Эффект слабого микролинзирования и интерферометрия Текст научной статьи по специальности «Физика»

Эффект слабого микролинзирования и интерферометрия.

Сажин М.В., Пширков М.С (mpshirkov@mail.ru) ГАИШ МГУ , Москва 119992, Россия

В работе рассмотрен эффект слабого микролинзирования в приближении физической оптики. Показано, что полученные результаты сводятся к уравнениям, выведенным ранее в пределе геометрической оптики. Эффект слабого микролинзирования приводит к появлению нестационарной картины при наблюдениях на интерферометрах. Выяснены характеристики наблюдений для получения неискаженных изображений, а также ограничения на точность определения координат источников и установления стабильной системы отсчета.

1. Введение

РСДБ (радиоинтерферометры со сверхдлинной базой) достигли очень высокой точности измерения координат радиоисточников [1], в некоторых случаях использование фазового метода измерения позволяет получить точность измерения угловых координат в пределах десяти микросекунд дуги [2], [3], [4]. В оптической астрономии исследователи также провели высокоточный астрометрический эксперимент Hipparcos [5]. Несколько новых высокоточных космических экспериментов, в основу которых . положен принцип интерферометра, находятся в стадии разработки [6], [7], [8].

В радиоинтерферометрии астрономы надеются нарастить размер базы интерферометра до расстояний, сравнимых с размером орбиты Луны, и, тем самым, повысить точность измерений координат еще на один порядок и достичь точности измерений в несколько микросекунд дуги [9], [10]. Измерения углов в астрономии вскоре достигнут точности, которая позволит измерить нестационарность пространства - времени в нашей Галактике, обусловленной движением звезд [11], [12], [13], [14], [15].

Влияние нестационарности пространства - времени на астрометрические наблюдения будет выражаться в случайном "блуждании" видимого положения небесного источника излучения вокруг среднего положения. Такие случайные "блуждания" будут у каждого источника, что вызовет трудности в практическом установлении инерциальной небесной системы координат в астрономии [13].

Задача о влиянии слабого эффекта микролинзирования на нестационарность пространства - времени и предельную точность наблюдений в астрометрии, обусловленную им, рассматривалась в [12], [13], [14]. Амплитуда случайных "блужданий" небесных источников в оценках различных авторов менялась от единиц и десятков микросекунд дуги [11] до нескольких сотен микросекунд дуги [12].

2. Решение уравнения эйконала в поле звезды.

Вычислим изменение фазы электромагнитной волны при движении в гравитационном поле сферически - симметричной звезды. Такая задача подробно рассмотрена в классических учебниках по общей теории относительности [16], [17]. Изменение фазы волны вдоль светового луча эквивалентно решению уравнений Гамильтона -Якоби для безмассовой частицы:

g»v dS dS = 0 (1)

&м dxv

Хотя формально S является функцией действия, мы всюду ниже будем называть эту функцию эйконалом, или фазой волны вдоль траектории светового луча. В этом смысле мы не различаем определение эйконала волны в нерелятивистской физике S = at - kr + у и фазы у. Всюду ниже величину S = at - kr + у будем называть фазой электромагнитной волны.

В случае метрики g, описывающей сферически - симметричное гравитационное поле, существует точное решение уравнения даже для сильного поля. Оно подробно описано в книгах [16], [17], см. также [18]. Мы будем пользоваться приближением слабого поля, поскольку для эффекта слабого микролинзинрования только это приближение является важным.

В случае слабого поля метрика имеет вид:

gMv=nMv+ hMv (2)

Здесь r/juv -метрика Минковского, h^v - малые добавки к метрике, описывающие

гравитационное поле сферически - симметричного тела.

Можно решать уравнение (1) методом разложения по малому параметру в метрике (2). Мы поступим по другому. Рассмотрим точное решение уравнения (1) в поле Шварцшильда [16] и возьмем асимптотику этого решения для случая, когда расстояние от тяготеющего центра до луча света значительно больше, чем радиус Шварцшильда.

rga f r Л

y/ = yi + —— arch — (3)

c vpj

Здесь у - полное изменение фазы волны вдоль траектории луча света, у -изменение фазы волны вдоль траектории луча света, соответствующее распространению света в приближении, когда влияние гравитационного поля равно нулю, rg - радиус

Шварцшильда притягивающего тела, a -частота света, r - некоторая точка на траектории луча, р -расстояние ближайшего подхода луча к звезде (прицельный параметр луча).

Сразу поясним, что изменение фазы из-за распространения волны в пространстве у,

мы рассматривать не будем. Мы будем рассматривать лишь изменение фазы волны из-за действия гравитационного поля, хотя это изменение и является малой добавкой к обычному изменению фазы при распространении волны в пространстве.

Отметим, что полное изменение фазы волны, соответствующее приходу луча из -да , проходу на минимальном расстоянии от тела и уходу на + да получается склейкой двух решений [17]. В результате полное изменение фазы при распространении света от источника, прохождении мимо тяготеющего тела и распространении до наблюдателя получается как сумма двух решений. Первое - изменение фазы при распространении от источника света R- до места ближайшего подхода к притягивающему телу:

í \ í \ rga f R- Л 8у- = y/\r = R-)-y(r = р) = —— arch — (4)

c VP J

второе - изменение фазы при распространении от места ближайшего подхода к телу до наблюдателя R+

í \ í \ rga f R + Л 8у+ = y(r = R+)- y(r = р) = —— arch (5)

c VP J

Таким образом, полное изменение фазы, вызываемое тяготеющим центром, является суммой двух решений (4) и (5):

г „а Ащ = —— 1П

я-я±

Р2

3. Измерения из двух положений

В этом параграфе мы будем рассматривать эффект слабого микролинзирования на звездах нашей Галактики и его влияние на изменение фазы лучей, которые идут от одного источника на разные концы базы интерферометра.

Задача, которую мы будем рассматривать здесь, очень похожа на задачу гравитационного линзирования. Поэтому мы будем использовать термины, общепринятые в теории гравитационного линзирования, которое читатель может найти в монографиях и обзорах, посвященных этому явлению [19], [20], [21], [22]. В частности, нам понадобится понятие плоскости линзы—плоскости, перпендикулярной лучу, соединяющему наблюдателя и источник света, которая проходит через линзу (в нашем случае через звезду, которая является дефлектором).

Общий принцип работы интерферометра заключается в том, что волновой фронт падает на две щели, проходит сквозь них и после этого возникает интерференция в области перекрытия двух пучков от щелей. В дальнейшем будем называть эти две щели входом интерферометра и рассчитывать влияние гравитационного поля на разность фаз только до входа. Будем обозначать длину базы через Ь и полагать эту длину постоянной. Ориентация базы в пространстве может быть произвольной, в частности, некоторой функцией времени.

Будем считать, что скорость вращения вектора базы (одного конца базы относительно второго), разделенная на скорость света, не превышает точности измерений разности фаз. В этом случае вращение вектора базы не повлияет на наши выводы. Разность фаз на одном конце базы и на другом конце базы можно вычислить по уравнению (6). Поэтому будем говорить о двух лучах, которые выходят из источника и приходят на два разных конца базы интерферометра. Положение источника (величина Я-) одинаково, а положение приёмников А+ - разное для разных концов базы. Кроме того, прицельный параметр (величина р) имеет свою величину для каждого из двух лучей. Поэтому прицельный параметр каждого из лучей будем помечать индексом (р^ или Р2 ). Будем также помечать индексом положение концов базы и писать (А или вместо А+.

с

Поскольку агск(х) = 1п| х + Vх2 -1 I, то изменение фазы луча, вызванное звездой,

имеет логарифмическую зависимость от А+ и р . Поэтому разность фаз первого и второго лучей будет определяться величинами вида:

1П

' А'

V А2 У

и 1п

'А ^

\Р2 У

Соответственно, вклад каждого из этих членов в общий сдвиг фаз будет

пропорционален

1П

' - А2 ^ V У

(в первом случае)

и

1п ——Р2 (во втором случае).

V Р1 У

Можно заметить, что вклад первого члена - отношение размера базы к расстоянию

/ Ь —1 - Р2 гт до звезды (--) значительно меньше, чем вклад второго члена--±-—. Поэтому в

Я+ —2

дальнейшем мы будем анализировать только зависимость разности фаз от второго члена,

пренебрегая всеми остальными слагаемыми в формуле (6).

Выпишем выражение для разности фаз лучей на двух концах базы:

2гда Ар

= —--— (7)

с Р

Здесь Ар - разность прицельных параметров, а р - "средний" прицельный параметр.

Разность прицельных параметров Ар есть база, спроектированная на плоскость линзы. Другими словами, можно написать:

п

А 7

Ар = Ь cosр-

В дальнейшем будем использовать величину Ьр = Ь—— . Введем также угол ф = р + % ■

Я^ ' 2

Rsd

Здесь р - угол между базой b и плоскостью дефлектора, Rso - расстояние от источника света до наблюдателя и Rsd - расстояние от источника до дефлектора.

Rso

угол между направлением прихода лучей и вектором базы b . Прицельный параметр р « 0Rdo примерно равен расстоянию до дефлектора, умноженному на угловое расстояние между дефлектором и источником в. Подставим все величины в уравнение для изменения фазы 5щ и найдем, что фазовая задержка описывается уравнением вида:

2nbp cosp в2

5щ =-Р-Z.в (8)

Я в J

вe - размер конуса Эйнштейна, определяемый как:

в2 = 4GMd Rsd

c 2 (Rsd + Rdo ) Rd

Чтобы пояснить множитель cos (p , вычислим время задержки в случае,

когда дефлектора нет. В этом случае время задержки есть т = b sin p.

c

Когда дефлектор присутствует, направление прихода лучей меняется и задержка

составляет т = — sin (( + 80), где 80- изменение направления прихода лучей. Разница c

т -т показывает изменение направления на источник 80. Как легко видеть, для величины 80 получается уже известное уравнение [11], [12]:

02

80 = ^ (9)

0

Это угловое смещение совпадает со смещением, полученным при решении уравнения движения фотона как частицы в поле звезды - дефлектора (т.е. в приближении геометрической оптики).

Будем считать, что звезда - дефлектор движется с некоторой угловой скоростью

/й. Тогда прицельный параметр является функцией

времени р = Яц0-\1 в§ + 2(0 • й) 1 + й^,2 , где во - угловое расстояние между видимыми

положениями дефлектора и источника в начальный момент времени. Следовательно, даже если бы база интерферометра была неподвижной, то появлялась бы фазовая добавка, которая менялась бы со временем:

2жЬп cosm в2

3Щ =-р-Г. в (10)

X в(,) 7

Здесь в(() = ув^+^^в^^^У^+йй^^2- абсолютная

+ 2вв) • й} 1 + й , - абсолютная величина углового расстояния между

видимыми положениями источника и дефлектора, а X = - длина волны, на которой

т

ведется наблюдение.

Помимо задержки, при интерференционных наблюдениях измеряют также частоту интерференции [23], которая является производной по времени от разности фаз 5щ. В классических схемах интерферометрии частота интерференции возникает из-за суточного вращения базы относительно небесной системы координат.

Знание частоты интерференции позволяет дополнить систему уравнений для определения координат источника и параметров вращения Земли дополнительными уравнениями, а также позволяет снять вырождение некоторых параметров. Конечно, при учете эффекта слабого микролинзирования частота интерференции будет зависеть не только от параметров вращения Земли, но и от скорости и положения дефлектора.

Однако, как будет показано ниже, вклад эффекта слабого микролинзирования в частоту интерференции пренебрежимо мал.

Производная от времени задержки или от разности фаз будет содержать несколько членов. Первый - это производная по времени от геометрической задержки. Она содержит векторное произведение вектора базы на вектор угловой скорости вращения Земли или вектор угловой скорости вращения базы. Этот член умножается на дополнительный

{. в2 ^

множитель 1 +--

в

V У

П ве

микролинзирования. Поскольку считается, что множитель — значительно меньше

возникающий при дифференцировании эффекта слабого

в

единицы, то в общей сумме им можно пренебречь.

Второе слагаемое в общей сумме возникает при дифференцировании в(г) по

времени.

Таким образом частота интерференции О равна:

\ 2п и\ 2пЬр с0^ 2 врйй)+й1г

вр + 2(врй)

2 2 г + л г2

(11)

Здесь мы уже опустили множитель 1 + в первом члене суммы.

Будем также полагать, что произведение угловой скорости перемещения дефлектора по небу за интервал проведения измерений значительно меньше, чем угловой размер прицельного параметра вр, / << вр .

Тогда можно значительно упростить второе слагаемое и окончательно получить формулу:

) 2п Ш ( ) 1лЬр cos (п _) (12)

О(() = ^~^(ЬР ^^----2Пр/ (12)

Л Ш Л й

и р

здесь Пр - единичный вектор на небесной сфере (двумерный вектор), направленный из

положения дефлектора к положению источника.

Произведем оценки величины эффекта слабого микролинзирования и его вклада в частоту интерференции. Первое слагаемое в сумме (12) представляет произведение частоты вращения базы (для классической РСДБ схемы - скорость вращения Земли О© ) на отношение длины базы к длине волны приемника:

~2пА '

второе слагаемое есть

2 Ь е]

~2п--у и.

л е

и р

Отношение двух слагаемых по порядку величины равно:

е2 и

ер О©'

Уже первый сомножитель представляет малую величину. Для вероятного

положения дефлектор - источник эта величина составляет 10 и. Второй сомножитель -отношение угловой скорости движения дефлектора к угловой скорости вращения Земли. Первая скорость составляет порядка миллисекунд дуги за год, тогда как вторая скорость составляет полный оборот за сутки. Наиболее вероятное отношение этих скоростей есть

10-10 "-12. Поэтому вклад эффекта слабого микролинзирования в частоту интерференции пренебрежимо мал.

4. Видимое движение источника по небесной сфере.

Поскольку эффект слабого микролинзирования заключается в том, что меняется видимое положение звезды на небе, а остальные параметры излучения (интенсивность, поляризация, спектральное распределение интенсивности), а также видимая форма изображения звезды меняются пренебрежимо мало, то изображение в фокусе телескопа пренебрежимо мало отличается от изображения той же звезды без учета эффекта слабого микролинзирования.

Однако появляется одно важное отличие. Теперь даже источники, которые находятся на расстояниях, сравнимых с горизонтом Вселенной, могут показывать видимое движение. Это движение обусловливается движением дефлектора, который находится в нашей Галактике и видимое движение которого, безусловно, является наблюдаемым.

Для вычисления угловой скорости перемещения изображения по небесной сфере выпишем векторное уравнение, описывающее видимое движение источника [13]:

е2

щ (()=/^ + АЯ! (()—е— (13)

Аи2 (()

здесь пI (()- двумерный вектор проведенный из истинного положения источника в момент времени I = 0 в его видимое положение, - угловая скорость перемещения источника по небесной сфере, п (() - двумерный вектор, проведенный от дефлектора к истинному положению источника.

Будем предполагать, что движение дефлектора и источника достаточно хорошо описывается линейным законом. АЛ} ({) = Д«0 + /, где и - разность угловых

скоростей источника и дефлектора. При вычислениях будем также полагать, что за характерное время наблюдения как дефлектор, так и источник проходят угловое расстояние значительно меньшее, чем угловое расстояние от дефлектора до источника,

т.е. / << Дп0 . Кроме того, введем новое обозначение: N0 = ДЛ0- двумерный единичный

Дл0

вектор, проведенный из положения дефлектора к истинному положению источника в нулевой момент времени.

Вычислим теперь производную по времени от (13) и, пренебрегая / по сравнению с А«0, получим уравнение:

п2

v = и 5 +(и - 2 n 0((0/))

-2 (14)

Дп0

Из этого уравнения видно, что если скорость источника равна нулю, а скорость дефлектора направлена точно на положение источника и = N0 (N0/) и знак скорости соответствует сближению видимых положений источника и дефлектора, то изображение будет удаляться от дефлектора!

- и е]

V =-/-

Ап0

Оценим величину видимого перемещения, скажем, внегалактического источника. Пусть собственная угловая скорость источника равна нулю. Выберем самый значительный пример. Это движение квазара 1213-172 под действием гравитационного поля дефлектора - звезды 59803 из каталога HIPP ARCOS. Расстояние звезды от Солнца составляет 50 пк. Масса звезды составляет примерно 10М$ип . Поскольку характеристики

звезды достаточно хорошо известны, то и видимое движение изображения также можно вычислить. Угловая скорость движения звезды составляет 0,161" в год, поэтому видимая скорость изображения источника составит 0.4 микросекунды дуги в год.

Как видно из приведенного примера, скорость видимого перемещения по небу мала. Так получилось потому, что угловое расстояние от звезды 59803 до квазара 1213172 велико и составляет примерно 26". Если бы расстояние было примерно равно среднему, порядка угловой секунды, то видимая скорость перемещения изображения по небу составляла бы примерно 0.25 миллисекунды дуги в год.

Таким образом, мы можем ожидать в некоторых случаях очень быстрых видимых движений внегалактических источников по небесной сфере. Интересно отметить, что за время порядка суток видимое движение источника может составить примерно одну угловую микросекунду. Таким образом, для современных сверхточных угловых измерений появляется предельное время накопления, которое определяется видимым движением измеряемого источника по небесной сфере.

Благодарности

Авторы благодарны докторам ф.-м.наук В.Е.Жарову, С.М.Копейкину и К.В.Куимову за обсуждение работы. Работа была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 04-02-17288).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ma C. et al., Astron.J., v.116, p.516, 1998.

[2] Gontier A.-M., Feissel M., Essaifi N., Jean-Alexis D., Paris Observatory Analysis Center OPAR on activities, Jan98 - Mar99

[3] Kopeikin S., Gwinn C., Towards models and constants for sub-microarcsecond astrometry, Proceedings of IAU Colloquium 180 held at the U.S. Naval Observatory, Washington, DC, USA, 27-30 March 2000, Washington, DC: U.S. Naval Observatory, 2000 xix, 427 p. Edited by Kenneth J. Johnston, Dennis D. McCarthy, Brian J. Luzum, and George H. Kaplan., p.303

[4] Fomalont, E. B., Kopeikin, S. M., The Measurement of the Light Deflection from Jupiter: Experimental Results. The Astrophysical Journal, Volume 598, Issue 1, pp. 704-711.

[5] The Hipparcos and Tycho Catalogues. Vol.1, Introduction and Guide to the Data. M A C. Perryman. ESA Publ. Div., c/o ESTEC, Noordwijk, The Netherlands, June 1997.

[6] Project GAIA. http://astro.estec.esa.nl/SA-general/Project/GAIA

[7] Project SIM. http://sim.jpl.nasa.gov/

[8] Project OBSS. http://ad.usno.navy.mil/OBSS/

[9] Андреянов В.В., Кардашев Н.С.,1981, Космические исследования, 19, 763.

[10] Андреянов В.В и др., 1986, АЖ.,63, 850

[11] Сажин М.В. , 1996, Письма в АЖ., 22, 643

[12] Sazhin M.V., Zharov V.E., Volynkin A.V., Kalinina T.A., 1998, Monthly Not. Roy. Astron. Soc., 300, 287

[13] Sazhin M.V., Zharov V.E., Kalinina T.A., 2001, Monthly Not. Roy. Astron. Soc., 323, 952-964

[14] Evans N.W., Belokurov V.A., 2002, Astrometric microlensing with the GAIA satellite MNRAS, Volume 331, Issue 3, pp. 649-665.

[15] Evans N.W., Belokurov V.A., 2003, Supernovae with super-Hipparcos' , MNRAS, Volume 341, Issue 2, pp. 569-576.

[16] Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М., Теория поля, М.: Наука, 1988.

[17] Вейнберг С., Гравитация и космология, М.: Мир, 1975.

[18] Чандрасекар, Математическая теория черных дыр, ч.1, М.: Мир, 1986

[19] Блиох |П., Минаков А., Гравитационные линзы, Киев, Наукова Думка, 1989.

[20] Schneider P., Ehlers J., Falco E.E. Gravitational Lenses.Berlin, New York, Springer Verlag,1992

[21] Захаров А.Ф., Гравитационные линзы и микролинзы, M., Янус-K , 1997.

[22] Захаров А.Ф., Сажин М.В., 1998, Успехи Физических Наук, 41, 945

[23] Жаров В.Е., Сферическая Астрономия, Astronet, http://www.astronet.ru/db/msg/1190817