Адаптивный регулятор стабилизации простой структуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

3

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

УДК 681.513.6

АДАПТИВНЫЙ РЕГУЛЯТОР СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОСТОЙ СТРУКТУРЫ1

В.О. Никифоров, Д.Н. Герасимов

Для линейного стационарного многомерного объекта, представленного нижней треугольной канонической формой, предложен адаптивный регулятор стабилизации. Особенностью предложенного регулятора является простота его структуры - регулятор содержит всего один настраиваемый параметр и один простой алгоритм адаптации интегрального типа. Представлены робастные модификации регулятора, приведены результаты моделирования. Ключевые слова: линейный объект, нижняя треугольная форма, адаптивное и робастное управление.

Введение

В современной теории адаптивного управления предложено решение многих сложных задач: адаптивного управления линейными объектами по выходу с использованием схемы расширенной ошибки [1-3] или алгоритмов адаптации высокого порядка [4-6], адаптивного управления нелинейными объектами с использованием итеративной процедуры синтеза «обратного обхода интеграторов» [3, 7, 8], робастного управления в условиях внешних возмущений [3, 9], адаптивной компенсации заранее неизвестных детерминированных возмущений [6, 10, 11] и т.д.

Одним из основных недостатков большинства предложенных систем адаптивного управления является сложная структура адаптивных регуляторов. Так, динамический порядок адаптивного регулятора с расширенной ошибкой равен 2п {п - т + 2) -1 (где п - степень знаменателя передаточной функции

объекта управления, а т - степень числителя передаточной функции), а для расчета сигнала управления требуется выполнение 10п + 3 операций умножения и одной операции деления [3]. Очевидно, что реализация на практике регуляторов высокого динамического порядка, содержащих большое число нелинейных элементов (перемножения и деления), весьма затруднительна, несмотря на практические успехи развития микропроцессорных систем управления. В связи с этим одной из актуальных задач современной теории адаптивного управления является синтез достаточно простых и эффективных алгоритмов адаптивного управления.

Для линейного стационарного многомерного объекта с неизвестными параметрами, представленного нижней треугольной канонической формой, предложен регулятор адаптивной стабилизации простой структуры: адаптивный регулятор содержит всего один настраиваемый параметр и один простой алгоритм адаптации интегрального типа. Принцип построения регулятора основан на использовании идеи «большого коэффициента усиления». Представлены также робастные модификации регулятора, обеспечивающие ограниченность траекторий замкнутой системы, действующей в условиях внешних возмущений.

Постановка задачи

Рассматривается линейный объект управления вида

х = Ах + епи, (1)

где х е Я" - вектор состояния, доступный для прямых измерений, е, - п -мерный единичный вектор с единицей на , -м месте, и - сигнал управления, а матрица системы имеет вид з„ 1 0 ... 0

A =

1 0

(2)

1 '

ann

Параметры матрицы ajj считаются неизвестными. Пара (A, en) является полностью управляемой, а пара (e[, A) - полностью наблюдаемой. Требуется синтезировать стабилизирующее управление в форме обратной связи по состоянию, обеспечивающее выполнение целевого условия

lim,^ x(t) = 0. (3)

1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (соглашение №14.В37.21.0406)

Вспомогательный результат

Утверждение 1. Для пары п х п матриц В и О(6), где В - произвольная нижняя треугольная матрица, т.е.

B

0

Ь21 Ь22

п1 п2 п

с постоянными коэффициентами Ъ, 1, а О(6) - сопровождающая матрица характеристического полинома от комплексной переменной р в форме бинома Ньютона

Б( р, 6) = (р+е)п = рп+Сп_1брп-1 + сп_2 е2 рп-2 +...+с1 6"-1 р+еп, (4)

т.е.

G(9) =

1

0 0

-С16й

0

-C„-i6.

(5)

существует такое число 60 > 0, что для всех 6 >60 матрица

8 = В + О (6) является гурвицевой.

В формулах (4) и (5) Сп-] - коэффициент бинома Ньютона степени п, стоящий при ] -й степени переменной 6 (при этом Сп = 1 и С0 = 1). Доказательство. Пусть

R( p) = det (р1 - B) = рИ + Ги-1 рй-1 +... Г1 p + Г0

(6)

- характеристический полином матрицы В , а 7 - его постоянные коэффициенты. Тогда можно показать, что характеристический полином N (р, 6) матрицы 8 можно представить в следующем виде:

N(р, 6) = (р1 - 8) = (р1 - В - О(6)) = р" + (С"-16 + Гп-1) р"-1 + (Сп-2 62 + 7 - 2 + «-2(Г, 01, С1))р"-2 +(С"-363 + Г"-3 +«"-3(7, 02, С2) ) р"-3 + ...

... + (с-1 + 7 + «1 (7,6"-2, С"-2)) р + 6" + Г0 + а0 (7, 6"-1, С"-1),

где 7 - множество всех коэффициентов характеристического полинома (6); 6) - множество всех степе-

ней 61 (j = 0, j); Cj - множество всех коэффициентов Си-j (j = 1, и -1); аи-j (r, 6j-1, Cj-1) - сумма соответствующих коэффициентов rj, степеней 6' и коэффициентов Cj.

Так как члены аи- j содержат настраиваемые коэффициенты 6 степени j -1, а стоящие с ними в скобках при тех же степенях комплексной переменной р коэффициенты гурвицева характеристического полинома D(р, 6) содержат настраиваемые коэффициенты 6 степени j, то справедливо следующее равенство:

limN(р, 6) = D(р, 6).

Последнее означает, что полином N (р, 6) является гурвицевым при бесконечно больших значениях коэффициента 6 . Однако свойство экспоненциальной устойчивости (задаваемое гурвицевым полиномом D( р, 6)) является грубым, т.е. выполняется при некоторых отклонениях коэффициентов характеристического полинома от их номинальных значений. По этой причине полином N (р, 6) будет гурвицевым при конечных значениях достаточно большого коэффициента 6 . Утверждение доказано.

Структура регулятора

Сформируем адаптивный регулятор в виде

U = -6иХ1 - С 6й-1 х2 - . - Си-262х„-2 - Cn_l6xn , (7)

где постоянные коэффициенты Cj - коэффициенты характеристического полинома (4) (т.е. коэффициенты бинома Ньютона), а настраиваемый параметр 6 генерируется алгоритмом адаптации

0 = ух2 (8)

с постоянным положительным коэффициентом усиления у .

Замечание. Управление (7) может быть записано в «свернутой» форме, минимизирующей при практической реализации число операций взаимного перемножения настраиваемого параметра 6 :

и = "6 (^^ + 6 (_2х^ + 6 (_зхп_2 + ... 6x1))) . (9)

Тогда справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2. Адаптивный регулятор (7), (8) при любых у > 0 и 6(0) обеспечивает для объекта управления (1) с произвольными начальными условиями х(0) выполнение целевого условия (3).

Доказательство. Нетрудно убедиться, что матрица замкнутой системы, состоящей из объекта (1) и регулятора (7), имеет вид

А + еп ["6п," С 6п-1,..." С "262," С "16] =

1 0 ... 0

а22 1 0

ап "11 ап"12 ап"13 . •• 1

, "6п а, " С.6п-1 а 3 " С2 6п"2 ... а - С ,6

п1 п2 1 п3 2 пп п-1 _

Иначе говоря, по своей структуре она соответствует матрице 8 из утверждения 1. В силу полной наблюдаемости пары (е[, А) измерения переменной х1, использующегося в алгоритме адаптации, достаточно для установления факта неустойчивости объекта управления. Так как переменная х1 входит в алгоритм адаптации в четной (второй) степени, то любое ненулевое значение х1 будет приводить к росту настраиваемого параметра 6 , который, в соответствии с утверждением 1, будет расти до тех пор, пока характеристический полином замкнутой системы не станет гурвицевым. Объект управления является линейным, поэтому никаких требований на скорость настройки параметров не накладывается, и стабилизация замкнутого объекта управления может быть обеспечена при любых у > 0 . Утверждение доказано.

Таким образом, предложен достаточно простой регулятор (7) (или (9)) всего с одним настраиваемым параметром 6 , генерируемым алгоритмом адаптации (8). Другими словами, показано, что для адаптивной стабилизации п -мерного динамического объекта, представленного в канонической нижней треугольной форме, можно использовать динамический регулятор первого порядка (в соответствии с порядком алгоритма адаптации (8)), содержащий в своей структуре п операций умножения (для «свернутой» формы (9)).

Робастная модификация

Рассмотрим объект управления, подверженный влиянию внешнего возмущения: х = Ах + епи + 5, (10)

где 5 = 5(г) - заранее неизвестное ограниченное возмущение, а матрица А имеет вид (2). Поставим задачу обеспечения ограниченности всех траекторий объекта (1) и выполнения целевого условия

|х(0| <Д для всех г > Т0 > 0, (11)

где Д - произвольное наперед заданное положительное число.

Используя идеи робастного адаптивного управления [3], в случае возмущенного объекта (10) для достижения целевого условия (11) можно использовать регулятор (7) с модифицированным алгоритмом адаптации с параметрической обратной связью:

6 = -ст6 + ух12, (12)

где ст - произвольное (малое) положительное число (коэффициент параметрической обратной связи).

Можно также показать, что для достижения целевого условия (11) можно использовать статический регулятор (7), параметры которого рассчитываются по формуле

1 = ух2.

Результаты моделирования

Рассмотрим неустойчивый объект управления

х1 = 0,1х1 + х2,

х3 = 0,2х1 + 0,1х2 - х3 + и .

а11

где числовые значения параметров при координатах вектора состояния считаются неизвестными. Для адаптивной стабилизации объекта используем адаптивный регулятор вида

и = -е3 х1 - зе2 х2 - збх3, (13)

0 = ух2.

Результаты моделирования процессов стабилизации при у = 1 и х(0) = [1,0,0]г приведены на

рис. 1 и демонстрируют выполнение целевого условия (з).

Пусть теперь на вход объекта в соответствии с формулой (10) вместе с управлением поступает не-измеряемое возмущение 5(/) = 35ш2/. Тогда для выполнения целевого условия (11) предлагается регулятор (13) с робастным алгоритмом адаптации (12). Результаты моделирования переходных процессов в замкнутой системе, подверженной влиянию внешнего возмущения при у = 1, ст = 0,1 и х(0) = [1,0,0]г, приведены на рис. 2 и демонстрируют небольшую установившуюся ошибку стабилизации, которая может быть уменьшена за счет увеличения коэффициента у .

у

1,5

5

0,5

А

200 40Ü 600

аоо

i

о

-2 —;

/

/ /

ЯМ 400 600

800

200 400 600 800 }

Рис. 1. Процессы в адаптивной системе стабилизации выходной переменной объекта (11) с регулятором (12) и алгоритмом адаптации (13) при у = 1 и х(0) = [1,0,0]г

-0,5,

\

\ 1 \ i_______________

\

200 400 600

600

5 О

-10

А _............л.......\ . . J......

J \ / у

\

е

£00 400 600 800

(

...............

........7 / .............. ...............

гоо 400 600 аоо

Рис. 2. Процессы в адаптивной системе стабилизации выходной переменной объекта (11) с регулятором (12) и алгоритмом адаптации (13) при действии возмущения 5(i) = 3sin2t и у = 1 и х(0) = [1,0,0]г

Заключение

В работе показано, что для адаптивной стабилизации n -мерного динамического объекта, представленного в канонической нижней треугольной форме, можно использовать адаптивный динамический регулятор первого порядка, содержащий в своей структуре n операций умножения. Насколько известно авторам, это наиболее простой (по критерию динамического порядка и числа используемых нелинейных операций) адаптивный регулятор стабилизации. Дальнейшее развитие предложенного подхода должно состоять в его расширении на задачи адаптивного слежения, а также управления динамическими объектами с неизмеряемым вектором состояния.

Литература

1. Narendra K.S., Annaswamy A.M. Stable Adaptive Systems. - Englewood Cliffs. N.J.: Prentice-Hall, 1989. -495p.

2. Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Системы адаптивного управления с расширенной ошибкой // Автоматика и телемеханика. - 1994. - № 9. - С. 3-22.

3. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. Серия «Анализ и синтез нелинейных систем» / Под ред. Г.А. Леонова и А.Л. Фрадкова. - СПб: Наука, 2000. - 549 с.

4. Morse A.S., Isidor A., Tarn T.J. (Eds.) Hight-order parameter tuners for adaptive control of nonlinear systems // Systems, Models and Feedback: Theory and Applications. - Birkhauser, 1992. - P. 339-264.

е

u

u

СТРУКТУРА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ СОСТОЯНИЯ

5. Nikiforov V.O. Robust high-order tuner of simplified structure // Automatica. - 1999. - V. 35. - № 8. -P. 1409-1415.

6. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. - СПб: Наука, 2003. - 282 с.

7. Kristic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P.V. Nonlinear and Adaptive control design. - N.Y.: John Wiley & Sons, 1995. - 563 p.

8. Никифоров В.О. Робастное управление линейным объектом по выходу // Автоматика и телемеханика. - 1998. - № 9. - С. 87-99.

9. Ioannou P.A., Kokotovic P.V. Instability analysis and improvement of robustness of adaptive control // Automatica. - 1984. - № 5. - P. 583-594.

10. Никифоров В.О. Адаптивная стабилизация линейного объекта, подверженного внешним детерминированным возмущениям // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1997. - № 2. - С.103-106.

11. Никифоров В.О. Адаптивная компенсация внешних детерминированных возмущений // Мехатроника, автоматизация и управление. - 2003. - № 5. - С. 8-12.

Никифоров Владимир Олегович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, проректор, nikiforov@mail.ifmo.ru Герасимов Дмитрий Николаевич - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, gerasimovdn@mail.ru

УДК 681.5.01

СТРУКТУРА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ СОСТОЯНИЯ МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ КАК ВЫРОЖДАЮЩИЙ ФАКТОР1

Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков

Рассматривается задача системного вырождения динамических многоканальных систем, порождаемого структурой собственных векторов матриц состояния. Задача решается применительно к ситуациям контроля управляемости, его идентифицируемости и оценке качества по норме вектора состояния.

Ключевые слова: многоканальные системы, управляемость, вырождение, идентифицируемость.

Введение. Постановка задачи

Парадигма физического вырождения в ее системной интерпретации предполагает существование матрицы, которая характеризуется близостью к математическому вырождению. Если физическое вырождение некоторой системы или процесса хорошо коррелирует с математическим вырождением некоторой матрицы, то правомерно назвать эту матрицу критериальной. Термин «критериальная матрица» авторы позаимствовали из работ [1-3]. Известно [4-7], что развитие инструментария контроля вырождения критериальных матриц идет по пути «контроль изменения ранга этой матрицы - контроль изменения числа обусловленности матрицы - контроль изменения спектра функционалов вырождения этой матрицы». Каждый из перечисленных инструментов решает свою задачу, характеризуется различным уровнем функциональной связи используемого критерия вырождения с параметрами критериальной матрицы, вычислительным удобством и степенью полноты описания такого явления как вырождение. Авторы в своих исследованиях [6-11] затронули проблемы, связанные с аппаратом функционалов вырождения, которые представляют собой отношение i -го сингулярного числа критериальной матрицы системы к ее максимальному сингулярному числу. Возможности данного аппарата описаны в работах авторов [6, 7].

Основные усилия современной теории управления в задачах конструирования объектов управления и их идентификации в основном тратятся пока на формирование структуры собственных значений матриц состояния, в то время как потеря контроля над структурой собственных векторов может привести к неожиданным системным эффектам, одним из которых является вырождение. Важно повысить внимание разработчиков и исследователей к структуре собственных векторов с тем, чтобы их конкретная реализация не приводила к вырожденным системным ситуациям. В работе приводятся решения как в классе дискретных, так и непрерывных систем.

Структура собственных векторов матрицы состояния объекта и проблема управляемости

Проблему управляемости применительно к структуре собственных векторов матрицы состояния объекта будем решать для случая дискретного объекта, имеющего векторно-матричного описание процессов по вектору состояния в форме

1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (соглашение №14.В37.21.0406)