Развитие трещины в тонком брусе при импульсном нагружении Текст научной статьи по специальности «Физика»

С. А. Зегжда, Г. А. Синильщикова

РАЗВИТИЕ ТРЕЩИНЫ В ТОНКОМ БРУСЕ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ

1. Введение. Проблемой образования трещин в сплошной среде Н. Ф. Морозов занимается многие годы [1]. В 1996 г. он привлек к участию в решении этого вопроса кафедру теоретической и прикладной механики, поставив при этом задачу о том, как, используя уравнения Лагранжа второго рода, классическую теорию изгиба и постоянную Гриффитса, обосновать и развить «балочный» подход к проблеме распространения трещины [2-5]. В результате совместной работы было установлено, что в представлении прогиба берега трещины в виде ряда по балочным функциям консоли коэффициенты этого ряда и длина берега трещины могут рассматриваться как обобщенные координаты, закон изменения которых описывается уравнениями Лагранжа второго рода [6]. Задачи, решенные при использовании этих уравнений, приведены в статьях [6-10].

В уникальных экспериментах, проводимых на кафедре теории упругости Санкт-Петербургского государственного университета под руководством Ю. В. Петрова, изучается динамика развития трещины под действием импульса давления, приложенного к берегам первоначальной трещины. Целью данной работы является построение в рамках «балочного» подхода такой математической модели, которая позволила бы проанализировать результаты этих экспериментов. Воспользоваться при построении этой модели тем представлением прогиба берега трещины в виде ряда, о котором было сказано выше, препятствует то, что время действия импульса давления мало по сравнению с периодом даже достаточно высокой формы колебаний консоли исходной длины. Следовательно, должно быть учтено большое число членов ряда, что существенно осложняет вычислительный алгоритм. Построить математическую модель, позволяющую при небольшом числе степеней свободы описать динамику расщепления тонкого бруса при импульсном нагружении, оказалось возможным путем рассмотрения берега трещины как свободной балки, на движение которой наложены две голономные связи. Одна соответствует отсутствию прогиба в вершине трещины, а другая — отсутствию угла поворота. Реакциями этих связей являются соответственно перерезывающая сила и изгибающий момент в вершине трещины. В нулевом (квазистатическом) приближении эти две реакции, а также длина трещины могут рассматриваться как обобщенные координаты, закон изменения которых описывается уравнениями Лагранжа второго рода. Последующие приближения строятся за счет введения дополнительных координат, динамически учитывающих несколько первых собственных форм свободной балки.

Отметим, что подход к консоли как к свободной балке с двумя голономными связями при решении данной задачи использовался в кандидатской диссертации В. П. Сысика [11]. Математическая модель, которая была построена при этом, не имела того нулевого приближения, о котором было сказано выше. Причина в том, что нами здесь предлагается другая логика построения модели методом последовательных приближений. Она сложнее, зато позволяет ограничиться меньшим числом приближений.

2. Постановка задачи. Рассматривается динамика развития трещины в тонком брусе ширины Ь и толщины 2к. В брусе имеется технологический надрез длины Ь*, к берегам которого прикладывается импульсная нагрузка р() в виде давления, равно© С. А. Зегжда, Г. А. Синильщикова, 2007

мерно распределенная по всей площади берега. Размеры Ь и к считаем соизмеримыми друг с другом, а Ь* ^ к. Толщиной технологического надреза по сравнению с толщиной бруса можно пренебречь. С конца надреза начинает развиваться трещина. Расчетная схема задачи приведена на рис. 1.

Предположение о сохранении симметрии при развитии трещины позволяет ограничиться рассмотрением одного ее берега. Он рассматривается как консоль, заделанная в вершине трещины. Используя принцип освобождаемости от связей, консоль переменной длины Ь(£) будем рассматривать как свободную балку, к правому концу которой приложен изгибающий момент М(£) и перерезывающая сила Q(t). Свободная балка может, во-первых, перемещаться поступательно вдоль направления, перпендикулярного плоскости трещины, и поворачиваться вокруг оси, лежащей в плоскости берега трещины, и, во-вторых, изгибаться. Будем сначала считать, что изгиб балки носит квазистатиче-ский характер, т. е. происходит под действием уравновешенных реакциями связей сил инерции поступательного и вращательного движения балки как абсолютно твердого тела. Интенсивность сил инерции выражается через М(^ и Q(t), и поэтому прогиб любого сечения консоли в квазистатике однозначно определяется заданием величин М (^ и Q(t). Следовательно, в нулевом (квазистатическом) приближении перерезывающую силу Q(t), изгибающий момент М(^ и переменную длину балки Ь^) можно рассматривать как обобщенные лагранжевы координаты, но при условии, что Ь > 0, т. е. данная модель ни в квазистатическом, ни в последующих приближениях не позволяет описать смыкание берегов трещины. Полагается также, что расчеты ведутся, пока у(ж,^ > 0 (см. рис. 1).

Рис. 1. Расчетная схема: а) —нагружения; б) —распространения трещины в брусе.

Трещина при приложении нагрузки начинает распространяться тогда, когда изгибающий момент М (^ в вершине трещины начинает превышать критическое значение М*, которое с постоянной Гриффитса 7 связано соотношением [12, 6, 7]

Здесь Е — модуль упругости, J = Ьк3/12 — момент инерции поперечного сечения балки.

а)

б)

М* = л/^уЁТЪ.

(2.1)

3. Определение прогиба консоли в квазистатическом приближении. Прогиб свободной балки длины L(t) может быть представлен в виде

y(x,t) = q0(t) + ip(t)(x - L(t)) + Y^qi(t)Xi , (3.1)

где Xi (x/L(t)) —балочные функции свободной балки [13]:

nr

Xi(z) = sin Aiz + sh Aiz + Ai (cos Aiz + ch Aiz), z =

L(t)‘

Здесь Ai (i = 1,..., ж) — возрастающая последовательность корней уравнения sh Ai — sin Ai

ch Aj cos Aj = 1, Ai =--------------. Первое слагаемое в выражении (3.1) соответствует

ch Ai — cos Ai

поступательному перемещению свободной балки, а второе — ее повороту вокруг конца x = L(t).

Уравнения связей таковы:

= ^ + qiXi(1) =0, /2 = y(x,t) |x=L = qo + ^ qiXi(1)=0, (3.2)

f _ dy_

«'l Л

dx

В квазистатической постановке задачи считается, что кинетическая энергия системы равна кинетической энергии свободной балки как абсолютно твердого тела заданной фиксированной длины Ь, т. е. принимается, что

x=L i=1

dXj 1 dXi

dx z=1

Т = \ J Pbh (4о + Ф(х ~ L))2 dx = ^pbhL ^0 - ЧофЬ + ф2

(3.3)

где р — плотность материала.

Потенциальную энергию изгиба (см. [13, 14]) представим в виде

п «-»

где Мг = рЫгЬА:^

В уравнениях Лагранжа второго рода, соответствующих выражениям (3.3) и (3.4), из-за наличия связей (3.2) появятся множители Лагранжа, равные соответственно изгибающему моменту М и перерезывающей силе ^ в заделке. Имеем

& дТ Я/ й дТ д/2 ^ дП Я/ д/2 „ . _

~м-~ят ~ ~я—— ’ 37 я^~~ — ^я— — — я----^ я--------^я—— 1,-..,°о.

аг дс£> д<^> аг д(/0 дэд д^ д^ д^

Отсюда

М = рЪкЬ3<^ — —рЪЬЬ2цо^ <5 = рЪкЬдо — -рЫгЬ^ф, (3-5)

+ д§^ = мх'(1) + дх4(1). (з.б)

д^г д^г

Здесь щ —значение обобщенной координаты ^ в квазистатике.

Учитывая уравнения связей (3.2) и выражение (3.6), кривую прогиба в квазистатике представим в виде

у0{х, г) = Л1(г)/н + Ы*)ь-2 > (3-7)

где

л*) = ^

Е 7 ^ X;(1 )

м*) = £2- Е ^ - ^с1) - шт* -1)),

*=1 * *

Е 7 ^ X (1)

М*) = ТГ Е №(^) - ^(!) - - !)) •

*=1 * *

Чтобы получить простые аналитические представления для функций ^(г), ^(г), поступим следующим образом. Из выражения (3.5) следует, что интенсивность сил инерции, приложенных к консоли, такова:

( ^ 6М(£)(Х — 2х) | 2<3(£)(Ь — Зж)

?0М) = | —2 .

Вычисляя прогиб консоли под действием этой нагрузки и представляя его в виде (3.7), находим, что

, , ч 7 2 24 25 , , ч 1 2 24 25

Ъ,Лг) — — — — — — —1 h2(z) — — — — -\- — — —.

20 2 4 10’ А 7 20 12 12 20

4. Представление прогиба консоли и определение кинетической и потен-

циальной энергии в п-ом приближении. Используя выражения (3.1), (3.2), (3.7), прогиб консоли в п-ом приближении представим в виде

Уп(х,г) = г/0 Ом) +Е®(*)У* (тщ) ’ ('4'1')

где У*(г) = Х*(г) - Х*(1) - Х'(1)—(г - 1).

Рассматривая входящие в выражение (4.1) величины —, Лк, к = 1, 2, ч*, г = 1,..., п, как обобщенные лагранжевы координаты, получим следующее выражение для кинетической энергии:

лл Г™ (ауфЦ- Лх

2 У0 у дг

,,г/22 ^ 2 2 2 f 22

= ^^ Е Е Е ~ 2— ^ ^ ЛгЛд;Лг +

\к=1 1=1 к=1 1=1 к=1 1=1

п п 2 п п п п 2 п

+ЕЕ ЕЕ ЕЕ6^ ч + 2ЕЕ дк*Л кЧ *

*=1^=1 *=1^=1 *=1 ^=1 к=1 *=1

— 2 п — 2 2 п

- 2— ^ '^{ры^-кЧг + Гкг^кЧг) + 2-^ ЕЕ к=1*=1 к=1*=1

где

йк1 = Нк(г)Н1(г)(1г, вы = г2Н'к(г)Н'1(г)<1г, /к; = ^(г)^^)^,

0 0 0

1,1 ^ ^-(г), _ Г1

/о ./о ' й(А^) ’ ^ ~~ ^ * Л> ~ <К\г) 3{Х^)'

ац = I Yi{z)Yj{z)dz, Ьц = \^ I гУг(г) ^ }с1г, сц = \^ [ г2 | \<1г,

Г1 Г1 Г1 й^*(г)

Зь = Ьк(г)¥1(г)<1г, ры = Ь,'к(г)У1(г)<1г, гы=\ г1гк(г)—\—-<1г,

ио ^ ио а(Лгг)

вы = А* [ г2Ъ!к{г)(^^Х\(1г, i,j = l,...,n, к, I = 1,2.

7о а(Л*г)

Здесь штрих обозначает производную по 2.

Потенциальная энергия системы такова:

Гь(4) /д2уп(х,г)\2,

2 2 2

^к! ЛкЛ; + ^ЕЕ ик*ЛкЧг +^ V* Чг2 I ,

где

2 У0 V дх2 I 2Ш)Э ч

,/0 у 7 \к=1 ; = 1 к=1 *=1 *=1

"1 /• 1 ,йу /• 1 / ,]2 V /г)\ 2

ты= Ь,'1{г)Ц'{г)<],г, иы = X2 ^ (1г, vi = Х^ ^ ) З'г-

5. Определение обобщенных сил, соответствующих введенным координатам. Давление, характеризующее импульсную нагрузку, приложенную к берегам трещины, зададим в виде

,,(!)={ »>2 (^). »<*<<. . (5л)

о, г* < г.

Вычисляя возможную элементарную работу, совершаемую этой нагрузкой, получаем гь{г) / 2

о

/■Ь(4) /" ^ —

= бр(г) / ^у(х,г)ох = бр(г)—(г) I ^к^Лк(г) + 2_,^%(г)+

о

к=1 *=1

( 2 п А ^—(г) \ /* 1 /* 1

+ ( Е^Лй^ + Е^(^) ) ) , № = у Ьк{г) с1г, щ = J У^г) (1г.

чк=1 *=1 / —(г) /

Отсюда следует, что обобщенные силы, соответствующие данной внешней нагрузке, таковы:

^Лк(г) = &мкр(г)—(г), Фч(г) = б^р(г)—(г), фь(г) = бр(г) |^мкЛк(г) + ^^Ч*(г)) .

\к=1 *=1 /

Рассмотрим элементарную работу, затрачиваемую на раскрытие трещины:

М7 = -76^—.

Отсюда следует, что при раскрытии трещины (Ь > 0) обобщенная сила, соответствую-

щая координате Ь, равна ^ь — 76-

6. Уравнения Лагранжа II рода и их представление в безразмерном виде.

Система уравнений Лагранжа второго рода при раскрытии трещины имеет вид

До начала раскрытия трещины вместо последнего уравнения ставится условие Ь = Ь* -Это условие будем рассматривать как голономную связь. Обобщенная реакция этой связи выражается (см- [14]) формулой

Эта реакция характеризует силу, препятствующую раскрытию трещины. Ее значение по модулю не может быть больше 76- Следовательно, как только величина Яь по модулю станет больше, чем 76, начнется раскрытие трещины. При этом интегрируется система (6-1)- Условием прекращения раскрытия трещины является уменьшение величины Ь до нуля при Ь < 0- Условие продолжения раскрытия трешины аналогично условию начала ее раскрытия-

Перейдем к безразмерным переменным- Для того, чтобы система (6-1), записанная в них, не содержала других параметров, кроме величин, характеризующих внешнюю нагрузку, будем использовать подход, предложенный в [6-10] - Рассмотрим консоль длиной Ь*, находящуюся под действием постоянной распределенной нагрузки, интенсивность которой такова, что момент в заделке равен критическому- Тогда прогиб свободного края и постоянная 7 с учетом (2-1) могут быть представлены в виде

Под действием нагрузки (5.1) балка, которую в ввиду кратковременности действия нагрузки можно рассматривать как свободное твердое тело массы р^6Ь*, приобретет скорость

Приравнивая кинетическую энергию этой массы к энергии, необходимой для раскрытия трещины на величину Ь*, получим

(6.1)

<1 дТп дТп А дЬ дЬ ;=ї

Ь=Ь=0

(6.2)

Ч* =

4ЕЛ 0Ь*

Используя эти выражения, перейдем к безразмерным переменным:

£(£) = Ь*а(т), Лі(і) = д*Л і(т), Л2 = д*Л 2(т), <^(£) = д*ві(т).

Отметим, что при действии произвольной нагрузки Ртах значение а = Ь/Ь* не превзойдет величины атах = 1 + (Ртах /рПах )2 •

5. Результаты расчетов. Для решения полученной системы уравнений была разработана программа на языке Рогітап 95, реализующая метод Рунге—Кутта—Мерсона. Расчеты проводились для значений параметров, соответствующих условиям экспериментов, проводимых на кафедре теории упругости С.-Петербургского государственного

п = 0

п = 3

Рис. 2. Результаты расчетов при Ртах = 0, бр^ах, атах = 1, 25.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

п=0

п=3

Рис. 3. Результаты расчетов при ртах = 0, 75ртах, атах = 1, 56.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

п=0

п=3

Рис. 4. Результаты расчетов при Ртах = ртах, а тах = 2.

университета. Принималось: h = 10 мм , L* = 100 мм, р = 1600 кг/м3, E = 3000 МПа, Y = 3000 Дж/м2, t* =4 • 10-6 с. При этих значениях параметров pmax = 155 МПа. Величина pmax варьировалась в диапазоне от 0, 5pmax до 1, 5р^ах.

Г рафики зависимости длины трещины а от времени т при разных значениях pmax для n = 0 и n = 3 приведены на рис. 2-5. В пояснениях к каждому графику указана максимальная длина трещины amax, а в подрисуночных надписях приведены значения величин amax.

Расчеты показали, что различия между значениями, полученными в третьем и последующих приближениях, несущественны. Следовательно по третьему приближению можно судить о погрешности нулевого приближения. Как видно из рис. 2-5, нулевое приближение в основном дает правильное представление о процессе раскрытия трещины.

Summary

S. A. Zegzhda, G. A. Sinilshchikova. The propagation of a crack in a thin beam under impulse loading.

The dynamics of propagation of a crack in a thin beam under the impact action of pressure on the crack edges is studied. The crack is supposed to propagate in the symmetry plane of the beam. The length of the crack, as well as the transversal force and the bending moment at the crack tip, are considered as generalized Lagrangian coordinates in the zeroth approximation. Successive approximations are constructed by introducing additional coordinates that make it possible to consider a few first modes of bending vibration of a free beam dynamically and all the rest — quasistatically. The algorithm of construction of these approximations is offered. The results of numerical calculation are presented. The convergence analysis of the given method of successive approximations is done. The dependence of dynamics of the crack propagation on the loading parameters is investigated.

Литература

1. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. 157 с.

2. Гилман Дж. Дж. Скол, пластичность и вязкость кристаллов // Атомный механизм разрушения. М.: Металлургиздат, 1963. С. 220-253.

3. Слепян Л. И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981. 296 с.

4. Михайлов А. М. Динамические задачи теории трещин в балочном приближении // ПМТФ, 1966. №5. С. 167-172.

5. Михайлов А. М. Обобщение балочного подхода к задачам теории трещин // ПМТФ, 1969. №3. С. 171-175.

6. Зегжда С. А., Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н. О «балочном» подходе в задачах распространения трещин // Механика твердого тела. №3, 1999. С. 114-120.

7. Георгиев И. Г. Динамика развития трещины в тонком брусе // Вестник молодых ученых. Серия: Прикладная математика и механика. СПб.: Изд-во СПбГТУ, №4, 2000. С. 92-101.

8. Зегжда С. А., Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н. Распространение трещины в тонком брусе при внедрении клина // Деформирование и разрушение материалов с деффектами и динамические явления в горных породах и выработках. Сб. научных трудов IX международной научной школы. Симферополь, 1999. С. 32-33.

9. Зегжда С. А., Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н. Развитие трещины при внедрении клина по заданному закону // Деформирование и разрушение материалов с деффектами и динамические явления в горных породах и выработках. Сб. научных трудов X международной научной школы. Симферополь, 2000. С. 55-56.

10. Зегжда С. А., Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н., Сысик В. П. Динамика развития трещины внутри бруса // Деформирование и разрушение материалов с деффектами и динамические явления в горных породах и выработках. Сб. научных трудов XI международной научной школы им. акад. С. А. Христиановича. Симферополь, 2001. С. 66-67.

11. Сысик В. П. Использование уравнений Лагранжа в теории удара и в динамике развития трещин. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб., 2002.

12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 7. М.: Наука, 1965. 204 с.

13. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. 559 с.

14. Зегжда С. А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М. П. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. Новый класс задач управления. М.: Наука, 2005. 268 с.

Статья поступила в редакцию 15 марта 2007 г.