CC BY
24
Динамика конструкций и сооружений
ДИАГНОСТИКА ПОВРЕЖДЕНИЙ БАЛКИ НА ШАРНИРНЫХ ОПОРАХ
М.А. ИЛЬГАМОВ, д-р. физ.-мат. наук, профессор, член-корр. РАН А.Г. ХАКИМОВ, канд. физ.-мат. наук, вед. научный сотрудник Учреждение Российской академии наук «Институт механики Уфимского научного центра РАН»,
450054, Республика Башкортостан, Уфа, пр. Октября, 71.
Надрез является моделью повреждения балки, в частности, поперечной раскрытой трещины. Показано, что по первой собственной частоте изгибных колебаний балки можно сделать вывод о наличии дефектов. По трем собственным частотам изгибных колебаний балки определяются координата надреза, его глубина и длина.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: собственные частоты, изгибные колебания балки, надрез.
Наиболее распространенным элементом строительных конструкций является балка на шарнирных опорах. Поэтому здесь приводится методика определения параметров повреждения балки по собственным частотам свободных изгибных колебаний. В случае стержней конечной длины для определения наличия его дефектов может быть использовано изменение спектра собственных частот изгибных колебаний [1, 2] или изменение частоты собственных продольных колебаний [3]. В [4] дается решение задачи определения переменной площади поперечного сечения от продольной координаты по известной зависимости перемещения свободного конца стержня от частоты возмущающей силы. Решению обратных задач о продольных установившихся волнах в стержнях конечной длины посвящена работа [5].
Предлагается математическая модель для описания и определения дефекта балки постоянного поперечного сечения. Поэтому рассматриваются изгибные колебания балки на шарнирных опорах (рис. 1.) Предполагается, что в балке имеется короткий участок (по сравнению с общей ее длиной) с меньшей площадью поперечного сечения. Этот надрез моделирует ее повреждение, в частности, повреждение, типа раскрытой трещины. Задача состоит в определении координаты надреза и его размеров в приближении гипотезы плоских сечений.
Обозначим через Ь, 3 длину и момент инерции поперечного сечения балки, Е,р- модуль упругости, плотность, через 1,хс - длину надреза и его координату, м> - прогиб балки.
Уравнение, определяющее форму изгибных колебаний балки, имеет вид
где т - масса единицы длины балки, ю - частота. Отсчитывая координату х от точки крепления, запишем граничные условия для шарнирного закрепления балки
Обозначая функции при хс и хс +1 индексами «-» и «+», записываются условия стыкования решений при х - хс и х — хс +1
(1)
=0 х=Ь .
(2)
= и-_ +/8т9_,9+ =9_ +1к,
М+=М_, в+=в-+-Ф
(д2^ д2^ ^
дГ
- + -
а2
(3)
где М, Q - изгибающий момент и перерезывающая сила, которые определяются по формулам
,д2м>
д3м>
(4)
к - средняя кривизна в пределах надреза, равная к ~ 9+ -9 II, /../ - площадь и момент инерции поперечного сечения балки в зоне надреза.
О 1 1
1 г X
Хс <-с—► « 1 в
И
Н
Рис. 1
В пределах надреза учтена усредненная инерционная сила. Изгибающий момент М = ЕЖ равен тому же моменту М_ (или М+ ). Из равенства М ~ М следует И
к =
3 д2м>
./ дх2
Условия (3) с учетом (4) и (5) записываются в виде
, дм) дч>
(5)
м/+ =м/_ +1 д2м>
дх дх дх д2м> д3м>, д3м>
дм> , УЗ2«» ■ + /
3 дх
2
2
_______рА®
дх2 дх2 ' Эх3 дх3 2Ы Пользуясь в дальнейшем обозначениями
(6)
м>
I
т2 2 рь со
4 =—, м> =—, р =—, у=—, 8 = -, СУ =
Ь Ь Е 3 3 Ь Е
представим (2), (6) в виде
ч=о,^=о 5 = 0
+8
д\у дм. ди>
8 д2м>
дV
д£, ' у д^2
д2м>_ д3м>+ д3м>_ ерО2
(7)
д'%2 д^2 ' д'%3
д%3
2
Здесь индексы «1» и «2» относятся к решениям уравнения (1) при О < В, <В,С, < ^ < 1, соответственно.
Для балки прямоугольного сечения условия (7) принимают вид
п 1/3 ¿2 Л3
Р = У — У = Т7Т,
w, = w + S-
H¿ н
dw_ dw, dw_ в d2w_
8дdi, у д\1 d2w+ _ d2w_ d3w+ _ d3w_ sy 1/3Q2L2 д^ ~ д% ' д^3 ~ д^3 2H2
(8)
где h - высота поперечного сечения балки.
Таким образом, в приведенной простейшей модели надреза фигурируют его координата \с и параметры надреза у и е.
Прогиб балки на двух участках представляется в виде [6]
Wj = Схух + С2у2 + С3у3 + С4у4, w2 = С5ух + С6у2 + С7у3 + С8у4,
cos Xt + с h/-c sin Хс + sh/.r
где ух =-^--,J2 =-^-
-cos)ii; + ch)ii: -sin Хс + sh/.c
Уз =-~-' У 4 =---,
,4_л*4Г4 12pco2Z4 12Z2Q2
а —к L, — -
ЕН2 Н2 '
- линейно независимые решения уравнения (1) [6], удовлетворяющие условиям ух 0 =1,^' 0 = 0,у1" 0 = 0,у1"' 0 =0,
у2 0 = 0, у2' 0 = Х,у2" 0 = 0, у2"' 0=0,
>>з 0 = 0, у3' 0 = 0, у3" 0 = Х2,у3т 0=0,
74 о =0,У4' о =0,У4Щ о =0^4™ 0 Функции у, у2, у3, у4 связаны между собой соотношениями У\' = ЪУь,Уг' = ^Уз' = *У2>Ул' = ХУз, у1" = Х2у3, у2" = X2 у 4, уз" = X2 ух, у4" = X2 у2,
У\"' = ^У2,У2"' = ^з^з"' = "' =
Граничные условия и условия (7) в развернутом виде записываются
С1=0,С3 = 0,
С5>1 1 +СбУ2 1 +С7Уз 1 + С8>4 1 =0, С5Угщ 1 +Сбу2" 1 + С7у3" 1 + С8у4" 1 =0,
СзУ\ +СбУ2 +С7Уз +С*У4 =
= С2у2 с +С4у4 с +г\С2у2} + С4у4' ],
сзУ\ Чс + е + С6>>2 Чс + е + с7у Чс + е + С8у4 Чс + в =
р (9)
= С2>>2' + С4у4' + -[С2>>2" + С4у4" ],
С5< + С6у2" 5С+8 +с7у з" +СЛ" = = С2>>2" + СЛ" ,
С^'" £с+8 +С6>>2'" ^+8 +С7^з" 5с+8 5с+8 =
\Z3q2J-2
= С2у2" ^ + С4у4"' - У [С2^2 +С4_у4 +
АН
+ С5У\ +СбЗ;2 +С1Уъ +С83;4 +8 ]•
Уравнения (9) с учетом вышеприведенных соотношений принимают вид
С5>1 1 +СбУ2 1 + С7>3 1 +С8>4 1 =0, С5.У3 1 + СбУ* 1 +С7>'1 1 +С8>'2 1 =0,
СзУ\ +СбЗ;2 ^С+8 +С7Уз ^С+8 +С83;4 = = С2у2 \с +С4^4 +8Х[С2^ + С4_у3 ],
С5у4 5с+8 +СбЛ 5с+8 +С7у2 ^+8 +С8_Уз ^+8 =
ек
= С2уг +С4>>3 +—[С2у4 + С4>>2 ],
7
С5Уз %8 + С6>4 + С7>1 + С8>2 =
= С2УА £с +С4У2 %с ,
С5У2 5с+8 +СбУ з ^+8 +С7>>4 ^+8 +С%уг =
8У1/302!2 г
= С2>,3 +С4>,1 --ггт-¿тЛргУг ^ + С4>4 \с +
2Л Н
+ СъУ1 ^+8 +сб>>2 ^+8 + С7_у3 +с8>>4 ^+8 ].
Разложим функции у1 + £ , у2 + 8 , >4 +8 ,>'4 £,с+е в окрестности точки 8 = 0 в ряды по степеням 8
У\ + е =>"1 4с +^4 е,
72 ^ + 8 =>"2 ^ е,
>з ^с + 8 = Уз +^2 8,
У4 + е =У4 + 1Уз 4с 8, Система уравнений (10) с учетом соотношений (11) записывается
С5>1 1 +С6>2 1 +С1Уз 1 + С8>4 1 =0,
С5Уз 1 + С6>4 1 + С7>1 1 +С8>2 1 =0,
С5[У1 5с +^4 8] + Сб[>;2 8] +
+ ^2 8]+С8[>;4 +^Уз 8] = = С2у2 \с +С4у4 \с +гк\С2у1 %с + С4_у3 ],
+ 8 + С8 Уз + ^2 8 =
сХ
= С2У1 с +С4>'3 +С4У2 £с ],
Сз[Уз 4с е] + С6[у4 +^3 е] +
+Су[з;1 ^ ^ е] + с8[з;2 ^ ^ 8] = (12)
= С2У4 %с +С*Уг %с ,
Сз[У2 4с 8] + Сб[л 8] +
+С7[3;4 4с 8] + С8[З;1 + ^4 8] =
8У1/3 О2!2 г
= С23;3 ^ +С43;1 --[О^З +С43;4 ^ +
2Л Н
+С5[Л 8] + Сб[з;2 8] +
50
Г, Гц
40
30 -
20
//
// / 1 /
// 1 I
1 1 '/
/
25
50
75
100
мм
Рис. 2. Зависимость частоты изгибных колебаний балки от высоты поперечного сечения балки в зоне надреза для хс = 1000 мм - пунктирная линия, хс = 500 мм - сплошная линия.
Для того, чтобы С2, С4 -ь С8 не были равны нулю одновременно, необходимо, чтобы следующий определитель основной матрицы был равен нулю. Это условие дает частотное уравнение, которое здесь не приводится. Из полученного частотного уравнения по трем собственным частотам можно определить координату надреза £с., его параметры у и е. Расчеты проведены для следующих параметров балки: Е = 2-1011 Па, р = 7800 кг/м3, Ь = 2000 мм, В = 50 мм, Н = 100 мм, X = 1000 мм, I = 10 мм (рис. 1). При этом вычисленные значения первой, второй и третьей собственных частот балки без надреза /1 = 57.403 Гц, /2 = 229.613 Гц, /3 = 516.63 Гц. На рис. 2 даются зависимости первой собственной частоты изгибных колебаний от высоты поперечного сечения балки в зоне надреза для I = 10 мм, определенные расчетами по формулам (12). Видно, что уменьшение высоты поперечного сечения балки в зоне надреза приводит к уменьшению первой собственной частоты изгибных колебаний. А на рис. 3 даются зависимости первой собственной частоты изгибных колебаний от высоты
поперечного сечения балки в зоне надреза для хс = 1000 мм и различных значений длины надреза I. При одной и той же глубине надреза первая частота меньше для надреза с большей длиной. На рис. 4 даются зависимости первой собственной частоты изгибных колебаний от координаты надреза. Видно, что увеличение координаты надреза до середины балки приводит к уменьшению первой собственной частоты изгибных колебаний.
50
40
Г, Гц
30
20
25 50 75 100
к, мм
Рис. 3. Зависимость частоты изгибных колебаний от высоты поперечного сечения балки в зоне надреза для I = 0.1 мм - штрих - пунктирная линия, I = 1 мм - пунктирная
линия, I = 10 мм - сплошная линия.
57
56"
Г, Гц
55
54
Рис. 4. Зависимость частоты изгибных колебаний балки от координаты надреза для к = 50 мм - пунктирная линия, к = 40 мм - сплошная линия
Таким образом, по первой частоте изгибных колебаний балки можно сделать вывод о наличии дефектов.
/ / / / / / 1 / »» '
\ \ \ \ \ \
250 500 750 1000
х& мм
Также по трем частотам изгибных колебаний можно определить координату, длину и глубину эквивалентной трещины (надреза), например, для f = 57.2 Гц, f = 228.6 Гц, f = 515.0 Гц, решая систему трех нелинейных частотных уравнений для балки с вышеприведенными данными: E = 2-1011 Па, р = 7800 кг/м3, L = 2000 мм, B = 50 мм, H = 100 мм, получаем, что координата надреза хс = 927.5 мм, длина надреза l = 0.26 мм, высота поперечного сечения балки h = 32.3 мм.
Работа выполнена в рамках гранта РФФИ 08-01-97008-р_поволжье_а.
Л и т е р а т у р а
1. Ваньков Ю.В., Казаков Р.Б., Яковлева Э.Р. Собственные частоты изделия как информативный признак наличия дефектов. Электронный журнал «Техническая акустика», http://ejta.org, 2005, 5.
2. Ильгамов М.А., Хакимов А.Г. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом. Дефектоскопия. 2009. Том 45. № 6. С. 83-89.
3. Ильгамов М.А. Диагностика повреждений вертикальной штанги. Труды института механики УНЦ РАН. Вып. 5. - Уфа: «Гилем», 2007, с. 201-211.
4. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007, 224 с.
5. Ватульян А.О., Солуянов Н.О. Об определении местоположения и размера полости в упругом стержне. // Дефектоскопия, 2005, № 9, с. 44-56.
6. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Том 3. Под общей редакцией И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968, 568 с.
DAMAGE DIAGNOSIS OF A HINGE SUPPORT BEAM
M.A. Ilgamov, A.G. Khakimov
The incision is a model for beam damage, specifically, for an open cross crack. It is shown that one can draw a conclusion about the presence of damage flaws judging by the first natural frequency of beam flexural vibrations. The incision coordinate, its depth and length are defined by three natural frequencies of beam flexural vibrations.
KEY WORDS: natural frequencies, beam flexural vibrations, beam dam-
