CC BY
2РЕАКЦИЯ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА НА ДВИЖУЩУЮСЯ В ТРЕХСЛОЙНОЙ ОБОЛОЧКЕ ПЕРИОДИЧЕСКУЮ НАГРУЗКУ
Украинец Виталий Николаевич
доктор техн. наук, профессор Павлодарский государственный университет
г. Павлодар Гирнис Светлана Римонтасовна кандидат техн. наук, ассоциированный профессор Павлодарский государственный университет
г. Павлодар Булыга Леонид Леонидович кандидат техн. наук, ассоциированный профессор Павлодарский государственный университет
г. Павлодар
REACTION OF AN ELASTIC HALF-SPACE TO MOVING IN A THREE-LAYER SHELL PERIODIC
LOAD
Ukrainets Vitaliy Nikolaevich
Doctor of Technical Sciences, professor Pavlodar state university Pavlodar
Girnis Svetlana Rimontasovna
Candidate of Technical Sciences, associate professor
Pavlodar state university Pavlodar
Bulyga Leonid Leonidovich
Candidate of Technical Sciences, associate professor
Pavlodar state university Pavlodar
Аннотация
Решена задача о действии периодической нагрузки на подкреплённую трехслойной круговой цилиндрической оболочкой полость, расположенную в упругом полупространстве. Решение получено для случая, когда скорость движения нагрузки меньше скорости волны Рэлея в полупространстве.
Abstract
The problem of the action of a periodic load on a cavity supported by a three-layer circular cylindrical shell located in an elastic half-space is solved. The solution is obtained for the case when the speed of the load is less than the speed of the Rayleigh wave in half space.
Ключевые слова: упругое полупространство, трехслойная оболочка, подвижная периодическая нагрузка, напряженно-деформированное состояние.
Key words: elastic half-space, three-layered shell, periodic moving load, tense-deformed condition.
Постановка задачи. Рассмотрим
расположенную в линейно-упругом, однородном и изотропном полупространстве (массиве) бесконечно длинную круговую цилиндрическую трехслойную оболочку, внутренним слоем которой является толстостенная оболочка (заполнитель), а
внешние слои (обшивка) представляют собой тонкостенные оболочки с радиусами срединных поверхностей R1, R2 и толщинами й01, й02 (рисунок 1).
//////////
////////
Рисунок 1 - Трёхслойная оболочка в упругом полупространстве
В силу малости толщины составляющих обшивку слоев допускается, что они контактируют с заполнителем и окружающим массивом вдоль срединных поверхностей. При этом контакт между оболочкой и массивом полагается либо жестким, либо скользящим при двусторонней связи в радиальном направлении. Контакт между слоями оболочки полагается жёстким. Плоская граница полупространства свободна от нагрузок.
По внутренней поверхности оболочки в направлении её оси г с постоянной скоростью с движется нагрузка интенсивностью Р. Скорость движения нагрузки принимается дозвуковой, т. е. меньше скоростей распространения волн сдвига в
заполнителе и массиве. Физико-механические свойства массива и заполнителя характеризуются соответственно следующими постоянными: у1, р1;у2,ц2, р2,где ук - коэффициент Пуассона, цк -модуль сдвига, рк - плотность (к =1,2). В дальнейшем индекс к = 1 относится к массиву, а к = 2 - к заполнителю.
Для описания движения массива и заполнителя используются динамические уравнения теории упругости в связанной с нагрузкой подвижной системой координат (г.в.ц = г-а) [1]
(М.
М-к) дгай (Ну ик + М5кУ2ик = д2ик/д]2, к = 1, 2,
(1)
где Мрк = с/срк, М5к = с/свк - числа Маха; ик-векторы смещений точек массива и
срк = ^(Лк+2Цк)/Рк, ^ = Т^Ж - скорости ^зашлнигеля, 72 - °перат°р Лашаса.
распространения волн рас ширения-сжатия и сдвига Колебания слоев обшивки откы^тся
классическими уравнениями теории тонких в массиве и заполнителе, Ак = 2икук/(1 — 2ук); _ ^ „ „
оболочек в подвижной системе координат [1-3]
1-
(1 - Уок)РокС2
2^0к
д2и,
0]к
д]2
+
1 - Уок д2и
2—к
д в
0г]к 1 + у0к д и0вк у0к ди0гк
2Як дт]дв Ик дт
1 — у0к 2^0к^0к
(Чг1к - Чг]Як),
1+Уокд2щ11к (1-Уок) 2Як д]дв 2
Рокс\ д и0вк | 1 д и0вк | 1 ди0гк
М0к
д]2
Я2 дв2
дв
1-у0к г
2МоФок
ЧвЯк),
(2)
Уок дио
10]к 1 диовк . Нк 2 2 1Тк^Г + -я-дГ + й7 Р щгк +
(1 у0к)р0кс2 д2и0гк и0гк
к
2^0к
д]2
-к2
1-Уок 2Мок^ок '
(Чгк - Чтк)-
Здесь для наружного слоя обшивки к = 1, для внутреннего - к = 2; у0к, ц.0к, р0к - соответственно коэффициент Пуассона, модуль сдвига и плотность материалов слоев обшивки; и0]к, и0вк, и0гк -
перемещения точек срединных поверхностей слоев
обшивки;
= о
Г]2 |
Ч]1
= о
Г=Я
2
1
= сгд\г_д - составляющие реакции
заполнителя и массива, ]' = ц,в,г (при скользящем контакте оболочки с массивом ццЯ1 = цвЯ1 = 0), стгд, оГ]2 - компоненты тензоров напряжений в массиве и заполнителе, Ц]2 = Рч(в,п), Рч(в,п) -составляющие интенсивности подвижной нагрузки Р(в,п),} = п,в, г.
Так как граница полупространства свободна от нагрузок, то, при x = h
@хх1 = °ху1 = &хг]1 =
(3)
- для скользящего контакта оболочки с массивом
при г = R1 иг1 = иг2, агв1 = °
и]2 = и0]1,
°гг,1 = 0,
При различных контактных условиях оболочки с массивом граничные условия имеют вид:
при г = Я2 и]2 = ио^,]' = г, в, п; (4) ■ для жёсткого контакта оболочки с массивом при г = Ял ид = и
Ч2, ид = иод, приг = Я2
ип = иоп,1 = r, в, п,
(5)
где ^ = 1,2)- компоненты векторов щ. Векторы щ можно выразить через потенциалы
Ламе
ик = дгайф1к + го1{ф2кеГ]) + го1го1(фзке^), к = 1, 2,
(6)
которые, как следует из (1) и (6), удовлетворяют уравнениям
?2Ф]к = М/к д2ф]к/дп2 ,¡ = 1,2,3, к = 1, 2,
(7)
где М1к = Мрк, М2к = М3к = М5к. Через эти же потенциалы, используя (6) и закон Гука, можно выразить компоненты тензоров напряжений атк в массиве 1) и заполнителе (к = 2) в цилиндрической ( 1,т = г,в,щ) системе координат, а также а1т1 в декартовой (1,т = х, у, п) системе координат.
Таким образом, для определения компонент напряженно-деформированного состояния (НДС)
массива и заполнителя необходимо решить уравнения (7), используя граничные условия (3) и, в зависимости от условия контакта оболочки с массивом, (4) или (5).
2. Аналитическое решение задачи. Рассмотрим случай действия на оболочку синусоидальной по п подвижной нагрузки с произвольной зависимостью от угловой координаты
Р(в,п) = р(в)е
I
Р(в) = Т^=-^Рпе1пв
(8)
Р](в,п)=р](в)еР](в) = £ Рпч
е1пв , ]' = г,в,ц,
где константа % определяет период Т = 2п/^ В установившемся состоянии зависимость
действующей нагрузки. всех величин от п имеет вид (8), поэтому
Ф]к(г,в,п) = ФЧк(г,в)е1^, ] = 1, 2, 3, к = 1, 2,
(9)
ио,к(в,п) = Хп=-^иоп,кеп е] = г,в,п,к = 1, 2.
(10)
Из (7) и (9) следует, что
^к - т^к^Фчк = 0,] = 1,2,3, к = 1,2,
(11)
где т^ = (1 - М?к)1/2, т1к = трк, т2к = т3к = т8к, - двумерный оператор Лапласа.
Используя (9) можно получить выражения для В дозвуковом случае Msk < 1 (msk > 0, k = 1, 2),
перемещений ик и напряжений о1тк (1,т = г,в,п) и решения уравнений (11) можно представить в
в массиве (к = 1) и заполнителе (к = 2), а также и11, виде [1-3] 01т1 (I, т = х,у,п) в массиве как функции от Ф^к.
Фчк = + Ф$\ У = 1,2,3, к = 1,2,
(12)
п
п = -п
где:
- для массива
Ф™ = 2™=-» ап]Кп(кпгУпв, Ф.(12) = /-» дД?, О ехр (¿уС + (х - к)1(2 + кД) ^; (13)
- для заполнителя
Ф]2 ) = 2п=-» ап]+3Кп(к]2г)е'Пв, Ф]22 = Тт=-тап] + б1п(к]2Г) е'пв.
(14)
Здесь 1п(к]Г), Кп(к]Г) - соответственно коэффициенты, подлежащие определению,
модифицированные функции Бесселя и функции ] = 1 2, 3.
Макдональда, к]1 = \т]1^\, к]2 = \т]2$\; д]($,(), Какпоказано в [3], представление потенциалов
ап1.....ап9 - неизвестные (функции и для полупространства в форме (12) првмдаг к их
следующим выражениям в декартовой системе координат:
Ф]1 = /_"
2//
2п=-»ап]Фп] + д](, Ое
(х-К)Г
еМЦ,
(15)
где /] = + кД, Фп] = [(«Г + /])/к]1]п, У = 1,2,3.
Воспользуемся граничными условиями (3), с выражаем функции д](%,0 через неизвестные учетом (15). Выделяя коэффициенты при е1у и коэффициенты ап1, ап2, ап3: приравнивая, в силу произвольности у, их нулю, получим систему трех уравнений, из которой
д](К, О = 1,23=1 Дпе-кп 2П=-п аыФы,
(16)
Вид определителя Л* и алгебраических дополнений Л, совпадает с аналогичными определителями для неподкрепленной полости в упругом полупространстве и определён в [3]. В частности, здесь Л* - это определитель Рэлея, который в данном случае имеет вид
л* = (2р2 -р2)2 - 4р2трГ-^трр2-]]2,
а = МР1$, р = М^, р* = ?2 + С2,
и не обращается в ноль при любых , если скорость движения нагрузки меньше скорости
рэлеевской волны сй в полупространстве. В противном случае в точках (= ± £* = ±| £ | - 1, Мй = с/сй, он обращается в ноль, и интегралы в формуле (15) становятся расходящимися.
Ограничимся случаем с < сй. Тогда все подынтегральные функции в (15) непрерывны и экспоненциально стремятся к нулю на бесконечности. С учетом (16), потенциалы (15) имеют вид
Ф]1 = /п
2//
2» а Ф +е(х-к)Г12
п=-п п п
=1
^ 1 2п = -п ап1Фп1
(17)
Следует отметить, что скорость рэлеевской Используя известное при х < к соотношение
волны сй несколько ниже (на 5^10%) скорости волн [3] сдвига в массиве.
ехр ( ¿уС + (х - ft)Jík+k2) = 2»=-» 1п(к]Г) е1пв [(( + ^2+к2)/к]
-ь.1(2+к2
представим Ф]1 (12) в цилиндрической системе координат
Ф]1 = 2ПП=-п,(ап]Кп(к]1г)+1п(к]1г)/-Под]К,0 Фп]е-^) е
пв
Подставляя в последнее выражение из (16) дД, О, для с < сй получим
Ф]1 = 2п=-»(ап]Кп(к] 1*0 + Ьп]1п(к]1Г)) е
пв
_т=-»\. п] п\.'\/1' / 1 "п]1п — 23 2» п Лт1 Лт1 — Г» ^сЪ Ф р-^/1+/>)
1нсип] ¿¿1=1 ¿¿т=-»Клт1Г1п]' ^п] л*
3 ЛП
е
п
Подставляя найденные для потенциалов Подставляя (10) в (2), для п-го члена
соотношения в выражения для и1к и а1тк, получим разложения получим новые выражения, где неизвестными будут только коэффициенты ап1,..., ап9.
£1 киопцк + уо2кп^окиопвк — 2уок^окиопгк =
уо2кп^окиоп^к + £2киопвк — 2пиопгк = &ок(Чпвк — ЧпвRк), (19)
2уок^окиоп^к + 2пиопвк + £3киопгк = ^ок(Чпгк — ЧпrRк), где k = 1 2; Е^к = <%ок — £ок, £2к = Рок — £ок, £3к = Уок — £ок, %ок =
г\ г\ 9 9 9 9 9 9/99 \0 9 9 9
«°к = 2^0к + ^01кп , Р°к = ^01к^°к + 2п , У°к = Хк + П )+ 2, к = ^к^оАк,
уо1к = 1 — уок,уо2к = 1 + уок, Мяок = с/с5ок, сяок = 1~~, Хк = Т°2 , &ок = — ,,0±]
у Рок ь1{к ^0кп0к
Чпл = (аг]2)\ 'ЧiR1 = (°rjl)\ ,qпj2 = pпj(в,v),qjR2 = (°rj2)\ ,i = п,в, г.
пr=R1 'í^r=Rl пr=R2
Разрешая (19) относительно иоплк, иопвк, иоп1.к, находим
3
иопцк = Т / $цjк (Япjк — ЧпjRк), °пк 4—'
i = 1
иопвк = ^~'^3 = l8вjк(Чпjк — ЧпjRк), (20)
иотк = = — ЧпjRк).
Здесь 8пк = 8Мк = (£1к£2к£3к)2 - (£1к%1)2 - (е2к%2к)2 - (е3к^3к)2 + 2^1^2к^3к,
8ц1к = (е2ке3к)2 — %1, $ч2к = — %3к£3к, = 1(е2к%2к — ^1^3к),
$в1к = $г}2к, $в2к = (е1к£3к)2 — %2к, $в3к = — %2к%3к),
$Пк = -8ц3к, $г2к = -$в3к, = (е1к£2к)2 — %3к,
^1 = 2п, %2к = 2уок^ок, %3к = уо2к^окп' для и Цщцк индексу = 1 соответствует индексу п,у = 2 - в,у = 3 - г.
Для определения коэффициентов ап1,..., ап9 воспользуемся, в зависимости от условия сопряжения оболочки со средой, граничными условиями (4) или (5). Подставляя в граничные условия соответствующие выражения и приравнивая коэффициенты рядов при етв, получим бесконечную систему (п = 0, ±1, ±2,...) линейных алгебраических уравнений, для решения которой можно использовать метод редукции или более удобный для решения поставленной задачи метод последовательных отражений [3], позволяющий при каждом последовательном отражении решать систему линейных уравнений блочно-диагонального вида. В случае произвольной периодической по п нагрузки, разлагая ее в ряд Фурье, для каждой составляющей ряда получим вышерассмотренную задачу.
Список литературы.
1. Украинец В.Н., Гирнис С.Р. Математическое моделирование динамики подкрепленных двухслойными оболочками тоннелей при действии транспортных нагрузок. -Павлодар: Кереку, 2018. - 116 с.
2. Алексеева Л.А., Украинец В.Н. Динамика упругого полупространства с подкрепленной цилиндрической полостью при подвижных нагрузках //Прикладная механика. НАН Украины -Киев, 2009. - Т. 45. - № 9. - С. 75-85.
3. Украинец В.Н. Динамика тоннелей и трубопроводов мелкого заложения под воздействием подвижных нагрузок. - Павлодар: НИЦ ПГУ, 2006. - 123 с.
