Простые алгоритмы адаптивного и робастного управления классом линейных объектов с переменными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

УДК 681.513.6

DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-5-351-361

ПРОСТЫЕ АЛГОРИТМЫ АДАПТИВНОГО И РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ КЛАССОМ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Д. Н. Герасимов, М. В. Лызлова, В. О. Никифоров

Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия E-mail: lyzlovamv@yandex.ru

Предлагаются два простых решения для задач адаптивного и робастного управления по состоянию линейным возмущенным объектом с переменными параметрами. Матрица состояния объекта представлена в нижней треугольной форме. Регулятор строится на основе метода стандартных характеристических полиномов с переменным среднегеометрическим корнем, формируемым в первом решении робастным алгоритмом адаптации, а во втором — нелинейной статической обратной связью. Регулятор обеспечивает ограниченность всех сигналов в замкнутой системе и экспоненциальное стремление выходного сигнала объекта к выходу эталонной модели.

Ключевые слова: адаптивное и робастное управление, линейная система с переменными параметрами.

Введение. Одним из актуальных направлений современной теории адаптивного и робастного управления является поиск путей снижения динамического порядка и уменьшения количества арифметических операций в законе управления. При этом упрощение структуры системы управления не должно препятствовать расширению класса объектов, для которых она создается. Особый интерес представляют именно простые схемы регуляторов, которые позволяют обеспечивать приемлемое качество управления широким классом объектов.

Большинство базовых решений задач адаптивного управления были получены для ограниченных классов объектов. Так, например, в известной литературе [1—3] представлены результаты для линейных стационарных объектов с измеряемым вектором состояния или описываемых строго положительно вещественными (СПВ) передаточными функциями. Если функция не будет обладать свойством СПВ, это может привести к существенному усложнению структуры регулятора (см., например, [4—10]). Так, в работе [10] показано, что динамический порядок адаптивных регуляторов с расширенной ошибкой равен 2n(n - m + 2) -1, алгоритмов высокого порядка — 2n(n - m + 2) -1, а регуляторов, использующих аналитические методы синтеза, — 3n+m+2, здесь n — степень знаменателя передаточной функции объекта управления, m — степень ее числителя.

Расширение известных результатов применительно к классу нестационарных линейных систем [11—13] или к задаче компенсации либо подавления внешних возмущений [14, 15] также приводит к значительному усложнению структуры регулятора, увеличению динамического порядка и количества арифметических операций в законе управления.

В связи с этим в теории адаптивных и робастных систем наметилась тенденция к созданию относительно простых алгоритмов управления. Однако представленные, например, в работах [16—20] простые решения, как правило, распространяются на стационарные линейные объекты.

В настоящей статье предлагаются два алгоритма адаптивного и робастного управления по состоянию нестационарным параметрически неопределенным линейным объектом, подверженным влиянию возмущений. В основе синтеза закона управления лежит идея, изложенная в работах [21, 22]. Идея состоит в замыкании объекта линейной обратной связью по состоянию с коэффициентами, определяемыми на основе метода стандартных характеристических полиномов, в которых среднегеометрический корень формируется двумя различными алгоритмами настройки и возрастает до тех пор, пока замкнутая система не станет устойчивой. Первый алгоритм представляет собой робастный алгоритм адаптации, второй — нелинейную статическую обратную связь; оба алгоритма управления подразумевают настройку всего одного параметра и в этом смысле являются простыми.

Постановка задачи. Рассмотрим линейный параметрически неопределенный нестационарный объект вида

х = А(/)х + Ви + х(0) , (1)

7 = хъ

где х е Яп — вектор состояния; и е Я1 — переменная управления; у е Я1 — регулируемая переменная, желаемое изменение которой определяет содержание процесса управления; |е Я" : ||||| < | — возмущение, | — некоторая положительная константа; А, В — матрицы, определяемые как

а1д0) 1 0 0 " " 0"

а1,2(/) а2,2 ) 1 0 0

А(/) = , в =

а1, п-1(/) а2, п-1(/) а3, п-1( 0 • 1 0

_ а1, п (/) а2, п ( 0 а3, п ( 0 • • ап,п ( 0_ 1

где функции а у (/) , / = 1, п, у = 1, п, полагаются неизвестными.

Характеристики класса объектов (1) ограничиваются следующими допущениями. Допущение 1. Пара (А,В) является полностью управляемой.

Допущение 2. Вектор состояния доступен прямому измерению. Допущение 3. Функции а1 (/) ограниченны, непрерывны и дифференцируемы.

Допущение 4. Производные а(к),к = 1, п-1, ограниченны и непрерывны. Необходимо синтезировать закон управления, обеспечивающий в замкнутой системе ограниченность всех сигналов и выполнение следующего целевого неравенства:

||ум (/) - у(/)|| < А V/ > Т, (2)

где А > 0, Т > 0 — максимальная ошибка и время настройки системы управления соответственно, ум е Я1 — желаемый выходной сигнал объекта, генерируемый эталонной моделью вида

хм ) = Ам хм

+ Вм£(0, хм (0), (3)

Ум ) = хм Ъ

где хм е Я" — вектор состояния эталонной модели, g(/) — задающее воздействие,

A =

0 0

1 0

0 1

-а,

м0

-ам1 -а

м2

0 0

-а,

м и-1

" 0 "

0

=

0

_ам0 _

ам i, i = 0, n -1, — параметры эталонной модели, с помощью которых задаются желаемые динамические характеристики замкнутой системы.

Синтезируемый алгоритм управления должен обеспечивать возможность уменьшения величины А произвольным образом путем изменения коэффициентов регулятора.

Синтез адаптивного регулятора слежения. Рассмотрим простой закон адаптивного управления, обеспечивающий выполнение целевого условия (2):

u = KT (ш)е, (4)

где e = хм - х — ошибка управления по состоянию; K — матрица обратных связей:

K(ш) = col{шп,С1шп-1,C2Qn-2,---, Cn-1oj; (5)

С1, / = 1, п -1, — постоянные положительные коэффициенты произвольного гурвицевого полинома комплексной переменной ^:

5п + Сп-1^п-1 + Сп -2 5п-1 +... + С2э2 + С^ +1;

ш — скалярный параметр регулятора, генерируемый одним из следующих алгоритмов:

а) алгоритмом адаптации с линейной обратной связью

2

ш = -аш + у8 , ш(0);

б) алгоритмом статической нелинейной обратной связи

2

ш = ys

(6 а) (6 б)

где 8 = ум -у — ошибка управления по выходу; у, а — положительные константы, у >а.

Для анализа устойчивости замкнутой системы построим модель ошибки управления. Учитывая выражения (1) и (3), получаем

ё = хм -х = Аё-Ви + (Ам - А)хм + Вмg-£, . Введем обозначение х = (Ам - А)хм +Вмg -£,, тогда модель ошибки примет следующий

вид:

ё = А(Г)ё - Ви + х . (7)

В силу устойчивости эталонной модели (3) и ограниченности сигналов g и сигнал х является ограниченным. Сформируем уравнение замкнутой системы, подставив выражение (4) в формулу (7):

ё = ^ (ш, 0ё + Х, (8)

Т

где ^(ш, ^) = А(^) - ВК (ш) — матрица замкнутой системы.

Структура предложенного регулятора формируется на основе широко известного в классической теории метода модального управления, при этом единственным настраиваемым параметром регулятора является среднегеометрический корень ш . Значение ш увеличивается согласно выражениям (6 а) или (6 б) до тех пор, пока замкнутая система не станет устойчивой, и ошибка в не „уйдет" в ограниченную окрестность нулевого положения равновесия.

В алгоритме (6 а) слагаемое ув „отвечает" за рост ш, вызванный ненулевой ошибкой в, а слагаемое -ош ограничивает увеличение значения ш, что важно при практической реализации. В алгоритме (6 б) статическая обратная связь, с одной стороны, ограничивает рост ш при в —> 0, а с другой — позволяет увеличить ш при росте амплитуды ошибки и обеспечить ее ограниченность.

Основной проблемой предложенного решения является нестационарность замкнутой системы, вызванная изменениями значения ш и параметров объекта и затрудняющая анализ ее устойчивости.

Подтвердим приведенные выше рассуждения строгими доказательствами, для чего сформулируем следующее утверждение.

Утверждение. Невозмущенная замкнутая система

ё = F (ш, t )е

(9)

в которой параметр ш генерируется алгоритмами (6 а) или (6 б), обладает следующими свойствами:

— все сигналы ограниченны;

— выходной сигнал системы в = е^ = ум - у экспоненциально стремится к ограниченной

окрестности нулевого положения равновесия.

Матрица F ^) может быть представлена как

где

А ^) =

F (г) = а (ш^)) + А (г),

а1Д^) 0 0

а1,2^) а2,2^) 0

а1, п-10 ) а2, и-10 ) аЪ,п-1^ ) а1, п (t) а2,п 0 ) а3,п 0 )

(10)

0 0

ап,п 0)

с (ш) =

0 0

-ш

1

0

0

-С1ш'

0 1

гч п -С2ш

0 0

1

-Сп-1ш

Отметим, что в силу структуры фробениусовой матрицы С ее собственные числа опре-

- *

деляются как Х1 = -дг-ш, i = 1, п, где qi — константы.

Доказательство приводится, без потери общности, для некратных вещественных собственных чисел матрицы С ).

Доказательство. Преобразуем систему (9) к эквивалентной форме с помощью диаго-

нальной матрицы Q(ш) = {шг, / = 0, п -1|. Введем вектор состояния г = Q 1х и с учетом выражений (9), (10) получим

г = 1 А(ш, г) -+О ]шг. V ш )

(11)

где Ь = ё1а§{0,1,...,п -1} ; О — гурвицева матрица:

О = О (ш)

ш=1

0 1

0 1

0 0

0 0 0

-1 -С1 С 2

0 0

1

-Сп-1

А(ш, г) =

«1,10 )

ш

«1,2(г) «2,2(г)

0 0

ш

ш

«1, п-1(г ) «2,п-1(г ) «3,п-1(г )

п-1

п-2

п -3

ш ш ш

«1, п(г) «2,п (г) «з,п (г)

ш

ш

п—1

ш

п-2

0 0

0

ап ,п (0

ш

Далее покажем, что

Нш I А(ш,г) -Ь-^ + О | = О.

(12)

ш~ У

Согласно определению матрицы А(ш,г) и допущению 1 она стремится к нулевой матрице при ш^ ю.

2

Для доказательства того, что величина со / ш стремится к нулю при ш^ ю, воспользуемся леммой Барбалата [23], в рамках которой должны выполняться два условия:

1) интеграл |ш (т)/ ш2(т)ё т ограничен;

2) ш / ш2 е А Уге[0, ю) .

Согласно выражению (6 а) или (6 б) величина ш положительна V г > 0 и у ^ 0 . Следовательно,

>ш (тЬ 1

-ё т = •

1 1 — <-

0 ш(т) ш(0) ш(г) ш(0)

Приведенный интеграл ограничен снизу, так как в противном случае ш( г) = 0, что соответствует 8(г) = 0 (см. формулы (6 а) и (6 б)) и целевому условию (2).

В силу допущений 3 и 4, а также отсутствия в системе (9) функций с разрывами первого или второго рода, в которых не существует пределов, функция ш / ш2 также не содержит

2

указанных разрывов. Следовательно, остается доказать, что функция ш / ш не содержит разрывов второго рода с бесконечными правыми или левыми пределами, т.е. „не уходит" в бесконечность за конечное время. Приведем доказательство от противного. Пусть, например,

lim (ш /ш2 ) = +да , t '

где tj е [0, да) — некоторый момент времени, тогда

lim ш(t) = +оо. (13)

t ^t1-

Следовательно, в силу выражения (6 а) или (6 б)

lim s(t) = +да; t ^t,-

lim ё(t) = lim S(tj) -S(t2) = +да; t ^ - t1 -t2 ^0 tj - t2

ё(и-1)(Г,)-^n-1)fe) t^t, - 4' t, -t2 ^0 11 -1'

lim ё(n)(t) = lim

= +да,

(14)

Ч ~ «2

где t2 е [0, ^ ) — некоторый момент времени.

Далее, перепишем модель (9) в форме вход — выход, приняв в качестве выхода первую компоненту вектора е, т.е. в = е1:

ё n>

+ (1ш + fl (m)))ё(n-j) + (Cn-2ш2 + f' (äg, ш))ё(n-2) + ...

...*ш* + fk((>, ш*-1 )) + ...+(CjQn-1 + fn-1 (( шп-2))ё+

+ ( + fn ®n-1 ))ё = 0, (15)

где fi, i = 1, n, — функции, содержащие только сумму и произведение своих аргументов (без возведения в степень); ä(m , I = 1, n, m = 1, n, — множество параметров матрицы A и их производных от первой до р -й степени; шр — множество величин ш, возведенных в степени от первой до р -й.

Важно отметить, что если выполняются условия (13) и (14), а параметр ш положителен,

то нарушается тождество (15). Следовательно, предел lim (ш / ш2) ограничен. Аналогично

t ^t, - V '

можно доказать, что ограничен и предел lim (ш / ш2 ).

t ^t, + V '

г—1 2

Итак, показано, что функция ш / ш стремится к нулю при ш — да . Следствие. Система (9) (или, что то же самое, (11)) является полной. Таким образом, показано, что выполняется равенство (12), т.е. при достаточно больших значениях ш вектор состояния г генерируется моделью

г = С шг, (16)

которая аппроксимирует модель (11).

Продолжая доказательство утверждения, введем функцию Ляпунова вида

V = гТЖТЖг,

где

Ж =

1 1 •• 1

-92 " -9п

(-91 )2 (-92 )2 • (-9п)

и )п-1 Н2 )п-1

Нп)

п-1

— матрица Вандермонда, содержащая собственные числа матрицы О . Дифференцируя V с учетом выражения (11), получаем

V = гТ {А(ш,г) -Ь-ш + О1 ЖТЖгш + гТЖТЖ{А(ш, г) -Ь-Щ-.+ О]шг.

ш

ш

Учитывая свойство диагональности матрицы Вандермонда О = Ж-1ЛЖ, где Л = {-qi}, i = 1, п, и используя новую переменную г = Ж , окончательно получаем

\Т

V = гТ |жА(ш, г )Ж-1 - ЖЬ Ж-1 гш + +гТ ^ жА(ш, г )Ж-1 - жь Ж-1 .Л^шг.

(17)

Как было показано выше, если ш ^ю, то величины А(ш,г) и ш/ш стремятся к нулевым значениям. Следовательно,

" (18 а)

V ^ У0 « 2шгТЛг <-2ш шт^} < 0 при ш^-ю

или

V ^ V0 < ехр

-2 шт {9 }|ш( т) ё т

V (0).

(18 б)

При достаточно больших, но конечных значениях ш функция V остается отрицательной. Как следствие, величина ||г|| ^ 0 экспоненциально при достаточно больших значениях ш .

Так как преобразования г = Жг и г = Q-1(ш)ё эквивалентны, то ||ё|| также стремится к нулю экспоненциально.

Важно отметить, что поскольку ||ё|| уменьшается, то в соответствии с выражением (6 а)

или (6 б) значение ш также уменьшается, что ведет к большой ошибке аппроксимации (16) и нарушению условий (18 а) и (18 б). Таким образом, нарушается устойчивость системы, величина ошибки 8 = ё1 возрастает, что приводит к увеличению ш. При этом существует такое

пороговое значение ш0 и такой момент времени г , что при ш >ш0 производная функции

*

Ляпунова отрицательна, откуда следует устойчивость системы (9) при г > г .

В силу полноты системы (9) (см. следствие) ее траектории не „уходят" в бесконечность

*

при г < г , в связи с чем устойчивость данной системы и, как следствие, ограниченность всех сигналов гарантируются на интервале времени г е [0, ю) . □

Замечание. Так как свойство экспоненциальной устойчивости является робастным по отношению к внешним возмущениям и вариациям параметров, то из экспоненциальной

устойчивости системы (13) следует, что выходной сигнал возмущенной системы (8) экспоненциально стремится к окрестности нулевого положения равновесия. При этом достаточно большое значение со обеспечивается алгоритмом (6 а) или (6 б).

Моделирование. В качестве примера рассмотрим задачу управления неустойчивым параметрически неопределенным объектом:

х1 = (1,Ып(0,8 г )+4 ) + х2

х2 = 1,4соб(0,4 г)х1 + соб(0,5 г)х2 + и + ^2,

где = [ ]Т =[0 0,5бш г]Т — возмущение.

Начальные условия объекта: хТ (0) = [1, 0]Т . Закон управления (4)—(6) представляется в следующем виде:

2

и = ш е1 + 2,5 ш е2,

где е1 =2= Ум-У = х1м-x1, е2 = х2м - х2 .

Проведем моделирование системы для двух алгоритмов формирования параметра ш :

а) алгоритма адаптации с линейной обратной связью

2

сс = -0,15ш + ув , ш(0);

б) алгоритма адаптации со статической нелинейной обратной связью

со = ув2.

Эталонную модель зададим следующей системой уравнений:

х1м = х2м, х2м = -х1м - 2х2м + 8 ,

где 8 = 10б1п г.

Результаты моделирования представлены графиками переходных процессов в адаптивной системе управления, замкнутой алгоритмом адаптации с линейной обратной связью (рис. 1) и со статической нелинейной обратной связью (рис. 2), для у = 200.

Рис. 1

30 t, с

0,5

0

-0,5 -1

Л к Г

.................. 1 11

J j

\ J

0

5 10 15 20 25 30 t, с

Х2 20 0

-20 -40

......................

V

/ 1 \ /

\J V/

\7 V / v

ю 100

0

5 10 15

20

u 200 100 0

-100 -200 -300

0

15

Рис. 2

30 t, с

Результаты моделирования иллюстрируют работоспособность алгоритмов управления, ограниченность всех сигналов в системе и сходимость ошибки управления 8 к окрестности нулевого положения равновесия.

Заключение. Предложены алгоритмы адаптивного и робастного управления по состоянию параметрически неопределенным нестационарным возмущенным объектом с относительной степенью, равной порядку системы. Закон управления имеет простую структуру и гарантирует ограниченность всех сигналов в замкнутой системе, а также экспоненциальное стремление ошибки 8 к нулевому положению равновесия.

Статья подготовлена по результатам работы, выполненной при государственной финансовой поддержке ведущих университетов Российской Федерации (субсидия 074-И01) и поддержке Министерства образования и науки РФ (проект 14.Z50.31.0031).

е

список литературы

1. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 с.

2. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах: беспоисковые методы. М.: Наука, 1990. 296 с.

3. Narendra K. S., AnnaswamyA. M. Stable Adaptive Systems. N. J.: Prentice-Hall, 1989. 495 p.

4. Feuer A., Morse A. S. Adaptive control of single-input, single-output linear systems // IEEE Trans. on Automatic control. 1978. Vol. 23. P. 557—569.

5. Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Системы адаптивного управления с расширенной ошибкой // Автоматика и телемеханика. 1994. № 9. С. 3—22.

6. Morse A. S. High-order parameter tuners for the adaptive control of nonlinear systems // Proc. of the US—Italy Joint Seminar on Systems, Models and Feedback Theory and Applicators. 1992. Capri, Italy. P. 20—26.

7. Ortega R. On Morse's new adaptive controller: parameter convergence and transient performance // IEEE Trans. on Automatic Control. 1993. Vol. 38, N 8. P. 1191—1202.

8. Nikiforov V. O. Robust high-order tuner of simplified structure // Automatica. 1999. Vol. 35, N 8. P. 1409—1415.

9. KrsticM., Kanellakopoulos, I., Kokotovic P. Nonlinear and Adaptive Control Design. N. Y.: Wiley, 1995. 563 р.

10. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000. 549 с.

11. Tsakalis K. S., Ioannou P. A. Linear Time Varying Plants: Control and Adaptation N. J.: Prentice-Hall, 1993. 195 p.

12. Tsakalis K. S., Ioannou P. A. Adaptive control of linear time varying systems // Proc. of the 35th Conf. on Decision and Control. 1996. Japan. P. 837—842.

13. Marino R., Tomei P. Adaptive control of linear time-varying systems // Automatica. 2003. Vol. 39. P. 651—659.

14. Никифоров В. О. Нелинейная система управления с компенсацией внешних детерминированных возмущений // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. № 4. С. 69—73.

15. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб: Наука, 2003. 282 с.

16. Barkana I. Simple adaptive control — a stable direct model reference adaptive control methodology — brief survey // J. Adapt. Control Signal Process. 2013. Vol. 28, iss. 7—8. P. 567—603.

17. Barkana I. Classical and simple adaptive control for non-minimum phase autopilot design // J. of Guidance, Control and Dynamics. 2005. Vol. 28. P. 631—638.

18. Ilchmann A., Ryan E. P. High-gain control without identification: a survey // GAMM-Mitteilungen. 2008. Vol. 31. P. 115—125.

19. Ilchmann A., Ryan E. P., Townsend P. Tracking control with prescribed transient behavior for systems of known relative degree // Systems & Control Letters. 2006. Vol. 55. Р. 396—406.

20. Ben Yamin R., Yaesh I., Shaked U. Simplified adaptive control with guaranteed H" performance // Adaptation and Learning in Control and Signal Processing. 2007. Vol. 9. P. 351—356.

21. Герасимов Д. Н., Никифоров В. О. Адаптивный регулятор стабилизации простой структуры // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 5. С. 48—52.

22. Gerasimov D. N., Nikiforov V. O. Simple adaptive output control of linear systems // Proc. of Multi-Conference on Systems and Control. 2014. P. 566—571.

23. KhalilK. K. Nonlinear systems. N. J.: Prentice-Hall, 2002. 750 p.

Сведения об авторах

Дмитрий Николаевич Герасимов — канд. техн. наук, доцент; Университет ИТМО, кафедра систем

управления и информатики; E-mail: gerasimovdn@mail.ru Мария Владимировна Лызлова — магистр; Университет ИТМО, кафедра систем управления и ин-

форматики; E-mail: lyzlovamv@yandex.ru Владимир Олегович Никифоров — д-р техн. наук, профессор; Университет ИТМО; проректор по

научной работе; E-mail: nikiforov@mail.ifmo.ru

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

систем управления и информатики 02.02.15 г.

Ссылка для цитирования: Герасимов Д. Н., Лызлова М. В., Никифоров В. О. Простые алгоритмы адаптивного и робастного управления классом линейных объектов с переменными параметрами // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58, № 5. С. 351—361.

SIMPLE ALGORITHMS OF ADAPTIVE AND ROBUST CONTROL OVER A CLASS OF LINEAR TIME-VARYING OBJECTS

D. N. Gerasimov, M. V. Lyzlova, V. O. Nikiforov

ITMO University, 197101, Saint Petersburg, Russia E-mail: lyzlovamv@yandex.ru

Two simple solutions to the problem of adaptive state-feedback control are proposed for a class of time-variant linear objects. State matrix is presented in the low triangular form. The control design is based on standard pole placement approach with variable average radius of roots distribution. The radius is generated by robust adaptation algorithm in the first solution and by nonlinear static feedback in the

second one. The control provides the boundedness of all signals in the closed-loop system and exponential convergence of the object output signal to output signal of reference model.

Keywords: adaptive and robust control, linear time-variant system.

Data on authors

Dmitry N. Gerasimov — PhD, Associate Professor; ITMO University, Department of Control

Systems and Informatics; E-mail: gerasimovdn@mail.ru Mariya V. Lyzlova — Graduate Student; ITMO University, Department of Control Systems

and Informatics; E-mail: lyzlovamv@yandex.ru Vladimir O. Nikiforov — Dr. Sci., Professor; ITMO University, Vice-Rector for Recearch;

E-mail: nikiforov@mail.ifmo.ru

Reference for citation: Gerasimov D. N., Lyzlova M. V., Nikiforov V. O. Simple algorithms of adaptive and robust control over a class of linear time-varying objects // Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Priborostroenie. 2015. Vol. 58, N 5. P. 351—361 (in Russian).

DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-5-351-361