Математическое моделирование тепловых процессов в пространственных конструкциях энергетических устройств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Восточно-Европейский журнал передовым технологий ISSN 1729-3774

—I

к--; сгп::: к--; сгп .;;...!•:::• •!...«

1.1 п .¡и ,•■••:::• л

Базуючись на стльному застосуванш ктцевого тте-грального перетворення, регi-онально-структурового та проек^йного методiв про-понуеться нова методологiя математичного моделювання теплових процеыв просторо-вих конструкцш енергетичних пристрогв

Ключовi слова: математич-не моделювання, регiональнi структури розв'язку, Б-функ-ци

□-□

На базе совместного применения конечного интегрального преобразования, регионально-структурного и проекционного методов предлагается новая методология математического моделирования тепловых процессов в пространственных конструкциях энергетических устройств

Ключевые слова: математическое моделирование, региональные структуры решения, Б-функции

УДК 536.24

I---

математическое моделирование тепловых процессов в пространственных конструкциях энергетических устройств

А. П. Слесарен ко

Доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, лауреат Государственной премии Украины Отдел моделирования и идентификации тепловых процессов* Контактный тел.: (057) 3-49-51, 096-386-30-22 Ю.О. Кобринович Аспирант* Контактный тел.: 093-734-84-22 E-mail: Kobrinovich.jul@mail.ru А.А. Марченко Аспирант*

*Институт проблем машиностроения А.М. Подгорного НАН Украины ул. Дм. Пожарского, 2/10, г. Харьков, Украина, 61046

1. Постановка проблемы решения трехмерных задач теплопроводности

Представленные в данной статье научные исследования относятся к математическому моделированию тепловых процессов в пространственных элементах конструкций, цилиндрическая (призматическая) поверхность сложной формы которых перпендикулярна к двум параллельным плоскостям, образующим нижнее и верхнее основание пространственного элемента. Приводится методология решения обратной задачи дифференциальной геометрии с помощью S-функций применительно к точному учету геометрической информации об элементе конструкции в региональных структурах решения задачи теплопроводности в области преображений.

Математическое моделирование тепловых процессов в элементах машин, аппаратов и энергетических устройств, находящихся в условиях стационарного теплового режима, сводится к решению трехмерных задач теплопроводности с определенными краевыми условиями (условиями взаимодействия рассматриваемого теплового элемента с окружающей средой).

Решение трехмерных стационарных задач представляет собой значительно более трудную проблему, чем решение двухмерных стационарных задач. Известные классические методы (методы Фурье, инте-

гральных преобразований, функций Грина, конформных отображений и др.) часто позволяют получить точные решения для тел простой геометрической формы (шар, параллелепипед, конечный цилиндр и т.п.) в виде медленно сходящихся рядов и трудно вычислимых квадратур, неудобных для инженерных расчетов. Применение же этих методов к телам сложной формы связано с математическими трудностями принципиального характера.

В данной статье предлагается новый подход к решению трехмерных стационарных задач теплопроводности, сочетающий в себе возможности конечных интегральных преобразований, регионально-структурного и проекционного методов.

2. Постановка проблемы математического моделирования тепловых процессов в пространственной конструкции магнитопровода силового трансформатора (анизотропная среда)

Увеличение единичных мощностей и классов напряжения трансформаторов выдвигается задачу о достоверности расчета нагрева элементов конструкции трансформаторов.

В связи с этим возникает необходимость в совершенствовании методики расчета тепловых полей в

© АЛ. Слесаренко, Ю.О. Кобринович, А.А. Марченко, 2012

различных частях трансформаторов, в частности, в магнитопроводе.

В тепловом отношении магнитопровод представляет собой неоднородную и анизотропную систему. Стальные листы магнитопровода, обладающие высокой теплопроводностью и сравнительно малой теплоемкостью, чередуются с изоляционными прослойками с малой теплопроводностью. Передача тепла в магнитной системе происходит путем теплопроводности от более нагретых внутренних частей к наружным поверхностям, отводящим тепло.

Магнитная система трансформатора омывается трансформаторным маслом, которое переносит тепло от нагреваемых частей (передача тепла происходит путем естественной либо принудительной конвекции).

Математическое моделирование процессов, учитывающее реальную форму и условия взаимодействия пространственной конструкции магнитопровода с охлаждающей движущейся средой, представляет большой технический интерес.

3. Цель работы

=и

Эй

+ Ь и

ЧЭу02 У

= У.

(3)

Применим к уравнению (1) и граничным условиям (3) конечное интегральное преобразование (4)

а

и(х,у, у) = | у) и(х,у^^ (4)

0

Тогда в области изображений для краевой задачи (1) - (3) получим

=-^+Ш0,у)-(5)

и| = К

^ ди , -+ Ь02 и

= У,

(6)

где Р = | К^, у )Fdz,

0

а

£1 = | f01K(z, у

Разработка новой методологии математического моделирования тепловых процессов в пространственных элементах конструкций с учетом возможностей конечных интегральных преобразований, регионально-структурного и проекционных методов, совместно применяемых в предлагаемой методологии. Показать эффективность применения результатов решения обратных задач дифференциальной геометрии для пространственных элементов конструкций с помощью 8-функций в регионально-аналитических структурах решения задач теплопроводности в области изображений, а так же представимость формы решения трехмерных задач в регионально-аналитическом виде.

у = К^, у

Для решения задачи (5) - (6) используем регионально-структурный метод [1]. Структуру решения согласно результатам данной работы ищем в виде

иш(х,у, у) = Х с/чу )Х01)(х,У),

и2п(х,у, у ) =Ф0(Х,У, У ) +

+1 С(1)(у )Х02)(х,у) + £ Ц2)(у )Х(12)(х,у).

1 .л и

(7)

4. Совместное применение конечного интегрального преобразования и регионально-структурного метода для решения трехмерных задач теплопроводности

Пусть рассматриваемая область Ф ограничена плоскостями z = а и z = 0и цилиндрической (призматической) поверхностью 8 = Б01 и 802, образующие которой перпендикулярны к данным плоскостям. Пусть удельную мощность источников энергии в области Ф характеризует функция ю(х,у^). На плоскостях z = а, z = 0и поверхности 802 происходит теплообмен (по закону Ньютона) со средой определенной температуры, а на поверхности Б01 поддерживается заданная температура и| = £.

Расчет температурного поля в этом случае сводится к решению трехмерной краевой задачи теплопроводности

Применяя формулу обратного конечного интегрального преобразования [2,3] решение краевой задачи (1) - (3) получаем в виде [4].

М^у^ = £ U1n(x,У, У т )

т=1

U2n(x,У,z) = Е и2п(х^ У т )

} К2^, у m)dz 0 _

|К2(^У m)dz

К(^У т),

(8)

К^, У т),

Если вместо граничных условий (3) в задаче (1) (3) будет условие

ди — + Ь и ду

= У

(9)

то решение задачи для уравнения (5) с граничным условием

Ди(х,у^) = -Р(х,у^),

ди

эи+Ьи

= £а, - Ь0и

= £

(1)

(2)

ди

— + Ь и ду

= У

(10)

ищем в виде

5

5

-1

т=1

5

5

z=0

ш(х,у, у) = £ С/Чу )х(01),

и2(х,у, У) = Фо +Х С(2)(у )х(12) + (11)

+1 С(1)(у){х(01) - «о лю? [DÍO)x(01) - ЬхГ]}>

где Фо(х,у,у) = -(юо лю2,

V = р(а(1)х + Ь(1))р(а(2)у + Ь(2)),

V = Р(а(3)х + Ь|3))Р)(а(4)у + Ц4»!,

Р(а(1Ч + Ь(1)) - полиномы Чебышева, Лежан-дра и т.п., масштабированные при 1 = 1, 2 в области □1 = 001 и002 (поперечное сечение рассматриваемого тела),

а при к=3, 4 - масштабированные в области 002 (граничная зона области □1 );

«0 /= «0 + «2 -^ю^ + ю44к -Р1 ехр^(ю^ + ю44к)] -S-функция [5-7],

р1 = ю-^; р2 = ю^2к; к = 2,4,...; к = 4,5...

5. Основные материалы исследования

По данным теплофизических характеристик производственного объединения «Запорожтрансформа-тор», расчет трехмерного стационарного теплового поля в пространственной конструкции магнитопро-вода силового трансформатора сводится к решению следующей трехмерной задачи теплопроводности

Э2Т .. Э2Т .. Э2Т _2

ЭТ+Ху ЭТ+Х* Э*Т-вТ= -р

эт

— + ВьТ

Эх а

^+В1Т

,зу а .

=

= 1а,

дТ - В10Т

= 101,

[ЭТ _Эу - В102Т = 1 • 02 у=0 [ЭТ ] .ЭТ + В1ьТ *=ь

[ЭТ _э* - В103Т = 1 *=0

На стенках у = а), Ху* = Ху;а на стенках * = Ьк, X у* = Ху; vjk - направление внешней нормали к поверхности

V

Значения для а и Т1ср (аа = а4;аа =а5;аь = а6)при-ведены в табл. 1, а схема пространственной конструкции магнитопровода, по данным ПО «Запорожтранс-форматор», представлена на рис. 1 (размеры даны в миллиметрах).

Таблица 1

Значения а* и Т*

1 1 2 3 4 5 6

а* 80 100 50 120 90 40

Т.С р 70 60 70 60 65 60

Применим к уравнению (12) и граничным условиям (14) интегральное преобразование

(12)

(13)

(14)

Т(У,у, г) = |Т(х, у,*)К(у, х)ах ,

(15)

где К(у,х) = cos(yx) + В01у 1 s1n(yx) , а у = ут корни уравнения

Шт) = (В1а + В101)У т (Ут - В^ )-1.

Рис. 1. Упрощенная схема пространственной конструкции магнитопровода силового трансформатора

В области изображений получим

д2т + Х Э2Т (т2+в2)т р*.

э7+Х*- а*2" х*-т=-р1'

(16)

где

ЭТ -

-+ В1..Т

= ВиТ-к = £=к; Т = Т(х,у,*) = Т/Г;1;

Т0 = 10С; Ху = X у X-1; X* = Х*Х-1; р2 = Ц0ВХ-1; Ц0АХ-1 = Б;

В1к=ак^; 4 = В1кТсрк; х=х^-1; у = у^-1; *=

- характерный размер;

Хх = 3 Вт м-1 град-1; Ху = 20 Вт м-1 град-1; X* = 20 Вт м-1 град-1; А =1.006; В = 0.0003 Т0-1; = qy*P1; q = 2 Вт кг-1ж; у* = 7600 кг м-3; Р1 = 0.96; - стенки сквозных отверстий магнитопровода.

ЭТ + В1Т

Эу а

ЭТ

ЭТ + В1ьТ

—+В1)кТ

= 1а;

= 1ь;

=V

ЭТ- - В102Т

Эу 02

—-В103Т Э* 03

= 102,

у=0

= 103,

где Б* = (Ху)-1 [Б - ^(0, у) + ^ОД у)]

(17)

х=а

х=0

у=а

ь

5

*=0

5

Структуры решения задачи (16), (17) для области, сопряжения (непрерывность по функции и тепловым

представленной на рис. 2, построим в виде

Рис. 2. Сечение пространственной конструкции магнитопровода силового трансформатора

т1(у ,у,г) = Ф(„1)(у ,у,г) + Х с(1)(У )Х(1)(У ,у,2), 1

т2(у,у,/) = Ф„2)(У ,у,2) + Х с(2)(у )х(2)(У ,у,2), (18)

1

тк(у ,у,г) = т^у + 12(у ,у,г)^ 2(2) + ю2кФк(у ,у,2),

где 2=3,4,...,7, ^(2) = (Ь2 - 2)2 (22 + Ь2 - 3Ь1)(Ь2 - Ь1 )-3, ^2(2) = (2-Ь1 )2(3Ь2-Ь1 -22)(Ь2-Ь1) 3,

юк| Гк = „; ю2 > „; (у,2) е^2,

х!1)(у ,у,2) = С Ц |сЬ(р2) + р-1в^ь(р2)} к2(ц„у), Ф„1)(У ,У,2) = X С ц |(?„3 - Bi„3N) Р^Ь^) - ^ ^(ц^у), ^(Щ, У) = соэ^у) + В^ц-1 sin(ц1y), ц - корни уравнения

) = К + В^2- BiaBi„2 )-1, N = ^ рт2=-Р "(^Г^,

рт,=(т т+в2+хуц2

= - ^адю + -^(а, ц),

а

^1* = | ^(ц^у,

потокам) вдоль границ контакта регионов.

Для отыскания неопределенных компонент С{2) (2=1, 2) и С(2) (2=3, 4,..., 7) можно применить метод Бубнова-Галеркина или Ритца.

Решение задачи (12) - (14) получим с использованием формул обратного конечного интегрального преобразования [3,4,8].

Для контроля точности расчетов для ПО «Запо-рожтрансформатор» было получено точное решение задачи теплопроводности для параллелепипеда („ < х < d; „ < у < а; „ < 2< Ь) (анизотропная среда) в виде

т1 11 г - 1

Т(х,у,2) = XXС I СцТ(ут,ц,2)К2(Ц1 ,У) К^ут,х) (19)

где СТ =

т=„ 1=„

'а

|К2(у,х)ах , Сц= |К2(ц,у)ау

Тт1(Т т, Ц1,2) = Лт

сЬ(Рт12)+

Рт1

+- - N

Рт1

^(3 = ^„3ЕуЕц, -Ь = ^ЬЕу Ец,

БТ = у-1 sin(y а) - у-2В^1 cos(y а) - у-2В^1, Ец = ц-1 зт(ц а) - Ц-2В^2 cos(ц а) - Ц-2В^2,

N = ХЕ(^ )-1 [^Еу + №(„, ут) - №(а, у т)] +

+ХуЕТ (^ )-1 [1„2К2<„, Ц1)+^(а, ц)], = Рт1 (-4 + N В1ь )-(13 + N В1„3 )(Рт1еЬ(Рт1Ь> + В1ьзЬ(рт1Ь))

(рт + Ш„3ШЬ) зЬ(Рт1Ь) + Рт^Ь + В1„3) СКРт1Ь) .

6. Вычислительный эксперимент

Программа, разработанная на базе точного решения (19) в качестве параметров содержала

а, ь, а, Хх, V а„ а2, тСр, о„л=О1, о„в=о.

х12)(у,У,2) = Сц ■! сЬ(Р2)-[р ^(рЬ) + ШьСЬ(рЬ)] sh(pz) I к2(Ц1 ,у), Результаты расчетов по формуле (19) при

[р сЬ(РЬ) + В^Ь(рЬ)]

а = „.933, Ь = 4.43, а = 1.16, у2 = „.931 К , 22 = „.433 К, т1 = 11 = 99, L = 1м (х = 1.16)при-

ведены в табл. 2. В нижних строках ячеек таблицы приведены результаты расчетов температуры (маг-нитопровод без сквозных прямоугольных полостей)

Ф2(Т,У,2) = ХС<2)(у)Р1(2)(у)Р^2)(2), P1(y),Ps(z)- по- , „, . =. .

/ 1 и; а ч/> по формуле Т(х,у,2) =ХСу Т(ут,у,2)К(ут,х) для 45

линомы Чебышева для соответствующих регионов (областей 02 ).

Структуры решения задачи (18) точно удовлетво-

координатных функций при р=99.

В этом случае решение задачи (16), (17) сводилось

ряют уравнению в регионах □1, 02 (рис. 2) и условиям к решению задач о минимуме функционала

+

т=„

X ||

н»>=и

0 а

К 12 + (у2-Р2) и - 2РТ

dzdy + £ Xк | Bikй2dГк;

к=1 Гк

=И+ху дф0-(у2-Р2 )Фо.

Таблица 2

Распределение температуры в магнитопроводе трансформатора при х=1,16

у0 у, у4 у„ у8

60,954 88,991 90,957 90,960 89,049

60,543 86,403 91,587 92,557 90,105

ч 63,257 101,507 104,479 104,405 101,606

62,936 103,175 107,301 107,972 105,901

ч 63,685 104,430 107,699 107,698 104,581

63,877 105,797 111,501 110,986 105,300

63,292 101,809 104,768 104,897 101,967

62,976 103,670 107,672 108,443 103,367

61,078 89,965 92,160 92,040 90,023

61,237 86,354 89,681 90,813 86,761

Структура решения для Т выбиралась в виде

Т = Фо + П; и = 1 ^(у^у^);

Фо = ш

где

I ^кШ-1

1Ш-1

Хй = Фп-ш Dl ф„ + ю Wфij; W =

I BikШk1

£1 = 1»; 11 = 1»; 11 = 1»; 11 = 1»; 11 = 1»;

Фз= Р(2 »-1у -1)^(2 bk1z-1);

ш = у(я - у)й-1 лz(b - z)bk1; ш1 = » - у; ш2 = у;

ш3 = Ь-z; ш4 = z; Pi,Pj- полиномы Чебышева.

Коэффициенты ) определялись из системы Ритца [11] для соответствующих В^ь, Еь.

Выводы

Предложенная в статье методология математического моделирования тепловых процессов в пространственных элементах конструкций позволяет на новом качественном уровне проводить диагностику и прогнозирование тепловых режимов в трехмерных системах.

Применение конечных интегральных преобразований позволяет прийти к решению серий двухмерных задач в области изображений. Регионально-структурный метод позволяет строить регионально-аналитические структуры решения, универсальные относительно изменения входящих в них теплофизических и геометрических параметров моделей, описывающих тепловые процессы в пространственных элементах.

Регионально-структурный метод позволяет учитывать и результаты, полученные экспериментальным путем.

Решение обратных задач дифференциальной геометрии с помощью S-функций применительно к проблеме учета геометрической информации на аналитическом уровне в региональных структурах решения задач теплопроводности позволяет впервые получить непрерывно-дифференцируемые базисные регионально-аналитические функции для областей практически любой заданной формы.

Литература

1. Слесаренко, А.П. Развитие алгебрологического метода и его приложения к многомерным нелинейным задачам теплопроводности для однородных и композитных сред [Текст] : автореф. дис. ...д-ра физ.-мат. наук : 01.04.14, 01.01.02 / А. П. Слесаренко.

- М., 1984. - 36 с.

2. Диткин, В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление [Текст] / В.А. Диткин, А.П. Прудников. - М.: Наука, 1974. - 524 с.

3. Положий, Г.Н. Уравнения математической физики [Текст] / Г.Н. Положий. - М.: Высшая школа, 1964. - 559 с.

4. Слесаренко, А.П. О решении смешанных трехмерных задач теплопроводности для областей сложной формы [Текст] / В кн.: Смешанные краевые задачи и вопросы математического моделирования. - К., 1975. - С. 153- 161.

5. Слесаренко А. П. 8-функции в обратных задачах аналитической геометрии и моделировании тепловых процессов [Текст] / А. П. Слесаренко // Вост.-Европейский Журнал Передовых Технологий. - 2011. - № 3/4(51). - С. 41—46.

6. Слесаренко А.П. 8-функции в обратных задачах дифференциальной геометрии и управлении образования форм [Текст] / А.П. Слесаренко // Вост.- Европ. журнал передовых технологий. - 2012. - №1/4 (55) - С. 4 - 10.

7. Слесаренко А.П. 8-функции в построении консервативных структур решения геометрических обратных краевых задач [Текст] / А.П. Слесаренко // Вост.- Европ. журнал передовых технологий. - 2012. - №2/4 (56) - С. 60 - 66.

8. -Слесаренко, А.П. Розв'язок тривимiрноi крайово! задачi теплопровщност для тша, обмеженого цилшдричною поверхнею складно! форми [Текст] : ДАН УРСР. Сер. А. - 1974 - №7. - С. 643 - 646.

9. Канторович, В.Л. Приближенные методы высшего анализа [Текст] / В.Л. Канторович, В. И. Крылов - М.-Л.:Физматгиз, 1962.

- 695 с.

»ь

-1

к=1

к=1

-1

к=1

к=1

Abstract

The article represents the effectiveness of the S-codes in the regional-analytical structures of thermal conductivity problems decision by giving the example of calculation of stationary thermal field of the magnetic conductor of a transformer.

The finite integral transformation, regional-structural and projection methods are applied for jointly decision. Decision structures exactly satisfy the thermal conductivity equation in the regions and the junction conditions of the contact boundaries, and include S-codes, accurately accounting the geometry of the studied area. Regional-analytical structures are universal regarding the model parameters. Thus, it is possible to use them for multivariate diagnosis and forecasting of thermal conditions in three-dimensional structures. Results of a decision can be represented in an approximate analytical form, so that a compact database of thermal behavior of structures can be created.

Regional-analytical decision structures in boundary-value problems have more natural approximation apparatus than analytical structures have in a single expression, which makes them a useful tool for modeling of compound objects

Keywords: mathematical modeling, thermal processes, regional-structural method, regional-analytical decision structure, S-codes

□

Запропоновано пiдхiд до оцтки оптимального рiвня якостi проектног продукци за допомо-гою ттегрованих показнитв якостi прийнятих проектних ршень з урахуванням проектног спе-цiалiзацiг. Використання запропонованого спе-щального математичного апарату дозволить скласти такий план розробки проектног документации (забезпечення проектними ршення-ми), що мае оптимальний рiвень якостi

Ключовi слова: ятсть, проектна продукщя,

транспортна задача

□-□

Предложен подход к оценке оптимального уровня качества проектной продукции с помощью интегрированных показателей качества принимаемых проектных решений с учетом проектной специализации. Использование предложенного специального математического аппарата позволит сфрормировать такой план разработки проектной документации (обеспечения проектными решениями), которая имеет оптимальный уровень качества

Ключевые слова: качество, проектная продукция, транспортная задача -□ □-

1. Вступ

Яккть npoeKTHo'i продукци е складною катего-рieю. При цьому, загальними вимогами щодо якоси npoeKTHo'i продукци слщ вважати: вщповщшсть при-значенню або сфepi застосування; вщповщшсть обг-рунтованим потребам i очжуванням замовника; вщ-повщшсть НПА; вщповщшсть вимогам сустльства; вщповщшсть вимогам eкoлoгiчнoï безпеки й охорони навколишнього середовища; ефектившсть технологи проектування.

УДК 006.85:658.5

п1дх1д до оц1нки оптимального р1вня

якост1 проектноТ

продукци

I.В. Л аз ь к о

Завщувач групою стандартизаци та управлшня якютю ТОВ <^мтехнолопя» Старший викладач, кандидат техшчних наук Северодонецьке вщд^ення 1нститут пюлядипломноТ осв^и та дистанцшного

навчання

СхщноукраТнський нацюнальний уыверситет iM. Володимира Даля пр. Космонавлв, 18, м. Северодонецьк, УкраТна,

93400

Контактний тел.: (0645) 705-095, (06452) 3-77-32 E-mail: standart_himtex@mail.ru

У вщповщносп i3 ДСТУ Б А.2.4-4:2009 [1] проектна продукщя - це розроблеш i затверджеш у встановлено-му порядку текстовi та графiчнi матерiали, якими виз-начаються техшчш, мiстобудiвнi, об'емно-плануваль-Hi, архиектурш, конструктивна технолопчш рiшення, а також кошториси об'eктiв будiвництва.

Таким чином, проектна продукщя являе собою опис проектних ршень у встановлених нормами та правилами формах проектно! документацп. Як правило, яюсть проектно! продукцii залежить вiд яко-стi та оптимальностi проектних ршень, що прийма-

©