классической физики: «Энтропийное многообразие Пф имеет сужение на Гильбертово поле».

Общий итог здесь хорошо известен в энтропийной парадигме: «Принцип Гамильтона расположен на Гильбертовом поле». XVII. Теория информации: Принципы максимума энтропии

1. Характерной чертой теории информации является то, что все объекты ее частных теорий расположены в непараметризованной сплошной среде. Следствие этого факта хорошо известно: «Информационная энтропия имеет смысл меры статической информации. Динамической информации в известных теориях нет [44, 45]».

Второй важный факт: «Информационная энтропия имеет алгебраическую структуру. А алгебраическая структура является классификационным признаком: Расположенная на энтропийном многообразии, имеющая алгебраическую структуру энтропия удовлетворяет принципу максимума Панченкова».

Еще одно характерное свойство: «Алгебраическая структура информационной энтропии приводит к классификации экстремальных задач теории информации как задач математического программирования».

2. Исходной и характерной экстремальной задачей теории информации является задача максимума энтропии Шеннона [44, 45]

H * = max H f ; u g э ;

u (27)

Hf = -K(u |lnu)Rn;(E | u)R =1.

Ее решение хорошо известно и имеет вид: E

и =-.

nK

В свою очередь, установленный классификационный признак задает онтологию принципа Гамильтона: «Онтология принципа Гамильтона является частью онтологии многообразия потенциала ускорений».

XVI. Формализм Гамильтона-Якоби

Ключевой момент: «В противоположность каноническим уравнениям Гамильтона в уравнении Гамильтона-Якоби импульс является присоединенным импульсом». Это и устанавливает структуру импульса Гамильтонова формализма: «Присоединенный импульс, возникающий в акте присоединения импульса Гамильтоновой механики, обладает структурой градиентного вектора

Для проблемы принципов оптимальности важную роль играет интерпретация вектора управления ш . Вектор « ш » имеет смысл дискретной функции распределения вероятностей случайной величины {х}. Ясно, что здесь постулируется изоморфизм между векторами {ш, д}. Это означает, что вектор д имеет структуру д = д (ш) .

Характерной структурной энтропией в развиваемой теории энтропии является энтропия Панченкова. В случае вещественного конфигурационного пространства 0д с Я" энтропия Пан-ченкова определяется формулой

Hq = -( E |ln q}; q g Эq ■

(28)

д V I 1)11 д

Согласование двух энтропий условием Ну = КН приводит к нужному результату

ш

д = ш .

3. Получившие весьма широкое распространение и практическое применение, известные принципы максимума энтропии относятся к различным обобщениям задачи математического программирования (27).

В большей части эти обобщения идут двумя путями:

- конструирование функционала,

- включение в экстремальную задачу дополнительных ограничений.

Находясь в пределах применимости принципа Лагранжа, на его основе конструируется вспомогательный функционал. Для вспомогательного функционала Ну экстремальная задача имеет вид:

H* = max Hf ; и g Эч ;

(29)

(Е \ш )р" = 1 4. В принципах максимума энтропии ключевую роль играет структура вспомогательного функционала. При достаточно общих предположениях эта структура имеет вид:

Hf = Hf

-(u\F )Rn ;

Hf =-K (u | lnu )R ;F = F (x);F (x) g Cm (Rn ).

(30)

Изюминка принципов максимума энтропии состоит в том, что вспомогательный функционал их стандартной задачи содержит характеристический член - энтропию Шеннона.

5. Среди энтропийных методов исследования сложных объектов наибольшее распространение получил метод Джейнса [5]. В основе метода Джейнса лежит следующая задача математического программирования:

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

H * = max H f ; u e Э ;

J u J "

Hf = -K (u | lnu) ;(u | f =a;(£| u) = 1; (31)

f = col {f (xi ), f (x2 ),...f (x„ )}.

Ясно, что вспомогательный функционал этой задачи является частной реализацией вспомогательного функционала (30).

6. Общий вывод здесь очевиден: «Известные принципы максимума энтропии вторичны по отношению к принципу максимума энтропии Пан-ченкова. Принципы максимума энтропии теории информации расположены на энтропийном многообразии конфигурационного пространства».

XVIII. Теория оптимального управления: Принцип максимума Понтрягина

В свое время среди специалистов по теории оптимального управления получил известность и распространение принцип максимума Понтрягина [18, 19]. Характерной чертой формализма принципа максимума Понтрягина является то, что в нем управляемые динамические потоки описываются канонической системой уравнений Гамильтона. Гамильтониан является структурой принципа Гамильтона. Отсюда следует, что принцип максимума Понтрягина поддерживается принципом Гамильтона и является вторичным по отношению к этому принципу. Следствием этого является то, что принцип максимума Понтрягина расположен на особом многообразии потенциала ускорений. И после акта присоединения импульса - особом Гильбертовом поле. В итоге, в рамках формализма принципа максимума Понтрягина будет справедлива следующая иерархия принципов оптимальности:

- принцип максимума Панченкова,

- принцип Гамильтона,

- принцип максимума Понтрягина.

XIX. Динамическое программирование: Принцип оптимальности Беллмана

Формализм динамическогопрограммирова-ния представляет обобщение на управляемые потоки формализма Гамильтона-Якоби [2]. Как известно из книг автора серии «Энтропия», формализм Гамильтона-Якоби реализован на Гильбертовом поле. Это свойство и определяет энтропийное многообразие принципа оптимальности Беллмана: «Принцип оптимальности Беллмана расположен на Гильбертовом поле». В свою очередь, принцип оптимальности Беллмана не обладает приматом на Гильбертовом поле: Вначале принцип Гамильтона - потом принцип оптимальности Беллмана. По общности в иерархии принципов оптимальности принцип Беллмана находится на третьей позиции.

XX. Асимптотическое программирование: Асимптотический принцип оптимальности

Низкая вычислительная эффективность динамического программирования, обязанная «проклятию размерности», привела во второй половине XX века к возникновению актуальной проблемы создания новых теорий оптимального управления, математическое обеспечение которых содержало бы эффективные алгоритмы выбора оптимального управления. В свое время в рамках исследований по этой проблеме автором было создано асимптотическое программирование [18, 21-26, 29-32].

Экстремальным принципом асимптотического программирования является асимптотический принцип оптимальности. Асимптотическое программирование изучает процессы принятия оптимальных решений при эволюции объекта в функциональном параметрическом пространстве. Одной из исходных идей асимптотического программирования является идея погружения, которая реализуется путем погружения исходного функционала в семейство функционалов, зависящих от параметра т .

Асимптотический принцип оптимальности имеет следующую формулировку [31]. Асимптотический принцип оптимальности:

«Если в экстремальной задаче = min Ф(и,т)

v ' ueU v '

ф(и,т) допускает асимптотическое разложение вида

N

Ф( u,r) = £ DnT" + O (tn+1),

n=0

то при постулировании асимптотического разложения

N

*(г) = Е DT + O (tn+1)

n=0

существует последовательная связь

D* = minDn, n = 0,1,2...N. при некоторых ограничениях на структуру функционала Ф(и,т) и пространства допустимых

управлений U ».

В проблеме принципов оптимальности важна онтология асимптотического программирования - асимптотический принцип оптимальности разложен на энтропийном многообразии и получается, что в иерархии принципов оптимальности асимптотический принцип оптимальности может занять вторую позицию.

XXI. Принцип минимума производной

Важным фактом теории экстремальных задач является следующее свойство асимптотического программирования: <«Асимптотический принцип оптимальности обладает большей общностью, чем принцип максимума Понтрягина и принцип оптимальности Беллмана».

Опираясь на эту общность, в 1973 году автором в рамках работ по развитию асимптотического программирования введен в науку принцип минимума производной. Этот принцип является одним из замечательных результатов асимптотического программирования [31]. Его формулировка имеет следующий вид.

Если в экстремальной задаче

Y (г) = mili Ф (и, т); т е [0, т0 ]

d Ф г ,

существует производная для всех те[0, т0 ],

то на оптимальной траектории она принимает минимальное значение.

Ясно, что сфера применимости принципа минимума производной - другая по сравнению со сферами применяемости принципа максимума Понтрягина и принципа оптимальности Беллмана. Одна сфера здесь хорошо известна - это экстре -мальные задачи с локальными функционалами [30]. Семантика принципа минимума производной имеет вид: «При функционировании (эволюции) системы в параметрическом пространстве оптимальное решение минимизирует будущее приращение функционала в малой окрестности момента принятия решения».

XXII. Заключение

1. Среди известных принципов оптимальности наибольшей общностью обладает принцип максимума энтропии Панченкова.

2. Все известные принципы оптимальности современной науки расположены на энтропийном многообразии.

3. Принцип максимума энтропии Панченко-ва поддерживает энтропийное многообразие, тогда как остальные принципы оптимальности расположены на различных сужениях энтропийного многообразия вещественного фазового пространства.

4. В гигантской и суперважной проблеме создания современного научного Миропонимания в текущий момент вышла на передние позиции проблема единства и согласованности принципов оптимальности современной науки и аналитического Естествознания. Решение этой задачи и содержится в настоящей статье.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Алексеев В. М., Тихомиров С. В., Фомин В. М.

Оптимальное управление. М. : Наука, ГРФМЛ. 1979. 430 с.

2. Беллман Р. Динамическое программирование. М., 1960. 420 с.

3. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М. : Наука, 1983. 446 с.

4. Больцман Л. Избранные труды. М.: Наука, 1984.615 с.

5. Вильсон А. Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем. М. : Наука, 1978. 246 с.

6. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференциальных уравнений. М. : Наука, 1982. 304 с.

7. Данеев А. В., Энтропия А. Н. Панченкова. В // Панченков А. Н. Физик, математик, инженер. Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2005. С. 103-128.

8. Иоффе А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. - М. : Наука, 1974. 480 с.

9. Красовский А. А. Статистическая теория переходных процессов в системах управления. М. : Наука, 1968. 240 с.

10. Красовский А. А. Статистическая теория переходных процессов. М. : Наука, 1974. 240 с.

11. Красовский А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М. : Наука, 1974. 232 с.

12. Красовский А. А. Избранные труды. М. : Мысль, 2001. 580 с.

13. Кульбак С. Теория информации и статистика. М. : Наука, 1967. 408 с.

14. Ланцош К. Вариационные принципы механики. М. : Мир, 1965. 408 с.

15. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. М. : Наука, 1968. 192 с.

16. Линник Ю. В. Энтропия в новой картине Мира. Модели и анализ систем // Тр. ВВАГС. Нижний Новгород. 2005. Вып 1/6. С. 84-95.

17. Панченков А. Н. Гидродинамика подводного крыла. Киев : Наук. думка. 1965. 550 с.

18. Панченков А. Н. Асимптотический принцип оптимальности в теории оптимального управления // Прикладная математика. Иркутск : Изд-во Ирк. ун-та. 1969. Вып 1. - С. 34-46.

19. Панченков А. Н. Энтропия физических и кибернетических систем // Методы управления большими системами. Иркутск. 1970. Т. 2. С. 113-120.

20. Панченков А. Н., Чижов А. М. Оптимальное управление и его применение в судостроении. Горький : Изд-во ГИИВТа, 1971. 42 с.

21. Панченков А. Н. Элементы асимптотического программирования I // Асимптотические методы в теории систем. Иркутск : ИГУ, 1973. Вып.

4. С. 32-42.

22. Панченков А. Н. Элементы асимптотического программирования II // Асимптотические методы в теории систем. Иркутск : ИГУ, 1973. Вып. 5. С. 4-48.

23. Панченков А. Н., Харченко А. Г. Асимптотический метод решения экстремальных задач // Докл. АН УССР. 1973. № 3. С. 336-340.

24. Панченков А. Н. Элементы асимптотического программирования III // Асимптотические методы в теории систем. Иркутск : ИГУ, 1974. Вып. 6. С. 8-26.

25. Панченков А. Н. Элементы асимптотического программирования IV // Асимптотические методы в теории систем. Иркутск : ИГУ, 1974. Вып. 7. С. 5-25.

26. Панченков А. Н. Исследование экстремальных задач квадрупольной теории крыла методами асимптотического программирования // Асимптотические методы в теории систем. Иркутск. 1975. С. 40-57.

27. Панченков А. Н. Теория потенциала ускорений. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1975. 220 с.

28. Панченков А.Н. Основы теории предельной корректности. М. : Наука, 1976. 240 с.

29. Панченков А. Н. Сингулярные задачи вариационного исчисления и асимптотическое программирование I // Асимптотические методы в теории систем. Иркутск : ИГУ. 1976. Вып. 9. С. 5-31.

30. Панченков А. Н. Экстремальные задачи управления движением с локальным функционалом // Проблемы устойчивости движения. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1979. С. 190-203.

31. Панченков А. Н. Асимптотические методы в экстремальных задачах механики. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1982. 215 с.

32. Панченков А. Н. Теория оптимальной несущей поверхности. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1983. 256 с.

33. Панченков А. Н. Энтропия. Нижний Новгород : Изд-во о-ва «Интелсервис», 1999. 592 с.

34. Панченков А. Н. Энтропия-2 : Хаотическая механика. Нижний Новгород : Изд-во о-ва «Ин-телсервис», 2002. 713 с.

35. Панченков А. Н. Инерция. Йошкар-Ола : Изд-во ГУП МПИК, 2004. 417 с.

36. Панченков А. Н. Энтропийная механика. -Йошкар-Ола: Издательство ГУП «МПИК», 2005. - 576 с.

37. Панченков А. Н. Эконофизика. Нижний Новгород : ООО «Тип. Поволжье», 2007. 528 с.

38. Панченков А. Н. Аналитическое Естествознание. Саранск : Красный Октябрь, 2008. 640 с.

39. Пирс Дж. Символы, сигналы, шумы. М. : Мир, 1967. 334 с.

40. Прангишвили И. В. Энтропийные и другие системные закономерности. Вопросы управления сложными системами. М.: Мир, 2003. 428 с.

41. Розен Р. Принцип оптимальности в биологии. М. : Мир, 1969. 216 с.

42. Русанов В. А. Принцип максимума энтропии Панченкова в задаче структурной идентификации Д - систем. Аналитический подход // Панченков А. Н. Физик, математик, инженер. Иркутск Изд-во ИрГТУ, 2005. С. 145-167.

43. Шамбадаль П. Развитие и приложение понятия энтропии. М. : Наука, 1967. 278 с.

44. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М., 1963. 827 с.

45. Яглом А. М., Яглом И. М. Вероятность и информация. М. : Наука, 1973. 512 с.

46. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М. : Мир, 1974. 488 с.