CC BY
73
Клименко Павел Петрович E-mail: [email protected].
Maksimov Aleksandr Viktorovich
Taganrog Institute of Technological - Federal State-Owned Educational Establishment of
Higher Vocational Education "Southern Federal University".
E-mail: [email protected].
81, Petrovskay street, Taganrog, 347900, Russia.
Phone: +78634328052; +78634325825.
Ghelozhe Yury Andreevich
E-mail: [email protected].
Klimenko Pavel Petrovich E-mail: [email protected].
УДК 681.3.07: 628.162.8
М.В. Игнатьев, В.М. Игнатьев
РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ОБЕЗЗАРАЖИВАНИЯ
ПИТЬЕВОЙ ВОДЫ
Строятся нелинейные регрессионные модели обеззараживания питьевой воды. Остатки этих моделей проверялись по статистикам Уайта и Дарбина-Уотсона.
.
M.V. Ignat'ev, V.M. Ignat'ev REGRESSION MODELS DEACTIVATE OF DRINKING WATER
Create non-linear regression models deactivating of drinking water. Residuals of this models tested on statistics White and Darbin-Watson.
Regression models.
Для оценки эффективности применения дезактивантов при обеззараживании питьевой воды проводились эксперименты [1]. При проведении экспериментов в качестве дезактивантов использовались ионы серебра, меди и цинка с фиксацией четырёх факторов: c - удельная массовая концентрация препарата, мг/л; t - температура обеззараживаемой воды, °C; т- продолжительность процесса обеззараживания, сутки или минуты; K - показатель порядка уменьшения содержания клеток бактерий E-coli в 1 литре воды. Показатель степени обеззараживания питьевой воды (K) оценивался как логарифм числа выживших бактерий E-coli. Результирующими факторами процесса являются степень обеззараживания K и продолжительность процесса т. Экспериментальные данные однородны по критерию Кол- , , -
ления или построить его с помощью кривых Пирсона [2]. Эксперимент включал 78 опытов (n) по обеззараживанию питьевой воды ионами меди, 126 опытов с применением ионов серебра и 52 опыта с применением ионов цинка [1]. На основании полученных статистических данных были построены многофакторные не, ,
приведены в табл. 1.
Таблица 1
Вид модели и значения критериев Фишера Ж и Жтеор
Номер модели п Вид уравнения Коре-ля ция р 1 теор
Медь 1 78 т=ехр(0,783)Г0'264с"0'334К1Л6' (0,132) (0,037) (0,38) (0,07) 0,888 92,5 8,563
2 78 К = ехр(-0,37)т°'6'6 Г0'22 с0'286 (0,114) (0,04)(0,026)(0,025) 0,93 156,5 8,563
Серебро 3 126 т=ехр(1,082)с"и'322Г0'863Ки'788 (0,052) (0,006)(0,016) (0,016) 0,993 2783,2 8,55
4 126 К = ехр(-2) с0-325 Г0'346 т1'006 (0,22)(0,027)(0,03)(0,06) 0,846 102,11 8,55
Цинк 5 52 т = ехр(1,5) с0'168 Г"0'203 К0'662 (0,22) (0,436)(0,088)(0,11) 0,665 12,7 8,583
6 52 К=ехр(-1,05) с"0'22 Г0'307 т0'656 (0,266) (0,04)(0,081)(0,108) 0,78 25,4 8,583
Расчёты по оценке значимости моделей проводились с помощью методов дисперсионного анализа по критерию Фишера при 5-процентном уровне значимости [2]. Для всех уравнений, приведённых в табл. 1, выполняется условие Р > Рте0р, следовательно, все полученные модели значимы. Робастные оценки всех коэффициентов уравнений значимы (см. значения оценок, приведённые в табл. 1 в 4 столбце ниже коэффициентов регрессионных уравнений).
В табл. 1 коэффициент парной корреляции процесса обеззараживания и модели (1) в первой строке таблицы равен г = 0,888 и значим по критерию Стьюдента на 5 %
\п - 3
уровне значимости, так как Гэкс = г-- = 16,724, Гст(0,975; 77) = 1,991 и
\1 - г 2
Тж > Тт. Значимость г указывает на наличие линейной связи данных опыта времени экспозиции т и значений, получаемых с помощью построенной регрессионной мо-(1) . 1. моделей коэффициенты корреляции значимы. При отсутствии значимости коэффициента парной корреляции нельзя рассматривать уравнение в качестве модели [3].
Долю общего разброса данных относительно среднего значения выборки, которую объясняет регрессионная зависимость, определяет скорректированный коэффициент детерминации
я2кор = 1- а-г2)-^-1- = 1- (1-0,8882) • = 0,777,
п - к -1 78 - 4
2 2 где ЯСКор - скорректированный коэффициент детерминации; Я - коэффициент
(0,8882); п - (78); к - -
(к=3).
Согласно условию Гаусса-Маркова, при построении регрессионных моделей разности между значениями экспериментов и значениями, полученными с помощью моделей, называемых остатками регрессии е, и рассматриваются как данные с равномерным законом распределения, математическим ожиданием, равным нулю, и постоянными дисперсией, среднеквадратичным отклонением, вариацией [2]. Условием гомоскедастичности для модели является постоянство вариации для всех точек выборки. Если вариация остатков различна и превышает заданное зна-, .
Для проверки остатков регрессионной модели на гетероскедастичность были использованы методы Уайта [4] и Дарбина-Уотсона [2].
Первый метод требует построения параболической модели для остатков следующего вида:
2 2 2 2 е = а0 + а\ с + а2 с + а3 ^ + а4 I + а5 К + а6 К , (1)
где а0 ^ а6 ^^отмые коэффициенты.
(1) е -
эффициент детерминации Я2 строит статистику Уайта
Ж = п Я2,
которая подчиняется закону распределения хи-квадрат.
Статистика Уайта сравнивается с критическим значением - квантилем хи-квадрат
Жтео р(а = 0,05; у = 6),
- ; - (1).
Результаты проверки моделей на гетероскедастичность методом Уайта све-. 2.
Таблица 2
Модели и статистика Уайта при проверке на гетероскедастичность
Параметр п Вид уравнения Я 2 скор Ж
Медь т 78 т=1,524 с"°,364 Л313 К1'713 0,79 10,418
К 78 К=0,868 с0,184 Л235 т°,417 0,877 6,457
Серебро X 126 п АСП -0,371 .-0,268 г>4,196 т=3,059 с / К 0,908 14,139
К 126 V п л п 1 0,235 >0,237 0,7 К=0,431 с V х 0,733 0,366
Цинк X 52 т=10,586 с0,176 /-0,147 К1,013 0,878 0,101
К 52 К=0,127 с"0,156 /0,217 т0;;24 0,896 1,555
. 2, -
дели Ж3 > Жтеор (Жтеор = 12,59), следовательно, указывает, что модель (3) - гетеро-скедастична. Остальные модели гомоскедастичны.
Второй метод Дарбина-Уотсона использует сериальную корреляцию р5 (автокорреляцию между остатками, отстоящими друг от друга на 5 шагов). Статистика Дарбина-Уотсона [2]:
п I п
й = X (ег - ег-1 // X е2. (2)
1=2 / 1=1
сравнивается с табличными граничными значениями йь и йи, которые зависят от величины выборки п, числа степеней свободы регрессионного уравнения к.
Для всех построенных моделей в табл. 1 и 2 число степеней свободы к = 3. При р1 > 0 существует три варианта выбора.
1. Если й < йь, то статистика й значима и гипотеза, что все р5 = 0, отвергается.
2. Если й > йи, то статистика й незначима и гипотеза, что все р5 = 0, принимается.
3. Если йь < й < йи, то определённый вывод сделать нельзя.
При отрицательном значении коэффициента автокорреляции р1 < 0 пересчиты-вается значения й' = 4 - й и применяются затем приведённые выше варианты выбора.
Данные проверки построенных моделей на гетероскедастичность с помощью метода Дарбина-Уотсона сведены в табл. 3.
Таблица 3
Статистика Дарбина-Уотсона при проверке на гетероскедастичность
Номер модели п Статистика Б 4, Ли Р1 Гомо-/гетеро-скедастичность
Медь 1 78 1,488 1,41 1,565 0,182 гетеро
2 78 2,072 1,41 1,565 -0,081 гомо
Серебро 3 126 0,693 1,53 1,63 0,643 гетеро
4 126 0,6536 1,53 1,63 0,674 гетеро
Цинк 5 52 0,94 1,31 1,515 0,49 гетеро
6 52 0,8225 1,31 1,515 0,58 гетеро
Только у модели (2) вариация остатков незначительна на однопроцентном уровне значимости. Остальные модели необходимо улучшать, вводя новые переменные более высоких порядков или переходя к другим нелинейным моделям. Как видно из сравнения данных табл. 2 и 3, метод Дарбина-Уотсона, используемый для проверки регрессионных моделей на гетероскедастичность, более требователен к , .
Для степени обеззараживания питьевой воды ионами меди наибольшую значимость по критерию Фишера дает уравнение вида
К = 1,102-0,331п+0,226(/п020,5531пс+0,0084(/пс)2+0,891ш+0,326(/пт )2; для ионов серебра вид уравнения следующий:
К = - 0,2535В2+3,0115В-1,5827,
где В = 47,041с~°'31Т-0,811/т; Г=0,984е0,035';
для ионов цинка уравнения имеет следующий вид:
(3)
(4)
К
0,364 - 0,8 с + 0,134 с2 + 0,0121* + 0,1127 т.
(3) (4) . 4.
5- ,
превышает значение квантиля Фишера. Скорректированный коэффициент детерминации данных экспериментов и значений, рассчитанных по уравнению регрессии Я , приведён в скобках в первом столбце табл. 4. Модель (5) с использованием ионов цинка имеет меньшую значимость, чем имеет уравнение, приведённое . 2.
(5)
Таблица 4
Значимость моделей для степени обеззараживания
Модель Источник Сумма квадратов Число степеней Дисперсия
Ионы меди 2 1>р=0,968) Регрессия 76,019 6 12,67
Остаток 2,56 71 0,036
Вариация 78,58 77 -
Критерий Фишера Модели 351,374 Теоретический 3,73
Ионы серебра 2 1>р=0,949) Регрессия 179,63 3 59,878
Остаток 4 122 0,033
Вариация 183,63 125 -
Критерий Фишера Модели 1823 Теоретический 19,5
Рекомендуется выбор лучшей модели осуществлять в следующей последовательности: коэффициент парной корреляции между данными эксперимента и модели, значимость уравнения регрессии по критерию Фишера, наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации, проверка модели на условие гетероскедастичности по критериям Уайта и Дарбина-Уотсона.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дрововозова Т.И., Игнатьев ММ., Гутенёв В.В., Денисов В.В. Основы энергосберегающей технологии фотохимического обеззараживания воды и напитков на её основе. Монография. - Новочеркасск: НГМД, 2006. - 196с. - Деп. в ВИНИТИ. Ш414-В2006.
2. Дрейпер Н.Р., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. - М.: Диалектика, 2007. - 912 с.
3. Фёрстер Э., Рёнц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. - М.: Финансы и статистика, 1983. - 302 с.
4. Ниворожкина Л.И., Кокина ЕМ., Кравцов В.Б. Эконометрическое моделирование с использованием пакета программ «Econometric Views». - Ростов-на-Дону: РГЭУ, 2005. - 108 .
Игнатьев Михаил Викторович
Новочеркасская государственная мелиоративная академия (НГМА).
E-mail: [email protected].
346428, . , . , 111.
Тел.: 88635222714; 88635242960.
Игнатьев Виктор Михайлович
- ( ).
E-mail: [email protected]. 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132. .: 88635255628.
Ignatjev Mihail Viktorovich
Novocherkassk State Land Reclamation Academy. E-mail: [email protected].
111, Pushkinskay street, Novocherkassk, 346428, Russia. Phone: +78635222714; +78635242960.
Ignatjev Viktor Mihailovich
Higher Professional Education «South Russia State Technical University». E-mail: [email protected]
132, Prosvechniy street, Novocherkassk, 346428, Russia. Phone: +78635255628.
УДК 621.315
В.Л. Земляков
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И КОНТРОЛЯ ПАРАМЕТРОВ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РЕЗОНАТОРОВ
Получены соотношения и предложены новые методы определения и контроля параметров пьезоэлектрических резонаторов.
Пьезокерамический элемент; преобразователь; пьезоэлектрический резонатор; оп-.
