Реализация в пространстве состояний интервальных линейных динамических систем: метод граничных реализаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.95+681.51

С.Ю. Калинкина, С.Г. Пушков

Реализация в пространстве состояний интервальных линейных динамических систем: метод граничных реализаций

Введение

Задачу реализации мы вынуждены решать на самых ранних этапах моделирования любого динамического процесса. Эта задача состоит в построении модели пространства состояний для динамической системы с известным соотношением между ее входными и выходными сигналами. В процессе сбора информации об изучаемом объекте мы часто сталкиваемся с неопределенностями и неоднозначностями в данных, возникающих из-за ошибок округления, погрешностей измерений, использования приближенных чисел и т.д. Эти неопределенности можно учесть, представив параметры объекта в виде некоторых множеств. В том случае, когда эти множества представляют собой интервалы, мы будем иметь дело с интервальной неопределенностью.

Интервальные методы используются как для анализа статических систем (см., например: [1]), так и для решения проблем управления динамическими системами (см., например: [2-4]). Многие задачи математической теории управления допускают естественную ’’интервализа-цию” путем замены вещественных параметров и/или переменных на соответствующие инте[>-вальные. Большинство этих интервализованных задач оказываются вполне адекватными и интерпретируемыми с точки зрения практических приложений. Не исключением является и рассматриваемая в данной работе проблема реализации.

Описание классической проблемы реализации можно найти в [5]. Проблему реализации для интервальных динамических систем и виды таких систем мы рассматривали в [6]. В данной работе основное внимание будет сосредоточено на нахождении алгебраических реализаций интервальных динамических систем с помощью метода граничных реализаций.

Далее будут использованы следующие обозначения:

- а,Ь,... ,А, В,... - векторы и матрицы с вещественными значениями;

- а, Ь,... - интервалы и векторы с интервальными элементами;

- А,В,... - матрицы с интервальными элементами;

-а, а-нижняя и верхняя границы интервала а соответственно, т.е. о = [а, а];

- КМ - классическая интервальная арифметика;

- , А%,... - неотрицательная последовательность интервальных матриц, т.е. матриц, состоящих из интервалов, обе границы которых неотрицательны;

- А\, ,... - неположительная последова-

тельность интервальных матриц, т.е. матриц, состоящих из интервалов, обе границы которых неположительны.

1. Проблема реализации для интервальных динамических систем

Определение 1. Интервальной линейной стационарной динамической системой с дискретным временем (с т входами, п состояниями и р выходами) будем называть такую систему [Е] = (Г, в, Н), динамическое поведение которой описывается уравнениями

( •

х(1 + 1) = Гх(<) + <?«(/), у(1) = Нх(1),

х(0) = х0 € К", < = 0,1,2,...,

где к(<) е ПГ\ *(<).*(< + 1) € К", у(<) € Кр, « понимать как семейство математических моделей

х(< + 1) = Рх(<) + С«(<), у(/) = #*(<),

х(0) = хо€К", < = 0,1,2,...,

матрицы (.Р, б1, Н) которых принадлежат заданным интервальным матрицам (Р,С,Н), т.е.

р е ^ е тпхп, беве т"хт, я е н е

В статье [6] задача реализации для интервальных динамических систем была сформулирована следующим образом: для заданной последовательности интервальных матриц размера р х т

{АьА21...}, А, £ ПКр*т, .’=1,2........ (1)

определить размерность п и тройку интервальных матриц (^, С, Н) таких, что выполняются интервальные уравнения

А, = НГ’_16, 1=1,2,..., .

где Р е №ПХ",С е ПКПХШ,Я е ПКрхг>, а матричные произведения выполняются справа налево, т.е. сначала вычисляется произведение РС, затем Р(РС) и т.д.

Данную задачу мы далее будем называть задачей алгебраической реализации, а тройку интервальных матриц (Р,С,Н) будем называть алгебраической интервальной реализацией.

С другими видами интервальных динамических систем, а также с различными вариантами задач реализации для интервальных систем можно познакомиться в [7].

2. Метод граничных реализаций для полностью неотрицательных систем

Рассмотрим проблему вычисления точной конечномерной реализации для интервальной последовательности матриц (1). В некоторых частных случаях эта проблема может быть успешно решена.

С импульсной последовательностью интервальных матриц можно связать две обычные (вещественные) импульсные последовательности, определяемые верхними и нижними границами интервальных матриц.

Определение 2. Для последовательности интервальных матриц

{Аь Аг,...} = {[Ль Л1], [Лг, Аг],...} (2)

реализации последовательности

М1, А-2, ...}

будем называть нижними граничными реализациями последовательности (2), а реализации по-следовательнос.ти

{Лх, А2,...)

будем называть верхними граничными peaJ^uзa-циями последовательности (2).

В рамках интервальной арифметики (классической и полной) не выполняется закон дистрибутивности операций сложения и умножения интервалов. Однако этот закон имеет место, если операции проводятся с неотрицательными интервалами, т.е. интервалами с неотрицательными границами. Это позволяет сформулировать следующее утверждение.

Предложение 1. Если для нижней и верхней граничных реализаций одинаковой размерности (£,(?, Я) и (Е,С,Н) некоторой последовательности интервальных матриц выполняется

1) £,<2,//, £ С^Н - неотрицательные;

2) £<^,С< С,Я < Я, _

то интервальная система ([£, Р], [•£,(?], [Я, Я])

является интервальной точной (алгебраической) реализацией этой последовательности.

Доказательство этого предложения можно найти в [6].

Часто оказывается, что найденные граничные реализации не удовлетворяют условиям предложения 1. Но подходящим выбором базисов пространств состояний граничных реализаций часто можно добиться того, чтобы граничные реализации удовлетворяли условиям предложения 1. Легко доказывается следующее утверждение.

Предложение 2. Если для граничных реализаций одинаковой размерности (Е_,С,Н_) и (Р,С,Н) некоторой последовательности интервальных матриц найдутся такие матрицы Т1 и Т2, что выполняются неравенства

где

£< г,а<с,к< Я,

Р = Т1 £Т1~1,2 = Т1 £, Я = £Т1“1, (3)

(4)

£ Ё,6,Н - неотрицательные, то интер-

вальная система ([£, Р], [6, 6], [Я, Я]) является интервальной алгебраической реализацией этой последовательности.

Таким образом, решение задачи реализации для интервальных полностью неотрицательных систем может быть осуществлено с помощью следующего алгоритма.

Алгоритм 1.

1. Находим нижнюю и верхнюю граничные реализации одинаковой размерности для заданной импульсной последовательности интервальных матриц.

2. Если найденные граничные реализации удовлетворяют условиям предложения 1, то соответствующая интервальная реализация и будет искомой, иначе переходим к шагу 3.

3. В соответствии с предложением 2, с помощью преобразований подобия (3)-(4) попытаемся найти эквивалентные (с точностью до изоморфизма) граничные реализации, для которых условия предложения 1 выполняются.

Пример 1. Рассмотрим интервальную импульсную последовательность для системы с одним входом и одним выходом:

А] = [0.2,0.5], А, = [1,2], (5)

Аз = [1.22,4.25], А4 = [1.564,9.5].

Граничные реализации, вычисленные с помощью метода, представленного в [8], имеют вид

*=и, -им?).

н = { і о),

Л ) 'Э= ( “о5 )•

я = ( 1 о ) .

Очевидно, эта пара не удовлетворяет условиям предложения 1. Применив к этим реализациям преобразования подобия

т-=(б !)'Т’=0 ?)■

мы получаем другую, эквивалентную исходной, пару реализаций в наблюдаемой канонической форме:

£=(ол і‘0'й=(0>2)'А=(1 0)'

?=(о°5 2)'5=(°25)'5=(1 0)'

Легко проверяется, что интервальная система, составленная на основе этих граничных реализаций, т.е. система с матрицами

( [0,0] [1Д] Ї ( [0.2,0.5] \ #=(

[0.1,0.5] [1-2,2] ) [І-2! )' \

Я = ( [1,1] [0,0] ),

является интервальной реализацией исходной интервальной последовательности.

Следует заметить, что граничные реализации последовательности (5), полученные с помощью методов, представленных в работах [8, 9], сразу удовлетворяют условиям предложения 1.

3. Интервальная реализация полностью неположительных систем

Данный подход к вычислению алгебраических реализаций можно использовать также для импульсных последовательностей полностью неположительных матриц. Для этого необходимо ввести в рассмотрение интервальную последовательность, симметричную относительно нуля исходной полностью неположительной последовательности. Заметим, что полученная последовательность будет являться полностью неотрицательной, а ее интервальная реализация будет отличаться от искомой лишь знаками в матрице

С, либо в матрице Я. Изложим эти рассуждения в виде следующего алгоритма.

Алгоритм 2.

1. Образуем симметричную относительно нуля последовательность матриц

{[-Аь - А]], [-Лг, — Л2],..

2. Для полученной последовательности матриц с помощью алгоритма 1 вычисляем интервальную реализацию (.Г, С?, Я).

3. Строим реализацию исходной полностью неположительной последовательности, в качестве которой могут быть системы (Л<\ -С, Я) или (Г, С,-Я).

Пример 2. Рассмотрим интервальную импульсную последовательность для системы с одним входом и одним выходом:

А! =[-0.3,0], Аз = [-0.7, -0.6],

Аз = [-2.016,-1], А4 = [-5.62,-1.7].

Симметричная относительно нуля последовательность имеет вид:

А, =[0,0.3], А, = [0.6,0.7],

Аз = [1,2.016], Ал = [1.7,5.62].

Реализация полученной неотрицательной последовательности матриц имеет вид:

V •

[0,0] [1,1] ^

056,1.147] [1.667,2.389] / '

« = ( [0°6°037] ) • А = ([М1 !».«])'

Искомую интервальную реализацию можно найти двумя способами:

1) заменим Я на — Я:

Ь_( [0,0] [1,1] ^

^ [0.056,1.147] [1.667,2.389] ) '

Й=([К$])' « = < 1-1-Ч [1.01)1

2) заменим 6 на — 6:

Р-( Ю.о]

V, [0.056,1.147] [1.667,2.389]

<5 = ( [Л.?;-о.в] )• » = (!■• ч М>-

Легко проверить, что обе эти интервальные реализации эквивалентны и являются реализациями исходной последовательности.

4. Реализация интервальных последовательностей ’’смешанного” типа

В случае ’’смешанных” интервальных систем, т.е. систем, в которых присутствуют и отрицательные и положительные элементы, можно использовать следующую модификацию метода граничных реализаций.

Разложим исходную импульсную последовательность интервальных матриц (2) на неположительную и неотрицательную последовательности:

{А1,Ла,...} = {АГ,ДГ,...}+{Л?,А?>...}, где А~ и А+ (г = 1,2,...) - отрицательная и

= \-H-G-.-H~G-] = -\H~G~.H-G-] = = -(н-о-) = -(-а1) = а;.

Тогда

НС= = А\

Аналогично

НРС = (-Я я+)

= (-Я- я+)

о о

о

г+

с-с+

положительная части матрицы А,. Последова- . + + +ч + +

л — / — — л [г Ст ) -}- .га (г Сг ) — Л? Л.п — А. 2 ■

Л2 } (которая является ПОЛ- ' 7 у I л л

ностью неполоя%ительной) будем называть отрицательной частью последовательности (2). Аналогично последовательность {А^.Аз,...} (которая является полностью неотрицательной) будем называть положительной частью последовательности (2).

Имеет место следующий результат.

Предложение 3. Если для положительной и симметричной относительно нуля отрицательной частей последовательности матриц (2) существуют неотрицательные интервальные алгебраические реализации (Р+, С?+, Н+) и (Р- ,6", Н~) соответственно, то интервальная система (.Г, С?, Я) с блочными матрицами

Пусть

я^-‘с=(-я- н+)(о" £) (

= -Я-(0,'“1С~-!-Я + (*’+),'-1С+ = АГ+А+ =

сг

1 ~

= А<-

Тогда

ЯГС=(-Я' Я+)

Г" О

о г+

в

с+

)-

£)■«=(£)■

(6)

«-1

Я = ( -Н- )

является интервальной алгебраической реализацией последовательности (2).

Доказательство. Заметим, что согласно

= (-»- я+)(о~ °+) (££) =

= -Я“(0,'-1(Р"С-)+Я + (^+)‘-1(*,+С+) = = -я-(г-)*с-+я+(^+)<с;+ = А-+1+А++1 = = А,-+1.

Этим завершается наше доказательство по

условиям предложения 3 интервальные мат- индукции.

Заметим, что в соответствии с теоретико-

ны. Кроме того, для г = 1,2,... имеют место системной терминологией система (6) является не чем иным, как параллельной композицией систем (Р+,С+,Н+) и (Г-,СГ,-Я-).

Пример 3. Рассмотрим интервальную им-

соотношения

Я-(Г“)’-1С- = -А~,Н+(Р+)‘-1С+ = А+,

где все матричные произведения выполняются пульсную последовательность для системы с од-

справа налево. Тогда, пользуясь теми же свой- ним ВХ°Д°М и одним выходом.

А, = [-3.2,-2.5], А3 = [1,1.75],

Аз = [-0.3,0.875], А4 = [1.2,2.8].

Образуем неположительную и неотрицательную составляющие этой интервальной последовательности:

Ау = [—3.2, —2.5], А7 = [0,0],

ствами неотрицательных интервальных матриц, которые использовались при доказательстве предложения 1, имеем

я<з = (-я- н+) = -яс-+я+с?+

Очевидно

-я- с- = [-1Г, -#!][-£:, -С~] =

А3- =[-0.3,0], Л4-=[0,0],

А+ = [0,0], Л+= [1,1.75],

А.} = [0,0.875], = [1.2,2.8].

Реализации неположительной и неотрицательной интервальных последовательностей имеют вид:

[0,0] [0,1] \ /[2.5,3.2] \

* “V [0,0.094] [0,0] у ’ V [0,0] )'

Н~ =([-1,-1] [0,0]),

+ _( [0,0] [1,1] \ а¥_( [0,0] \

Е ~ \ [1.2,1.35] [0,0.5] У*1' - V [1,1.75] ^

Применяя (6) получим искомую интервальную реализацию:

[0,0] [0,1] [0,0.094] [0,0] [0,0]

[0,0]

[0,0]

[0,0] [0,0] \

[0,0] [0,0]

[0,0] [1,1]

2,1.35] [0,0.5] )

а =

( [2.5,3.2] [0,0] [0,0]

V [1,1-75]

Я+ = ([ 1,1] [0,0]).

я = ([-1,-1] [0,0] [1,1] [0,0]).

Шарый С.П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределенностью // Известия РАН. Теория и системы управления. 1997. №3.

Смагина Е.М, Моисеев А.Н. Слежение за полиномиальным сигналом в интервальной динамической системе // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3. №1.

Ивлев Р.С., Соколова С.П. Построение векторногоуправления многомерным интер-вально заданным объектом // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4. №4.

4. Богомолов А.С., Сперанский Д.В. Об одной разновидности задач стабилизации линейной дискретной системы // Автоматика и телемеханика. 2002. №9.

Литература

5.

3.

8.

9.

Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М., 1971.

ПушковС.Г. Проблема конечномерной реализации для интервальных динамических систем // Известия АГУ. 2003. №1.

Пушков С.Г., Кривошапко С.Ю. О проблеме реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9. №1.

Пушков С.Г. Об алгоритме конечномерной реализации // Автоматика и телемеханика. 1991. №10.

Пушков С.Г. Конечномерные реализации импульсной характеристики, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы // Известия РАН. Теория и системы управления. 2002. №3.