Классификация критических состояний неоднородного пластического слоя на основе исследования одного функционального уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Dheyab Aws Nidhal, South-Ural State University, Chelyabinsk, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Applied Mathematics Department, e-mail: [email protected]

УДК 517.958

КЛАССИФИКАЦИЯ КРИТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИИ НЕОДНОРОДНОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ НА ОСНОВЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

© В.Л. Дильман, Д.А. Трунова

Ключевые слова: неоднородный пластический слой; напряженное состояние; гипотеза разделения переменных; системы нелинейных уравнений в частных производных; функциональное уравнение.

Исследуется краевая задача для системы нелинейных уравнений в частных производных, моделирующая напряженное состояние неоднородного пластического слоя. Слой находится под растягивающей нагрузкой в условиях плоской деформации. В предположении разделения переменных для касательных напряжений задача сведена к некоторым нелинейным системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Сведение основано на полученной в работе полной классификации решений некоторого чисто функционального уравнения.

Рассматривается математическая модель напряженного состояния неоднородного пластического слоя. Пластически деформируемые слои возникают при нагружении сварных соединений ( сварные швы, зоны термического влияния, диффузионные прослойки) и при осадке заготовок жесткими матрицами. В работе предполагается что слой имеет прямоугольную форму, расположен между жесткими участками соединения и находится под сжимающей или растягивающей нагрузкой в условиях плоской деформации. Цель работы — разработка вычислительной схемы нахождения напряженного состояния слоя в критический момент нагружения, а также получение в аналитической форме явных зависимостей напряжений от координат для некоторых характерных частных случаев.

Расположим оси координат по осям симметрии слоя [-1; 1] х [—к; к] , здесь 0 < к < 1 — толщина слоя. Математическая модель содержит систему нелинейных уравнений «пластического равновесия» гиперболического типа [1—5]:

Ж + ^ = 0.^ + ^ = °' е. — -у)2 + = 422 М

Условие на свободной границе Г в форме Сен-Венана:

^ а.йу = 0. (2)

Неоднородность слоя определим функцией

Я (х,у) = и (х)У (у), (3)

дифференцируемой по каждой переменной.

Методика, предложенная в [1], позволяет исследовать модели, когда функция неоднородности 2 зависит от одной переменной. Предположение (3) существенно расширяет возможности математического моделирования критических состояний неоднородных твердых тел.

Как и в [1—3], предположим выполнение гипотезы разделения переменных для касательных напряжений:

Тху (ж,у) = X (ж)У (у), (4)

а условие пластичности (последнее уравнение (1)) заменим на приближенное [2-5]:

\ах - ау| =22 - 2т22-1. (5)

Следствием системы (1) в предположениях (3) - (5) является уравнение

- (X2и-1)'(УV-1)' + Х''У - У''Х = 0. (6)

Начальные условия имеют вид:

х(0) = о, у(0) = о, и(0) = 1, V(0) = 1. (7)

Следующая теорема позволяет свести задачу к решению некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теорема 1. Пусть функции / (ж),/о(ж) = 1, /1(ж),.., /п, д(ж), до (ж) = 1, д1(ж),.., дп определены на множестве Б, содержащем не менее п+1 элементов, и имеют значения в Я (п = 1, 2,..) .Пусть среди функций /0, /1,..., /п (до, ...,дп) имеется ровно т/ (тд) линейно независимых, и для любых ж, у € Б имеет место равенство:

п

/ (ж) + д(у) + £ /г(ж)дг(у) = 0. (8)

г=1

Тогда т/ + тд ^ п + 2 .

Следствие. При п = 2 реализуются следующие случаи:

1 случай. Пусть функции /о(ж) = 1,/1(ж),/2(ж) линейно независимы.Тогда д,д1,д2 постоянны и / (ж) = -д - д1/1(ж) - д2 /2 (ж)

2 случай получается из первого заменой переменных /, /0, /1, /2 на д,д0,д1,д2 ,

3 случай. Функции /1,/2,д1,д2 при некоторых постоянных а,а1, а2, в, в1 , в2 связаны соотношениями:

«1/1 (ж) + 0:2/2(ж) + а = 0, вш(у) + в2д2(у) + в = 0

Условие независимости функций /о, /1, /2 в случае 1 является достаточным для постоянства д,д1,д2 , но не необходимым. В частности, уравнение (8) может удовлетворяться, когда все входящие в него функции постоянны. Положим, используя обозначения из (6) и (8),

/(ж) = и'Х-1, д(у) = 2^У-1, /1 (ж) = -(1Х-1)(Х2и-1),

д1 (у) = (1у-1)(У^-1), /2(ж) = (Х'Х-1), д2(у) = -У"У-1.

Тогда каждый из перечисленных трех случаев следствия приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера рассмотрим случай, когда все 6 величин д,д1,д2, /, /1, /2 постоянны. Тогда имеет место система уравнений с независимой переменной у:

V'У-1 = д, (1У-1)(У2V-1)' = д1, У''У-1 = д2, (9)

и аналогичная система с переменной х. Решение системы (9) при начальных условиях (7) распадается на три случая, в зависимости от знака постоянной д2 . Предположим, д2 = —а2, а = 0. Тогда из (9) следует уравнение

У" + а2У = 0.

Решением этого уравнения при условии (7) является функция

У = С1вги(ау),

где С\ - произвольная постоянная. Нетрудно показать, используя остальные уравнения системы (9), что

а = V—дди V = 0.5(1 + совV—ддгу), у = 0.5V—д\д-1 в1ил/дд1у). При условии д2 = а2 ,а = 0 получим аналогично

V = 0.5(1 + см^ддту)), у = 0.5уд^ вм^шу).

Таким же образом получаются аналогичные выражения для зависящих от х функций второй системы уравнений. В зависимости от возрастания или убывания функций и, V получаются четыре варианта решения уравнения (6). Например, если функции и(х), V(у) убывающие, то

Я(х, у) = и(х^(у) = 0.25(1 + сов^—ддГу)(1 + сов^—Тхх).

Используя уравнения равновесия и условие пластичности (1), получим аналитические выражения для вычисления нормальных напряжений:

г х

(х = — / асвт(Ъх)сов(су)йх + Б1(у) = Jo

= асЪ-1 сов(су)(сов(Ъх) — 1) + (аЪс-1 — 1) сов (су) — 1 — аЪс-1 + С,

ГУ

(гу = — / аЪсов(Ъх)вги(су)йу + Б2(х) = Jo

аЪс-1 сов(Ъх)(сов(су) — 1) + (асЪ-1 + 1) сов (Ъх) — 1 — асЪ-1 + С,

где

= 0.25^д1Л(д/)-1, Ъ = с =

Константа С находится из условия Сен-Венана (2). Окончательно, среднеинтегральное значение критического напряжения на контактной поверхности (уср = /0 (у (х, к) йх можно вычислить по формуле:

(уср = (асЪ-1 + 1 + аЪс-1(сов(су) — 1))втЪ + аЪс-1 — —асЪ-1 — (аЪ-1(совЪ — 1) + (аЪ — с)с2)вт(ск)(к)-1.

Таким образом,для различных функций неоднородности можно получать аналитические выражения для вычисления предельной нагрузки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дильман В.Л., Ерошкина Т.В. Математическое моделирование критических состояний мягких прослоек в неоднородных соединениях. Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2011. 276 с.

а

2. Дильман В.Л., Остсемин А.А. Напряженное состояние и статическая прочность пластичной прослойки при плоской деформации // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2005. № 4. С. 38-48.

3. Дильман В.Л. О напряженно-деформированном состоянии при растяжении пластического слоя с двумя осями симметрии // Изв. РАН. MTT. 2001. № 6. С. 115-124.

4. Дильман В.Л., Носачева А.И. Математическое моделирование критических состояний пластического слоя // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 5. С. 2502-2504.

5. Дильман В.Л. Напряженное состояние и прочность неоднородной пластической полосы с дефектом в более прочной части // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 2. С. 89-102.

Поступила в редакцию 25 мая 2015 г.

Dilman V.L., Trunova D.A. CLASSIFICATION OF CRITICAL STATES OF HETEROGENEOUS PLASTIC LAYER BASED ON THE STUDY OF A FUNCTIONAL EQUATION

The boundary value problem for a system of nonlinear partial differential equations modeling the stress state of the heterogeneous plastic layer is studied. The layer is under a tensile load in a plane strain conditions. Assuming the separation of variables for the tangential stress, the problem is reduced to a system of nonlinear ordinary differential equations. The reduction is based on the obtained in the research complete classification of solutions to some purely functional equation.

Key words: heterogeneous plastic layer; stress state; the hypothesis of separation of variables; the system of nonlinear partial differential equations; functional equation.

Дильман Валерий Лейзерович, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой прикладной математики, e-mail: [email protected]

Dilman Valery Lazerovich, South-Ural State University, Chelyabinsk, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, the Head of the Applied Mathematics Department, e-mail: [email protected]

Трунова Дарья Анатольевна, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация, магистрант кафедры прикладной математики, e-mail: [email protected]

Trunova Daria Anatolevna, South-Ural State University, Chelyabinsk, the Russian Federation, Master's degree Student of the Applied Mathematics Department, e-mail: [email protected]

УДК 517.929

О НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С

ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

© Ю.Ф. Долгий, П.Г. Сурков

Ключевые слова: нелинейные дифференциальные уравнения с запаздыванием; некорректные задачи.

Для неавтономной нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием рассматривается некорректная задача Коши на отрицательной полуоси. Для ее решения используется метод регуляризации А.Н. Тихонова со стабилизирующим функционалом, применяемым в случае отсутствия априорной информации о гладкости решений системы с запаздыванием. Получена сингулярная краевая задача, одна из компонент решения которой определяет регуляризованное решение системы с запаздыванием на конечном отрезке отрицательной полуоси.