О задаче реализации для линейных динамических систем над нечеткими числами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.95+681.51

В. А. Кожу харь, С. Г. Пушков

О задаче реализации для линейных динамических систем над нечеткими числами

Введение. Одной из распространенных форм представления для динамических систем теории управления являются модели с пространством состояний. Данная работа посвящена проблеме реализации в пространстве состояний для динамических систем с дискретным временем, параметры и/или объекты которых являются нечеткими числами.

Для класса линейных стационарных динамических систем с дискретным временем задача построения конечномерной реализации успешно решается в рамках алгебраического подхода к проблеме, предложенного Р. Калманом [1], а также подхода, рассмотренного в работах [6,

7, 8]. Но при анализе систем, в которых существенную роль играют сложность и неопределенность, нельзя обойтись без привлечения дополнительного математического аппарата. На первый взгляд, в качестве такого аппарата удобнее всего использовать методы математической статистики и теории вероятностей. Однако, применение для оперирования с неопределенными величинами аппарата теории вероятностей приводит к тому, что неопределенность, независимо от ее природы, отождествляется со случайностью, между тем как основным источником неопределенности во многих процессах принятия решений является нечеткость или расплывчатость. И если учесть, что для сложных систем, кроме знания статистических законов распределения для отдельных величин, характерно также наличие одновременно разнородной информации и, как следствие, присутствие одновременно различных видов неопределенности, возникает необходимость использования для принятия решений такой теории, которая позволяет адекватно учесть имеющиеся виды неопределенности. Поэтому для исследования систем с нечеткостью и неоднозначностью в данных все чаще в качестве эффективного инструмента используется теория нечетких множеств.

Предложенная работа является обобщением подхода к решению проблемы реализации для класса интервальных динамических систем, так как любой интервал можно рассматривать как частный случай нечеткого числа. В ней использован подход, рассмотренный в работе [4] для интервальных динамических систем с дискретным временем.

Далее будем использовать обозначения: М -множество действительных чисел, Мрхт - множество матриц над М размерноети р х ш, ЕМ -множество нечетких чисел, ЕМР т - множество

р х ш

1. Нечеткие числа. В этом разделе рассмотрим несколько основных определений из теории нечетких чисел, которые будут полезны нам в дальнейшем [2, 3].

Определение 1. Нечет,кое число А на вещественной прямой К есть нечеткое множество, характеризующееся функцией принадлежности

НАНА '■ М ^ [0,1].

АМ

называется выпуклым , если для любых действительных чисел х,у, г € М таких, что х < у < г,

Нл{у) > Нл{X Л Нл{г), где Л означает тт.

А

ется нормальным, если выполняется следующее: тах нЛ( х) = 1.

X

А

Нл(х) = 1 справедливо только для одной точки М

Часто для определения выпуклых нечетких чисел используют множества уровня а.

Определение 4. Множество уровня а не-А

обозначаемое через Аа и определяемое как

Аа = {х \нл{ х) > а } , 0<а < 1.

Определение 5. Носитель Га нечеткого А

циальный случай множества уровня следующим образом:

Т'л = {х\цл(х) > 0} .

А

ным, если 0 < а1 < а2 для носителя Га = а, а] Ал ной вещественной прямой.

А

множествам уровня через идентичность разрешимости [2]:

1

А = аАа.

а=0

Пусть А и Б - нечеткие числа в М, и пусть * -

М

рация * может быть распространена на нечеткие АБ

нения:

цл*в(х * у) = цл(х) Л цв(у). (1)

Заменяя * в уравнении (1) обычными арифметическими операциями + , —, х и мы можем получить соотношения для этих операций над нечеткими числами.

Здесь следует отметить [3], что

1) нечеткие числа, полученные применени-

, -, х

слам, есть выпуклые нечеткие числа;

2) выпуклые нечеткие числа не образуют таких алгебраических структур, как кольцо или поле, так как не выполняется закон дистрибутивности, а также не существует обратных не-

х

3) положительные выпуклые нечеткие числа, определенные на положительной вещественной прямой, удовлетворяют закону дистрибутивности и образуют коммутативное полукольцо.

2. Линейные динамические системы над нечеткими числами. Используя подход, рассмотренный в работе [4], перейдем теперь к классу линейных динамических систем над нечеткими числами. Математическая модель многомерного нечетко заданного объекта управления представляется в виде системы уравнений с нечеткими параметрами и понимается как семейство математических моделей многомерных динамических объектов, которые имеют различные степени принадлежности этому семейству. Следуя этому подходу, введем следующее определение.

Определение 6. Линейной стационарной динамической системой с дискретным временем (с ш входами, п состояниями и р выходами) с нечеткими параметрами будем называть

, динамическое поведение которого описывается уравнениями

х(г + 1) = ¥х(г) + Си(г), у(г) = Нх^), (2)

где и{г) € Мт, х(Ь) € М", у{Ь) € Мр и понимать как семейство математических моделей

х(г + 1) = Рх(г) + Ои(г), у{г) = Их(г), (3)

матрицы (Р, О, И) которых принадлежат поси-

,,

ми числами, т.е.

р €?€ ЕМ"х", О ^ € ЕМ"хт, И € Н € ЕМрх",

со степенями принадлежности л (Р) = тт л (/ц),

1,3

Л (О) = тт ц(дз), л (И) = тт л соответ-

г,3 г,3

ственно, где л(/ц) """"" степень принадлежности элемента /ц в матрице Г, л {д%з) ~ сте~ пень принадлежности элемента дц в матрице в, л{Ьгз) — степень принадлежности элемента Нц в матрице Н. Степень принадлежности модели (3) семейству (2) в этом случае равна тт(л(Р),л(О),л(И)).

Данный подход к определению нечетко заданной линейной системы не является единственным и поэтому не может служить в качестве общего определения линейной системы с нечеткой неопределенностью. Далее приведем определения еще двух типов линейных динамических систем над нечеткими числами.

Определение 7. Линейной стационарной динамической системой с дискретным временем (с т входами, п состояниями и р выходами) с нечеткими объектами будем называть объект [^] = (Р,О,И), динамическое поведение которого описывается уравнениями

х(£ + 1) = ^х(^) + Ои(г), у(г) = Их.(г), (4)

где

х(г), х(г + 1 )€ X = ЕМ"; и (г) € и = ЕМт; у(г) € У = емр,

Р € М"х", о € М"хт, И € Мрх".

Определение 8. Линейной стационарной динамической системой с дискретным временем (с т входами, п состояниями и р выходами) с нечеткими объектами и нечеткими параметрами будем называть объект [^] = ,,

описывается уравнениями х(г + 1) = Гх(г) + ви(г); у(г) = Нх(г), (5)

где

х(г), х(г + 1 )€ X = ЕМ"; и€ и = ЕМт;

у(г) € У = ЕМР,

Г € ЕМ"х", в € ЕМ"хт, Н € ЕМрх".

Представленные выше типы динамических систем над нечеткими числами являются примерами обобщения обычных линейных стационарных динамических систем с дискретным временем.

3. Задача реализации для систем над нечеткими числами. С нечеткими системами, представленными определениями 6 и 7, можно связать импульсную последовательность матриц

А< = НГ<-1С, г =1,2,..., (6)

где матричные произведения выполняются справа налево, т.е. сначала вычисляется произведение , затем Г(Гв) и т. д. Этой последовательности матриц можно поставить в соответствие отображение вход-выход.

Для системы с нечеткими параметрами под отображением вход-выход следует понимать семейство отображений /а-. и2+ ^ У 2+, порождаемых соотношениями

г

у(г) = - г),г = !,2,...

1=1

для

Аа е А, е ЕМрхт, г= 1,2,....

Для системы с нечеткими объектами и нечеткими параметрами под отображением вход-выход целесообразно понимать отображение / : иг+ ^ У 2+, порождаемое нечеткими соотношениями

г

У(*) = Л,(* - *), 1= ^2,....

г=1

Для заданного отображения вход-выход нечеткой системы, представленного импульсной последовательностью нечетких матриц, можно поставить задачу реализации. Одной из возможных формулировок задачи реализации для систем над нечеткими числами может быть такая:

для заданной последовательности матриц размера р х т над нечеткими числами

{АьА2, ...}, А, е ЕМрхт, г = 1,2,...

определить размерность п и тройку матриц над нечеткими числами таких, что выполняются уравнения (6), где Г е ЕМ"х", с е ЕМ”хт, Н е ЕМрх”.

Эту задачу будем называть задачей нечеткой алгебраической реализации для систем над нечеткими числами.

Для классического случая рекуррентность заданной импульсной последовательности матриц является необходимым и достаточным условием реализуемости [5]. Для систем над нечеткими числами рекуррентность остается достаточным условием реализуемости.

Определение 9. Будем говорить, что последовательность матриц размера р х т над нечеткими числами

{А!,А2,...}, А; є ¥Мрхт, і = 1,2,... (7)

рекуррентна, если существует такое целое г > О и коэффициенты ві, /32, ...,вг Є ЕМ такие, что

Г

Аг+,+1 = ]Тв;А;+,, = 0,1,2,.... (8)

І=1

Для динамических систем над нечеткими числами, поведение вход-выход которых описывается импульсной последовательностью нечетких матриц, имеет место следующий результат.

Предложение 1. Если последовательность матриц над нечеткими числами (7) рекуррентна, то для нее существует нечеткая алгебраическая реализация.

Доказательство. Пусть исходная последовательность матриц над нечеткими числами (7) рекуррентна с соотношением рекуррентности

,,

которой

/ О I О ... О \

...

... ... ... ... ...

...

V вії &і №... вл / /\

Аз

...

Аг—і Г

... ,

где О — нулевая матрица над нечеткими числами р х р

,,

р х р

,,

а остальные имеют вид (0,0,0); ві, в2, ..., вГ ~ нечеткие коэффициенты рекуррентности из соотношения (8). С помощью метода математической индукции легко проверить, что полученная таким образом система является реализацией исходной последовательности матриц. □

4. Системы над нечеткими треугольными числами. Теперь рассмотрим частный случай систем над нечеткими числами, системы над нечеткими треугольными числами. Нечеткое треугольное число можно представить в виде тройки чисел (а, а, в), где а — центр, а - вели-в

справа. Функция принадлежности такого числа имеет вид треугольника.

Обобщением нечетких треугольных чисел являются нечеткие унимодальные числа (Ь — К)-типа. Нечет,кое число (Ь — К)-типа может быть задано с помощью функции принадлежности (Ь — К)-типа, удовлетворяющей свойствам

Ь(—х) = Ь(х), К( — х) = К(х);

Ь(0) = К(0) = 1,

где Ь и К невозрастающие функции на множестве неотрицательных действительных чисел.

Матрицу

А

четким числом (Ь — К) тогда и только тогда, когда

цА(х) =

Ь((а — Х/а) Д((х — а)/в)

Ух < а, а > , Ух > а, в > О,

где а - среднее значение (центр) нечеткого числа, а а, в - левый и правый коэффициенты нечеткости соответственно. Нечеткое унимодальное число (Ь—К)-типа можно представить в виде тройки параметров А = (а, а, в).

а ,а ,в

А =

а ,а ,в а ,а ,в

а ,а ,в

У (ат1 ,ат1 , в1і) (ат2 ,ат2 ,вт2) ... (а'

(а1 п, а1 п, вп) {a2n, а2n, вп)

тп тп

, вт

элементами которой являются нечеткие треугольные числа, можно представить в виде

последовательности

где

Л =

А= Л, Л, Л

а

а

а

а

ап

ап

ат ат ... атп

матрица, составленная из центров аэлементов матрицы А;

Л

а — а

а — а

а — а аа

ат — ат ат — ат

а п — а п а п — а п

атп ат

матрица, составленная из элементов а— а, матрицы А;

(

Л =

а

а

в

в

а

а

в

в

ап

ап

вп

вп

\

ат

втп /

■ ат2 """Ь1 вт2 ... ат

матрица, составленная из элементов а^ + ма-

трицы А.

С импульсной последовательностью матриц с нечеткими треугольными числами можно связать три обычные (вещественные) импульсные последовательности, определяемые центральными, левыми и правыми границами матриц. Используя сказанное выше, введем следующее определение:

Определение 10. Для последовательности матриц с нечеткими треугольными числами

{А 1, Аз, ...^ = | (А1,А1,А1^ , (A2,A2, Аз) ,... |

(9)

Л , Л , ...

(10)

будем называть центральными последовательностями матриц (9), последовательности

{Л,Л,...}

(П)

\

будем называть левыми последовательностями матриц (9), а последовательности

{Лі, Л2,...}

(12)

будем называть правыми последовательностями матриц (9).

Данное определение может быть обобщено и на случай последовательности матриц над нечеткими унимодальными числами (Ь — Д)-типа.

Заметим, что в рамках алгебры нечетких чисел не выполняется закон дистрибутивности операций сложения и умножения для произвольных нечетких чисел, но закон дистрибутивности выполняется для положительных выпуклых нечетких чисел. Это позволяет нам сформулировать и доказать следующее утверждение.

Предложение 2. Если для последовательности матриц с нечеткими треугольными числами (9) существуют матрицы одинаковой размерности (Р,С,Й^, (Р,0,Й) и (Р,С,Й), для которых выполняется

1) Р,С, Й,Р,С,Й, Р,а, Й - положительные;

2) р < Р < Р,а < а < а,н <

Й < Й, т о нечет кая система (Г, Є,Н) =

К, К, ^ , [й, О, й) , [Н, И, И)), где эле,,

ела (Ь — К)-типа, носители которых есть интервалы = [К, р, Го = \О_, О, Гн =

[Н,Й\), является нечеткой алгебраической реализацией этой последовательности.

Доказательство. Заметим, что для матриц с положительными нечеткими треугольными числами результат произведения двух таких матриц будет также матрицей с положительными нечеткими треугольными числами. Для матриц с положительными нечеткими треугольными числами В = (^Б., Б, Б^ и С = ^С'_, С, име-

ет место

ВС= Б, Б, Б) С, С, С = БС, БС, БС

= А, А, А = А

И,И,И) К,ГК) О,О,О) =

= ИГО,НГО,ИКС) = АоАА = А

И,И,И) К,КГ

г-1

О, О, О) =

= НК-О, НКг—0, НКг—0) =

= А,Аг,Аг) = Аг и т.д. Значит, нечеткая система

К К,К\ , (ОмО) ,(Н,н,'н

является реализацией последовательности (9). □

Часто оказывается, что найденные К, О, И, К, О, И, К, О, И не удовлетворяют условиям предложения 2. Но, если выбрать подходящий базис пространств состояний для К, О, И, К, О, И, К, О, И, то можно добиться того, чтобы К, О, И, К, О, И, К, О, И удовлетворяли условиям предложения 2. Имеет место следующий результат, который является следствием предложения 2.

ие

одинаковой размерноети (^К, О, И) , (К_, О, Я и

(¥,О,Н') некоторой последовательности матриц (9) найдутся такие матрицы Т,Т иТ3, что выполняются условия

(13)

Из-за дистрибутивности операций сложения и умножения положительных нечетких чисел [3] выполняется закон ассоциативности для умножения матриц с положительными нечеткими

ие

Пусть (К, О, И , К, О, Я) и ОК, О, И) реализации одинаковой размерности для по-

ие

1^, О, Я) — реализация последовательности

(Ю), (К, О, Я — реализация последовательности (11), (¥,О,Н — реализация последовательности (12). Используя свойства дистрибутивности умножения матриц с положительными нечеткими треугольными числами, а также соотношение (13), получаем

И, И, И О, О, О ИО, ИО, ИО

где

К < К < К,О < О < О, И < Н < Н,

К = ТгКТ-1, О = Т.О, Я = НТ-1;

К= ТКТ—, О = Т2С, Н = ИТ—; К = т3Кт-1 , О = Т3О, и = ИТ-1-,

К, О, Н, К, О, И, К,О,Н - положительные, то нечеткая система

Г,в,Н =

ООО] , Н,Н,Н

,,

четкие числа (Ь — К)-типа, носители которых

есть интервалы ГР =

К, К

Га =

О, О

Гн —

Н,Н

является нечет,кой алгебраической реализацией этой последовательности.

Таким образом, введенные предложения переводят проблему вычисления нечеткой алгебраической реализации в задачу линейной матричной алгебры.

Пример. Рассмотрим последовательность матриц над нечеткими треугольными числами для системы с одним входом и одним выходом:

А! = (0, 0, 0.1), А2 = (1, 0.19, 0.22),

, . , . , , . , . .

Матрицы, вычисленные с помощью метода, представленного в работе [6], имеют вид

К

1 1 1 0

О

,И

F

.

.

G

О

.

,В=(1 О):

F

.

.

G

.

О

F

F

О

1

..

О

1

..

G

G

.

,В=(1 О):

01

Н=(1 О).

Эта тройка не удовлетворяет условиям предложения 2. Применив к этим матрицам преобразования подобия

Нечеткая система, составленная на основе полученных матриц, т.е. система с матрицами

F

получаем другую, тройку матриц:

1 О .

, , , ,

, . , . , . , .

, T2 =

1 О .

эквивалентную исходной,

G

,,.

, . , .

F

0 1

1 1

G

H

H= ((1,0,0) (0,0,0))

является нечеткой алгебраической реализацией последовательности (14).

Литература

1.

2.

3.

4.

Калман Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб.

- М., 1971.

Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. - М., 1976.

Mizumoto М. Algebraic properties of fuzzi numbers/ M. Mizumoto, K. Tanaka // Proceedings of IEEE International Conference on Cybernetics and Society. - Washington, 1976. №1-3.

Пушков С.С. О проблеме реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем / С.С. Пушков, С.Ю. Кривошапко // Вычислительные технологии. - 2004. - Т. 9. - №1.

5. Sontag E.D. Linear systems over commutative rings: A survey. // Ricerche di Automatika. -1976. - Vol. 7.

6. Пушков С.Г. Об вычислении конечномерной реализации // Кибернетика и системный анализ. - 1991. - №6.

7. Пушков С.Г. Об алгоритме конечномерной реализации / / Автоматика и телемеханика.

- 1991. - №10.

8. Пушков С.Г. Конечномерные реализации импульсной характеристики, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы / / Известия РАН. Теория и системы управления. - 2002. - №3.