Об одном методе реализации в пространстве состояний динамических систем над нечеткими треугольными числами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 15, № 2, 2010

Об одном методе реализации в пространстве состояний динамических систем над нечеткими треугольными числами

В. А. Кожухарь Вийский филиал Алтайского государственного университета, Россия

e-mail: [email protected]

С. Г. Пушков Оренбургский государственный университет, Россия e-mail: [email protected]

Рассматривается задача реализации для линейных динамических систем с дискретным временем над нечеткими треугольными числами. Обобщается подход к решению проблемы реализации для класса интервальных динамических систем. Вводится понятие линейной динамической системы с дискретным временем над нечеткими числами. Предлагается метод нахождения нечеткой алгебраической реализации для последовательности матриц над нечеткими треугольными числами. Представленный метод иллюстрируется численными примерами.

Ключевые слова: динамические системы, задача реализации, пространство состояний, нечеткие треугольные числа.

Введение

В работе рассматривается проблема построения модели пространства состояний по данным о поведении вход-выход линейной динамической системы с параметрической неопределенностью в виде нечетких треугольных чисел. Для решения этой проблемы был использован подход, рассмотренный в работе [?] для интервальных динамических систем с дискретным временем. Любое нечеткое число можно рассматривать как интервальное, наделенное некоторой структурой, поэтому предлагаемое исследование является распространением подхода к решению проблемы реализации для класса интервальных динамических систем на класс систем над нечеткими числами.

Проблема построения модели пространства состояний, в классической теории систем известная как проблема реализации, для класса линейных стационарных динамических систем с дискретным временем успешно решается в рамках алгебраического подхода [?], некоторые вычислительные модификции которого развиты в [?, ?]. Общесистемные аспекты проблемы реализации достаточно полно освещены в монографии [?].

В работе [?] была предпринята попытка распространить подход к анализу общих систем [?] на класс нечетких систем, а в [?] исследованно понятие нечеткой линейности для класса нечетких динамических систем. В [?] был получен достаточный критерий

© ИВТ СО РАН, 2010.

алгебраической реализуемости для линейных динамических систем над нечеткими числами. Вместе с тем при построении надежных методов вычисления конечномерных реализаций возникают существенные трудности. Алгебраические свойства множества нечетких чисел (и треугольных в том числе) в рамках естественной нечеткой арифметики, основанной на принципе распространения, не являются достаточно "хорошими". Они не образуют таких удобных алгебраических структур, как кольцо или поле. Множество нечетких чисел, как и обычная интбрв^льнсш арифметика, является коммутативной полугруппой относительно сложения и умножения. Это приводит к тому, что даже стандартные алгебраические задачи в данном случае становятся очень сложными, а задача реализации для заданной импульсной последовательности матриц над нечеткими числами является практически неразрешимой.

Указанные нечеткие арифметики допускают "улучшения", но при этом теряются естественная интерпретация операций и практическая применимость результатов. Предлагаемый в работе подход к решению задачи реализации для линейных систем над нечеткими числами основан на погружении множеств входных сигналов, состояний и выходных сигналов нечеткой системы в расширенные нечеткие пространства.

Заметим, что техника погружения алгебраических структур в структуры с более мощными алгебраическими свойствами является стандартным методологическим приемом решения многих алгебраических задач. Кроме того, эта техника удачно применялась как для решения систем интервальных алгебраических уравнений [?], так и для исследования проблемы реализации интервальных динамических систем [?].

Далее будут использованы следующие обозначения: R — множество действительных чисел, FR — множество нечетких чисел, FRpxm — множество матриц с нечеткими числами размерности p х т.

1. Естественная нечеткая арифметика

В данном разделе рассмотрено несколько основных понятий из теории нечетких чисел, которые будут полезны в дальнейших построениях [?-?].

Определение 1. Нечеткое число A на вещественной прямой R есть нечеткое множество, характеризующееся функцией принадлежности ßA'

ßA : R ^ [0,1].

Определение 2. Нечеткое число A на R называется выпуклым, если для любых действительных чисел x,y,z G R таких, что x < y < z,

ßA(y) > ßA(x) Л ßA(z),

где Л означает min.

Нечеткое число A унимодально, если условие ßA(x) = 1 справедливо только для одной точки действительной оси.

Часто для определения выпуклых нечетких чисел используют множества уровня а.

Определение 3. Множество уровня а нечеткого числа A есть непустое множество, обозначаемое через Aa и определяемое как

Aa = {x \ßA(x) > а} , 0 < а < 1.

Определение 4. Носитель Г^ нечеткого чиела А есть множество, определяемое как топологическое замыкание специального случая множества уровня следующим образом:

ГА = {х\цл(х) > 0}.

А

1

А = у аАа.

а=0

При решении задач математического моделирования нечетких систем часто используются нечеткие числа (Ь — Я)-тппа. Нечеткое число (Ь — Я)-тппа может быть задано с помощью функции принадлежности (Ь — Я)-тппа, удовлетворяющей свойствам

Ь(—х) = Ь(х), Я(—х) = Я(х), Ь(0) = Я(0) = 1,

где Ь и Я — невозрастающие функции на множестве неотрицательных действительных чисел.

Нечеткое унимодальное число А является нечетким числом (Ь — Я)-типа тогда и только тогда, когда

/ \ _ Г Ь((а — х)/а для Ух < а, а > 0, Цл(х) =\ Я((х — а)/в для Ух > а, в > 0,

а а, в

нечеткости соответственно. Нечеткое унимодальное число (Ь — Я)-типа можно представить в виде тройки параметров А = (а, а, в)• Частным случаем нечетких унимодальных (Ь — Я)

А

тельных чисел

(а, а, в) (а — а < а < а + в) с функцией принадлежности

^а (х)

хх а \ аа г -|

-, х € [а — а, а],

а

х а в г /-)!

---, х € [а, а + в],

-в

0.

а а в

Функция принадлежности такого числа имеет вид треугольника. Часто под нечеткими треугольными числами понимают числа, у которых функции принадлежности не обязательно являются линейными, но могут быть любыми монотонными и дифференцируемыми функциями.

Пусть А ж В — нечеткие числа в К, и * — бинарная операция, определенная на К. Одним из способов нечеткого доопределения основных арифметических операций является следующее соотношение (■принцип распространения):

1^л*в(х * у) = цл(х) А ¡1в(у), (1)

где А означает шт. Если в (1) бинарную операцию * заменить обычными арифметическими операциями +, —, х и то можно получить соотношения для этих операций

над нечеткими числами. Предполагая, что А ж В — нечеткие числа в К, согласно (1) имеем

1л+б(х + у) = ¡л(х) Л ¡б(у),

Ил-б(х - у) = Цл(х) Л ¡1б(у),

Илхб(х х у) = ¡1л(х) Л иб(у),

¡л^б(х/у) = 1л(х) Л ¡б(у).

При этом нечеткие числа, полученные применением операций +, —, х к выпуклым нечетким числам, есть выпуклые нечеткие числа.

Эти определения можно использовать для любых нечетких чисел, однако для выпуклых нечетких чисел удобнее рассматривать множества уровня а.

Если Аа и Ва — множества уровня а выпуклых нечетких чисел А и В соответственно, то множества уровня а есть интервалы в К, являющиеся специальными выпуклыми нечеткими числами, степени принадлежности которых равны 1 на х € Аа и 0 в остальных случаях. Используя идентичность разрешимости, операции над нечеткими числами можно выразить в виде

1

А + В = у а (Аа + Ва),

а=0 1

А - В = у а (Аа - Ва),

а=0 1

А х В = у а (Аа х Ва),

а=0 1

А - В = и а (Аа - Ва).

а=0

Известно, что семейство действительных чисел образует поле относительно обычных операций сложения и умножения. Но для выпуклых нечетких чисел не существует обратных и не выполняется закон дистрибутивности. Поэтому множество выпуклых нечетких чисел не образуют таких алгебраических структур как кольцо или поле.

2. Расширенная нечеткая арифметика

Перейдем к построению расширенной нечеткой арифметики. Будем рассматривать нечеткие треугольные числа, т.е. числа, имеющие представление (а,а, в), и строить расширенную нечеткую арифметику (ЖЖК, +,т), где +, 7 — операции сложения и умножения, определенные на нечетких треугольных числах в расширенной нечеткой арифметике.

Рассмотрим поле действительных чисел (К, +, ■) и возьмем некоторую взаимнооднозначную функцию / : К ^ К. Определим операции ф и ® таким образом, чтобы / являлось изоморфизмом систем (К, +, ■) и (К, ф, Для этого должны выполняться равенства

а ф в = / (/-1(а) + /-1(в)), (2)

а ® в = /(/-1(а) ■ /-1(в)). (3)

/(х) = х

а ф7 = а + 7, а ® 3 = а ■ /3.

Определение 6. Расширенная нечеткая арифметика — это алгебраическая система (ЖЖК, +,з), носитель которой — множество всех нечетких треугольных чисел вида (а; а, 3), а операции + и з определены следующим образом:

(а1, а1, 31)+(а2, а2, /У = а + а1 ф а2, 31 ф /У, (а1, а1, 31)з(а2, а2} /У = (а1 ■ а2, а1 ® а2, ® 32).

При таком задании операций арифметика ЖЖМ. будет коммутативной, ассоциативной и дистрибутивной. Роль нулевого элемента будет выполнять нечеткое треугольное число (0, 0, 0), роль единичного элемента — нечеткое треугольное число (1,1,1). Для произвольного нечеткого треугольного числа А = (а, а, 3) противоположным числом будет

—А = (-а, -а, -3) и обратным элементом — А-1 = (1,1,1

аа

Не обязательно для построения расширенной арифметики брать в качестве основной функцию /(х) = х. Построение можно вести и с помощью функции /(х) = ех. Эта функция является взаимно-однозначным отображением К на К+. Тогда равенства (2) и (3) примут вид

а ф = а ■ ,

а ®3 = еХп а1п

Роль нулевого элемента будет выполнять нечеткое треугольное число (0,1,1), роль еди-

(1, е, е)

треугольного числа А = (а, а, 3) противоположным числом будет -А = (-а) и

) о а

обратным элементом — А-1 = ( 1 ,е ^ ,е ^

а

(а, а, ) (а, а, )

(а, а, ) (а, а, )

/(х) = х

а = а, а = а - а, 3 = а + в, (4)

а = а, а = а - а, в = 3 - а. (5)

(а, а, ) в естественной арифметике соответствует нечеткое треугольное число (а, а - а, а + в) в расширенной арифметике. Противополож-

(а, а, )

-(а,а - а, а + в) = (-а, -а + а, -а - в),

) 1 1 1

(а, а - а, а + в) =

а а - а а + в

Теперь выполним операции сложения и умножения для чисел (ai, ai, ß\) ж (a2,a2, ß2) в расширенной арифметике:

(ai, ai — ai, ai + ßi) Ф (a2, a2 — a2, a2 + ß2) = (ai + a2, ai + a2 — ai — a2, ai + a2 + ßi + ß2),

(ai, ai — ai, ai + ßi) ® (a2, a2 — a2, a2 + ß2) = = (ai • a2,ai • a2 — ai • a2 — a2 • ai + ai • a2, ai • a2 + ai • ß2 + a2 • ßi + ßi • ß2).

Заметим, что a и ß в расширенной арифметике имеют естественную интерпретацию, они являются левой и правой границей интервала носителя нечеткого треугольного числа ß].

3. Задача реализации для систем над нечеткими числами

Рассмотрим проблему построения модели пространства состояний по данным о поведении вход-выход линейной динамической системы с параметрической неопределенностью в виде нечетких треугольных чисел. Здесь используется подход, предложенный в работе [?]. Нечеткое треугольное число может быть представлено в виде интервального числа с выделенной структурой.

Определение 7. Линейной стационарной динамической системой с дискретным временем, (с т входами, n состояниями и p вы,ходам,и) с нечеткими параметрами будем называть объект Ц}] = (F, G, H), динамическое поведение которого описывается уравнением

x(t + 1) = Fx(t) + Gu(t), y(t) = Hx(t), (6)

где u(t) G Rm, x(t) G Rn, y(t) G Rp, и понимать его как семейство математических моделей

x(t + 1) = Fx(t) + Gu(t), y(t) = Hx(t), (7)

матрицы (F, G, H) которых принадлежат заданным матрицам (F, G, H) над нечеткими числами, т. е.

F G F G FRraxra, G G G G FRraxm, H G H G ¥Rpxn,

со степенями принадлежности ß (F) = minß (fij), ß (G) = minß (gij), ß (H) =

i,j i,j

min ß (hi j) соответственно, где ß (fi j) — степень принадлежности элемента fi j в мат-

i,j

рице F, ß (giyj) — степень принадлежности элемента giyj в ^^^рице G, ß (hitj) — степень

hi j H

мейству (6) в этом случае равна min(ß(F), ß(G), ß(H)).

Задача реализации в пространстве состояний динамических систем над нечеткими треугольными числами состоит в следующем: для заданной последовательности матриц над нечеткими треугольными числам,и

jÄ ь A 2,...J, Ai G FRpxm, г = 1, 2,... (8)

построить тройку матриц (F, G, H) над нечеткими треугольными числам,и таких, что выполняются матричные уравнения,

ii

Äi = HF G, г =1, 2,..., (9)

где F G FRnxn, G G FRnxm, Hg FRpxn

Как было показано вытттв. алгебраические свойства множества нечетких чисел в рамках естественной нечеткой арифметики, как и алгебраические свойства классической интервальной арифметики, не являются достаточно "хорошими". Они не позволяют вос~ пользоваться классическими методами для решения задачи реализации. Чтобы решить данную задачу, необходимо перенести ее из рамок естественной нечеткой арифметики в расширенную нечеткую арифметику, которая обладает более мощными алгебраическими средствами. Подход к решению задачи реализации для линейных систем над нечеткими числами, предлагаемый в данной работе, основан на погружении множеств входных сигналов, состоянии и выходных сигналов нечеткой системы в расширенные нечеткие пространства. В этом случае имеет место следующая диаграмма:

"¿Г -¡Г

П И П-1 п и п-1 п и п-1 г И Г-1

Сг ЛЛ н

На этой диаграмме ЖК означает множество нечетких чисел с обычной нечеткой арифметикой, а ЖЖК — множество нечетких чисел относительно расширенной нечеткой арифметики; п, П и Г — изоморфизмы, индуцированные покомпонентным применением отображения ЖК э (а, а, в) ^ (а,/ (а - а),/ (а + в)) € ЖЖК для некоторой функции / : К ^ К, определяющей расширенную нечеткую арифметику. Применим диаграмму для решения нашей задачи.

Динамическое поведение системы над нечеткими треугольными числами описывается следующими уравнениями:

х(г + 1) = Ёх(г) + &и(г), у(ь) = Нх(г)

или

Ёх(г) + &п(г) е х(г + 1) = 0, н.х(г) е у(г) = 0.

Пусть состояниям системы х(Ь) и х(Ь + 1) в моменты вре мени ¿и Ь +1, управлению и(¿) и выходу у(Ь) соответствуют ^(¿), £(¿+1) 0(Ь) и Тогда, погружая динамическую систему над нечеткими треугольными числами над ЖК в ЖЖК, получим:

п(Ёп-1т) + сп-1т) е п-1(£(1 +1))) = 0, г(нп-1(£(¿)) е г-1Ш)) = 0.

Раскрывая скобки, имеем

пЁп-1 £(г) + пссП-1в(г) е +1) = 0, гнп-1 £(г) е Ф) = 0.

Таким образом, описание динамического поведения погруженной системы над ЖЖК имеет вид

£(г +1) = пЁп-1£(¿) + пссП-1в(г), ф) = гнп-1 £(г).

Отсюда

Ё = пЁп-1, б = пссП-1, Н = ГНп-1.

Следовательно.

при погружении последовательность матриц (8) примет вид

А1 = 50 = гнп-1псс п-1 = гнсс П-1 = ГА хП-1,

А1 = нёс = гнп-1пЁ п-1псс п-1 = гнЁсс П-1 = ГА.2П-1,

А, = нё- (с = гНп-1(пЁп-1)*-1псс П-1 = ГНЁ' 1сс П-1 = ГА,П-1. (10)

Итак, при переходе из расширенной нечеткой арифметики в естественную не всегда получаются нечеткие треугольные числа с положительной величиной нечеткости слева и справа.

Определение 8. Нечеткое треугольное число (а, а, в), полученное при переходе из расширенной нечеткой арифметики в естественную, будем называть правильным, если а > 0 в > 0. В противном случае будем называть его неправильным.

Определение 9. Матрицу над нечеткими треугольными числам,и, полученную при переходе из расширенной нечеткой арифметики в естественную, будем называть правильной, если она, содержит только правильные нечеткие треугольные числа.

Пусть последовательности матриц (8) в расширенной арифметике соответствует последовательность матриц

{Л 1,А2,...} , Аг Е ЕЕЕрхт

Тогда можно сформулировать и с помощью диаграммы доказать следующий результат.

Теорема. Если погруженная последовательность матриц над нечеткими треугольными числами

{А 1, А 2,...} , Е ЕЕЕрхт, г =1, 2,...

реализуема в расширенной арифметике с матрицами (Ё, <5, Н) над нечеткими треугольными числам,и и если соответствующая, им, тройка, матриц (Ё, ((, Н) над нечетким,и треугольными числам,и в естественной арифметике является, правильной, то (Ё, ((, Н) — нечеткая алгебраическая, реализация, исходной последовательности матриц

{А 1, А 2,...}, А г Е ЕЕрхт, г = 1, 2,...

над нечеткими треугольными числам,и.

Доказательство. Применяя диаграмму, получим

Н(( = г-1НПП-1бП = г-1НбП = г-1А 1 п, НЁ(( = г-1 нпп-1Ёпп-1 = г-1НЁоп = г-1Л 2п,

НЁ -1( = Г-1НП(П-1 ЁП)г-1П-1<5П-1 = Г-1НЁг-1<5п = Г-1АгП. Подставим в данные равенства Аг из (10):

Н(( = г-1А 1п = г-1гА 1п-1п = А1, НЁб = г-1А2п = г-1 г А 2п-1п = А 2,

НЁ г-1(( = г-1А гп = г-1гАгп-1п = А ^

Таким образом, тройка матриц (Ё, ((, Н) над нечеткими треугольными числами является алгебраической реализацией последовательности матриц

А1, А 2,... £ , А г Е ЕЕрхт, г = 1, 2,... над нечеткими треугольными числами. □

Заметим, что множество нечетких чисел в расширенной арифметике образует структуру поля, поэтому при вычислении конечномерных реализаций можно пользоваться методами реализации систем над полями, например, алгоритмом Хо [?] или алгоритмом, основанным на псевдообращении ганкелевой матрицы поведения системы [?]. Продемонстрируем применение теоремы на примерах.

Пример 1. Рассмотрим последовательность матриц над нечеткими треугольными числами для системы с одним входом и одним выходом:

Ai = (0, 0, 0.1), A2 = (1, 0.1, 0.1), A3 = (1, 0.19, 0.32), A4 = (2, 0.461, 0.662). (11)

С помощью формулы (4) перейдем от этой последовательности матриц к последовательности матриц в расширенной нечеткой арифметике

Ai = (0, 0, 0.1), A2 = (1, 0.9, 1.1), A3 = (1, 0.81, 1.32), A4 = (2, 1.539, 2.662). (12)

Нечеткая алгебраическая реализация последовательности (12), вычисленная с помощью метода, представленного в [?], имеет вид

*=(ft0Z,) И:^Л)). *=((1:а)■н^^^0»-

Перейдем с помощью формулы (5) в естественную арифметику и получим нечеткую систему с матрицами

F = ( £ 0:10)0. D 1, ^ ) : G = ( £ 0:Ю-0)1) ) : й ^ °)<°:

Непосредственная проверка показывает, что матрицы (13) являются нечеткой алгебраической реализацией последовательности (11).

Данный метод применим не только для положительных нечетких, но и для смешан-пых нечетких треугольных чисел.

Пример 2. Рассмотрим последовательность матриц над нечеткими треугольными числами для системы с одним входом и одним выходом:

A1 = (0, 0 . 22, 0 . 22), A2 = (1, 0 . 412, 0.474),

Aз = (1, 0 . 8222, 1.0108), A4 = (2, 1.52864, 2.03436). (14)

С помощью формулы (4) перейдем от этой последовательности матриц к последовательности матриц в расширенной нечеткой арифметике

Ai = (0, -0.22, 0.22), A2 = (1, 0.588, 1.474),

A3 = (1, 0.1778, 2.0108), A4 = (2, 0.47136, 4.03436). (15)

Нечеткая алгебраическая реализация последовательности (15), вычисленная с помощью метода, представленного в [?], имеет вид

Р= ( (0, 0, 0) (1,1,1) ) * = ( (0, -0.22, 0.22) )

\ (1, 0.638,1.1) (1, 0.541,1.2) J : * V (1, 0.588,1.474)) ' H =((1,1,1) (0, 0,0)).

Если теперь с помощью формулы (5) перейдем в естественную арифметику, то получим нечеткую систему с матрицами

(0, 0, 0) (1, 0, 0) \ G _ / (0, 0.22, 0.22)

(1, 0.362, 0.1) (1, 0.459, 0.2)) , G ^ (1, 0.412, 0.474)

Й _((1, 0, 0) (0, 0, 0)). (16)

Непосредственная проверка показывает, что матрицы (16) являются нечеткой алгебраической реализацией последовательности (14).

Список литературы

[1] Пушков С.Г., Кривошапко С.Ю. О проблеме реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем // Вычисл. технологии. 2004. Т. 9, № 1. С. 75-85.

Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.

Пушков С.Г. О вычислении конечномерной реализации // Кибернетика и системный анализ. 1991. № 6. С. 107-112.

Пушков С.Г. Конечномерные реализации импульсной характеристики, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2002. № 3. С. 5-11.

Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: Математические основы. М.: Мир, 1978.

Пушков С.Г. Об общей теории нечетких систем: Глобальные состояния и нечеткая глобальная реакция нечеткой системы // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2001. № 5. С. 105-109.

Пушков СТ., Тырышкина В.А. Нечеткие динамические системы, линейные над полями // Фундамент, и прикл. математика. 2007. Т 13, № 3. С. 147-155.

Кожухарь В.А., Пушков СТ. О задаче реализации для линейных динамических систем над нечеткими числами // Изв. Алтайского гос. ун-та. Математика и информатика. Физика. 2007. № 1. С. 24-29.

9 [10 [И [12

Шарый С.П. Алгебраический подход во "внешней задаче" для интервальных линейных систем // Вычисл. технологии. 1998. Т. 3, № 2. С. 67-114.

Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

Mizumoto М., Tanaka К. Algebraic properties of fuzzy numbers // Proc. IEEE Intern. Conf. on Cybernetics and Society. USA, Washington, 1976. P. 559-563.

Аверкин A.H., Батыршин И.З., Блишун А.Ф и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. М.: Наука, 1986.

Поступила в редакцию 9 августа 2007 г., с доработки — 20 июля 2009 г.