Некорректная задача для автономной системы с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

НЕКОРРЕКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ С

ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

© П.Г. Сурков

Ключевые слова: дифференциальные уравнения с запаздыванием; некорректная задача; асимптотические методы.

Для автономной линейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием рассматривается задача Коши на отрицательной полуоси. Для ее решения используется метод регуляризации А.Н. Тихонова со стабилизирующим функционалом, не порождающим компактное множество в пространстве состояний. Получены асимптотические формулы для регуляризованных решений системы с запаздыванием на конечном отрезке отрицательной полуоси.

Рассматривается линейная автономная система дифференциальных уравнений с запаздыванием

= Ax(t) + Bx(t - r), t e R— = (-ж, 0], (1)

где x: R— ^ R™, r> 0, A и B — постоянные n x n матрицы, det B = 0.

Задача Коши на полуоси (-r, ж) является корректной, т. е. для начального момента to = 0 и произвольной начальной функции ф e C = C{[-r, 0], R™) система (1) имеет единственное решение х(-,ф), непрерывно зависящее от начальной функции и совпадающее с ней на начальном отрезке [-r, 0]. Для построения решения системы (1) на любом отрезке положительной полуоси можно использовать процедуру метода шагов [1].

Задача нахождения решений системы (1) на отрицательной полуоси является некорректной. Ее можно заменить обратной задачей построения решений в сторону возрастания времени [2]. Следуя методике работы [3], определяем пошаговую процедуру в сепарабельном гильбертовом пространстве H = [-r, 0), R™) x R™ со скалярным произведением (ф,ф) =

= фт (0)ф(0) + !0 \r фт(в)ф(8) ds, тогда получаем уравнения вида

Uxk = Xk+i, k ^ -1.

Здесь линейный оператор U определяется формулой

t

(Uxk+i)(t) = exp(A(t + r).xk(0) + У exp(A(t - s).Bxk(s) ds, t e [-r, 0].

—r

Последние задачи являются некорректными, и для их решения используется метод регуляризации А.Н. Тихонова [4]. Выбираем стабилизирующий функционал вида

о

n[x]= xT(0)x(0)+|xT(s)x(s) ds, x e H,

-r

В отличие от стабилизирующего функционала в работе [3] этот функционал не порождает компактное множество в H. Для фиксированного значения параметра регуляризации а> 0 будем искать элемент xa e H, минимизирующий сглаживающий функционал

Ma^,x] = \\Ux - ф\\н + aQ[x], x e H.

2700

Утверждение! Пусть det B = 0. Тогда минимизирующий элемент xa определяется формулами

xa(6) = а—1{z(9) - ф(в)), в e [-r, 0),

xa(0) = a—iB—iT(z(-r) - Ф(-г)),

где функции ф, х и z являются компонентами решения следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений

аХ = а Ах + B (z - ф), ф = -(B—lAB)Tф - BTx, (2)

z = -(B—iAB)Tz - BTф(в)

с краевыми условиями

Ф(-г) + aBT x(-r) = z(-r^(0) = BT x(0),

(3)

z(0) = B^(0).

Здесь ф e H, x = Ux, а — малый положительный параметр.

Решение системы (2), (3) находится с использованием асимптотических методов для обыкновенных дифференциальных уравнений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

2. Долгий Ю.Ф., Путилова Е.Н. Продолжение назад решений линейного дифференциального уравнения с запаздыванием как некорректная задача // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 8. C. 1317-1323.

3. Долгий Ю.Ф., Сурков П.Г. Асимптотика регуляризованных решений линейной автономной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Проблемы динамического управления: Сб. науч. тр. фак. ВМиК МГУ им. М.В Ломоносова. 2007. Вып. 2. С. 71-99.

4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ (прокт № 13-01-00094), проектом УрО РАН (№ М-Ур0-2013-2) и программой Президиума РАН «Математическая теория управления».

Surkov P.G. ILL-POSED PROBLEM FOR AUTONOMOUS SYSTEM WITH DELAY The Cauchy problem on the negative half-line is considered for an autonomous linear system of differential equations with delay. The Tikhonov’s regularization method is used for solving it. We choose a special stabilizing functional which do not generate a compact set in the space of states. Asymptotic formulas on the finite interval of the negative half-line for regularized solutions of the system with delay are obtained.

Key words: differential equations with delay; ill-posed problem; asymptotic methods.

2701