Дифференциальные включения в конструкциях сеточного оптимального синтеза Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сурков Платон Геннадьевич, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, младший научный сотрудник, e-mail: platon.surkov@gmail.com.

УДК 517.977

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ В КОНСТРУКЦИЯХ СЕТОЧНОГО ОПТИМАЛЬНОГО СИНТЕЗА

© Т. Б. Токманцев

Ключевые слова: задача оптимального управления; функция цены; оптимальный синтез; уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана; гамильтоновы дифференциальные включения.

Рассматривается задача оптимального управления с фиксированным моментом окончания. Качество управления оценивается с помощью терминально-интегрального функционала Больца. Рассматриваются обобщенные характеристики уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана — решения гамильтоновых дифференциальных включений. На базе обобщенных характеристик конструируется сеточный оптимальный синтез (оптимальное управление по принципу обратной связи [1]). Приводятся результаты численного решения модельных задач.

На фиксированном отрезке времени [0,Т] рассматривается управляемая система

ВИДс1

= / (г,х,и), (1)

где фазовый вектор системы х € К” , на управление наложены геометрические ограничения и € Р, Р С Кт — компакт. Введем множество и(Ьо,Т) , Ьо € [0,Т] допустимых управлений — измеримых функций и(-) : [Ьо,Т] ^ Р. Траектория динамической системы (1), выходящая из начальной точки (Ьо,хо) € с1Пт под воздействием управления и(-) € и(Ьо,Т), обозначается символом х(-) = х(■; Ьо,хо,и() : ^о,Т] ^ К”. Качество управления и(-)

оценивается с помощью функционала Больца

т

1(Ьо,хо; и(-)) = а(х(Т; Ьо,хо,и(-))) + д(Ь,х(Ь),и(1)) ЛЬ ^ шш . (2)

V >.] пей (ь0,т)

to

Символами Пт и с1 Пт обозначим полосы в пространстве К”+1 : Пт = (0,Т) х К”,

с1Пт = [0,Т] х К”.

Задача рассматривается при следующих предположениях.

А]_. Функции /(Ь,х,и) и д(Ь, х, и) в (1), (2) определены и непрерывны на с1Пт х Р,

/, \ _ п г> 9ЪН,х,и) до(Ь,х,и)

существуют непрерывные ПО (ъ,х,и) € Пт х Р частные производиые дХ■ , Эх’ ,

% € 1,п, ] € 1, п, ограниченные константой Ь\ > 0.

А!2. Терминальная функция платы а(х) в (2) определена и непрерывна на К” вместе

со своими частными производными дхг , % € 1,п.

Введем функцию Гамильтона Н(Ь,х,р) = ш\и(р,/(Ь,х,и)) + д(Ь,х,и) и множество

иеР

и°(Ь, х,р) = {и0 € Р: (р, /(Ь, х, и0)) + д(Ь, х, и0) = Н(Ь, х,р) .

Известно [2], что функция цены V(Ь,х) задачи (1)-(2) является единственным мини-миксным/вязостным решением задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана:

+ Н{Ь,х, ОХу(Ь,х)) = 0, (Ь,х) € Пт, у(Т,х) = а(х), Ух € К”.

Здесь ОхУ(Ь,х) = (Щхх •’’’•джх1) ■

■;1 ' ' дхп

Рассматриваются обобщенные характеристики уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана — решения гамильтоновых дифференциальных включений [3, 4]:

—Ь € со{/(Ь,х,и): и € ио(Ь,х,р)},

■ § € со{-(ЩХП)Тр — ещхп : и € и°&%т,

- Ж = ) — Н(*ЛР)’

х(Т, у) = у, х(Т, у) = Оа(у), х(Т, у) = а(у), У у € К”.

Предлагается численный метод построения оптимального синтеза [5] задачи (1)-(2) на базе решений гамильтоновой системы. Рассматривается разбиение Г = {Ь г,% = 0,...,М} отрезка времени [Ьо,Т] . Гамильтонова система численно интегрируется в обратном времени. В моменты Ь = конструируются сетки = {х3 ,Х ,Х3 } , х^ = х(Ьг,у3) , Х3 = х(и,у^) , X3 = Х(Ьг,у3) , где тараметр у3 — узел сетки QN С К” в иомент Ь = Т. При построении узлов сеток Si вычисляются оптимальные паправления (/■ ,д3), /3 = /(Ьг, X3 ,и) , д3 = д(Ьг, х3 ,и) , и € ио(Ь, х3 ,р3) . В уз л ж сеток х3 сеточный оптимальный синтез иГ(Ьг, X3) определен формулой иГ(и,х3) € {и : /(Ьг,х3,и) = /3, д(Ьг,х3,и) = д3 }. Для произвольной начальной точки (Ь*,х*) реализация управления ио(Ь) строится по обратной связи иГ(-) согласно формулам:

о(/) _ Г и*, Ь € [Ь*,Ь1],

и*(Ь) = ^ „,ои. ^3*

иГ(и,Щ*), при Ь € [и,и+1), % € 0,М — 1,

где произвольное управление и* € Р , номер у* : \\х*(Ьг) — х3* || = шт \\х*(Ьг) — х31| .

3

ЛИТЕРАТУРА

1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

2. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка: перспективы динамической оптимизации. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

3. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Топология, обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы. Сборник обзорных статей. К 50-летию института. Тр. МИАН СССР. М.: Наука, 1985. Т. 169. С. 194-252.

4. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.

5. Субботина Н.Н., Токманцев Т.Б. Классические характеристики уравнения Веллмана в конструкциях сеточного оптимального синтеза // Тр. МИАН. 2010. Т. 271. С. 259—277.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Программы Президиума РАН «Математическая теория управления», Российского фонда фундаментальных исследований (проект №08-01-00587), Программы Правительства Российской Федерации по поддержке ведущих научных школ (проект НШ-2640.2008.1).

Tokmantsev Т.В. Differential inclusions in constructions of an optimal grid synthesis. An optimal control problem with a fixed end instant is under consideration. The quality of a control is estimated by the Bolza functional. Generalized characteristics of a Hamilton-Jacobi-Bellman equation are defined as solutions of the hamiltonian differential inclusions. An optimal grid synthesis (optimal feedback) is defined on the basis of the generalized characteristics. Results of simulations for model optimal control problems are exposed.

Key words: optimal control problem; value function; optimal synthesis; Hamilton-Jacobi-Bellman equation; hamiltonian differential inclusions.

Токманцев Тимофей Борисович, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, научный сотрудник отдела динамических систем, e-mail: tokmancev@mail.ru.

УДК 519.862, 517.9

ОЦЕНКА УЩЕРБА ОТ УТЕЧКИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ КОММЕРЧЕСКОЙ ТАЙНЫ НА ОСНОВЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ МОДЕЛЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОЛОГИИ

© А.С. Трушечкин

Ключевые слова: математическое моделирование; математическая экология; модели экономической конкуренции; оценка экономического ущерба.

Статья посвящена применению известных математических моделей экологии и химической кинетики в экономике. А именно, модели конкуренции между различными биологическими видами или между различными автокаталитическими химическими реакциями можно применить для описания экономической конкуренции. С помощью этих моделей даётся оценка экономического ущерба от утечки технологической коммерческой тайны.

Оценка экономического ущерба от различных неблагоприятных событий является важной задачей в экономике и управлении предприятием. Однако существующие методики оценки экономических ущербов пригодны только для относительно простых случаев. В случае же, когда величина ущерба от произошедшего события зависит не только от этого события, но и от будущей динамики экономической системы, необходимы подходы, основанные на математическом моделировании. Утечка технологической коммерческой тайны является одним из примеров такого события.

Оценка ущерба от утечки технологической коммерческой тайны является важной задачей для современных высокотехнологичных предприятий. В частности, она важна для формирования оптимального списка технологий, составляющих коммерческую тайну организации. Излишняя конфиденциальность информации затрудняет производственную деятельность сотрудников, увеличивает издержки. Кроме того, она затрудняет организации участвовать в совместных с другими организациями проектах.

Поэтому актуальны задачи оценки ущерба от утечки технологии и оценки общих затрат (включая «косвенные» затраты) на обеспечение режима коммерческой тайны. Ту или иную технологию имеет смысл включать в перечень сведений, составляющих коммерческую тайну организации, в том случае, если ущерб от её утечки превосходит затраты на обеспечение режима коммерческой тайны.