Движение трещины при кратковременных импульсных нагружениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

ДВИЖЕНИЕ ТРЕЩИНЫ

ПРИ КРАТКОВРЕМЕННЫХ ИМПУЛЬСНЫХ НАГРУЖЕНИЯХ

B. А. Морозов

C.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, vaa@math.spbu.ru

Введение

Обоснование и развитие «балочного» подхода к проблеме распространения трещины с использованием уравнений Лагранжа, классической теории изгиба и постоянной Гриффитса было сделано в работах [1—5]. Уравнение движения трещины, которая распространяется за счёт квазистатических сил, выведено и исследовалось в работах [6, 7]. Изучение движения трещины при динамическом (или волновом) воздействии осуществлялось авторами работ [8, 9]. Отметим, что при определении динамического напряжения разрушения и формулировании динамического критерия прочности важным является время взаимодействия с системой. Здесь уже существует принципиальное отличие от статического критерия, например, порогового закона Гриффитса или критерия разрушения Мизеса.

а б

Рис. 1. Система координат (а), луч раскрывания трещины (б).

В рассматриваемой задаче при выводе уравнения движения трещины будем использовать метод построения уравнения движения Лагранжа [9]. Предполагаем, что импульс волны напряжения распространяется вдоль продольной оси призматического прямоугольного бруска, который содержит трещину длиной I (1-й тип деформирования [10]), простирающуюся через всю ширину бруска (рис. 1, а). Материал образца предполагается линейноупругим. Трещина представляет препятствие для прохождения импульса напряжения. Поверхности трещины могут рассматриваться как свободные

© В. А. Морозов, 2010

поверхности, следовательно, при отражении от них импульса напряжения появляются растягивающие напряжения вблизи этих поверхностей (зона суперпозиции, рис. 1, б). Свободный конец трещины не будет открываться до тех пор, пока генерируемое напряжение на кончике трещины не будет достаточной величины, чтобы происходило её распространение. Однако, если импульс нагружения такой длительности, что за время его действия не будет достигнута достаточная величина напряжения, кончик трещины не будет двигаться. Поэтому, очевидно, что для каждой данной длины трещины существует не только критическое напряжение, но также и критическое время его продолжительности.

1. Уравнение движения трещины

Приповерхностная область трещины, в которой происходит суперпозиция падающего и отраженного импульсов напряжения, может быть рассмотрена как полоса одинакового напряжения а (амплитуда напряжения), построенная на кончике трещины (рис. 1, б). Предполагается, что волна напряжения представляет собой прямоугольный импульс длительностью т. Выбранная система координат показана на рис. 1, а. Рассматривая поверхность трещины как балку, защемлённую концом и нагруженную сплошной нагрузкой, запишем уравнение прогиба [11]:

у = (¿¡х'~ Т,13* + ¡1') ’ (1)

где J — момент инерции, Е — модуль упругости, Ь — ширина бруска, I — длина трещины. Отметим, что ширина области Н, где происходит суперпозиция падающих и отражённых импульсов напряжения, не является постоянной, она расширяется со скоростью поперечных волн «а», так что Н = а£. Уравнение движения Лагранжа для рассматриваемого случая будет

! (дЬ\ дЬ

л и ) “ Ж = 0 (2)

Необходимо отметить, что данное уравнение справедливо при действии только потенциальных сил. Функция Лагранжа Ь по определению есть разница между кинетической энергией Т и потенциальной энергией Р: Ь = Т — Р.

Кинетическая энергия элемента полосы суперпозиции волн НЬ!х будет

,1Т= у"(*) ,1х’

где р — плотность материала образца. Интегрируя это выражение с использованием уравнения (1), получаем

т рЬаЧЧЧ*

2А.РЕ‘2 ' 1 ;

Потенциальная энергия Р будет складываться из двух частей: потенциальной энергии деформации V и поверхностной энергии трещины 5 (Р = и+5). Из теории прогиба балки [11] находим выражение для потенциальной энергии деформации:

1 /■1

П = 2Ё1 ]0 М’2('Х')ЛХ’ ^

где М(х) = 1/2аЬх2 —изгибающий момент.

Тогда

„ аЧ2 [' 4 , a2b2l5

u = Wj),xix=mEj (5)

Поверхностная энергия S эквивалентна удельной поверхностной энергии 7 той области, которая была задействована при движении трещины. Если lo — первоначальная длина трещины, то мы имеем

s = (i - io)h. (6)

Из уравнений (3), (5) и (6) получим выражение для функции Лагранжа: т Т р Т тт a pha2b3l7i2 а2Ъ215

■М.Р& - Ш7 <7>

Формируя производные в уравнении Лагранжа (2) и учитывая, что h и J являются функциями времени t, получаем уравнение движения трещины:

ШЧ + 7i2l6t - Ш17 = - —ft3. (8)

6а2 4

Уравнение (8) есть нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка для трещины, распространяющейся тогда, когда напряжение постоянной амплитуды а приложено мгновенно. Далее исследуем асимптотическое и частное решения этого уравнения. Из асимптотического решения будет получено выражение для конечной скорости трещины, а из частного решения — критерий динамической прочности.

2. Асимптотическое решение уравнения движения трещины и конечная скорость

Из опытов по квазистатическому нагружению материалов [12] известно, что скорость распространения трещины постоянна. Кроме того, эта постоянная конечная скорость не зависит от движущих сил (величины напряжения) и внутренних напряжений в материале, через который трещина проходит. Предположение о конечной скорости для коротких импульсов напряжения до некоторой степени спорно. Однако можно сделать оценки стационарной скорости трещины и времени выхода на неё.

Можно показать, что для больших t членом jEa7/(6а2) в уравнении (8) можно пренебречь. Так как он является единственным членом в уравнении движения трещины (8), который содержит а и 7, можно видеть, что конечная скорость не зависит от движущей силы и возможных внутренних напряжений, которые могут добавлять некоторую компоненту к а. Отметим, что факт слабой зависимости долговечности образцов от величины напряжения и их исходной прочности был установлен в работе [13]. Тогда (8) можно представить как

... а4

2llh + 7l2l2t - 10U3 + —t3 = 0. (9)

4

При t ^ ж выражение для длины трещины можно записать в виде линейной зависимости от времени: I = at, где а = I = const. При этом ускорение движения трещины равно нулю (I = 0). В данном случае уравнение (9) примет вид

4

7a4t3 — 10a4t3 Н--------13 = 0,

4

откуда

а4 I 1

За4 = —, а = \ — ■ а т 0, 537а. 4 ’ V 12

Таким образом, стационарная скорость движения трещины составляет примерно половину поперечной скорости звука, что находится в соответствии с опытными данными [12].

Оценим время выхода трещины на стационарную скорость. При больших Ь в уравнении (8) можно пренебречь двумя членами 21/7Ь и ^Еа7/(6а2)Ь6 по сравнению с остальными. Тогда его можно записать в следующем виде:

а4

7121Н - юн3 + — г3 = о. (ю)

4

Представим уравнение (10), считая / и / известными величинами, в виде кубического уравнения относительно времени Ь:

г3 + рЬ + д = 0, (11)

где р = 28/2/2/а4, д = —40/3//а4. Решение данного уравнения позволяет оценить время выхода трещины на стационарную скорость. Для трещины длиной 10 мм и характерной поперечной скоростью 103 м/с (/«!« 0, 5 - 103 м/с) время достижения стационарной скорости порядка 30 мкс, т. е. оно находится в микросекундном диапазоне длительностей. Эксперименты по разрушению стекла подтверждают эти результаты [14].

3. Движение трещины при импульсном нагружении.

Критерий динамической прочности

Члены в левой части уравнения движения трещины (8) содержат производные по времени. Пока трещина не движется, левая сторона уравнения (8) равна нулю. Когда волна напряжения достигает трещины, при достаточной интенсивности напряжения на кончике трещины может произойти отклонение стенок трещины. То есть её движение начинается не в момент приложения напряжения, а с некоторым запаздыванием т (рис. 2). Попытаемся определить эту временную задержку и связать её с длиной трещины. Данное время можно назвать характеристическим, так как только при соответствующем значении амплитуды напряжения в волне и соответствующей длительности волнового импульса может начаться движение трещины. Установим связь между длиной трещины /, амплитудой волны а и характеристическим временем т.

При Ь = —т (рис. 2) / = /о, 1 = 0, I = 0. Тогда из уравнения (8) мы получим

7Еа7 _3 = а4_14

откуда

Так как ат = Н (см. рис. 1, б),

6а2 4

3 а2

4 2 7ЕН?

(12)

3 а2

Смещение частиц среды в волне за время т будет

5 = ит, (13)

Рис. 2. Движение трещины при импульсном нагружении.

где и — массовая скорость (скорость частиц в волне). Движение свободного конца трещины согласно уравнению (1) будет

ab Iq 1Ё 8

Подставив в выражение (14) значения E = pa2,J = bh3/12 и приравняв его к (13), получим

¿ = 3/(0) =у\х=о = (14)

3 al g

(15)

2 pa2h3u

Учитем, что напряжение в волне а = pau, h = ат, тогда (15) примет вид

( 3 \ 1/4

ат = l0 (-J = h « 1, 11/0. (16)

Из выражений (12) и (16) получаем

Y E

/о = 0,9-Ц-. (17)

а

Уравнение (17) представляет собой уравнение типа Гриффитса [15]. Оно не содержит времени, поэтому из него следует, что для данной длины трещины пороговое напряжение одинаково и для статических, и для динамических условий нагружения, что было

экспериментально подтверждено авторами работы [16].

Из уравнения (16) (ат « 1,111 о) вытекает, что длинные трещины более устойчивы к воздействию импульсной нагрузки, чем короткие, т. е. движение трещины начинается, когда выполнено условие

г >1,11-, (18)

а

где т —длительность воздействующего прямоугольного импульса напряжения.

Из уравнения (16) следует, что 1 ^ ат/1,11, а из (18) — 1 ~ 7Е/а2 Из равенства этих двух выражений получаем соотношение

2

Ч-”кЪ (19)

где т — минимальная длительность воздействующего импульса напряжения, при которой начинается движение трещины, к — константа порядка 1.

Размерность величин в левой и правой частях уравнения (19) представляет собой некоторое «удельное действие» (произведение удельной энергии — объёмной плотности энергии — на время). Выражение (19) показывает, что волна напряжения, которая характеризуется амплитудой а и длительностью т, должна иметь некоторое наименьшее «действие» ^/а, для того, чтобы произошло распространение трещины. Это уравнение может быть интерпретировано как применение принципа наименьшего действия Гамильтона.

С целью показать отличие критериев разрушения в статическом и динамическом условиях нагружения, определим эффективную поверхностную плотность энергии на разрыв 7эф, которая является одной из важнейших характеристик разрушения, для двух упомянутых случаев. В качестве примера рассмотрим движение трещины в поли-метилметакрилате (ПММА). Приведем данные наших экспериментов: пороговое напряжение разрушения а = 70 МПа, модуль Юнга E = 8, 8 • 109 Па, поперечная скорость звука а =1,121 • 103 м/с, длительность импульса т = 20 мкс, первоначальная длина трещины 1о = 1 мм.

Согласно выражению (17) определим статическое значение

стат а21о 0, 49 • 1016 • 10-3 7эф ~0,9Е~ 0,9 • 8,8 • 109 “ ’ ' Н^М'

Из соотношения (19) получим динамическую величину

Д1Ш 0,49 . 1016 ■ 20 1<Г6 1,1 103 , „ ,„4 ,

А = — =-----------------мЛ55-------------= '•2 •10 н/м

Как видим, динамическая величина эффективной поверхностной плотности энергии на разрыв в 20 раз превышает ее статическое значение. Данный факт подтверждает полученное ранее в работах Ю. В. Петрова и др. [17, 18] подобное соотношение величин

7эсфат/7эдфн из принципиально другого подхода, основанного на критерии инкубационного времени.

Заключение

В рамках «балочного» подхода на основе построения уравнения Лагранжа для рассматриваемой системы выведено уравнение движения трещины при импульсном нагружении. Рассмотрены асимптотическое и частное решения полученного уравнения, позволяющие оценить стационарную скорость движения трещины и характерные временные параметры, такие как длительность импульса, при которой трещина начинает двигаться, и время выхода трещины на постоянную скорость. Сформулирован динамический критерий распространения трещины при импульсных нагрузках. Показано, что в условиях динамического нагружения величина эффективной поверхностной плотности энергии на порядок и более превосходит ее значение при статических испытаниях.

1. Зегжда С. А., Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н. О «балочном» подходе в задачах распространения трещин // Механика твердого тела. №3, 1999. С. 114-120.

2. Георгиев И. Г. Динамика развития трещины в тонком брусе // Вестник молодых ученых. Серия: Прикладная математика и механика. СПб.: Изд-во СПбГТУ, №4, 2000. С. 92-101.

3. Зегжда С. А., Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н. Распространение трещины в тонком брусе при внедрении клина // Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках. Сб. научных трудов IX международной научной школы. Симферополь, 1999. С. 32-33.

4. Зегжда С. А., Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н. Развитие трещины при внедрении клина по заданному закону // Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках. Сб. научных трудов X международной научной школы. Симферополь, 2000. С. 55-56.

5. Зегжда С. А., Синильщикова Г. А. Развитие трещины в тонком брусе при импульсном нагружении // Вестник СпбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 3. С. 15-23.

6. Berry J. P. // J. Phys. Solids. 1960. Vol. 8. P. 194.

7. Graggs J. W. Fracture of Solids. New York: John Wiley and Sons Inc., 1963.

8. Гилман Дж. Дж. Скол, пластичность и вязкость кристаллов // Атомный механизм разрушения. М.: Металлургиздат, 1963. С. 220-253.

9. Steverding B., Lehnigk S.H. Response of Cracks to Impact // Journ. of Appl. Phys. 1970. Vol. 41, N5. P. 2096-2099.

10. Сиратори М., Миеси Т., Мацусита Х. Вычислительная механика разрушения / Пер. с японск. М.: Мир, 1986.

11. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. М.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1958.

12. Gilman J. J., Knudsen C., Walsh W. P. // J. Appl. Phys. 1958. Vol. 29. P. 601.

13. Златин Н. А., Пугачев Г. С., Мочалов С. М., Брагов А. М. Временная зависимость прочности металлов при долговечностях микросекундного диапазона // ФТТ, 1975. Т. 17. С. 25992602.

14. Schardin H. Proceedings of the International Conference on Atomic // Fractions. John Wiley and Sons, Inc. New York, 1959.

15. Кошелев А. И., Нарбут М. А. Лекции по механике деформируемого твердого тела. Учеб. пособие. СПб.: Изд. С.-Петерб. ун-та, 2003.

16. Taylor J. W., Hopson G.W. // Bull. Amer. Ceram. Soc. 1969. Vol. 48. P. 486.

17. Gruzdkov A. A., Krivosheev S. I., Petrov Yu. V. Fracture Energy of Materials under Pulse Microsecond-Scale Loading // Physics of the Solid State. Vol. 45, N 5, 2003. P. 886-889.

18. Bratov V.A., Gruzdkov A. A., Krivosheev S. I., Petrov Yu. V. Energy Balance in the Crack Growth Initiation under Pulsed-Load Conditions // Doklady Physics. Vol. 49, N 5, 2004. P. 338-341.

Статья поступила в редакцию 22 октября 2009 г.