Применение метода Релея - Ритца для определения формы несущей поверхности крыла Мунка с максимальным коэффициентом подъемной силы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Транспорт

узлов на основе системного подхода : дис. ... канд. тех. наук. Хабаровск, 2009. 179 с. 6. Проектирование железных дорог / Горинов, А.В. и др. М. : Транспорт, 1971. 319 с.

7. Турбин И.В., Гавриленков А.В., Кантор И. И. Изыскание и проектирование железных дорог. М. : Транспорт, 1989. 479 с.

8. Беллман, Р. Динамическое программирование. М. : ИЛ, 1960. 400 с.

УДК 629.734/.735, 519.635.4 Скоробогатова Марина Викторовна,

аспирант, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8(3952) 520937 доб.106, e-mail: [email protected]

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЕЛЕЯ - РИТЦА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФОРМЫ НЕСУЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ КРЫЛА МУНКА С МАКСИМАЛЬНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ

M. V. Skorobogatova

THE USE OF RAYLEIGH - RITZ METHOD FOR DETERMINING THE SHAPE OF THE BEARING SURFACE OF THE MUNK'S WING, MAXIMIZING THE LIFT

COEFFICIENT

Аннотация. В статье рассмотрена проблема проектирования низколетящей несущей поверхности в целях улучшения эксплуатационных характеристик летательного аппарата, в частности увеличения его подъемной силы. Характерной особенностью теории оптимальной несущей поверхности является то, что ее экстремальные задачи в подавляющем большинстве случаев являются некорректными экстремальными задачами вариационного исчисления из-за избытка граничных условий. По этой причине не все задачи этого класса имеют аналитические решения. Для решения некорректных задач оптимизации геометрии основного несущего комплекса предлагается использовать численные методы оптимизации аэродинамических коэффициентов. Выбранный автором статьи численный метод используется при решении задачи оптимизации, для которой уже известно аналитическое решение. Полученные результаты говорят о применимости данного алгоритма к решению других задач оптимизации аэродинамических коэффициентов.

Ключевые слова: теория оптимизации несущей поверхности, увеличение подъемной силы летательного аппарата, метод Релея - Ритца, крыло Мунка.

Abstract. The article deals with the problem of designing low-flying carrier surface in order to improve the performance of the aircraft, in particular an increase in lift vessel. A characteristic feature of the theory of optimal bearing surface is that its extreme problems in the vast majority of cases are incorrect extremal problems of calculus of variations due to the excess of the boundary conditions. For this reason, not all the problems of this class have analytical solutions. For the solution of ill-posed problems to optimize the geometry of the primary carrier of the complex we propose to use numerical methods for optimization of aerodynamic coefficients. Selected by the author numerical method used to solve the optimization problem, for which analytical solution is already known. The results show the applicability of this algorithm to solve other problems of optimization of aerodynamic coefficients.

Keywords: supporting surface optimization theory, aircraft lift increasing, Rayleigh -Ritz method, Munk's wing.

Введение

В целях обеспечения безопасности и экономичности полетов судов на динамической воздушной подушке проектировщиками решаются задачи выбора оптимальной конфигурации таких летательных аппаратов. В силу сложной пространственной геометрии подобных устройств традиционным способом оптимального проектирования их несущих комплексов стала декомпозиция общей задачи на две следующие [1]:

1) задача оптимизации несущей поверхности, решаемая методом теории оптимальной несущей поверхности (ТОНП);

2) задача об оптимальной компоновке всего аппарата в целом.

Алгоритмы исследования первой из них строятся независимо от второй. Вместе с тем оптимизация компоновочных форм создает новые критерии оптимальности, а значит - новые задачи

ТОНП. Применительно к летательным аппаратам (ЛА) одно из главных мест здесь занимает вопрос выбора формы изолированного крыла конечного размаха [5].

Центральное место в общей задаче оптимального проектирования занимает задача оптимизации геометрии основного несущего комплекса.

Задачи оптимизации низколетящего крыла имеют очевидную практическую значимость.

Например, для улучшения эксплуатационных характеристик аппаратов некоторых компоновочных схем важно спроектировать крыло с максимальным градиентом подъемной силы по отстоянию. Максимизация подъемной силы крыла при заданном индуктивном сопротивлении приводит к повышению экономичности всего летательного аппарата в целом.

С практической и теоретической точек зрения представляют интерес задачи нахождения экс-

тремума и ряда других аэродинамических коэффициентов.

Характерной особенностью теории оптимальной несущей поверхности является то, что ее экстремальные задачи в подавляющем большинстве случаев можно классифицировать как некорректные экстремальные задачи вариационного исчисления. Некорректность связана с избытком граничных условий, накладываемых на экстремаль, так, что их число превышает порядок дифференциального уравнения необходимого условия экстремума. Это определило характерные особенности теории и специфику методов их алгоритмизации [5].

Следует также отметить особую роль условия Мунка в ТОНП.

Известно, что при движении крыла конечного размаха в результате перетекания среды через его кромки из зоны высокого давления (под крылом) в зону низкого (над крылом) за ним образуется пелена свободных вихрей. На образование системы вихрей тратится некоторая энергия, что приводит к возникновению индуктивного сопротивления. Для чисел Маха, много меньших единицы, когда сжимаемостью воздуха можно пренебречь, индуктивная составляющая вносит основной вклад в общее сопротивление, определяемое суммой индуктивного и профильного. Ее величина зависит от распределения циркуляции вызванных скоростей, а следовательно, естественным образом возникает задача оптимизации этого распределения с целью минимизации индуктивного сопротивления при заданной подъемной силе. Ее решение для крыла в безграничной жидкости было получено в 1918 году М. Мунком [2], который отождествил индуктивное сопротивление с кинетической энергией объема жидкости на бесконечном удалении за крылом. Вносимые в поток возмущения предполагались малыми, а поперечная ось крыла - заданной.

Результат, известный как теорема Мунка, гласит, что у оптимального крыла индуктивные скорости на бесконечном удалении за крылом - W постоянны по размаху и вихревая пелена опускается вниз как плоская твердая лента: W = const.

Дальнейшее развитие идей Мунка показало, что закон постоянства индуцированных скоростей как условие минимума индуктивного сопротивления при заданной подъемной силе справедлив не только в безграничном потоке. Он выполняется также и в случае, когда несущая поверхность перемещается вблизи границы раздела сред, хотя

распределение циркуляции здесь уже будет иным [3].

Для крыла на сверхмалых отстояниях от твердой границы А.Н. Панченковым было получено т. н. обобщенное условие Мунка (ОУМ), специфицирующее распределение углов индуктивного скоса потока на самой несущей поверхности. Согласно ему распределение местных углов скоса потока по несущей поверхности низколетящего крыла с минимальным индуктивным сопротивлением при заданной подъемной силе осуществляется так, что эти углы постоянны вдоль вихревых нитей, подобных по форме в плане входящей кромке [4]. Технически это достигается специальной профилировкой несущей поверхности.

В ряде сложных экстремальных задач внесение условия Мунка приводит к дополнительному уравнению связи между геометрическими и гидроаэродинамическими характеристиками крыла. С помощью этого уравнения упрощается гидроаэродинамическая часть математической модели, что в конечном итоге приводит к достаточно простой технике получения экстремальных значений. Таким образом, постулирование мунковости крыла оказывается эффективным способом упрощения большинства сложных задач теории оптимальной несущей поверхности [3].

Аналитический и численный методы

решения задач оптимизации

Отличительной особенностью движения крыла на малых отстояниях от границы является следующее: основной вклад в его аэродинамические характеристики (АДХ) вносит его нижняя поверхность.

АДХ крыла вблизи твердой границы очень чувствительны к изменению формы его нижней поверхности, профилируя которую, возможно получить существенный выигрыш в характеристиках. В [1] соответствующие решения были найдены на основе методов классического вариационного исчисления, однако далеко не для всех подобных задач удается найти аналитические решения из-за сложности исходных функционалов.

Автором настоящей статьи разработан алгоритм численного решения задач оптимизации аэродинамических коэффициентов низколетящего крыла на основе метода Ритца (метод Релея - Рит-ца, также называемый методом пробных функций).

Метод Ритца

Общая схема численного решения заключается в сведении задачи ф[у(х)] = т£ о[у(х)]; у(х) у(х)еУ к поиску минимума функции многих переменных.

В основе метода Ритца лежит построение

Транспорт

минимизирующей последовательности функций [5].

Например, необходимо найти минимум функционала V[у] в классе функций M. Предположим, что существует конечный инфинум л значений функционала и в классе допустимых функций существуют функции, на которых функционал принимает конечные значения. Тогда должна существовать минимизирующая последовательность функций у1, у 2,..., уп,... такая, что

limV [Уп ] = ¡.

Если существует предел у * этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход

V[у*]= lim V[уп]

Общая идея построения минимизирующей последовательности заключается в том, что сначала необходимо выбрать некоторую систему функций, которую называют базисной: ф1, ф2,..., фи,... К базисным функциям выдвигают два требования: ' базисные функции должны принадлежать классу M;

' любая конечная линейная комбинация этих функций вида уп = Сф + С2 Ф2 +... + Сп фп принадлежит тому же классу M.

Для минимизации значения функционала

вида

V [z ] = } [p(t )у 2 (t) + k (t )у (t) + q(t )у 2 (t) + f (t )у(г )]dt

0

на множестве функций M = |v(t) у() e C^j], у (о) = у(1)=0 j зафиксируем некоторую конечную систему линейно-независимых функций ф j" , которые удовлетворяют однородным краевым условиям

ф (о) = фг (1)=о, i = Щ.

Вместо исходной задачи будем решать значительно более узкую задачу минимизации функционала на множестве линейных комбинаций

Ж )=Ё w (t)

Форма несущей поверхности, максимизирующая коэффициент подъемной силы

Наилучший способ верификации данного алгоритма - использование его для задач оптимизации, уже решенных ранее аналитически.

Сформулируем одну из таких задач: определить форму несущей поверхности крыла Мунка,

максимизирующую коэффициент подъемной силы и удовлетворяющую заданным условиям на его конфигурацию.

Математическая постановка задачи имеет следующий вид [1]:

ш - J а *1

ш - max \-=-w 2H,

1

j F (y )dy

0 0

2л2 12,

а 21

8H

+ ^Т а2( x)

фт jjfc (x)1(y )F2 (У )

0

Fy2(y) 1

2

0 00

+

l(y) 1iH~i2

dxdy\

(1)

Ж = {а, (х), 1(у ), Н (у )}

аг (о) = 1, агх (о)= 0, а,. (2) = 0; 1(1)=к; а (о)=1, а (1)=нНо;

( % = и ( я (у * = Р_

Здесь 1 - удлинение крыла, 1(у) = 1(у) /1, 1(у) - местное удлинение крыла, зависящее от его формы в плане, а,- - угол индуктивного скоса потока по задней кромке, аг (х) = аг (х)/ аг, где аДх) - местный угол индуктивного скоса потока (согласно ОУМ не зависит от у), а^ (х) - его

производная по х, Н - относительное отстояние несущей поверхности от твердой границы, Н (у ) = Н (0, у)/ Н (0) - форма задней кромки кры-

где

1

ла, F(y)-J

y1

H (y1)

dy1 .

Входящие в эту постановку граничные значения для at (х) следуют из условий, наложенных на погонную циркуляцию Г0 (х, y): ненулевая нагрузка на крыле, постулат Жуковского - Чаплыгина и условие безударности входа соответственно. Изопериметрические условия на l(y) и H(у) вытекают из ограничения на величину подкуполь-ного объема V(^_) = const .

Дальнейший путь решения возможен через разбиение общей проблемы на частные:

1) оптимизацию распределения индуктивных углов по оси 0x;

2) оптимизацию формы крыла в плане;

3) оптимизацию формы задней кромки на виде спереди.

г-1

Оптимизация распределения углов скоса потока по хорде для несущей поверхности, максимизирующей коэффициент подъемной силы

В формализованном виде постановка задачи оптимизации углов скоса потока такова:

У, =

1 = шах

м^и

1

/(и2 (г)+ ри2 (г ))л;

м(0) = 1, М(о) = 1, и(1)= 0. Здесь и = а, (г), М() - производная и(0 по

Р =

АгГ 52^ 1

I21 [я.(у) 11 и?

1

/ ^2 (у )1(у )йу

йу

V [Ф(/ )] = V

Ё сф,- (г)

/и)

Ё СФ,(г)

+ к (г)

Ё С Ф,(г)

+ ч(г)

Ё с,Ф, (г)

+/ (г)

Ё С,Ф,(г)

дV

Необходимое условие экстремума-= 0.

дс ]

Продифференцировав V по с,, получим:

дУ_ дс .

= Н 2р(г)Ё с,- ф ,(г )ф у (г)+к (г )ф у (г)+

,=1

+ )Ё с,- Ф, (г )Ф у(г) + / (г )Ф у (г) \йг.

,=1

Преобразовываем:

п Ё

;=1 +

+

(2)

|(2 р(г )ф, (г )ф у( ) +

о

2д(г )ф, (г )ф у (г )й]с,- + (3) 11 / / (г )ф у (г )сИ +| к (г )ф у (г )И.

В матричной форме эта система запишется так: А -С = Ь , где

а,у =

1

/(2р(г)ф, (г)фу (г)+ 2д(г)ф, (г)фу (г))йг

1

|(/ (г)ф у (г)+к (г)ф у (грг.

вместо х использована формальная переменная ^ = Х2, и точка обозначает производную по ней. Отметим, что для данного лагранжиана = 2 > 0,

то есть условие Лежандра указывает на минимум.

Экстремальная задача (1) эквивалентна проблеме экстремизации вклада нелинейного слагаемого в функционал (1) за счет специального выбора а, (х). Как уже указывалось выше, она некорректна. Дополнительным граничным условием в ней служит постулат Жуковского - Чаплыгина в форме М(0) = 0, и для оценки величины вносимых им возбуждений будем сравнивать получаемые решения с экстремалями «невозмущенной» задачи, в которой производная в точке «ноль» не фиксирована.

Решение поставленной задачи

методом Ритца

После подстановки базисных функций ф(1:) в наш функционал (2) получаем:

Ъ. = -

Итак, для решения нашей задачи методом Ритца необходимо:

1. Привести ее к эквивалентной задаче с однородными краевыми условиями. Коэффициенты уравнения (3), полученные в результате этого преобразования, получились равными р(г) =1,

Р,

к (г)=-2, / (г)= 24 -г).

2. Выбрать базисные функции (кусочной-линейный или кубический интерполяционный базис);

3. Построить экстремизирующую последовательность;

4. По экстремальной функции восстановить геометрическую форму поверхности.

Результаты применения метода Ритца Воспользуемся кусочно-линейным базисом. Для построения системы кусочно-линейных функций необходимо задать разбиение отрезка [0,1] на п отрезков 0 = г0 < г1 <... < гп < гп+1 = 1. Полагая

к, = гм - г,, где / = 1, п, определим базисные функции:

Ф

(г) =

к,-1 (г- г,-1)

1 (г ,+1 - г),

если 0 < г < г1_1 , если г{^ < г < г {

если г, < г < г,.^

если < < 1

и их производные.

Положим к = к = 0,1, г1 = 0,1/,/ = 0,9 . Поскольку /-я функция отлична от нуля только на промежутке [гм, г,+1 ], то справедливы равенства

0

0

0

0

0

2

+

,=1

,-=1

0

2

0

1

;=1

;=1

,-=1

п

Транспорт

Фг (1 )Ф j ( )= 0 и

Ф, (Оф] (0 = 0, «,7 = 1, п, 7 ф 1 —1, 7 ф 1, 7 ф 1 +1.

Это означает, что матрица системы уравнений для С при таком выборе базисных функций

будет трехдиагональной. Ненулевыми будут элементы:

а,, = 14,, + 14,/+1 + 12,1 + /в,«, 1 = 2,П

a

/,/+1 =~!4,/+1 + ^, ' = 1,П " 1, a/,/-i = -1 4,i + hi-v i = 2n

b = ^З,/ + h,, + 17,i + Im , * = 1 П

где / - интегралы вида 1

Il,i =

т-1 -1, \t -1, Ы d.

v h

a(x, y ) = a, (x )-12 (y )H (y )F (y ) ;

dx

dai (x)

Л(х, y) = Ja, (x )dx -12 (y)H (y )F (y)

dx

Рис. 1. ЭБ-модель крыла, полученного методом пробных функций

...yZ

Г и__.—— ____— ---- ,-з__ ----

0,4

0,3

1,2

1,6

2.0

Следовательно, для построения трехдиаго-нальной матрицы необходимо вычислить восемь интегралов.

Экстремаль, рассчитанная аналитически и с помощью компьютерной программы, имеет вид, показанный на рис. 2.

Формулы, позволяющие по найденным распределениям углов скоса потока по хорде найти углы атаки и форму крыла, имеют вид [1]

л?/

(х, у ) = а (х I

Так как полученная экстремаль представлена набором значений, для вычисления дифференциала применялся численный метод двусторонней разности.

Исходные данные для программных расчетов:

1 — у2

, 1(у) = 3,7, Н(у) = 1, ^(у) = .

Полученная с помощью численных методов форма несущей поверхности требует наложения дополнительного изопериметрического условия на радиус кривизны.

Форма нижней поверхности крыла с максимальной подъемной силой в сечениях у = 0, у = 0,5 и у = 1, полученная аналитически и методом пробных функций, показана на рис. 2.

Рис. 2. Форма нижней поверхности крыла в сечении y = 0

(график 1), y = 0,5 (график 2), y = 1 (график 3) показана сплошной линией [1]. Мелким пунктиром показан результат наложения ограничения на радиус кривизны поверхности крыла, полученного численно. Крупным пунктиром показана поверхность крыла, полученная аналитически

Крутизна задней кромки задается числовым параметром a = a (0) . Заключение

Экстремаль и геометрия несущей поверхности, полученные с использованием численного алгоритма, оказались почти идентичны экстремали и форме нижней поверхности крыла максимальной подъемной силы, полученной Л. В. Аршинским [1]. Это говорит о работоспособности предлагаемого алгоритма. При этом численные методы позволяют находить решения для задач, аналитическое решение которых трудно или невозможно.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Аршинский Л.В. Оптимизация геометрии крыла вблизи опорной поверхности : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Иркутск, 1990. 190 с.

2. Munk M. The Minimum Induced Drag of Aerofoils // NASA Rept. 1921. №. 121.

3. Панченков А.Н., Драчев П.Т., Любимов В.И. Экспертиза экранопланов. Нижний Новгород : Поволжье, 2006. 656 с.

5. Панченков А.Н. Теория оптимальной несущей поверхности. Новосибирск : Наука, 1983. 256 с.

6. Калиткин Н.Н. Численные методы. М. : Наука, 1978. 512 с.

о