CC BY
36
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИИ ВЕСТНИК ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИИ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ май-июнь 2017 Том 17 № 3 ISSN 2226-1494 http://ntv.ifmo.ru/
SCIENTIFIC AND TECHNICAL JOURNAL OF INFORMATION TECHNOLOGIES, MECHANICS AND OPTICS
May-June 2017
Vol. 17 No 3 ISSN 2226-1494
http://ntv.ifmo.ru/en
УДК 681.5
НОВЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ПО ВЫ ХОДУ
О.И. Борисов", А.А. Пыркин"
a Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация Адрес для переписки: [email protected] Информация о статье
Поступила в редакцию 17.03.17, принята к печати 28.04.17 doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-3-564-567 Язык статьи - русский
Ссылка для цитирования: Борисов О.И., Пыркин А.А. Новый метод синтеза алгоритмов робастного управления по выходу // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2017. Т. 17. № 3. С. 564-567. doi: 10.17586/22261494-2017-17-3-564-567
Аннотация
В работе предложен метод синтеза робастного регулятора по выходу, известный как последовательный компенсатор, для решения задач стабилизации неопределенных объектов по выходу. Идея основана на переходе от операторной формы записи регулятора к его матричному представлению, что допускает возможность использования дополнительного инструментария (например, линейных матричных неравенств). Новый метод синтеза позволяет развить известный результат и получить эффективные решения таких задач, как дискретизация, оптимизация и адаптация. Для подтверждения работоспособности предложенного регулятора в работе приведены результаты компьютерного моделирования, иллюстрирующие стабилизацию неопределенного объекта с одним устойчивым нулем и двумя неустойчивыми полюсами с обеспечением времени переходного процесса меньше заданного. Ключевые слова
последовательный компенсатор, робастное управление, управление по выходу, дискретизация, оптимизация,
адаптация
Благодарности
Работа была поддержана грантом Президента Российской Федерации №14.У31.16.9281-НШ.
NEW DESIGN METHOD OF OUTPUT ROBUST CONTROL ALGORITHMS
O.I. Borisov", A.A. Pyrkin"
a ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation Corresponding author: [email protected] Article info
Received 17.03.17, accepted 28.04.17 doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-3-564-567 Article in Russian
For citation: Borisov O.I., Pyrkin A.A. New design method of output robust control algorithms. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2017, vol. 17, no. 3, pp. 564-567 (in Russian). doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-3-564567
Abstract
The paper deals with design method of an output robust controller known as the consecutive compensator for output stabilization of uncertain plants. An idea is based on transition from operator form of the regulator to its matrix representation that permits the usage of auxiliary tools (e.g. linear matrix inequalities). The new design method enables to develop the known result and get effective solutions for such tasks as discretization, optimization and adaptation. The paper provides simulation results to confirm efficiency of the proposed regulator. They illustrate stabilization of uncertain plant with one stable zero and two unstable poles with settling time less than the given one. Keywords
consecutive compensator, robust control, output control, discretization, optimization, adaptation Acknowledgements
This work was supported by the Russian Federation President Grant №з.14.У31.16.9281-НШ.
Регуляторы с простой структурой и упрощенной настройкой параметров управления представляют интерес для инженеров, поскольку их программная реализация, как правило, не требует значительных вычислительных мощностей и не вызывает сложностей. С этой точки зрения метод робастного управле-
ния по выходу, известный как последовательный компенсатор [1], положительно зарекомендовал себя при решении ряда прикладных задач [2-4]. Однако остаются открытыми некоторые вопросы, касающиеся обеспечения заданного качества управления, перехода от непрерывной формы к дискретной для применения в цифровых системах. В настоящей работе представлен регулятор, предполагающий переход от операторного формализма к матричному, допуская возможность использования дополнительного инструментария (например, линейных матричных неравенств).
Рассмотрим линейную стационарную систему вида
x (t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t), (1)
где x e Rn - вектор состояния, y e R1 - измеряемая выходная переменная, u e R1 - управляющий сигнал, A , B , C - матрицы состояния, входа и выхода размерностей n х n, n х 1, 1х n соответственно, n - порядок системы. Введем следующие допущения.
Допущение 1. Объект (1) - минимально-фазовый [5].
Допущение 2. Относительная степень объекта (1) r > 1 известна.
Ставится задача стабилизации по выходу с обеспечением условия:
lim y (t) = 0.
Модель «вход-выход» объекта (1) имеет вид УО) = ^ «(*),
где Ь(5) - гурвицев полином в соответствии с Допущением 1. Выполним следующие преобразования модели (2):
a(s)
bS)
y( s) = u (s):
c(s) +
d (s)
bs)
d (s)
y(s) = u(s) ^ c(s)y(s) = u(s) -—— y(s).
b(s)
(2)
(3)
Степени полиномов Ь(5), с(5) и d (5) составляют соответственно п - г, г и п - г -1. Запишем модель объекта (3) в виде
2(5) = ТТГУ(5), У(5) [ (5) - г(5)],
¿(5) С( 5)
а также в пространстве состояний:
Z i (t) Z2 (t)
Zi (t) 0
+
Z2 (t) B2
i(t), y(t) =[0 C2 ]
Zi (t) Z2 (t)
(4)
Обратим внимание на ключевые свойства модели вида (4). Матрица А11 гурвицева в силу Допущения 1. Матрица А22 может быть выбрана во фробениусовой форме, что определяет значения векторов
В2 =[0 - 0 Ь0]т и С2 =[1 0 - 0].
Допустив, что сигнал z2 (/) измеряемый, выберем закон управления в виде
и(/) = -кК^2 (/), (5)
где к > 0 - параметр, выбираемый разработчиком, К0 = [к1 к2 — кг ] - вектор-строка коэффициентов
произвольного гурвицева полинома К (5) = кг$г-1 +-----+ к2 5 + к1.
Известно, что существует число к0 такое, что для всех к > к0 замкнутая система (4)-(5) асимптотически и экспоненциально устойчива (результат, известный как «теорема Фрадкова», совпадает с [6]). В самом деле, замкнутая система имеет следующий вид:
" Z1 (t)"
_ Z 2 (t) _
A22 kBy^^o
Zi (t) Z2 (t).
где в силу структуры матриц А22 и В2 легко найти число к0 такое, что для всех к > к0 матрица А22 - кВ2К0 гурвицева и, более того, наряду с гурвицевой матрицей Аи подавляет составляющие А12 и А21, т.е. смещает их спектр собственных чисел влево от мнимой оси.
Вернемся к основной задаче, при которой измерению доступна только выходная переменная У . Выберем закон управления в виде
и(0 = -кКо5(0, (6)
5 (0 = Г,5(0+ds у (0, (7)
где
НОВЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ
-кг о 1 0 • • 0" " К 1
Г. = -кг-,о2 0 1 • • 0 , 1 = К-,о2
-ког 0 0 • • 0 к1ог
где о - параметр, выбираемый разработчиком.
Заметим, что матрица Г. может быть представлена в виде
"10 0 ••• 0 0 о 0 ••• 0
Г. = оТ
"-кг 1 0 • • 0"
-кг-1 0 1 • • 0
(-к, 0 0 • • 0
Т =
0 0 0
где матрица Г 0 гурвицева. Следовательно, собственные числа связаны соотношением
X {Г.} = оХ {ТГ0Т 11. Модель замкнутой системы имеет вид
" Z ! ^) "
Z 2 ^) =
_ к (о _
0
й.С2
0 Г.
кВ2К0
^2 (t) Ш )
Введем новую переменную х = z2 - £ и вычислим ее производную: х(t) = А^ (t) + A22Z2 (t) - ¿В2К0 (Z2 (t) - х^)) - dsC2Z2 (t) - Г. ^2 (t) - х^)) = = А^ (t) + (А22 - (Г. + (1.С2) - ¿В2К0 )Z2 (t) + (Г. + ¿В2К0 )х(0,
и в итоге
" Z ! (1) "
Z 2 (1) =
_ х (1) _
А22 -А22 - 10 - кВ2К0
кВ2К0 Г. + кВ2К,.
Z1 ^) Z2 (I)
х (I).
"0 1 0 • • 0"
0 0 1 • • 0
0 0 0 • • 0_
(8)
Известно, что существует число к0 такое, что для всех к > к0 блочная матрица
А! =
А22 kB2Ko
гурвицева. Кроме того, известно, что существует число о0 такое, что для всех о > о0 матрица Г. подавляет остальные элементы блочной матрицы, и система (8) асимптотически (экспоненциально) устойчива, что, в сущности, совпадает с [1, 7, 8].
МО
4 2
0,25 0
-0,25 -2
V
1- X: 0,4684
У: -0,25
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,: Рисунок. Результаты моделирования
0,9 ^ с
В качестве примера рассмотрим объект управления, заданный передаточной функцией
К а) = +1)
a( а) (а - 2)(а -1).
Для объекта (9) регулятор (6)-(7) имеет вид
(9)
г-1
о
Г
и (О = -кк^), &) = к,о( у(/) - )).
Выберем параметры управления к = 35, о = 20 , к1 = 1 и осуществим моделирование замкнутой системы с ненулевыми начальными условиями. Результаты моделирования приведены на рисунке. Как видно из графика, в примере достигнуто время переходного процесса менее 0,5 с.
В настоящей работе предложена идея использования матричной формы регулятора (6)-(7), которая позволяет получить модель замкнутой системы вида (8), что открывает возможности решения ряда ранее не рассматриваемых задач. Предложенный метод синтеза позволяет развить известный результат, открывая пути решения актуальных задач, связанных с повышением качества управления неопределенными объектами по выходу.
Литература
1. Бобцов А.А. Робастное управление по выходу линейной системой с неопределенными коэффициентами // Автоматика и телемеханика. 2002. № 11. С. 108-117.
2. Власов С.М., Борисов О.И., Громов В.С., Пыркин А.А., Бобцов А.А. Робастная система динамического позиционирования для роботизированного макета надводного судна // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58. № 9. С. 713-719. doi: 10.17586/0021-3454-2015-58-9-713719
3. Петраневский И.В., Борисов О.И., Громов В.С., Пыркин А.А. Управление квадрокоптером с компенсацией ветровых возмущений // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Т. 15. № 6. С. 1045-1053. doi: 10.17586/2226-1494-2015-15-61045-1053
4. Власов С.М., Борисов О.И., Громов В.С., Пыркин А.А., Бобцов А.А. Алгоритмы адаптивного и робастного управления по выходу роботизированным макетом надводного судна // Мехатроника, автоматизация, управление. 2016. Т. 17. № 1. С. 18-25.
5. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. 549 с.
6. Фрадков А. Л. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного динамического объекта // Автоматика и телемеханика. 1974. № 12. С. 96-103.
7. Serrani A., Isidori A., Marconi L. Semiglobal nonlinear output regulation with adaptive internal model // IEEE Transactions on Automatic Control. 2001. V. 46. N 8. P. 1178-1194. doi: 10.1109/9.940923
8. Bobtsov A. A note to output feedback adaptive control for uncertain system with static nonlinearity // Automatica. 2005. V. 41. N 12. P. 2177-2180. doi: 10.1016/j.automatica.2005.08.006
References
1. Bobtsov A.A. Robust output-control for a linear system with uncertain coefficients. Automation and Remote Control, 2002, vol. 63, no. 11, pp. 1794-1802. doi: 10.1023/A:1020907415730
2. Vlasov S.M., Borisov O.I., Gromov V.S., Pyrkin A.A., Bobtsov A.A. Robust system of dynamic positioning for robotized model of surface craft. Journal of Instrument Engineering, 2015, vol. 58, no. 9, pp. 713-719. (In Russian)
3. Petranevsky I.V., Borisov O.I., Gromov V.S., Pyrkin A.A. Output controller for quadrocopter with wind disturbance cancellation. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2015, vol. 15, no. 6, pp. 1045-1053. (In Russian) doi: 10.17586/2226-1494-2015-15-61045-1053
4. Vlasov S.M., Borisov O.I., Gromov V.S., Pyrkin A.A., Bobtsov A.A. Algorithms of adaptive and robust output control for a robotic prototype of a surface vessel. Mechatronics, Automation, Control, 2016, vol. 17, no. 1, pp. 18-25. (In Russian)
5. Miroshnik I.V., Nikiforov V.O., Fradkov A.L. Nonlinear and Adaptive Control of Complex Dynamic Systems. St. Petersburg, Nauka Publ., 2000, 549 p. (In Russian)
6. Fradkov A.L. Synthesis of adaptive stabilization system of linear dynamic object. Avtomatika i Telemekhanika, 1974, no. 12, pp. 96-103. (In Russian)
7. Serrani A., Isidori A., Marconi L. Semiglobal nonlinear output regulation with adaptive internal model. IEEE Transactions on Automatic Control, 2001, vol. 46, no. 8, pp. 1178-1194. doi: 10.1109/9.940923
8. Bobtsov A. A note to output feedback adaptive control for uncertain system with static nonlinearity. Automatica, 2005, vol. 41, no. 12, pp. 2177-2180. doi: 10.1016/j.automatica.2005.08.006
Авторы
Борисов Олег Игоревич - аспирант, инженер, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, [email protected]
Authors
Oleg I. Borisov - postgraduate, engineer, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, [email protected]
Пыркин Антон Александрович - доктор технических наук, доцент, профессор, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, [email protected]
Anton A. Pyrkin - D.Sc., Associate Professor, Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, [email protected]
