CC BY
37
#11(716) 2019 ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
19
УДК 621.512.001 doi: 10.18698/0536-1044-2019-11-19-25
Реализация и сравнение методов расчета частот собственных крутильных колебаний в поршневых компрессорах
Т.С. Дегтярева1, Г.С. Сурков2
1 МГТУ им. Н.Э. Баумана
2 ЗАО «КРОК инкорпорейтед»
The Implementation and Comparison of Calculation Methods of Natural Torsional Vibrations for Reciprocating Compressors
T.S. Degtyareva1, G.S. Surkov2
1 Bauman Moscow State Technical University
2 ZAO KROK Incorporated
Проблема крутильных колебаний актуальна для поршневого компрессора, так как в процессе его работы возникают переменные крутящие моменты, создающие дополнительные напряжения кручения. Такие колебания особенно опасны при резонансе, когда первая частота собственных колебаний совпадает с гармонической составляющей низшего порядка вынужденных колебаний. Проведен анализ описанных в научно-технической литературе методов расчета частот собственных крутильных колебаний коленчатого вала многорядного поршневого компрессора. Даны рекомендации по выбору метода расчета на различных этапах проектирования. Приведены аналитические зависимости, положенные в основу трех методов: остатка, цепных дробей (метода В.П. Терских) и матричного. Аналитически описаны этапы расчета частоты собственных крутильных колебаний. Представлено разработанное для такого расчета программное обеспечение. Выполнено сравнение результатов расчета для рассматриваемых методов.
Ключевые слова: крутильные колебания, собственная частота, метод остатка, метод цепных дробей, матричный метод, многомассовая система
The problem of torsional vibrations is relevant for reciprocating compressors due to the occurrence of alternating torques that create additional torsional stresses during operation. Such vibrations are particularly dangerous in resonance frequencies when the first natural vibration frequency coincides with the harmonic component of the lower order of forced vibrations. This article analyzes the methods described in the literature for calculating natural torsional frequencies of crankshafts of multirow reciprocating compressors. Recommendations are given on selecting an appropriate calculation method at various design stages. The analytical dependencies that describe three various methods are presented: the iterative method based on moments equation, the method of continued fractions (Tersky's method) and the matrix method. The stages of calculation are described analytically, and the calculation results are compared. The developed computational software is presented.
Keywords: torsional vibration, natural vibrations, iterative method based on moments equation, method of continued fractions, matrix method, multi mass system
20
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
#11(716) 2019
Необходимость расчета крутильных колебаний (КК) обусловлена экспериментальными исследованиями [1-3], которые показали, что КК, возникающие в коленчатых валах (далее валы) поршневого компрессорного оборудования, более опасны, чем изгибные. Это объясняется тем, что при эксплуатации компрессора появляются переменные крутящие моменты, создающие дополнительные напряжения кручения [4, 5].
КК особенно опасны при резонансе, когда одна из частот собственных колебаний совпадает с гармонической составляющей низшего порядка вынужденных колебаний. Резонанс может возникнуть при регулировании изменением частоты вращения вала [6]. Алгоритм расчета КК [7-9] включает в себя определение частот собственных КК приведенной многомассовой системы (ММС) валопровода поршневой компрессорной установки (рис. 1), а также нахождение векторов амплитуд, соответствующих каждой рассчитанной собственной частоте колебаний.
Цель работы — выбор метода расчета частот собственных КК вала многорядного поршневого компрессора.
Для расчета требуемых величин применяют три метода: остатка [10-12], цепных дробей (метод В.П. Терских) [12, 13] и матричный ^К,-алгоритм) [5, 14].
Метод остатка основан на том, что при свободных КК приведенной системы валопро-вода сумма моментов сил упругости отдельных участков вала Е Муп и моментов сил инерции всех колеблющихся масс Е Мин должна равняться нулю:
Н Ь Н Ь-х Ь Ь+х I)
00000000
£ М уп + £ Мин = 0.
(1)
со
^2
С 1-Х
Муп(1-1) Муп I
с/-1
00000000
/
и
1-1
и
Рис. 1. Схема приведенной ММС валопровода поршневой компрессорной установки:
а — сопротивление 1-го участка вала закручиванию;
I — приведенный момент 1-й сосредоточенной на валу массы; ¡г — длина 1-го участка вала приведенной системы; Муп г — момент сил упругости 1-го участка вала
Вначале определяют величину
Е Муп +
+ЕМин = Яг ((г) , где Яг ((Лег ) — остаточный момент при колебаниях ММС валопровода компрессора с приближенно заданной частотой юсг. Если остаточный момент Яг (юсг) не равен нулю, то задают приближенное значение частоты Ш ¡1, вычисляют остаточный момент Яг1 (юс г1) и вновь проверяют условие (1).
После п-го количества попыток находят искомую частоту юс, при которой
Е Муп +Е Мин = Я = о, (2)
где Я — остаточный момент при колебаниях ММС валопровода компрессора с частотой юс.
Колебания г-й массы происходят по гармоническому закону
фг = аг сс>8юt, (3)
где ф, — угол поворота г-й массы; аг — амплитуда колебаний г-й массы.
Чтобы найти значения частот собственных КК в системе, содержащей ] масс (см. рис. 1), необходимо ввести обозначения действующих на г-ю массу моментов сил упругости:
• для участка слева от текущей г-й массы —
Муп (г-1);
• для участка справа от текущей г-й массы —
Муп г;
• для текущей г-й массы — Мин г.
С помощью формул (1)-(3) и зависимостей, приведенных в работах [10, 11], можно подобрать частоту собственных колебаний ММС юс (см. рис. 1), придерживаясь следующего алгоритма:
• определение момента сил упругости участка вала с жесткостью а1 при произвольных значениях относительной амплитуды колебаний а\ и относительной частоты юс1 первой массы (например, а1 = 1, юс1 = 1) по выражению
М1 = М0 - = -;
• вычисление амплитуды второй массы по формуле
+ М1 /хю2х а2 = а1 +--= 1--;
Й
С1
• нахождение момента сил упругости участка вала с жесткостью С2 из соотношения
М2 = М1 - Ьа2 ю^;
#11(716) 2019 ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
21
• определение амплитуды третьей массы а3, момента сил упругости М3 участка вала с жесткостью Сз и т. д. до момента сил упругости М) участка вала за последней массой с жесткостью с;
• если произвольно выбранная частота юс1 окажется равной одной из действительных частот собственных КК ММС, то момент сил упругости М; (М; = Я) должен быть равен нулю, т. е. будет выполнено условие (2);
• если частота юс1 окажется не равной одной из действительных собственных частот ММС, то необходимо задать второе значение для частоты собственных колебаний, повторяя описанный алгоритм до того момента, пока количество найденных частот собственных КК не станет равным ; - 1.
Тогда, согласно ранее принятым обозначениям, для ММС эквивалентной системы справедливы следующие уравнения:
М1 = - 11а1ю2, а2 = а1 +
М1
С1
М2 = М1 - ^юС, аз = й2 +
М С2
(4)
М; = М ¡-1 - I ;а ¡«С, а; = а - +
М;-1
С -1
Метод В.П. Терских базируется на оригинальном преобразовании уравнений (4) в так называемую цепную дробь [12, 13]. Решение осуществляется путем подстановок в цепную дробь пробных значений собственной частоты КК. При совпадении произвольно выбранной частоты с действительной собственной частотой КК рассматриваемой системы получаемая эквивалентная динамическая жесткость будет равна нулю. С помощью метода подстановок в функцию цепной дроби итерационных значений Юс определяют частоты собственных КК ММС.
Матричный метод сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений [7]
(-^юС +Х/С1; )Д1 -С12й2
-С12Й2 (Ю +^С2; )
С1; а1
С2 ; а2
-... (-I,
С1; а; С2 ; а;
ю2 +
= 0 = 0 =0
ЕСи)) =0
Рис. 2. Многомассовая система компрессорной установки
которая в матричной форме приобретает вид (С - Jю2) A = 0,
где C — матрица жесткости; J — матрица инерционных членов; A — вектор-столбец неизвестных значений амплитуд.
Так как в реальных системах матрицы J и C симметричны, а J — положительно определенная матрица, для их приведения к стандартной форме можно использовать метод вращения Якоби или более быстрые методы (метод Ги-венса, QR-алгоритм и его модификации).
Таблица 1
Исходные данные для рассматриваемой ММС
Номер массы I Момент инерции II, кг-м2 Номер участка; Крутильная жесткость С1 -10-7, Н-м
1 0,613 1 2,419
2 7,078 2 3,327
3 7,079 3 1,770
4 7,078 4 3,327
5 7,079 5 1,770
6 7,071 6 3,327
7 7,079 7 2,694
8 642,812 8 2,578
9 11,700 9 6,853
10 11,700 10 6,106
11 32,611 11 3,969
12 15,035 12 3,933
13 15,035 13 3,969
14 15,035 14 3,883
15 15,035 15 3,969
16 15,035 16 3,933
17 15,035 17 6,106
18 96,944 - -
22
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
#11(716) 2019
Количество эквивалентных масс [и]
_ Значение приведенных моментов инерции [,ТВ]
2.419Е+Э7 В.327Е+07 1.77E+S7
Игл я входного файла: Иwя выходного файла: Метод расчета: Итерационная точность:
[3, кг*мЛ2]
1 6.130900е-01
2 7,.07S000e+00
17 1.5035006+01
IS 9.694400e+fll
Значение крутильных жесткостен участков [c&i]
input .txt output.txt
Метод цегнык дробей (Метод В.П. Терских) 0.005
[с, Н*и]
2 .4190006+07 3.327000е+07
6.1060006+07
20:39:23 20:39:27 20:39:31 20:39:32
output.tet
Начало расчета ы[1] = 1. 914503е+-02 Гц ы[2] = 4.608458е-н02 Гц w[3] = 5.6125S4e+-02 Гц
Амплитудных узлов = 1 Амплитудных узлов = 2 Амплитудных узлов = 3
K(w[l]> = 1.302S60e+00 K(w[2]) = А.2420706+02 K(w[3]) = 2.3970506+01
[1.91453е+02 Гц, 1]
[1]1.003300е+00
[2]9.972335е-01
^Значение собственной частоты и количество амплитудных узлов Единичный вектор амплитуд для данной частоты
[18]-1.333365Ё+03
Рис. 3. Фрагмент расчета частоты собственных КК методом цепных дробей с помощью разработанного ПО
В настоящее время самым эффективным признан метод решения полной проблемы собственных значений квадратных заполненных матриц общего вида QR-алгоритмом [14]. Решение задачи значительно упрощается благодаря симметричности матриц инерции и жесткости.
При реализации разработанного расчетного программного обеспечения (ПО) по каждому
из рассмотренных методов определения частот КК и-массовой системы использованы исходные данные для крутильной системы компрессорной установки, изображенной на рис. 2. Компрессорная установка состоит из шести-рядного компрессора Ariel KBZ/6, муфты Geis-linger и приводного газопоршневого двигателя Caterpillar G3616 A4.
Таблица 2
Результаты расчета
Номер частоты Частота собственных КК, Гц, полученная методом
остатка цепных дробей матричным
1 191,480 191,450 191,450
2 466,843 460,846 460,846
3 561,355 561,258 561,258
4 998,607 998,605 998,604
5 1326,871 1313,080 1313,071
6 1565,568 1565,612 1565,567
7 2016,138 2008,131 2008,130
8 2064,788 2064,785 2064,778
9 2309,092 2311,529 2309,091
10 2671,412 2671,425 2671,411
11 3001,816 3001,816 3001,816
12 3150,588 3108,807 3108,807
13 3183,370 3183,398 3183,369
14 3493,407 3476,456 3476,891
15 3725,998 3722,463 3722,451
16 4013,749 4013,755 4013,748
17 6281,853 6584,439 6584,583
#11(716) 2019 ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
23
Таблица 3
Значения параметров сравнения трех методов расчета
Исходные данные для рассматриваемой ММС — значения моментов инерции каждой приведенной массы и крутильных жесткостей участков вала, соединяющих массы, — приведены в табл. 1.
На рис. 3 показан фрагмент расчета частоты собственных КК методом цепных дробей с помощью разработанного ПО, где также охарактеризован вектор выходных данных (порядок вывода выходных данных, их содержание) и приведен пример таких данных.
Программное обеспечение разработано на объектно-ориентированном языке С++. Входными данными программы являются крутильные жесткости участков между сконцентрированными эквивалентными массами, приведенные моменты инерции возвратно-поступательно движущихся масс (т. е. поршневой группы) и моменты инерции приведенных масс участ-
Литература
ков вала (щек, коренной шейки и сбегов между ними).
Последовательность работы с созданным ПО включает в себя следующие этапы: введение исходных данных с клавиатуры или из файла, выбор одного из трех методов расчета частоты собственных КК, проведение вычислений и выведение результатов на экран или в файл.
В табл. 2 приведены результаты расчета частоты собственных КК рассматриваемой ММС тремя методами, в табл. 3 — параметры сравнения и их значения для каждого метода расчета.
Выводы
1. С помощью разработанного ПО определены частоты собственных КК многомассового валопровода поршневого компрессора.
2. Анализ результатов расчета показал, что самым быстрым и нересурсоемким является метод остатка. Метод цепных дробей не следует использовать для системы, состоящей более чем из двенадцати эквивалентных масс, так как множественные вложения в цепную дробь [12, 13] значительно усложняют вычислительные операции, а сам расчет может занимать больше времени. Это делает метод цепных дробей применимым для систем с ограниченным количеством эквивалентных масс.
3. Для предварительных (оценочных) вычислений рекомендовано использовать итерационные методы, а для более точного последующего расчета — матричный метод.
Параметр Значение, полученное методом
остатка цепных дробей матричным
Максимальная погрешность (относительно матричного метода), % 4,598 0,105 -
Время расчета, с 9 5880 112
Выделенный объем ОЗУ, Мбайт 16 256 64
[1] Desavale R.G., Patil A.M. Theoretical and Experimental Analysis of Torsional and Bending
Effect on Four Cylinders Engine Crankshafts. International Journal of Engineering Research, 2013, no. 2, pp. 379-386.
[2] Tiwari R. Rotor Systems: Analysis and Identifying best practices for measuring and analyzing
torsional vibration. Plano, USA, Siemens Product Lifecycle Management Software Inc., 2014. 19 p.
[3] Troy Feese P.E., Hill С. Guidelines for preventing torsional problems in reciprocating machin-
ery. San Antonio, USA, Engineering Dynamics Incorporated, University Oak, 2002. 19 p.
[4] Пластинин П.И. Поршневые компрессоры. Т. 2. Основы проектирования. Конструкции.
Москва, КолосС, 2008. 711 с.
[5] Краснокутский А.Н. Расчет коленчатого вала ДВС на крутильные колебания. Москва,
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 36 с.
[6] Артнер Д., Юрин А., Тояма К. Разработка и внедрение эффективных методов регули-
рования производительности поршневых компрессоров. Ч. 2. Компрессорная техника и пневматика, 2013, № 7, 17 с.
[7] Tiwari R. Rotor Systems: Analysis and Identification. Florida, CRC Press, 2017. 1069 p.
24
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
#11(716) 2019
[8] Дегтярева Т.С., Сибатулин К.О. Определение резонансных частот крутильных колеба-
ний коленчатого вала поршневого компрессора. Инженерный вестник, 2014, № 11, с. 29-37. URL: http://engsi.ru/doc/740900.html (дата обращения 15 мая 2019).
[9] Дегтярева Т.С., Ефимов А.В., Сибатулин К.О. Определение действительных амплитуд и
напряжений от крутильных колебаний вала поршневого компрессора при резонансе. Компрессорная техника и пневматика, 2016, № 4, с. 28-33.
[10] Вихерт М.М., Доброгаев Р.П., Ляхов М.И. Конструкция и расчет автотракторных двигателей. Москва, Машиностроение, 1964. 550 с.
[11] Попык К.Г. Динамика автомобильных и тракторных двигателей. Москва, Высшая школа, 1970. 328 с.
[12] Ефремов Л.В. Теория и практика исследований крутильных колебаний силовых установок с применением компьютерных технологий. Санкт-Петербург, Наука, 2007. 276 с.
[13] Терских В.П. Крутильные колебания валопровода силовых установок. Ленинград, Судостроение, 1969. 206 с.
[14] Лашко В.А., Лейбович М.В. Матричные методы в расчетах крутильных колебаний
силовых установок с ДВС. Хабаровск, Изд-во ХГТУ, 2003. 213 с.
References
[1] Desavale R.G., Patil A.M. Theoretical and Experimental Analysis of Torsional and Bending
Effect on Four Cylinders Engine Crankshafts. International Journal of Engineering Research, 2013, no. 2, pp. 379-386.
[2] Tiwari R. Rotor Systems: Analysis and Identifying best practices for measuring and analyzing
torsional vibration. Plano, USA, Siemens Product Lifecycle Management Software Inc., 2014. 19 p.
[3] Troy Feese P.E., Hill С. Guidelines for preventing torsional problems in reciprocating machin-
ery. San Antonio, USA, Engineering Dynamics Incorporated, University Oak, 2002. 19 p.
[4] Plastinin P.I. Porshnevyye kompressory. T. 2. Osnovy proyektirovaniya. Konstruktsii [Piston
compressors. T. 2. Basics of design. Constructions]. Moscow, KolosS publ., 2008. 711 p.
[5] Krasnokutskiy A.N. Raschet kolenchatogo vala DVS na krutil'nyye kolebaniya [Calculation
of the engine crankshaft for torsional vibrations]. Moscow, Bauman Press, 2002. 36 p.
[6] Artner D., Yurin A., Toyama K. Preparation and Implementation of Efficient & Flexible Flow
Control Methods for Reciprocating Compressors. Kompressornaya tekhnika i pnevmatika, 2013, no. 7, 17 p (in Russ.).
[7] Tiwari R. Rotor Systems: Analysis and Identification. Florida, CRC Press, 2017. 1069 p.
[8] Degtyareva T.S., Sibatulin K.O. Determination of resonant frequencies of torsional vibrations
of the crankshaft of a piston compressor. Inzhenernyy vestnik, 2014, no. 11, pp. 29-37 (in Russ.). Available at: http://engsi.ru/doc/740900.html (accessed 15 May 2019).
[9] Degtyareva T.S., Efimov A.V., Sibatulin K.O. Determining the Actual Amplitudes and Stresses
of the Reciprocating Compressors Crankshaft Caused by Torsion Vibrations in Resonance. Kompressornaya tekhnika i pnevmatika, 2016, no. 4, pp. 28-33 (in Russ.).
[10] Vikhert M.M., Dobrogayev R.P., Lyakhov M.I. Konstruktsiya i raschet avtotraktornykh dvigateley [Design and calculation of automotive engines]. Moscow, Mashinostroyeniye publ., 1964. 550 p.
[11] Popyk K.G. Dinamika avtomobil'nykh i traktornykh dvigateley [Dynamics of automobile and tractor engines]. Moscow, Vysshaya shkola publ., 1970. 328 p.
[12] Efremov L.V. Teoriya i praktika issledovaniy krutil'nykh kolebaniy silovykh ustanovok s primeneniyem komp'yuternykh tekhnologiy [Theory and practice of research of torsional vibrations of power plants using computer technology]. Sankt-Petersburg, Nauka publ., 2007. 276 p.
[13] Terskikh V.P. Krutil'nyye kolebaniya valoprovoda silovykh ustanovok [Torsional vibrations of the shaft drive of power plants]. Leningrad, Sudostroyeniye publ., 1969. 206 p.
#11(716) 2019 ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
25
[14] Lashko V.A., Leybovich M.V. Matrichnyye metody v raschetakh krutil'nykh kolebaniy silo-vykh ustanovok s DVS [Matrix methods in the calculation of torsional vibrations of power plants with internal combustion engines.]. Khabarovsk, KhSTU publ., 2003. 213 p.
Информация об авторах
ДЕГТЯРЕВА Татьяна Сергеевна — кандидат технических наук, доцент кафедры «Вакуумная и компрессорная техника». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: [email protected]).
СУРКОВ Глеб Сергеевич — менеджер проектов. ЗАО «КРОК инкорпорейтед» (105082, Москва, Российская Федерация, ул. Большая Почтовая, д. 26В, стр. 2, e-mail: [email protected]).
Статья поступила в редакцию 26.09.2019 Information about the authors
DEGTYAREVA Tatiana Sergeevna — Candidate of Science (Eng.), Associate Professor, Department of Vacuum and Compressor Equipment. Bauman Moscow State Technical University (105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1, e-mail: [email protected]).
SURKOV Gleb Sergeevich — Project Manager. ZAO KROK Incorporated (105082, Moscow, Russian Federation, Bolshaya Pochtovaya St., Bldg. 26B, Block 2 e-mail: [email protected]).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Дегтярева Т.С., Сурков Г.С. Реализация и сравнение методов расчета частот собственных крутильных колебаний в поршневых компрессорах. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2019, № 11, с. 19-25, doi: 10.18698/0536-1044-2019-11-19-25 Please cite this article in English as: Degtyareva T.S., Surkov G.S. The Implementation and Comparison of Calculation Methods of Natural Torsional Vibrations for Reciprocating Compressors. Proceedings of Higher Educational Institutions. МаМne Building, 2019, no. 11, pp. 19-25, doi: 10.18698/0536-1044-2019-11-19-25
