Проблема конечномерной реализации для интервальных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.95+681.51

С. Г. Пушков

Проблема конечномерной реализации для интервальных динамических систем

Введение. Интервальные методы и интервальный анализ, которые первоначально возникли как средство учета ошибок округлений при расчетах на ЭВМ [1], стали одним из мощных инструментов для описания и исследования систем с неопределенностями и неоднозначностями в данных [2]. Стандартным методологическим приемом исследования объектов, функционирующих в условиях неопределенности, является рассмотрение семейства объектов, которое определяется принадлежностью параметров этого объекта некоторым множествам. В случае, когда зги множества являются интервалами, мы будим иметь дело с интервальной неопределенностью.

Интервальный анализ, являясь сравнительно молодой областью исследований, находится в стадии интенсивного развития Математические свойства интервального пространства, которое является нетривиально устроенной алгебраической системой, приводит к тому, что даже стандартные алгебраические задачи становятся архисложными. Более того, многие понятия, фигурирующие в стандартном анализе и алгебре, в рамках интервального анализа теряют привычный смысл и поэтому нуждаются в пересмотре и переопределении.

Определенные успехи в применении интервальных методов достигнуты в исследовании статических систем (см., например: [3]). Разработка интервальных методов для решения задач исследования динамических систем находится на начальном этапе развития Тем не менее существует ряд публикаций, в которых представлены результаты по решению некоторых частных задач, связанных с управлением интервальными динамическими системами (см., например: [4-6]).

Далее в данной работе мы будем использовать следующие обозначения: К - поле действительных чисел; ГО. классическая интервальная арифметика; ГО - полная интервальная арифметика (арифметика Каухера).

Классическая проблема реализации состоит в определении модели пространства состояний для динамической системы, заданной своим поведением вход-выход. Поведение вход-выход линейной стационарной многомерной управляемой системы может быть охаракте-

ризовано импульсной последовательностью матриц размера р х т (т - число входов; р - число выходов системы):

В этом случае для заданной последовательности векторов управлений (входной последовательности) и(0), и(1),... выходная последовательность векторов у(0)> 2/(1), ■ ■. определяется соотношениями

Задача реализации для данного класса систем состоит в определении математической модели этой системы в пространстве состояний, которая описывается разностными уравнениями

у(0 = я*(<), (* = 0,1,...), где х(<) и х(<+1) - вектора состояний в моменты времени I и < + 1, соответственно. Определению подлежат матрицы Р, С и Н вместе с их размерностями.

Хорошо известно [7], что задача реализации в этом случае сводится к нахождению тройки матриц (^, б, Я) таких, что

Существует достаточное количество эффективных вычислительных процедур для построения конечномерных реализаций в случае систем над полями [8, 9] и, в частности, над полем действительных чисел К. Данная проблема может быть обобщена также на случай систем над кольцами [10] и даже для систем с «шумом». В последнем случае речь идет о так называемой проблеме приближенной реализации [11].

Интервальные динамические системы. Математическая модель многомерного интер-вально заданного объекта управления обычно представляется в виде системы уравнений с интервальными параметрами и понимается как семейство математических моделей многомерных динамических объектов, параметры которых принадлежат заданным интервальным. Следуя этому подходу, введем следующее определение.

х(< -+■ 1) = /7х(() -I- Си(<),

Лі = НР*-1С, (і =1,2,...).

{Аі,А2, ■. • }•

І

2/(0 = ^2л<и(1 ~ *).(* = 1.2,- •)■ І = 1

МАТЕМАТИКА

Определение 1. Линейной стационарной динамической системой с дискретным временем (с т входами, и состояниями и р выходами) с интервальными параметрами будем называть объект [Ї] г: (F. G Н) динамическое поведение которого описывается уравнениями

s(t + \) = Fx(t) + Gu(t), y(t) = Hx(t), (1)

где. и(1) £ Rm, x(t) 6 R", € Kp. и понимать

кт, семейство математических моделей

x(t + 1) = Fx(t) -f Gu(t), y{t) = tfi(l),

матрицы (F, G, H) которых принадлежат заданным интервальным матрицам (F.G.H), т.е. F Е F Е №nxw, G £ G Є Ш” *т, Не Не

ПР',Х“.

Следует заметить, что данный подход к определению интервально заданной линейной системы не является единственно возможным, не исчерпывает всего многообразия поведения объектом с интервальной неопределенностью и поэтому не может служить в качестве общего определения линейной системы с интервальной неопределенностью. Условно называя определенный выше тип линейной стационарной динамической системой с дискретным BpevieHeM с интервальными параметрами , мы далее приведем определения еще двух типов линейных динамических систем с интервальной неопределенностью.

Определение 2. Линейной стационарной динамической системой с дискретным временем с интервальными объектами будем называть объект Ї = (F,G,H), динамическое поведение которого описывается уравнениями

х(/ + 1) = Fx(t) И- Cu(/), у(t) = Hx(t), (2)

где

х(<),х(< + 1)еХЭ1К’\

и(<) ей = Шт, у(<) € У ^ 1КР, г е тп>(п, с е шяхт, н е

Представленные типы интервальных динамических систем являются примерами обобщения обычных линейных стационарных динамических систем с дискретным временем. Эти гиды далеко не исчерпывают ни всех возможных типов обобщений, ни видов интервальной неопределенности. Например, имеет право на существование множество типов интервальных динамических систем с интервальной неопределенностью поведения, когда равенства в (1)—(3) заменяются на включения. Можно рассматривать промежуточные типы интервальных динамических систем.

Проблема реализации для интервальных систем. С интервальными динамическими системами первого и третьего перечисленных выше типов можно связать импульсную последовательность матриц

І-1,

і = 1,2,..

(4)

Этой последовательности матриц можно поставить в соответствие отображение вход-выход, под которым в зависимости от того, с системой какого типа мы имеем дело, можно понимать в общем случае разные объекты.

Для системы с интервальными параметрами под отображением вход-выход следует понимать семейство отображений /а : (/Е+ —> У2 + , порождаемых соотношениями

I

= .•),(*= 1,2....). (5)

х(«),х(/ + 1) Є X = №", u(<) € U = 1Мт, у(<) Є Y S ИГ.

F є Rnx". G Є p.nXm, Н Є К'”'".

К анализу систем такого типа не применимы методы классической реализации, поскольку X, U и У мы не можем рассматривать как Ш.-модули.

Определение 3. Линейной стационарной динамической системой с дискретным временем с интервальными объектами и интервальными параметрами будем называть объект [S] —

(К, G, Н) динамическое поведение которого опи-

сывается уравнениями

х(/ + 1) = Fx(<) + Gu(i), y(i) = Hx(t), (3)

для

А° S Аі Є Шрхт, і = 1,2,..

(в)

Для системы с интервальными объектами и интервальными параметрами под отображением вход-вход целесообразно понимать отображение / : -► У2 + , порождаемое интервальными

соотношениями

I

У(0 = £ А,и(<-«•),(* = ],2,...). (7)

»=)

Для заданного отображения вход-выход интервальной системы, представленного импульсной последовательностью интервальных матриц, можно поставить задачу построения динамического поведения (I) (или (3)), т.е. задачу

реализации. Одной из возможных формулировок долечи реализации для интервальных систем может быть такая: для заданной последовательности интервальных матриц размера р х т

{А!, А 2,... }, А1е№/хш, 1 = 1,2,.... (8)

определить размерность п и тройку интервальных матриц (Г, С. Н) таких, что выполняются интервальные уравнения (*,), где Г 6 Ш"*". С в 1Р."Х'",Н е ГО',ХП

Очевидно, поставленная задача, которая по сиоей сути является задачей точной реализации, и общем случае является трудно разрешимой. Колее того, в силу ’’плохих” свойств интервальной арифметики ГО она вообще может не иметь решения. Проблема остается таковой и в случае рассмотрения систем над № вместо ГО. Поэтому в данном случае необходимы другие формулировки задачи реализации, в большей степени отвечающие духу систем с интервальными неопределенностями.

Для заданной последовательности интервальных матриц (8) будем понимать уравнение (4) как семейство троек матриц (Р, С, Я) над Ж таких. что

Л^ЯГ-'б', « = 1,2........ (9)

для Л, 6 А; {« - 1,2,...). Тогда можно поставим. целый ряд задач приближенной реализации, среди которых выделим следующие:

1) для подходящего п (которое также нужно определить) определение внешней оценки для ([•', (>,Н), т.е. определение интервальных матриц Р С, Н, содержащих все матрицы Р, С, Я, удовлетворяющие (9) (при определенном значении и);

2) для подходящего п (которое также нужно определить) определение внутренней оценки для (Р(!, Я), т.е. определение интервальных матриц Р. в, Н, содержащих все матрицы Р, О, Я, которые содержатся во множестве решений уравнений (4) (при определенном значении п).

Очевидно, решение поставленных задач не единственно даже для фиксированной размерное ги системы. Наибольший интерес представляют в определенном смысле оптимальные оценки. Очевидным критерием качества интервальных решений в задачах оценивания является степень близости (в том или ином смысле) полученной интервальной оценки к точному множеству решений. Для задач внешнего оценивания такая оптимальность обычно понимается в смысле минимальности по включению, а для задач внутреннего оценивания - максимальности по включению. Причем, нужно быть готовыми к ситуа-

ции, что даже такие оптимальные оценки окажутся неединственными. Например, даже для решения задачи внутреннего оценивания решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений может существовать много максимальных, но не сравнимых между собой решений [12].

Положение еще более усложняется, если ставится задача нахождения реализации минимальной размерности. Здесь мы имеем дело с ситуацией, когда минимизация размерности реализации находится в противоречии с оптимизацией оценок реализации. В связи с этим имеет право на существование целый ряд постановок задач приближенной реализации, являющихся способом разрешения этого противоречия или компромиссного решения.

Граничные реализации. Рассмотрим проблему вычисления точной конечномерной реализации для интервальной последовательности матриц (8). В некоторых частных случаях эта проблема может быть успешно решена. В частности, для неотрицательно определенных интервальных систем можно легко получить одно из возможных решений.

С импульсной последовательностью интервальных матриц можно связать две обычные (вещественные) импульсные последовательности, определяемые верхними и нижними границами интервальных матриц.

Определение 4. Для последовательности интервальных матриц

{Аь Аа,. •. } = {[-4ь А\], [А2, Л2],...) (10)

реализации последовательности

{М,А2,...} (11)

будем называть нижними граничными реализациями последовательности (10), а реализации последовательности

(12)

будем называть верхними граничными реализациями последовательности (10).

Как уже отмечалось ранее, в рамках интервальной арифметики (как классической, так и полной) не выполняется закон дистрибутивности операций сложения и умножения интервалов. Однако этот закон имеет место, когда мы имеем дело с неотрицательными интервалами, т.е. интервалами, обе границы которых неотрицательны. Это позволяет нам сформулировать и доказать следующий результат, касающийся граничных реализаций.

М\ТЕМATMКА

Утверждение 1. Если для нижней и верг-нсй граничных реалитций одинаковой ратернос-11111 {К,0.,Ю и (Г, С, Я) некоторой последова-нииьности интервальных матриц выполняется

I) К: О.-_Н., С±Н - неотрицательные;

-1) Е_ < Р,С. < С!,Н_< 77, то интервальная система ([Я, Я], [С, (5], [ Н_, 77] яьляется интервальной точной (алгебриичес-кой) реализацией этой последовательности.

Доказательство. Легко заметить, что для неотрицательных интервальных матриц (т.е. матриц, все элементы которых являются неотрицательными интервалами), результат произведения двух неотрицательных матриц будет также неотрицательной матрицей. Для неотрицательных интервальных матриц В = [Я,77] и С = [С, Г'] имеет место

ВС = [В, В][С, С] = \tiC.BC].

Кроме того, из-за дистрибутивности олерациП сложения н умножения неотрицательных интервалов выполняется закон ассоциативности для умножения неотрицательных интервальных матриц.

Пусть (Я, С, И_) и (Я, С, Я) - две граничные реализации одинаковой размерности для последовательности интервальных матриц (10). А именно, (£,^Д2 ^реализация последовательности (11), (Г, С, Я) - реализация последовательности (12). Тогда, используя перечисленные выше свойства операции умножения неотрицательных интервальных матриц, получаем

[я, 77] [а, с) = [на, 7777] = [^, л7] = а а,

[К ЩЕ,Я][С, С] = \fJFG.ТГЩ = [Лг,ЯЗ = Аз,

[я. 77] [я: я]‘-'[<2. О] = [нг-'с,Ш‘-'с] =

= [-4,, л7] = А;,

н т^д. Следовательно, интервальная система ([£■ [я, я]) является реализацией по-

следовательности (10), что и требовалось доказать.

(• использованием доказанного утверждения можно строить конечномерные реализации интервальных импульсных последовательностей во многих частных случаях. Алгоритм действий здесь следующий Сначала ищутся граничные реализации одинаковой размерности. Если они удовлетворяют условиям утверждении 1, то соответствующая интервальная реализация будет искомой реализацией заданной импульсной

после юватадьжкти. В прстивним случае с помощью преобразований подобия

F = ПЯП-1, С = ПС Я = ЯП-1

нужно попытаться найти эквивалентные (с точностью до изоморфизма) граничные реализации, для которых условия утверждения 1 выполняются. Во многих случаях такими реализациями являются системы в наблюдаемой или управляемой канонической форме.

Пример. Рассмотрим интервальную импульсную последовательность для системы с одним входом и одним выходом:

Ах = [о,0.1], А2 — [0.81,1.22].

А3 = [0.729,1.574]. А4 = [1.3122,3.2308]. (13)

Граничные реализации, вычисленные с помощью метода, представленного в [13], имеют вид

£=(<,“ i)'s=(o°«i )■*=<1 »>• *-(-£,-10. 5=(°o’)'7i'=<1 ">■ "

Очевидно, эта пара не удовлетворяет условиям утверждения 1. Применив к этим реализациям преобразования подобия, мы получаем другую, эквивалентную исходной, пару реализаций а наблюдаемой канонической форме:

Легко проверяется, что интервальная система, составленная на основе этих граничных реализаций, т.е. система с матрицами

[0.0] [1,1] \

V [0.81,1.1] [0.9,1.2] У ’

^ = ( [0.81,1.22] ) = [°.0] ) •

является интервальной реализацией интервальной последовательности (13).

Следует заметить, что граничные реализации последовательности (13), полученные с помощью методов, представленных работах [8, 9], сразу удовлетворяют условиям утверждения 1.

Заключительные замечания. Последовательное наложение теории и методов реализации интервальных систем потребует развития методов интервальной алгебры Необходим пересмотр и переопределение таких привычных понятий линейной алгебры, как невырожденная матрица, ранг матрицы и т.п. Без решения этих вопросов не удастся получить не только эффективные методы реализации, но и решить вопрос реализуемости заданной импульсной последова-

тельности интервальных матриц. По-видимому, наибольшего прогресса можно достигнуть путем рассмотрения их в ПК и погружения в линейное пространство [12, 14]. Для погружений множеств входных сигналов, состояний и выходных сигналов интервальной системы в линейные пространства удвоенной размерности имеет место следующая коммутативная диаграмма множеств и отображений:

ПВ‘.т G ППГ F ПК" H ПИР

П |t fi-1 П It n-1 lUtrr1 г It г-1

jp 2т Cl M2" F Ж2" H K2P

г hi tv t V X id

jjlim a R:in F M2n Й R2p

К общем случае индуцированные погружени- должны иметь специальный вид. Этого можно

ими отображения /*, О и Я, соответствующие добиться с помощью преобразования подобия

Р. в и Н, являются нелинейными. Однако в ря- для реализации (/\(7, Я), полученной в линей-

де частных случаев можно добиться того, что- ном пространстве,

бы они были линейными. Матрицы Р, С и Я

Литература

]. Канторович Л.В. О некоторых новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений // Сибирский математический журнал. 1962. №5.

2. Оскорбин Н.М., Максимов А.В., Жилин С И Построение и анализ эмпирических зависимостей методом центра неопределенности // Известия АГУ. 1998. №1.

3. Шарый С П Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределенностью // Известия РАИ. Теория и системы управления. 1997.

№з.

4. Смагина Е.М.. Моисеев А.Н. Слежение за полиномиальным сигналом в интервальной динамической системе // Вычислительные технологии. 1998. №1.

;> Ивлев Р.С., Соколова С.П. Построение векторного управления многомерным интер-нальио заданным объектом // Вычислительные технологии. 1999. №4.

I). Шашихин В.Н. Оптимизация интервальных систем // Автоматика и телемеханика. 2000. №1.

7. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.. 1971.

8. Пушков С.Г. Об алгоритме конечномерной реализации // Автоматика и телемеханика. 1991. №10.

9. Пушков С.Г. Конечномерные реализации импульсной характеристики, основанные на псевдообрашении ганкелевой матрицы // Известия РАН. Теория и системы управления. 2002. №3.

10. Sontag E.D. Linear systems over commutative rings: A survey // Ricerclie di Automatic». 1976. №7.

11. Пушков С.Г. Об одном подходе к описанию наблюдаемого процесса линейной динамической системой // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 1.

12. Шарый С.П. Интервальные алгебраические задачи и их численное решение / Дис. ... докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 2000.

13. Пушков С.Г. О вычислении конечномерной реализации // Кибернетика и системный анализ. 1991. .N§6.

14. Шарый С П. Алгебраический подход во «внешней задаче» для интервальных линейных систем // Вычислительные технологии. 1998. Ка 2.