Развитие методов робастного управления в задачах адаптации Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ

АДАПТАЦИИ А.А. Бобцов, С.А. Холунин

1. Введение

Всплеск популярности теории адаптивных систем имевший место в 70-х годах, постепенно начал угасать к середине 90-х. Темы, связанные с решением задач адаптивного управления перестали широко освещаться на отечественных и международных конференциях, финансирование проектов по этой некогда популярной тематике, постепенно стало уменьшаться. К причинам такого регресса следует отнести, в первую очередь, плохую реализацию на практике имеющихся схем адаптивного управления. Громоздкие, сложные и не всегда помехоустойчивые математические законы управления оказались "не по вкусу" инженерам-практикам. Возникло, как это часто бывает, рассогласование теоретических подходов с практикой. Решение проблемы понимания должно на этот раз исходить именно от математиков и специалистов, занимающихся теорией управления. Первые шаги в этом направлении были сделаны, в том числе, отечественными учеными [1,2], по огрублению алгоритмов адаптации по отношению к внешним неучтенным факторам. Дальнейший уход от алгоритмов адаптации интегрального типа к алгоритмам сигнальной адаптации [1,2], позволил значительно сократить размерность законов управления. Параллельно достижению этих результатов идет развитие методов адаптивного управления по выходу [3,4]. Получен ряд интересных схем и в том числе схем с огрублением для внешних возмущений, но проблема громоздкости и сложности все еще имеет место. К сегодняшнему дню получен ряд оптимальных подходов адаптивного управления по выходу заключающий в себе стратегию робастного управления [5-7].

Предлагаемая работа представляет собой развитие методов робастного управления в задачах адаптации по выходу [5-7]. В статье предлагаются новые схемы управления позволяющие получать менее сложные и громоздкие по размерности алгоритмы.

2. Постановка задачи

Рассмотрим неопределенную систему вида [3-5]

х = Ах + Ью(Г )т 9 + Ьи, (1)

У = стх, (2)

где х = х(V) - вектор переменных состояния; у - регулируемая переменная; и - сигнал управления; матрица А - гурвицева; ю ) - известная функция (регрессор); 9е Яд -вектор неизвестных постоянных параметров.

Наряду с моделью (1), (2) также будем рассматривать математическую модель "вход-выход" [3,5]

У^) = ^ [ )Т 9 + и ], (3)

где р = d / & - оператор дифференцирования и полином А(р) - асимптотически устойчивый.

Сформулируем цель управления, как решение задачи синтеза алгоритма, обеспечивающего при любых начальных состояниях объекта выполнение условия

Чу(*)| <в , (4)

где 8 - любое произвольно малое число.

3. Синтез алгоритма адаптации

Выберем передаточную функцию Ж(р), удовлетворяющую соотношению Ж (р) = (р + а) Н (р), (5)

где а - любая положительная константа. Очевидно, что при таком представлении передаточная функция Ж (р) является асимптотически устойчивой. Так как 1

Н (р) = ■

-Ж (р),

р + а

то модель (3) может быть переписана в виде

у = —1— [таг 9 + й ]+5 р + а

или

у = -а у + шг 9 + и +5

(6)

(7)

где 5^) - экспоненциально затухающая функция времени, вызванная ненулевыми начальными условиями; 5 = 5 + а5 - экспоненциально затухает; функция та = Ж(р)ш и й = Ж(р)и . (8)

Введем новую переменную

ф = таг 9 + 5, (9)

тогда модель (7) примет вид

у = -а у + ф+ и .

(10)

Пусть новый закон управления й имеет вид й = -ф, (11) где ф - текущая оценка функции ф . Тогда закон управления будет записан следующим образом

и = -Ж (р)-1 ф.

(12)

Проблема в синтезе алгоритма (12) - это:

• реализация операции дифференцирования;

• достаточно точная оценка функции ф.

Поэтому требуется выстроить такую схему оценки функции ф, чтобы:

• (ф - ф) ^ Б, где Б - малое число, такое что условие (4) будет удовлетворено;

• для нахождения производных от ф была использована реализуемая вычислительная процедура.

Временно предполагая, что функция ф подлежит измерению, выберем следующий алгоритм оценки

41

4 2 =7^

(13)

4т = Уа(-к141 - к242 - ... - кш4ш + ^фХ

ф = 41, (14)

где число т определяет порядок системы (13) и выбирается таким образом, чтобы закон управления (12) был бы реализуем; постоянная у > 0; положительная функция а

является функцией той же скорости роста что и |ф|2 (т.е. |ф|2/), а все ее т-1

производные известны или подлежат измерению; коэффициенты рассчитываются из

соображений асимптотической устойчивости модели (13).

Теорема 1. Алгоритм оценки (13), (14) позволяет при увеличении параметра у максимально приблизить оценку ф к функции ф .

Доказательство. Перепишем модель (13), (14) в векторно-матричной форме

4 = уа( Г4 + dk1ф), ф = Нт 4,

(15)

(16)

" 0 1 0 .. . 0 " "0" "1"

0 0 1 .. . 0 0 0

где Г = 0 0 0 .. . 0 , d = 0 и Н = 0

- ь - k2 kз .. . - km _ 1 0

Введем в рассмотрение вектор отклонений п = Нф-4, тогда для его производной получим

П = Нф - уа(Г(Нф - п) + dk1ф) = Нф + уаГп - у G(dk1 + ГН)ф. (17)

Так как dk1 = -ГН (проверяется подстановкой), то

П = Нср + уаГп,

где Г - гурвицева.

Для доказательства сходимости п в любую заданную область, рассмотрим функцию Ляпунова вида

V = цтРц, (18) где матрица Р = Рт > 0, такая что

ГтР + РГ<-ХР < 0. (19)

Дифференцируя (18), получаем

V = уаг|т (ГтР + РГ)п + 2птРНф < -ХуапР +

.-„т пиит , ..-1=-1М2

+ дапт РНН1 Рп + д а-

(20) (21)

где положительное число д такое что

V < -ХуаптРп + д-1а-1 |ф|2, а постоянная X > 0 .

При выводе соотношения (20) было использовано легко проверяемое неравенство

(да)-1 (даа - Ъ)2 > 0,

откуда следует, что

2аЪ < даа2 + (да)-1 Ъ

где а = п РН и Ъ = ф.

Поскольку функция а является функцией той же скорости роста что и |ф|2, то из выражения (21) следует, что вектор отклонений п = Нф-4 ограничен и все его переменные могут быть сведены к любому малому компактному множеству, за счет увеличения параметра у.

Для доказательства основного положения представленной теоремы, а именно максимального приближения ф к ф при увеличении параметра у, умножим вектор

отклонений п = Нф-4 слева на НТ . Тогда в силу структуры матрицы Н, получаем: Нт п = ф - Нт 4 = ф - ф

и при соответствующих у (достаточно больших) обеспечивается сходимость в любую малую окрестность.

Замечание 1. Следует отметить, что в качестве мажоранты а можно использовать функцию |тп|2 = тпTтп, так как сигнал ф(t) пропорционален |tb(t)|, т.е.:

( ) . В тоже время, в законе управления (12) будут использоваться только

Т (t )|

измеряемые производные от та вплоть до да-ой, что в свою очередь, позволяет выбирать мажоранту а указанным способом.

Замечание 2. Если функция ф(7) имеет неограниченный рост во времени, то в силу неравенства (21), следует, что при ф(t) ^ да переменная n ^ 0 и, следовательно, ф ^ф.

Замечание 3. Если регрессор ro(t) - ограничен, то в качестве мажоранты а можно принять любую положительную константу.

Замечание 4. Отметим, что реализация мажоранты а с использованием алгоритма приведенного в замечании1 для некоторых задач может оказаться громоздким, т.к. предполагает формирование вектора тп каждая компонента которого находится из соотношения тп i = pW (p )ш;. Во избежание громоздких процедур расчета мажоранты, целесообразно использовать алгоритм вида:

а = pW (p)[oT и+Р], где в > 0.

Теперь построим реализуемую схему алгоритма оценки (13), (14) следующего

вида

41 =7^

4 2 = 7^

(22)

с = уа(-^2 - ..-+ к1аУ)- к1 У,

=с + уа^1 у . (23)

Система (22), (23) содержит переменные, которые могут быть измерены или рассчитаны. Возможность применения указанного алгоритма представлена в следующей теореме.

Теорема 2. Алгоритм оценки вида (22), (23) эквивалентен алгоритму (13), (14). Доказательство. Из уравнения (10) находим

Ф = у + а у - и . (24)

Подставляя последнее уравнение в выражение (13), получаем

41 =7^

4 2 =7^

4т = Уа(-^141 - k242 - ... - km4m + k1(y + аУ - U)), учитывая, что

u = -ф,

получаем

(25)

41 =7^2,

4 2 =7^3,

4m = Ya( к242 - ••• - km4m + k1(У + 0У))-Введем в рассмотрение новую переменную

g = 4m - Y^y • (27)

Тогда дифференцируя (27) для системы уравнений (26), получаем

41 =Y^

4 2 =Y^43, (28)

(& = Y^(-k242 - ••• -к„4„ + к1аУ) - YakiУ, 4m =í + Y°¿1 У • (29)

4. Пример

Для иллюстрации работоспособности предложенной в работе схемы управления, рассмотрим числовой пример • Пусть модель (1), (2) имеет вид:

x&1 = x2, (30)

x2 =-x1 - 2x2 + 3sin4t + u, (31)

У = *1, (32)

где вектор неопределенных параметров 0 = 3, регрессор ш = sin 4/, u - искомое управление^

Для объекта (30)-(32) рассмотрим математическую модель математическую модель "вход-выход" вида (3)

y(t) =-1—т [3sin4t + ul (33)

(p + 1)2L J

Выберем передаточную функцию W (p) = —1—, тогда выражение (33) в

p+1

соответствии с результатами раздела 3, примет вид (см^ уравнение (10)):

y = -y + ф+ u , (34)

где функция ф = 5 + W (p)3 sin 4t •

Выбирая новый закон управления u как

u =-ф, (35)

получаем для истинного закона управления

u =-W(p)-1 ф =-(p + 1)ф =-ф -ф • (36)

Для реализации оценки ф, воспользуемся алгоритмом (22), (23):

{41 =Y42,

и = Y( -242 + У),

42 =? + Yy, (38) ф = 41, (39)

где коэффициенты к2 = 2, к1 = 1 и в силу ограниченности регрессора ш- sin4t (см^ замечание 3), мажоранта а = 1 •

Запишем закон управления в обозначениях алгоритма оценки (37)-(39)

u = -ф -фф = -41 - y (q + Yy )• (40)

(37)

и проведем компьютерное моделирование. Результаты моделирования для различных значений параметра у представлены на рис. 1, рис. 2 и демонстрируют уменьшение значения выходной переменной с ростом параметра у.

£, сек.

Рис. 1. График переходного процесса по переменной у ) при у = 5

t, сек.

Рис. 2. График переходного процесса по переменной у(1) при у = 20.

Заключение

Работа представляет собой развитие методов робастного управления в задачах адаптации по выходу. В статье предлагаются схемы управления позволяющие получать, как менее сложные и громоздкие по размерности алгоритмы и алгоритмы. Структура регулятора является линейной и содержит нестационарный фильтр, параметры которого выбираются из требований предъявляемых к выходной переменной объекта.

Литература

1. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М. Наука, 1981.

2. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990.

3. Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Схемы адаптивного управления с расширенной ошибкой. Обзор // Автоматика и телемеханика. 1994. №9.

4. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л., Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 1999.

5. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными механическими системами. СПб.: Наука, 2000.

6. Никифоров В.О. Робастное управление линейным объектом по выходу // Автоматика и телемеханика. 1998. № 9.

7. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. СПб., 2001.