Применение алгоритмов адаптации высокого порядка в условиях внешних возмущений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ АДАПТАЦИИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА В УСЛОВИЯХ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ А.А. Бобцов, В.О. Никифоров

В статье рассматриваются подходы адаптивного управления с эталонной моделью линейным объектом по выходу в условиях внешних возмущений. Предложены две альтернативные схемы управления, базирующиеся на алгоритмах адаптации высокого порядка А. Морза и, позволяющие решать задачу слежения за командным сигналом с заданной точностью.

Введение

Адаптивное управление с эталонной моделью линейным стационарным объектом по выходу (т.е. без измерения производных регулируемой переменной или вектора переменных состояния) является крайне актуальной задачей как в теории, так и в практике современных систем. Мотивация синтеза алгоритмов управления по выходу обусловлена тем, что при управлении по выходу не требуется применение датчиков для измерения производных регулируемой переменной, что в свою очередь, влечет экономию затрат на использование и разработку сенсорной техники, а также увеличение точности слежения.

Решению задачи адаптивного управления с эталонной моделью по выходу посвящена обширная литература (см., например, обзор [1]). Один из подходов к решению данной проблемы предусматривает использование алгоритмов адаптации высокого порядка, предложенных в 1992 г. А. Морзом в работе [2]. Несмотря на то, что данный подход имеет ряд преимуществ (см., например, сравнительный анализ, представленный в монографии [3]), необходимо выделить его недостатки по сравнению с широко известными методами адаптивного управления по выходу. Использование алгоритмов адаптации высокого порядка не предусматривает наличия внешних возмущений, действующих на систему управления.

В данной работе, базируясь на алгоритмах адаптации высокого порядка, будут рассмотрены два альтернативных подхода, позволяющих не только гарантировать устойчивую работу системы в условиях внешних возмущений, но и обеспечивающие заданную разработчиком системы управления точность слежения выхода объекта за эталонным сигналом.

Математическая формулировка задачи управления по выходу

Рассматриваемая задача заключается в управлении линейным стационарным объектом, описываемым уравнением вида

, = кв^и +/ , (1)

а(р) а(р)

где р = ё/& - оператор дифференцирования; в(р) = рт + вт-1 рт-1 +... + в1 Р + в0, а(р) = рп + ап-1 рп— +... + а2р2 + а1 р + а0 и ё(р) = рг + ёг-1 рг-1 +... + ё2р2 + ё1 р + &0 нормированные полиномы переменной р с неизвестными коэффициентами, соответственно, размерности п, т < п и ¡л < п ; и(^) - сигнал управления; /(^) - внешнее неизвестное ограниченное возмущение.

Примем следующее допущение, являющиеся стандартными в большинстве задач адаптивного управления.

Допущение. Модель (1) удовлетворяет требованиям:

а) известен знак коэффициента к (для определенности будем полагать, что к > 0);

б) полином в(р) является гурвицевым;

в) известны степени полиномов в(р), а(р) и относительная степень р = п - т > 1.

Пусть желаемое поведение регулируемой переменной у(*) задается эталонной моделью вида к *

У* = ^7- Е *, (2)

а*( р)

где у * - эталонный выход; е * - сигнал задания (ограниченная, кусочно-непрерывная функция времени); а * (р) - гурвицев полином степени р = п - т; к* > 0 - известный постоянный коэффициент.

Будем полагать, что у объекта управления доступной для измерения является выходная переменная у(*), но не ее производные. Требуется найти такой закон управления и(*), чтобы при любых начальных условиях выполнялось целевое условие

|е(*)| ^0, (3)

где е(*) = у(*) - у *(*) и ^о - задаваемая разработчиком системы точность слежения.

Параметризация модели ошибок объекта управления. Алгоритм адаптации высокого порядка

В качестве первого шага решения сформулированной задачи адаптивного управления получим удобную параметризованную модель объекта управления (1). А именно - представим параметрические неопределенности модели в виде аддитивных возмущений, линейных по неизвестным параметрам. Используя результаты работ [1-3], получаем параметризованную модель ошибок вида

е(*) = ОтТ [® (* )Т 9 + и(*) + У (*)] + 5 (*), (4)

а*( р)

где с(*) = и,и,...,и(п-2),у,у,...,у(п-2),х(р)у,Х(р)у *

х( р)

(Х(р) - любой гурвицев полином степени п -1); 9 - вектор неизвестных постоянных ^ ( р)в(р)

параметров; у (*) =--неизвестное ограниченное возмущение (здесь полино-

х( р)

мы £(р) степени п - т -1 и Я(р) степени п -1 выбраны таким образом, что Х(р)а * (р) = а(р)£(р) + Я(р) ); вызванная ненулевыми начальными условиями функция 5 (*) экспоненциально затухает.

Следуя результатам статьи [2], преобразуем модель (4) следующим образом:

е(*) = -+— [с(* )Т 9 + и (*) + У (*)] + 5(*), (5)

р + Я

где число Я> 0; новый регрессор с(*) = —1— с(*); управление и(*) = —1— и(*);

а * (р) а * (р)

возмущение /( *) = —1— /'( *) - ограниченная функция; функция 5(*) экспоненци-а*( р)

ально затухает.

Хорошо известно (см., например, работу [3]), что, если относительная степень находится в пределах 1 < р < 2, то алгоритм адаптации можно выбирать в виде

и = -а *(р)[с (*)Т 9], (6)

известный регрессор

в = уш« )в(г), (7)

где вектор 0(1) является текущей оценкой вектора неизвестных параметров в; у - любое положительное число.

Известно (см., например, [2, 3]), что алгоритм адаптации вида (6), (7) обеспечивает в случае нулевого возмущающего воздействия /(^) нулевую установившуюся ошибку е(1) = у(^) - у ). Если же относительная степень р > 2, то алгоритм адаптации вида (6), (7) не может быть использован, так как для его реализации требуется дифференцирование сигнала в^) = у(^) - у * ^), что по условиям задачи является невозможным. Для решения задачи синтеза алгоритма адаптации для случая р > 2 можно воспользоваться алгоритмом адаптации высокого порядка, опубликованным в работе [2]. Алгоритм адаптации высокого порядка имеет следующую структуру:

и = -а*( р)[ШЦ )Т в],

= Щв,

П = (1 + осоТШ)(А г){ + Ь у/г),

вг = СТГЦ ,

где г = 1,2,...,2п; тройка матриц (с, А, Ь) является минимальной реализацией передаточной функции а(0)/а(р) (а(р) - гурвицев полином степени р- 2); и> 0 - постоянный коэффициент.

Данный алгоритм обеспечивает нулевую установившуюся ошибку

в(4) = у^) - у *(7), если число и> 0 выбрано таким образом, что _ - \2

и> ..... " '

т (

РА ~1Ь

где к - верхняя оценка к, а симметрическая положительно определенная матрица Р является решением уравнения Ляпунова

АТР + РА = -21.

Данный алгоритм позволяет избежать дифференцирования сигнала в(1) = у(*) - у ), однако имеет ряд недостатков. В качестве основных недостатков алгоритма адаптации высокого порядка [2] можно указать следующее:

• это использование алгоритмов настройки «чисто интегрального» типа, которые, как известно (см., например, монографию [3]), не являются робастными по отношению к внешним возмущениям.

• алгоритмы адаптации высокого порядка обладают достаточно высоким динамическим порядком (размерность регулятора А. Морза 2п(2р -1) - 2 ).

• алгоритмы адаптации высокого порядка не предоставляют возможности уменьшать ошибку в(^) в условиях действия возмущения / (^).

Таким образом, проблема развития алгоритмов адаптации высокого порядка на случай функционирования системы в условиях внешних возмущений является актуальной задачей. В следующем разделе на базе алгоритмов адаптации высокого порядка будут предложены два подхода, устраняющие представленные выше недостатки.

Модификация и применение алгоритмов адаптации высокого порядка в условиях внешних возмущений

В данном разделе рассмотрим две альтернативных схемы адаптивного управления, построенные с использованием идей А. Морза [2].

Схема №1. Выберем закон управления в соответствии с выражением (6) u = -а*( р)\ )T 6], Здесь вектор 6(1) настраивается следующим образом:

_т_

П = у(1 + а а)(Ап + be), (8)

6 = у(ШсТ п - об), (9)

где тройка матриц (с, A, Ь) - минимальная реализация передаточной функции а(0)/а( p) (а( p) - гурвицев полином степени р- 2); параметр V > + V*:

v1 = тах <

1 л

РА~1Ь

—k (| 4о1 4

С +

РА~1Ь

)\,

(10)

4 Л

где любое число V* > 0; к - верхняя оценка к; любые числа 0 < Л1 < Л и 0 < о1 < о;

т

матрица Р = Р > 0 является решением уравнения Ляпунова

АтР + РА = -21. (11)

Утверждение 1. Алгоритм адаптации (8)-(10) с увеличением значений параметра у обеспечивает увеличение точности слежения, т.е. чем больше параметр у, тем меньше область ¿¿).

Выделим достоинства алгоритма адаптации (8)-(10).

• Размерность алгоритма адаптации 2п(р +1) + р - 4, что на (2п - 1)(р - 2) меньше, чем у алгоритма адаптации высокого порядка А. Морза.

• Алгоритм адаптации (8)—(11), в отличие от алгоритма адаптации высокого порядка А. Морза, дает возможность уменьшать ошибку е^) в условиях действия возмущения / 0).

Однако данный алгоритм имеет свои недостатки, в том числе схема адаптации (8)-(10) предусматривает знание верхней оценки коэффициента к .

Схема №2. Выберем закон управления в соответствии с выражением

и =

4 =о,

$ = Эо(-к2& -... - кр£р + кЛ - ЗЩе, £р=д + 3°к1е,

(12)

(13)

(14)

__1_._|2 —Т —

где функция о = С0 + \®\ = С + а а и число С0 > 0 ; параметр 3 > 0 ; коэффициенты

к выбираются таким образом, что матрица Г =

0 1 0 0 00

0 1 0

- к - к2 - к3

0 0 0

-к

р

гурвицева.

Утверждение 2. Алгоритм адаптации (12)-(14) с увеличением значений параметра 3 обеспечивает увеличение точности слежения, т.е. чем больше параметр 3, тем меньше область ¿0.

Выделим достоинства алгоритма адаптации (12)-(14):

2

• Размерность алгоритма адаптации (2n + 1)р -1, что на 2п(р -1) - р -1 меньше, чем у алгоритма адаптации высокого порядка А. Морза, и на 2п - 3 меньше, чем у схемы 1.

• Алгоритм адаптации (12) - (14), как и схема 1, дает возможность уменьшать ошибку e(t) в условиях действия возмущения f (t).

К недостаткам данной схемы адаптивного управления следует отнести то, что коэффициент к = 1.

Заключение

В работе на основе использования алгоритма адаптации высокого порядка предложены два альтернативных подхода вида (6), (8)-(10) и (12)-(14), гарантирующие устойчивую работу системы в условиях внешних возмущений и обеспечивающие заданную точность слежения выхода объекта за эталонным сигналом.

Работа выполнена в рамках тематического плана СПбГУ ИТМО № 10110.

Литература

1. Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Схемы адаптивного управления с расширенной ошибкой: обзор // Автоматика и телемеханика. 1994. №9. С.3-22.

2. Morse A.S. High-order parameter tuners for adaptive control of nonlinear systems. Isidori A., Tarn T.J. (eds.) Systems, Models and Feedback: Theory and Applications. Birkhauser, 1992.

3. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.