CC BY
38
ISSN 222Б-3780
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ — ПРИКЛАДНЫЕ АСПЕКТЫ
УДК 536.24
Ю. О. Кобринович РЕГИОНАЛЬНО-СТРУКТУРНЫЙ
И СТРУКТУРНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
Регионально-структурный и структурно-разностный методы позволяют впервые строить структуры решения, точно удовлетворяющие нелинейным граничным условиям и условиям сопряжения, преобразовать дискретную информацию в регионально-аналитическую, решить проблемные вопросы в визуальной аналитике.
Ключевые слова: регионально-структурный метод, математическое моделирование.
1. Введение
Регионально-структурный метод относится к методам математического моделирования и имеет широкую область применения. Он является базой для новых подходов при получении региональноаналитических решений краевых задач для областей неканонической формы, в том числе — для структурно-разностного метода. Также, как и сплайны по отношениям к полиномам, регионально-базисные функции в краевых задачах более естественный аппарат приближения, чем структуры решения для всей области в целом. Регионально-структурный метод эффективно решает задачу распараллеливания геометрической и физической информации. Коэффициенты при региональных базисных функциях могут быть получены как функции от физических параметров математической модели физического процесса.
2. Постановка проблемы
Обзор мировой научной литературы показал, что существуют проблемные вопросы, которые в силу принципиальных математических трудностей не могли быть решены численными методами. Например:
1. Невозможность построения компьютерных континуальных моделей из-за дискретного принципа работы цифровой техники. Дискретная симуляция описывает только феномены, но не фундаментальную природу.
2. Рост количества численных данных (160 терабайт в год, для хранения которых необходимо 100 000 терабайт дискового пространства), опережает развитие алгоритмов обнаружения знаний в базах данных (KDD) и способов их сжатия.
3. В области визуальной аналитики нет инструментария для синтеза визуального решения из частных решений сложной задачи.
4. В сложных случаях численное моделирование приводит к решениям с недопустимой
погрешностью. В качестве альтернативы применяются модели на основе аналогий или феноменологические модели, которые не приближают к понимаю моделируемых процессов, а в промышленности является источником перерасхода средств и потенциальных аварийных ситуаций. Необходим метод, способный преобразовывать дискретную информацию в непрерывную с учетом законов и свойств моделируемого объекта. Этому требованию отвечает регионально-структурный метод и базирующийся на нем структурно-разностный метод.
3. Основная часть
3.1. Анализ литературных источников по теме исследования. Регионально-структурный метод был разработан профессором А. П. Слесаренко [1]. Целью создания регионально-структурного метода было преодолеть недостатки, в том числе принципиального характера, структурного метода (метода R-функций), созданного В. Л. Рвачевым.
Как излагается [2], метод R-функций применим для решения краевых задач любой формы, однако, он встречает те же трудности, что и полиномы. Регионально-структурный метод при решении краевых задач более эффективен, по аналогии, как сплайны по отношениям к полиномам. S-функции, применяемые в регионально-структурном методе, позволяют решать обратную задачи дифференциальной геометрии, в то время как R-функции позволяют решать задачи только аналитической геометрии.
В нынешнем развитии регионально-структурного метода преобладают направления:
1. Новые численно-аналитические методы решения прямых и обратных краевых задач [1, 3].
2. Задачи управления: управление образованием форм [4], управления процессами нагрева-охлаждения [5—6].
3. Визуальная аналитика, решение обратных геометрических задач [7].
technology audit and production reserves — № 5/2(7), 2012, © I. Kabrinavich
математическое моделирование — прикладные аспекты
ISSN 222Б-37В0
4. Обработка дискретной информации [6], организация баз данных на новых принципах [8].
3.2. Результаты исследований. На базе регионально-структурного метода и разностных схем повышенного порядка точности разработан структурно-разностный метод [9], с помощью которого моделировались быстропротекающие высокоградиентные тепловые процессы с нестационарными граничными условиями, включая процессы с тепловым ударом и осциллирующими условиями теплообмена на поверхности конструкций элементов [i0].
Для структурно-разностного метода исследована устойчивость разностных схем и найдено спектральное условие устойчивости Неймана [9]. Исследована роль управляющих функций, входящих в опорные функции [ii] и дана их физическая интерпретация.
литература
1. Cлесаренко А. П. Развитие алгебрологического метода и его приложения к многомерным нелинейным задача теплопроводности для однородных и композитных сред [Текст] : автореф. дис. ..д-ра физ.-мат. наук: 0i.04.i4, 0i.0i.02 / А. П. Слесарен^. — М., i984. — 36 с.
2. Рвачев В. Л. Теория R-функция и некоторые ее приложения [Текст] / В. Л. Рвачев. — Киев : Наук. думка, i982. — 552 с.
3. ^есаренко А. П. Математическое моделирование тепловых процессов в телах сложной формы при нестационарных граничных условиях [Текст] / А. П. Слесаренксі // Пробл. машиностр. — 2002. — Т. 5, № 4. — C. 72—80.
4. ^есаренко А. П. Математическое моделирование регионального управления образования форм и сложных поверхностей тел [Текст] / А. П. Слесарен^ // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. — 20ii. — № 4/4(52). — C. 52—58.
5. ^есаренко А. П. Моделирование и управление нестационарными температурными режимами при ограничениях на управление и скорость нагрева [Текст] / А. П. Слесарен^ // Доповіді НАН України. — 2009. — № 2. — C. 83—88.
Б. ^есаренко А. П. Регионально-аналитические преобразования данных при моделировании и прогнозировании тепловых процессов [Текст] / А. П. Слесарен^, А. C. ^рока, C. Ю. Загоруйко // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. — 20ii. — № 4/4(52). — C. 28—3i.
7. ^есаренко А. П. S-функции в обратных задачах дифференциальной геометрии и управлении образования форм [Текст] / А. П. Слесарен^ // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. — 20ii. — № 3/4(5i). — C. 4i—46.
8. Мацевитый Ю. М. Численно-аналитическое моделирование и идентификация теплообмена в панелях модулей негерметичных космических аппаратов [Текст] / Ю. М. Мацевитый, А. П. Слесарен^, А. О. Костиков // Электронное моделирование. — 2006. — Т. 28, № 6. — C. 3—i6.
9. ^есаренко А. П. Cтруктурно-разностный подход к математическому моделированию высокоскоростных тепловых процессов с нестационарным теплообменом на поверхности конструктивных элементов [Текст] / А. П. Слесарен^, Ю. О. Кобринович // Проблемы машиностроения. — 20ii. — Т. i4, № i3. — C. 66—75.
10. ^еваренко А. П. Математическое моделирование высокоскоростных тепловых процессов при точном учете нестационарных осциллирующих условий теплообмена на поверхности конструктивных элементов [Текст] / А. П. Слесарен^, Ю. О. Кобринович // Вісник Кременчуцького нац. університета. — 20ii. — Т. 5(70) — C. 35—38.
11. Кобринович Ю. О. Консервативные структуры решения в математическом моделировании высокоскоростного осциллирующего теплообмена [Текст] : сб. тезисов докладов междунар. конф. / Ю. О. Кобринович // ^временные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях. — Харьков : «Апостроф». — 20i2. — C. 58.
регіонально-структуровий та структурово-різни-цевий метод у математичному моделюванні
Ю. О. кобринович
Регіонально-структуровий та структурово-різницевий методи дозволяють вперше будувати структури рішення, що точно задовольняють нелінійним граничним умовам та умовам сполучення, перетворювати дискретну інформацію на регіонально-аналітичну, вирішити проблемні питання у візуальній аналітиці.
ключові слова: регіонально-структуровий метод, математичне моделювання.
Юлія Олегівна Кобринович, аспірант, відділ моделювання та ідентифікації теплових процесів, Інститут проблем машинобудування НАУ України ім. А. М. Підгорного, тел.: (093) 734-84-22, e-mail: Kobrinovich.jul@mail.ru.
REGIONAL-STRUCTURAL AND STRUCTURAL-DIFFERENCE METHOD IN MATHEMATICAL MODELING
I. Kobrinovich
Regional-structural and structural-difference methods allow first to build the solution structures, which exactly satisfied the nonlinear boundary conditions and conjugation conditions, to convert discrete information in regional-analytical information, to solve problems in visual analytics.
Keywords: regional-structural method, mathematical modeling.
Julija Kobrinovich, graduate student of Department for Modeling and Identification of Thermal Processes, the A. N. Podgorny Institute for Mechanical Engineering Problems, NAS of Ukraine, tel.: (093) 734-84-22, e-mail: Kobrinovich.jul@mail.ru.
І 4Б
технологический аудит и резервы производства — № 5/2(7), 2012
