CC BY
4
МРНТИ 30.19.15
https://doi.org/10.48081/ECYD3672
М. И. Котова1, *Е. М. Ибраева2, А. В. Украинец3
Институт математики и математического моделирования, г. Алматы, Республика Казахстан, 2,3Торайгыров университет, г. Павлодар, Республика Казахстан
влияние глубины заложения тоннеля на его
напряженно-деформированное состояние
при действии движущейся периодической нагрузки
На основе решения задачи о действии подвижной синусоидальной нагрузки на бесконечно длинную круговую цилиндрическую полость в упругом полупространстве исследуется напряженно-деформированное состояние породного массива, окружающего неподкрепленный тоннель разной глубины заложения при действии на него данной нагрузки. Движение полупространства описывается динамическими уравнениями теории упругости в подвижной системе координат, для решения которых предложен метод неполного разделения переменных. Решение построено для случая, когда скорость движения нагрузки меньше скорости чем скорость волны Рэлея в рассматриваемой среде. Из анализа результатов расчётов следует, что при глубине заложения тоннеля более четырех его радиусов влияние земной поверхности на его напряженно-деформированное состояние несущественно.
Ключевые слова: упругое полупространство, круговая цилиндрическая полость, подвижная синусоидальная нагрузка, Рэлеевские волны, породный массив, тоннель, глубина заложения тоннеля, напряженно-деформированное состояние.
Введение
Опыт эксплуатации транспортных подземных сооружений (типа тоннелей метрополитена) в условиях городской застройки показывает, что при их мелком заложении происходит резкое возрастание уровня вибраций в зданиях и сооружениях, расположенных вблизи их проходки. Превышение уровнями вибраций допустимых норм, установленных для зданий, приводит к непригодности последних для жилья. Кроме того, вибрации оказывают неблагоприятные воздействия на различные технологические процессы повышенной точности и людей. В связи с этим необходимо не только обеспечить достаточную надёжность всех элементов подземной конструкции, но и решить вопрос о допустимом приближении к ней наземных сооружений.
Одной из модельных задач, применяемых для исследования динамики тоннелей мелкого заложения под воздействием транспортной нагрузки (нагрузки от движущегося внутритоннельного транспорта), является задача о действии на
упругое полупространство нагрузки, равномерно движущемся по поверхности
и и • • и и /— и
круговом цилиндрическом полости вдоль ее образующем, параллельном свободном границе полупространства. В отличие от аналогичном задачи для упругого пространства, моделирующем тоннель глубокого заложения, данная задача является более сложном, так как возникает необходимость учитывать отражаемые границем полупространства волны. Исследованию указанном проблемы посвящен ряд публикацим, охватывающим, в основном, последние годы [1-7]. Используя решение [2, 3], в настоящем работе построено точное аналитическое решение задачи о демствии на упругое полупространство равномерно движущемся по поверхности полости синусоидальном нагрузки, и на основе этого решения исследуется влияние глубины заложения тоннеля на его напряженно-деформированное состояние при демствии указанном нагрузки.
Материалы и методы
Метод математического моделирования с привлечением моделем теории упругости.
1 Постановка и аналитическое решение задачи. Используя для исследованим модельным подход, представим неподкрепленным тоннель мелкого заложения как бесконечно длинную круговую цилиндрическую полость радиусом г = R в линемно-упругом, однородном и изотропном полупространстве (массиве), отнесенному к неподвижным цилиндрическом г, 9,2 и декартовом х, у, 2 системам координат, ось z которых совпадает с осью полости и параллельна свободном от нагрузок горизонтальном границе полупространства (земном поверхности), ось х - перпендикулярна к этом границе: х < И (рисунок 1). Физико-механические свомства массива характеризуются следующими постоянными: V - коэффициент Пуассона, д - модуль сдвига, р - плотность.
Рисунок 1 - Расчетная схема неподкрепленного тоннеля
Определим реакцию полупространства на движущуюся с постоянном скоростью с по поверхности полости в направлении оси z нагрузку интенсивностью Р. Скорость движения нагрузки принимаем дозвуковом, то есть меньше скорости распространения волн сдвига в массиве.
Для этого воспользуемся уравнениями движения упругой среды в векторной форме [8].
(1)
где X = 2цу/(1 — 2у), и -вектор смещения упругой среды, V2 -оператор Лапласа.
Поскольку рассматривается установившийся процесс, то картина деформаций стационарна по отношению к движущейся нагрузке. Поэтому можно перейти к связанной с нагрузкой подвижной декартовой X, у, Г| = г — с1 или цилиндрической системе координат. Тогда уравнение (1) перепишется в виде
(м;2 - М;2 )егас1 сЦу и + М;2У2и = б2и/др2 . (2)
Здесь Мр = с/ср,Мх = с/- числа Маха; ср = + ,
с, = - скорости распространения волн расширения-сжатия и сдвига в
массиве.
При действии движущейся нагрузки на поверхность полости, имеем
(3)
где - компоненты тензора напряжений в массиве, Л(6, г|) - составляющие интенсивности подвижной нагрузки Pф, П) в подвижной цилиндрической системе координат.
Так как граница полупространства свободна от нагрузок, то, при х = Ь
а = сг = а =0.
XX ху ЛТ)
(4)
Преобразуем уравнение (2), выразив и через потенциалы Ламе [9, 10]
и = grad ф1 + rot (ф2е п)+ rotrot(фзe п),
(5)
где вт, - орт оси г).
Из (2) и (5) следует, что потенциалы ¿| удовлетворяют видоизменённым волновым уравнениям
2 2 д2 ф V2 ф, = М 2-^-, ] = 1, 2,3 .
дп2
(6)
Здесь М, = М, М1 = М, = М.
1 p 2 3
Рассмотрим действие на поверхность полости синусоидальной по п движущейся нагрузки с произвольной зависимостью от угловой координаты
(7)
где константа £ определяет период Т = 2п / £ действующей нагрузки.
В установившемся состоянии зависимость всех величин от П имеет вид (7), поэтому
Подставляя (8) в (6), получим видоизменённые уравнения Гельмгольца
V2Ф . -m2Е2Ф . = 0, j = 1,2,3.
(9)
Здесь У2 - двумерный оператор Лапласа, т] = 1 -М2, т = тр, т2 = т3 = тх.
Представив компоненты напряжённо-деформированного состояния (НДС) массива через потенциалы Ламе можно получить выражения для перемещений аI и напряжений <3{т в декартовой (/, т = х,у,г\) и цилиндрической (А т = '%б,л) системах координат как функции от Ф ^. Дальнейшее решение задачи сводится к интегрированию уравнений (9) при выполнении граничных условий (3), (4). Для определения компонент НДС массива необходимо определить Ф ^.
При дозвуковой скорости движения нагрузки Ms < 1 (т > 0), и решения уравнений (9) можно представить через суперпозиции поверхностных
цилиндрических Ф (;1} и плоских Ф (2) волн [1, 3]
(2) j
Ф. = ф(1) + ф(2) (
(10)
где Кп (к]г) - функции Макдональда, = \т]-£ ; а^, gj (£, С) - неизвестные коэффициенты и функции, подлежащие определению, ] = 1, 2, 3.
Как показано в [1, 3], представление потенциалов в форме (10) с использованием условий (3) и (4), при скоростях нагрузки меньших, чем скорость волны Рэлея сК в рассматриваемой среде, приводит к системам линейных алгебраических уравнений с определителями Д„(^,с) относительно неизвестных коэффициентов а , для
Ц)
решения которых может быть использован метод последовательных отражений.
Если определители А„(^,с) не равны нулю, определив коэффициенты а ., можно вычислить компоненты напряжённо-деформированного состояния среды.
Как показали исследования указанных определителей, их обращение в ноль возможно только при скоростях нагрузки не меньшей, чем скорость рэлеевской волны, которая несколько ниже скорости волн сдвига в среде [11].
Заметим, что исключая из постановки задачи граничные условия (4) и исключая из (10) Ф(;2), получим решение аналогичной задачи для упругого пространства, моделирующей тоннель глубокого заложения.
2 Численный анализ НДС породного массива. Исследуем напряжённо-деформированное состояние окружающего тоннель радиусом R = 1 м породного массива при разной глубине его заложения h в случае действия на него движущейся с постоянной скоростью с = 100 м/с нормальной осесимметричной синусоидальной нагрузки Рг = Р с амплитудой РА (Па) и периодом Т = 2п (м), оказывающей наибольшее давление на поверхность тоннеля в начале подвижной системы координат (г) = 0). Окружающая тоннель порода - алевролит (V = 0,2 , ц = 2,535-10"Па, р - 2,5-103кг/м3, с, - 1006,4 м/с, сд =917м/с).
В таблицах 1 - 4 приведены результаты расчётов НДС окрестности тоннеля при разной глубине его заложения. В таблицах приняты следующие обозначения: иг = и^/ЯР,, щ = игц/ЛРА, а; = <угг/РА , ат = а00/РА , ацц = а,1П /РА ,
Таблица 1 - Компоненты НДС окрестности тоннеля при п = У = 0 .
Комп. х/Я
ьж НДС 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
-1,0 -1,2 -1,4 -1,6 -1,8 -2,0 -2,2 -2,4 -2,6 -2,8 -3,0
* 0,764 0,695 0,646 0,614 0,593 0,550
и* 0,368 0,293 0,237 0,194 0,160 0,134
2,0 агг -1,013 -0,993 -0,702 -0,735 -0,417 -0,567 -0,191 -0,443 -0,028 -0,344 0,057 -0,255 - - - - -
* 0,388 0,451 0,449 0,481 0,586 0,920
0,629 0,404 0,273 0,186 0,120 0,063 - - - - -
* -0,795 -0,420 -0,150 0,084 0,325 0,614
-0,407 -0,258 -0,158 -0,091 -0,045 -0,015
* 0,444 0,371 0,316 0,275 0,245 0,222 0,205 0,194 0,186 0,181 0,170
и* 0,379 0,305 0,248 0,204 0,169 0,140 0,117 0,097 0,082 0,069 0,059
* -1,001 -0,735 -0,547 -0,406 -0,296 -0,208 -0,136 -0,077 -0,030 0,003 0,006
3,0 -1,000 -0,743 -0,574 -0,453 -0,364 -0,295 -0,240 -0,195 -0,159 -0,128 -0,102
* 0,589 0,407 0,289 0,213 0,164 0,133 0,117 0,112 0,120 0,142 0,195
0,622 0,407 0,278 0,196 0,141 0,103 0,076 0,056 0,041 0,029 0,020
* -0,512 -0,325 -0,202 -0,118 -0,058 -0,012 0,028 -0,067 0,113 0,171 0,248
-0,424 -0,269 -0,167 -0,099 -0,053 -0,024 -0,005 0,007 0,013 0,016 0,017
Таблица 2 - Компоненты НДС окрестности тоннеля при п = 0, r/R = 1.
h/R Комп. 8, град.
НДС 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
* и* 0,764 0,696 0,554 0,432 0,368 0,351 0,358 0,366 0,368 0,368
* и 0,0 -0,138 -0,189 -0,157 -0,096 -0,044 -0,015 -0,005 -0,003 0,0
2,0 Ст*г -1,013 -1,008 -0,994 -0,990 -0,998 -1,006 -1,008 -1,005 -0,999 -0,993
0,388 0,626 1,003 1,121 1,017 0,844 0,692 0,616 0,617 0,629
<4 -0,795 -0,720 -0,575 -0,473 -0,429 -0,421 -0,426 -0,426 -0,415 -0,407
* и* 0,444 0,434 0,412 0,391 0,379 0,375 0,376 0,377 0,379 0,379
* и* 0,0 -0,023 -0,032 -0,029 -0,019 -0,009 -0,003 0,0 0,0 0,0
3,0 Ст*г -1,001 -1,001 -1,000 -0,999 -1,000 -1,000 -1,001 -1,001 -1,000 -1,000
0,589 0,621 0,679 0,707 0,696 0,669 0,646 0,632 0,625 0,622
<4 -0,512 -0,499 -0,472 -0,448 -0,434 -0,427 -0,425 -0,424 -0,424 -0,424
* и* 0,399 0,390 0,386 0,382 0,380 0,379 0,379 0,380 0,380 0,380
* и* 0,0 -0,004 -0,006 -0,005 -0,004 -0,002 -0,001 0,0 0,0 0,0
4,0 Ст*г -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000
0,621 0,626 0,637 0,643 0,641 0,636 0,632 0,629 0,627 0,627
<4 -0,443 -0,440 -0,434 -0,429 -0,426 -0,424 -0,423 -0,423 -0,423 -0,423
* и* 0,382 0,382 0,381 0,381 0,380 0,380 0,380 0,380 0,380 0,380
* и* 0,0 -0,001 -0,001 -0,001 -0,001 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
5,0 ст*г -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000
0,627 0,628 0,630 0,631 0,630 0,630 0,629 0,628 0,628 0,628
<4 -0,427 -0,426 -0,425 -0,424 -0,423 -0,423 -0,423 -0,423 -0,423 -0,423
Таблица 3 - Компоненты НДС окрестности тоннеля при п = 0, r/R = 2.
h/R Комп. НДС 8, град.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
2,0 * и* 0,550 0,483 0,315 0,196 0,128 0,110 0,122 0,136 0,121 0,134
* и 0,0 -0,030 -0,079 -0,088 -0,062 -0,031 -0,005 -0,013 -0,004 0,0
Vrr 0,057 -0,047 -0,222 -0,240 -0,290 -0,288 -0,279 -0,238 -0,350 -0,255
0,920 0,439 0,268 0,204 0,216 0,164 0,129 0,065 0,151 0,063
<4 0,614 0,370 0,094 -0,017 -0,033 -0,031 -0,031 -0,027 -0,013 -0,015
* 0,0 0,023 -0,042 -0,036 0,012 0,029 0,079 -0,027 0,011 0,0
3,0 * и* 0,222 0,205 0,174 0,151 0,140 0,136 0,137 0,138 0,139 0,140
* ие 0,0 -0,022 -0,027 -0,022 -0,014 -0,007 -0,003 -0,001 0,0 0,0
-0,208 -0,240 -0,281 -0,293 -0,293 -0,293 -0,292 -0,295 -0,296 -0,295
0,133 0,145 0,153 0,142 0,129 0,118 0,109 0,107 0,105 0,103
<4 -0,012 -0,020 -0,031 -0,035 -0,033 -0,030 -0,027 -0,025 -0,024 -0,024
* 0,0 -0,037 -0,029 -0,010 0,001 0,007 0,005 0,002 0,003 0,0
4,0 * и* 0,156 0,153 0,147 0,142 0,140 0,139 0,139 0,140 0,140 0,140
* ие 0,0 -0,005 -0,006 -0,005 -0,003 -0,002 -0,001 0,0 0,0 0,0
а;г -0,279 -0,284 -0,293 -0,297 -0,297 -0,296 -0,297 -0,297 -0,297 -0,298
Oae 0,107 0,110 0,114 0,113 0,109 0107 0,106 0,105 0,104 0,104
<4 -0,029 -0,029 -0,028 -0,027 -0,025 -0,024 -0,023 -0,023 -0,022 -0,022
* °ге 0,0 -0,008 -0,008 -0,003 0,0 0,001 0,001 0,001 0,0 0,0
5,0 * и* 0,143 0,143 0,142 0,141 0,140 0,140 0,140 0,140 0,140 0,140
* ие 0,0 -0,001 -0,001 -0,001 -0,001 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
-0,294 -0,295 -0,297 -0,297 -0,297 -0,297 -0,297 -0,297 -0,297 -0,297
0,105 0,105 0,106 0,106 0,105 0,105 0,105 0,104 0,104 0,104
<4 -0,024 -0,024 -0,024 -0,023 -0,023 -0,023 -0,022 -0,022 -0,022 -0,022
* °ге 0,0 -0,002 -0,002 -0,001 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Таблица 4 - Компоненты НДС окрестности тоннеля при п = 0, r/R = 3.
h/R Комп. НДС 8, град.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
4,0 * и* 0,084 0,077 0,065 0,058 0,056 0,055 0,055 0,056 0,056 0,055
* ие 0,0 -0,007 -0,008 -0,005 -0,002 -0,001 0,0 0,0 0,0 0,0
-0,072 -0,085 -0,106 -0,114 -0,112 -0,112 -0,114 -0,112 -0,113 -0,114
0,038 0,039 0,040 0,035 0,030 0,028 0,027 0,026 0,026 0,027
<4 0,028 0,024 0,019 0,018 0,019 0,020 0,020 0,021 0,021 0,021
* °ге 0,0 -0,011 -0,009 -0,001 0,001 0,0 0,001 0,001 0,0 0,0
5,0 * и* 0,062 0,060 0,058 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056
* ие 0,0 -0,002 0,002 -0,001 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
-0,104 -0,107 -0,112 -0,113 -0,113 -0,113 -0,113 -0,113 -0,113 -0,113
0,027 0,028 0,029 0,028 0,027 0,027 0,026 0,026 0,026 0,026
<4 0,019 0,019 0,020 0,020 0,021 0,021 0,021 0,021 0,021 0,021
е 0,0 -0,003 -0,002 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Результаты и обсуждение
Данная статья рассмотрена, одобрена и рекомендована к изданию на заседании кафедры «Архитектура и дизайн» НАО «Торайгыров университет».
Из анализа результатов следует, что при h/R > 4,0 компоненты НДС тоннеля практически мало отличаются от одноименных компонент НДС тоннеля, расположенного в неограниченной среде. С уменьшением глубины заложения тоннеля (h/R < 4,0), изменения компонент в основном происходит в интервале 0 < x < h.
С удалением от полости, как правило, наблюдается затухание компонент НДС массива (табл. 1 - 4). Однако, при малых h, güq и ст* (в силу своего
волнообразного характера изменения) на земной поверхности могут оказаться
*
больше, чем на поверхности тоннеля. Так, при г| = у = 0 и h/R = 2,0, на земной поверхности в два с лишним разом больше, чем на поверхности тоннеля (табл. 1). Выводы
При глубине заложения тоннеля h/R > 4,0 влияние земной поверхности на его напряженно-деформированное состояние несущественно. В этом случае для его динамического расчета при действии подвижной нагрузки можно использовать более простое решение задачи, моделирующей тоннель глубокого заложения.
Список использованных источников
1 Ержанов, Ж. С., Айталиев, Ш. М., Алексеева, Л. А. Динамика тоннелей и подземных трубопроводов. - Алма-Ата : Наука, 1989. - 240 с.
2 Украинец, В. Н. Реакция упругого полупространства на бегущую вдоль оси периодическую нагрузку // Математический журнал. - Алматы. - 2005. -№ 3. - С. 96-102.
3 Украинец, В. Н. Динамика тоннелей и трубопроводов мелкого заложения под воздействием подвижных нагрузок. - Павлодар : Издательство Павлодарского государственного университета, 2006. - 123 с.
4 Irfan Co§kun and Demirhan Dolmaseven. Dynamic Response of a Circular Tunnel in an Elastic Half Space, Journal of Engineering. - Vol. 2017, Article ID 6145375. - 12 p. - 2017. https://doi.org/10.1155/2017/6145375.
5 Cao, Z., Sun, S., Yuan, Z., Cai, Y. Analytical Study on the Effect of Moving Surface Load on Underground Tunnel. In: Wu W., Yu HS. (eds) Proceedings of China-Europe Conference on Geotechnical Engineering. - Springer Series in Geomechanics and Geoengineering. - Springer, Cham. 2018.
6 Dwivedia, J.P., Singha, V. P. Radha Krishna Lalb, Sakshi Devia. Dynamic Response of Lined Circular Tunnel in Linear Viscoelastic Medium Due to Moving Ring load. - Materials Today: Proceedings. - Volume 4. - Issue 2. - Part A. - 2017.
- P.3767-3775.
7 Shunhua Zhou. Dynamics of Rail Transit Tunnel Systems. - Academic Press, 2019. - 276 p.
8 Слепян, Л. И. Нестационарные упругие волны. - Л. : Судостроение, 1972.
- 374 с.
9 Новацкий, В. Теория упругости. - М. : Мир, 1975. - 872 с.
10 Гузь, Л. И., Кубенко, В. Д., Черевко, М. А. Дифракция упругих волн. -Киев : Наукова думка, 1978. - 308 с.
11 Тимошенко, С.П., Гудьер, Дж. Теория упругости. - М. : Наука, 1979. -560 с.
References
1 Erzhanov, Zh. S., Ajtaliev, Sh. M., Alekseeva, L. A. Dinamika tonnelej i podzemny'x truboprovodov. [Dynamics of tunnels and underground pipelines] - Alma-Ata : Nauka, 1989. - 240 p.
2 Ukrainecz, V. N. Reakciya uprugogo poluprostranstva na begushhuyu vdol' osi periodicheskuyu nagruzku [Reaction of an elastic half-space to a periodic load running along the axis] // Matematicheskij zhurnal. - Almaty'. - 2005. - № 3. - P. 96-102.
3 Ukrainets, V. N. Dinamika tonnelej i truboprovodov melkogo zalozhenija pod vozdejstviem podvizhnyh nagruzok [Dynamics of shallow tunnels and pipelines under the influence of moving loads] (Pavlodar, Izdatel'stvo Pavlodarskogo gosudarstvennogo universiteta, 2006. - 123 p.).
4 irfan Coçkun and Demirhan Dolmaseven. Dynamic Response of a Circular Tunnel in an Elastic Half Space [Irfan Coçkun and Demirhan Dolmaseven. Dynamic Response of a Circular Tunnel in an Elastic Half Space], - Journal of Engineering. - Vol. 2017. - Article ID 6145375. - 12 p. - 2017. - https://doi.org/10.1155/2017/6145375.
5 Cao, Z., Sun, S., Yuan, Z., Cai, Y. Analytical Study on the Effect of Moving Surface Load on Underground Tunnel. [Cao Z., Sun S., Yuan Z., Cai Y. Analytical Study on the Effect of Moving Surface Load on Underground Tunnel] In: Wu W., Yu HS. (eds). - Proceedings of China-Europe Conference on Geotechnical Engineering. Springer Series in Geomechanics and Geoengineering. - Springer, Cham. 2018.
6 Dwivedia, J. P., Singha, V. P. Radha Krishna Lalb, Sakshi Devia. Dynamic Response of Lined Circular Tunnel in Linear Viscoelastic Medium Due to Moving Ring load. [J.P. Dwivedia,V.P. Singha, Radha Krishna Lalb, Sakshi Devia. Dynamic Response of Lined Circular Tunnel in Linear Viscoelastic Medium Due to Moving Ring load] - Materials Today: Proceedings. - Volume 4. - Issue 2. - Part A. - 2017. - P. 3767-3775.
7 Shunhua Zhou. Dynamics of Rail Transit Tunnel Systems. [Shunhua Zhou. Dynamics of Rail Transit Tunnel Systems] - Academic Press, 2019. - 276 p.
8 Slepyan, L. I. Nestacionarny'e uprugie volny. [Slepyan, L.I., Non-stationary elastic waves.] - L. : Sudostroenie, 1972. - 374 p.
9 Novaczkij, V. Teoriya uprugosti. [Novatsky V. Theory of elasticity.] - Moscow : Mir, 1975. - 872 p.
10 Guz\ L. I., Kubenko, V. D., Cherevko, M. A. Difrakciya uprugix voln. [L. I. Guz', V.D. Kubenko, M.A. Cherevko. Diffraction of elastic waves] - Kiev: Naukova dumka, 1978. - 308 p.
11 Timoshenko, S.P., Gud'er Dzh. Teoriya uprugosti. [Timoshenko S. P., Goodyear J. Theory of elasticity.] - M. : Nauka, 1979. - 560 p.
Материал поступил в редакцию 15.06.21.
М. И. Котова1, *Е. М. Ыбыраева2, А. В. Украинец3
1Математика жене математикальщ модельдеу институты, Казахстан Республикасы,Алматы к.; 2,3ТораЙFыров университет^ Казахстан Республикасы, Павлодар к. Материал 15.06.21 баспаFа тYстi.
ЖЫЛЖЫМАЛЫ ПЕРИОДТЫ ЖYКТЕМЕ ЭСЕР1НЕН ТУННЕЛЬ ТЕРЕНД1ГШЩ ОНЬЩ КЕРНЕУЛЬДЕФОРМАЦИЯЛЬЩ KYfflHE ЭСЕР
CepniMdi жарты кецiстiктегi шекс1з узын двцгелек цилиндрлт цуысца цозгалмалы синусоидалыц жуктщ эсер emyi туралы ecenmi шешуге негiзделген, эр тyрлi терецдiктегi цолдау кврсетшмеген туннельдi цоршап турган жыныс массасыныц кернеулидеформациялыц Kyüi оган осы жуктеме эсертен зерттеледi. Жарты кещстттщ цозгалысы цозгалмалы координаттар
жyйесiндегi сертмдшж теориясыныц динамикалъщ тецдеулерiмен сипатталады, оны шешу ушт айнымалыларды толыц емес белу ddici усынылады. Шешiм жуктщ жылдамдыгы царастырылатын ортадагы Рэлей толцыныныц жылдамдыгынан аз болган жагдайда цурылады. Есептеу нэтижелерт талдаудан туннельдщ терецдш оныц радиусыныц тертеуiнен артыц болганда, жер беттщ оныц кернеулт-деформациялыц кушне эсерi шамалы болмайтындыгы шыгады.
Кiлттi сездер: серпiмдi жарты кещстт, децгелек цилиндрлт цуыс, цозгалмалы синусоидалы жуктеме, Релей толцындары, тау массасы, туннель, туннель терецдш, кернеулер-деформация K^i.
M. I. Kotova1, *Ye. М. Ibrayeva2, A. V. Ukrainets3 institute of mathematics and mathematical modeling, Republic of Kazakhstan, Almaty; 2,3Toraighyrov University, Republic of Kazakhstan6 Pavlodar. Material received on 15.06.21.
INFLUENCE OF THE TUNNEL DEPTH ON ITS STRESS-STRAIN STATE UNDER THE ACTION OF A MOVING PERIODIC LOAD
Based on the solution of the problem of the action of a moving sinusoidal load on an infinitely long circular cylindrical cavity in an elastic half-space, the stressstrain state of the rock mass surrounding an unsupported tunnel of different depth of laying under the action of this load is investigated. The motion of the half-space is described by the dynamic equations of the theory of elasticity in a mobile coordinate system, for the solution of which the method of incomplete separation of variables is proposed. The solution is developed for the case when the velocity of the load is less than the velocity of the Rayleigh wave in the medium under consideration. From the analysis of the calculation results, it follows that when the depth of the tunnel is more than four of its radii, the influence of the earth's surface on its stress-strain state is insignificant.
Keywords: elastic half-space, circular cylindrical cavity, mobile sinusoidal load, Rayleigh waves, rock mass, tunnel, tunnel depth, stress-strain state.
