Развитие метода апертур в задаче о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитных волн Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:530.12

РАЗВИТИЕ МЕТОДА АПЕРТУР В ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНО-ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОМ ЛИНЗИРОВАНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

П. А. Вшивцева, И. В. Кривченков

(кафедра квантовой теории и физики высоких энергий)

Разработан метод расчета коэффициента микролинзирования, позволяющий учитывать фазовые соотношения электромагнитных волн, пришедших от различных входных апертур. Основные идеи этого метода проиллюстрированы на примере задачи о нелинейно-электродинамическом и гравитационном микролинзировании электромагнитного излучения в пространстве-времени Рейснера-Нордстрема.

В настоящее время осуществляется несколько международных научных программ по наблюдению эффектов гравитационного линзирования и микролинзирования. В общей теории относительности при расчете эффекта гравитационного микролинзирования [1-2] широко используется метод апертур. С физической точки зрения метод апертур соответствует сложению потоков энергии электромагнитных волн от нескольких входных апертур, когда разности их фаз хаотически изменяются с течением времени.

Это означает, что при наблюдении когерентных источников, когда необходимо складывать не потоки энергии, а напряженности электромагнитных волн и учитывать разности фаз электромагнитных волн, распространяющихся по различным лучам, метод апертур неприменим и должен быть заменен более корректным методом.

Разработке такого метода и посвящена настоящая работа.

Рассмотрим гравитационный центр массы М радиуса Я8, обладающий электрическим зарядом С,). В общей теории относительности гравитационное поле этого центра описывается метрикой Рейене-ра-Нордстрема [3]:

о<°> = -—

Угг ,

500

(0)

9вв ~

= —Т

д$ =-г2 зтЧ

(1)

где гд = 2ОМ/с2 — гравитационный радиус тела,

а = од2/с4.

Тензор электромагнитного поля в этом случае будет иметь только две ненулевые компоненты:

Пусть на этот центр падает плоская электромагнитная волна частоты ш, волновой вектор которой направлен вдоль оси г. Согласно параметризованной постмаксвелловской электродинамике вакуума [4] электромагнитная волна в поле заряженного грави-тирующего центра будет распространяться по изотропным геодезическим эффективного пеевдорима-нова пространства-времени, метрический тензор ко-

(2)

торого дц. зависит от поляризации волны:

где щ и щ — постмаксвелловские параметры; индексы у тензора ¿^ поднимаются с помощью метрического тензора

Поэтому при щ ф щ любая электромагнитная волна, проходя через внешнее электромагнитное поле, разделяется на две нормальные волны, поляризованные ортогонально друг к другу, первая из которых распространяется по геодезическим эффективного псевдориманова пространства-времени с метрическим тензором <7^, а вторая — по геодезическим

пространства-времени с метрическим тензором дг^у Движение фотонов в эффективном пеевдорима-новом пространстве-времени (2) описывается уравнением

йа

1 рПгь Гь и, Упт Л Л 5

(3)

где кт = йхт/йа, а — некоторый аффинный параметр, а Г^ — символы Кристоффеля эффективного псевдориманова пространства-времени с метриче-(1)

ским тензором дпТп для нормальных волн первого (2)

типа и дпТп — для нормальных волн второго типа.

В уравнениях системы (3) удобно перейти от дифференцирования по о- к дифференцированию по координате г в соответствии с равенством й/йа = {йя/й^й/йя = кгй/йя [5]. Комбинируя уравнения системы (3), запишем их в более удобном виде

й2х° йя2 (Рх

£уА

Ля2

Г° I ЛхШ = А

га! йя йя йя '

Г1 _ —Г3 1 — — = о

то йя тЧ йя йя '

(4)

Г2 _ ^Г3 1 — — ™ йяГОЧ йя Ля

= 0.

В качестве начальных условий для системы уравнений (4) потребуем, чтобы луч начинался в точке х = жо, У = 2/0; г = —Ь, фотон начинал движение в момент времени £ = ¿о и волновой вектор пада-

ющей электромагнитной волны в этой точке был параллелен оси г.

Если разложить уравнения (1) и (4) в ряды по малым параметрам гд/г и £Q2/r4 е точностью, квадратичной по гд/г и линейной по £Q2/r4, учесть, что ж' и у' являются величинами первого порядка малости, а et = 1 + 0(rg/r), то получим

et" [з^2 + 6 z(xx' + уу') - 2 Г2(х'2 + у'2) +

3(жж' + уу')2] + г2 2(®®' + уу') - zc2t'2 }

Ф

2 г6

rh [г2 + Зг2] _ + 12tvQ*z(f + V2). 0;

«б

'9

2 г5

(2г2 - Sz2 + r2c2t'2)(x - zx') -

— 6 xz(xx' + уу') + x'3z( Зж2 — 2r2) + x'y'2z(3y2 - 2r2) - x'2x(x2 - 2y2 - 8z2)

жу'2(3у2 — 2 r2) — 6x'y'y(x2 — z2) + 6 x'^y'xyz r2x(z2 + г2) 2аж[г2 - z2]

/2 /

2r6

4^Q2x(4z2 + x2 + y2)

= 0,

2 r5

(2r2 - 3z2 + r2c2t'2)(y - zy') -■ %yz(xx' + yy') + y'3z(3y2 — 2 r2)

+ y'x'2z{Зж2 - 2r2) - y"y{y2 - 2x2 - 8z2) -yx'2( Зж2 — 2r2) — 6 x'y'x(y2 — z2) + 6 y'2x'xyz r2y(z2 + r2) 2ay[r2 — z2)

/2

2r6

4£??Q2y(4z2 + x2 + у2)

= 0. (5)

Первый интеграл дпт^кпкт = 0 системы уравнений (4) принимает вид

2+/2 ,2 ,2 С t — X — у

г2 + r2c2t'2 - (жж' + уу')2 + 2г(жж' + уу')

r2z2 a(z2 + г2) 4£r/Q2(4z2 + ж2 + у2)

= 0. (6)

Решение уравнений (5) и (6) будем искать в виде разложений

Ct = Cto + Z + rgcti(z) + rgct2(z) + Cts(z) + ^Tfct^z), X = XQ + rgXl(z) + r2X2(z) + Ж 3(z) + £r]X4(z), (7) У = Уо + rgyi(z) + rgy2(z) + уз (г) + ^rjy^z).

Подставляя выражения (7) в уравнения (5) и решая их, найдем значение времени и координат в плоскости г = Ь

et = ct0 + 2 L

rg In

VL2

L

rgL

sfV

L JD-

L_ L(16L6+31L4rg+4L2r^9rg) 8rö arCtg + 8r2(L2 + r2)3

а

L

inQ2

2(L2 + r2) 3 L

3 L

— arctg — 2 r0 r0

, L(ZL2 + 5r2y 2r2(L2 + r2)2_ ж = ж0^, у = yo-F,

(8)

где введено обозначение

F = 1

rgL2(2L2 + Зг2)

\V(L2

rg)3

aL

L(L2 + 15r2)

8r2(L2

r2)2

^Q2L

'o

3 L

—з arctg —

2 rg r0

9 L

—5 arctg — -

2 rg r0

15 L —3 arctg — Brg r0

L(3L2 + 5r2)'

" 2r2(L2 + r2)2.

L(9L4 + 24L2r(

4P

2tq{L2 + r2)3

(9)

Используя выражения (8) и (9) и учитывая аксиальную симметрию задачи, найдем координаты точки, в которой рассматриваемый луч пересечет плоскость г = Ь. Ограничиваясь асимптотически главными членами по малым параметрам го/Ь и полагая, что г0 > , получим ж = жо-Ро, У = Уо^о, гДе

F0 = l

2 rgL 15тг r2gL 3waL 9 ^Q2L

16rg

4 rj]

4r§

(10)

Фотон, испущенный в момент времени ¿о из точки (ж = жо, у = уо, г = —Ь), двигаясь по этому лучу, попадет в детектор в момент времени

et = ct0 + 2 L

2rg In

2 L

r 0

15тг 2 L

16r0

'o J

Зжа i STi^rjQ2 4 r0

4rg

(H)

Электрическое и гравитационное поля в метрике (1) представляют собой гравитационную и нелинейно-электродинамическую линзу. Поэтому расчет коэффициента усиления потока электромагнитного излучения в такой линзе можно проводить методом апертур, слегка видоизменив его. Из-за аксиальной симметрии в качестве выходной апертуры удобно рассматривать кольцо радиуса р и толщины ф. Найдем входную апертуру, т. е. сечение плоскостью г = —Ь всех тех пучков лучей, которые проходят

и

через выходную апертуру. Выражения (8) и (10) дают искомое уравнение лучей

хА = жо-Ро, у а = 2/о-Ро-

(12)

Из этой алгебраической системы уравнений нам необходимо определить жо и уо как функции ха и у а-Несложно убедиться, что эта система уравнений сводится к алгебраическому уравнению пятой степени, методов точного решения которого в настоящее время не существует.

Однако у нас имеется возможность решить эти уравнения приближенно, поскольку в уравнения (12) входят малые параметры и, кроме того, при 4а < Ъг2 все слагаемые этих уравнений действуют на лучи как собирающая оптическая линза. Поэтому полагая, что гдЬ < и решая уравнения (12) методом последовательных приближений, находим, что они имеют по два корня, соответствующих двум типам лучей, начинающимся в двух различных входных апертурах и проходящих через одну и ту же выходную апертуру.

Радиусы ГдХ\ гд2-1 первой и второй входных апертур, лучи из которых попадут в выходную апертуру, имеют вид

Л1)

^г2А + 8гдЬ + гА

Зтт(5г2 — 3 а)Ь

г\ +8 г„Ь + га

г(2) - А

г° "2

А + 8гдЬ — га 37Г(5 г2 — 3 а)Ь

г\ + 8 г„Ь + г А

4>

г\ +8 г„Ь-га

г\ + 8г„Ь - гА

(13)

Следует отметить, что должно выполняться уело-(2)

вие Гц > Я8, иначе соответствующий луч попадет внутрь звезды и излучение поглотится ею. Это условие выполняется, если приемник электромагнитного излучения расположен на расстоянии 0 < га < 4:ГдЬ/Я3 — Я8 от оси рассматриваемой оптической системы.

Найдем теперь отношение площадей входных апертур к площади выходной апертуры. Для лучей первого типа отношение площадей входной и выходной апертур принимает вид

9тгг^ £2 _ г7ГГ0 аг0

2жгас1ГА

1

4 гАф

8 ГдЬ

ГА

8 ГдЬ

Зтг(5г|

3 а)Ь

8 ГдЬ-

ГА

21б7г£т; Я2Ь

8 ГдЬ-

ГА

Несложный расчет позволяет найти и отношение площадей входной и выходной апертур для лучей второго типа

й = 27Г'Г|

(2) ^(2), о а'о I

1

2жгас1ГА

4гАу!~г

8 ГдЬ

ГА

8 ГдЬ

Зтг(5г|

3 а)Ь

8 ГдЬ-

ГА

8 ГдЬ

ГА

Найдем разность фаз электромагнитных волн, приходящих к детектору из двух разных входных апертур. Так как плоскость г = —Ь совпадает с фронтом падающей плоской электромагнитной волны, то электромагнитное излучение в этой плоскости имеет одинаковую фазу во всех ее точках. В дальнейшем электромагнитное излучение из двух входных апертур распространяется к выходной апертуре по различным лучам и фотоны затрачивают на эти пути разное время. Найдем эти промежутки времени. Подставляя выражения (13) в соотношения (11), учитывая, что разность фаз ДФ электромагнитных волн, распространяющихся по лучам первого и второго типов в плоскости г = Ь, где расположен детектор, связана с частотой излучения ш и разностью времен А/ !■> — ¿1 соотношением ДФ = а;Д£, получим

2 Гп ГА ДФ = ш1 -2-Ы

8 гпЬ

г2, + 8 г„Ь — га

8 г2дЬ

8 г2Ь

Г\ + 8ГдЬ - гА

Зя-(5г2 — 4а)

га

8 г„Ь

Зя-(5г2 — 4а)

8с

г\ + 8г„Ь - гА

8 с

га

8 гпЬ

г\ + 8 г„Ь - г А

ГА

8гпЬ

Вклады в амплитуду результирующей волны в детекторе от этих областей пропорциональны и £2 и различаются по фазе на ДФ.

Вычислим теперь коэффициент нелинейно-электродинамического и гравитационного микролинзи-

рования электромагнитного излучения в метрике Рейенера-Нордетрема. Предположим, что детектор $ расположен в выходной апертуре радиуса г а-В этот детектор попадает излучение из двух входных апертур. Из-за нелинейно-электродинамичееко-го двулучепреломления вакуума во внешнем электромагнитном поле из каждой входной апертуры в детектор будут попадать две нормальные волны, одна из которых поляризована в плоскости, проходящей через ось г и центр детектора, а вторая — перпендикулярно этой оси. Обозначим амплитуду первой нормальной волны при г = ^Ь через Ец, а второй — через Е_|_. Тогда вектор Е первой нормальной волны, регистрируемой детектором при г = Ь, будет иметь вид

Е = Е||[£х соз(о;£ — кг) + £2 сов^ — кг + АФ)]Ч=Ч1,

где в выражениях для £1, £2 и ?? следует положить г] = т)1. Поэтому усредненная по времени интенсивность первой нормальной волны I, регистрируемая детектором, будет равна

сЕм2

[Й + £22 + 2£1£2С08(АФ)]г?=г?1.

Коэффициент нелинейно-электродинамического и гравитационного микролинзирования первой нормальной волны в метрике Рейснера-Нордстрема равен

Щ\= [£12 + £22 + 2£1£2СОЗ(АФ)] .

Для второй нормальной волны получим аналогичное выражение

К± = [£i2 + £| + 2£I£2 соз(АФ)] v=m ,

где в выражениях для £1, £2 и г) следует положить

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 04-02-16604).

Литература

1. Блиох П.В., Минаков A.A. Гравитационные линзы. Киев, 1989.

2. Грац Ю.В., Россихин A.A. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрой. 2004. №6. С. И (Moscow University Phys. Bull. 2004. N 6. P. 12).

3. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. М., 1986.

4. Denisova ¡.Р., Krivchenkov /. V., Vshivtseva P.A., Zubrilo A.A. Ц Gen. Relat. Grav. 2004. 36, N 4. P. 889.

5. Denisov V.l., Svertilov S.I. // Phys. Rev. D. 2005. 71, N 6. P. 063002.

Поступила в редакцию 27.05.05