О физической нереализуемости «Черных дыр» и возможности существования специфических сверхкомпактных объектов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.12:550.831

О ФИЗИЧЕСКОЙ НЕРЕАЛИЗУЕМОСТИ «ЧЕРНЫХ ДЫР» И ВОЗМОЖНОСТИ СУЩЕСТВОВАНИЯ СПЕЦИФИЧЕСКИХ СВЕРХКОМПАКТНЫХ ОБЪЕКТОВ

Ю. М. Лоскутов

(кафедра квантовой теории и физики высоких энергий)

Доказано, что физически реализуются лишь такие тела, у которых удвоенная масса 2М материи, заключенной под сферой радиуса Z (в стандартных координатах), не превышает этот радиус (2М ^ Z). Физической причиной этого является гравитационный дефект массы. При «стягивании» вещества в сколь угодно малую область масса тела тоже становится сколь угодно малой. Не исключается, однако, существование сверхкомпактных объектов с Zo = 2Мо на поверхности. Исследованы физические характеристики таких объектов. Они могут вносить основной вклад в темную массу Вселенной и должны проявляться в эффекте гравитационного микролинзирования. При определенных условиях они могут создавать источники мощного рентгеновского излучения. Рассмотрена динамика пробных тел, падающих на подобные объекты.

Покажем, что в случае статических сферически симметричных тел полная система уравнений гравитации не содержит решений, соответствующих «черным дырам». При доказательстве будут использованы две формы основных гравитационных уравнений.

Одна из них — это геометризованная форма уравнений Гильберта-Эйнштейна*)

Е£Х^1д£ХП = 8жТ£\ (1)

¿л

дополненная условием гармоничности

д£деХ = 0. (2)

Здесь ЯеХ = х/=(//Гх — плотность тензора Риччи, Й, = д£\Й,еХ, д£\ — метрический тензор римано-ва пространства, деХ = л/^ддеХ, д = с1е1;||деА|| = = с^ ||<?еА||, а ТеХ — плотность тензора энергии-импульса материи, формирующей тело.

Пусть в (1), (2) координаты ха являются гали-леевыми: х° = (ж1)2 + (ж2)2 + (ж3)3 = г2. Тогда другая, полевая, форма тех же уравнений в тех же координатах запишется в виде [1, 2]

да)3дадр ФеА = 16тг(ТеА + теА), (3)

д£ФеХ = 0. (4)

Здесь ФеА = ^7$еА = деХ — 7еА, уеХ = \/^77еХ, 7 = с^ ||7ел|| > ТеА метрический тензор пространства Минковского, а плотность теХ энергии-импульса гравитационного поля определяется выражением

167Г^теА = 1 (V"д^ - 1-д£Хда^ х

X (дмЯтк - \дтадик^ • даФТа д/зФиК +

+ даРдтадаФ£Тд13Фх* - дфдтадаФ^дрФ^ -^ Выбрана система единиц, в которой с = Н = О = 1.

-дХа9т<гда¥°др&'Г + 1д£ХдгадаФа13д0Фат +

+ даФе13д[3ФХа. (5)

Уравнение (3) легко преобразуется к стандартному для физических потенциалов виду

□ФеА = 1бтг£е \ (6)

где

¿еА = у^ (теХ + ТеА) - да (Фа)3дрФ£Х) .

Очевидно, что плотность ¿еА имеет здесь смысл плотности тензора энергии-импульса всей материи, т. е. вещества и гравитационного поля вместе взятых в пространстве Минковского.

Уравнения (1)-(6) примут ковариантный вид, если в них от частных производных да по галилеевым координатам перейти к ковариантным производным Ба в метрике Минковского 7«д(ж) с произвольным выбором координат ха и все входящие в уравнения величины преобразовать к этим координатам. Идентичность уравнений, представленных в геометризованной и полевой формах, при этом сохранится полностью. Указанная идентичность говорит о том, что динамика тел в римановом пространстве должна быть эквивалентной динамике тел в пространстве Минковского под действием гравитационного поля, формирующего риманову метрику. По сути это можно назвать уточненным принципом эквивалентности. В задачах о динамике тел в заданном поле источника, т. е. в задачах, когда движущееся тело можно считать пробным, удобнее пользоваться геометризованной формой уравнений Гильберта-Эйнштейна. В задачах же об излучении гравитационных волн естественнее использовать их полевую форму.

В ковариантной записи все фигурирующие в уравнениях величины приобретут истинно тензорный

характер. В частности, символы Кристоффеля образуют тензор третьего ранга

= 1-даЧвед,зх + вте - £>№).

Тензорная плотность ¿еА, подчиняющаяся уравнению 1)е^еА = 0, позволяет ковариантным образом определить инертную массу М тела (или системы тел) и импульс Рк:

Рп = М = ! !ж ё3х, Рк = 1 гок ё3х, (7)

где интегрирование ведется по пространству Мин-ковского. Импульс Ра будет обладать всеми свойствами 4-вектора.

Из вида уравнений (6) можно заключить, что в случае нестационарного источника ТеА решения этих уравнений должны содержать наряду с прочим и запаздывающие потенциалы. Следовательно, в системе должны генерироваться гравитационные волны. Так как в силу (4), (6) всегда имеет место равенство

d_

dt

t^d3x+ f ^d3x = 0, J OXK

v

v

то поток I гравитационного излучения через удаленную поверхность Б, окружающую источник, будет определяться выражением

1 =

з

В плотности потока достаточно будет ограничиться удержанием асимптотики потенциалов, соответствующих расходящимся волнам (см. [1, 3], устремив там массу гравитона к нулю).

В случае статического сферически симметричного источника с плотностью

ТеЛ = ^ (р + р)и£и

,£„,А

Р9

еА

где р(г) и р(г) определяют давление и плотность энергии источника в точке г, и0 = dx°jds, ик =dxk/ds = 0, квадрат интервала риманова пространства можно искать в виде

ds2 = Bdt2^A-1-Z'2dr2^Z2(r) (d©2 + sin2© V) ,

где Z' = dZ/dr.

Решение уравнений (1) или (3) при граничных условиях

В

Z г

I Т—5-00 ^ 1)

rZ'

Z

1

г^О

дает

' оо

. . (p + p)ZZ> е = 4ж / _ '-dr.

(8)

1-2 У

М

Л

y = Y> М = Аж J pZ2Z'dr.

о

Уравнение (2) определяет Z(r): d (BAZ4\

dry z,2 J (»)

а уравнение \7еТеЛ = 0, являющееся условием равновесия системы, связывает давление р с плотностью р:

dp 1 sy + 4wpZ2 Z>

Tr = ^2{P + P) ТгЫВ = ~{P + P) 1-2 у Y-

(10)

При r —у ос из (9) следует связь Z г + М. Асимптотическое значение Ф00 = gm — 700, даваемое решениями (8), окажется равным Ф00 ~ 4M/г. Масса М здесь имеет смысл гравитационной массы. Как видно, полная гравитационная масса тела будет определяться выражением

Л/ lim (гФ00

г—s-оо V

С другой стороны, согласно (6) потенциал Ф00 можно представить в виде

-00 f tQQ (rQ d3x>

J |г-г'| •

Отсюда следует, что полная инертная масса (7) тела связана с Ф00 тем же предельным соотношением

t00 d3x = lim (гФ00/4) .

г—s-oo V /

Это доказывает справедливость не только утверждения о равенстве полных гравитационной и инертной масс тела, но и справедливость определения инертной массы, данной в (7).

Проинтегрируем (9) по внутренней области 0 ^ г ^ го ^ а тела, где а — радиус его сферической поверхности. Учитывая при этом (8), получим

(11)

1

V " Z*

Здесь М0 = М(г0), ZQ = Z(r0), Z'Q = Z'(rQ),

А = exp

у + 4wpZ2 Z' , .

dp p + p

Правая часть (11) ни при каких rg ^ а не может быть отрицательной. Это значит, что всюду внутри тела и на его поверхности должно выполняться неравенство

2М0 < Z0. (12)

По существу оно эквивалентно физическому условию монотонного спада внутреннего давления тела по мере удаления от центра к периферии (см. (10)). В сколь бы малой области ни было сосредоточено все вещество, неравенство (12) должно выполняться. При «стягивании» вещества в точку масса Mq материи, формирующей тело, будет стремиться к нулю*). Таким образом, никакой сингулярности, соответствующей «черной дыре», здесь не возникает. Вместе с тем уравнение (11) не запрещает существование сверхкомпактных объектов, на поверхности которых реализуется равенство 2Mq = Zq. На такой поверхности производная dZ/dr будет обращаться в нуль (заметим, что это будет иметь место и в теории с ненулевой массой гравитона). Из всего сказанного выше следует, что первоначально покоившееся вещество, заполнявшее какой-то сферический объем и обладавшее начальной энергией Е, может собраться под действием собственного гравитационного поля в область с поверхностью Zq = 2Mq , где Mo будет обусловлена значением Е (см. ниже). Покажем, что физической причиной перечисленных результатов является гравитационный дефект массы, рассмотренный в работах [2, 5].

В работах [2, 5] было доказано, что плотность р в ТеЛ формируется не только за счет всех видов энергии «голого» (без гравитационной «шубы») вещества, но и за счет связанного гравитационного поля, рожденного этим веществом:

/•' = о + (/•' ~ о) = /•'« + (13)

где ря — плотность «голого» вещества, а скаляр pgm

определяется согласно (5) выражением

_ _ _

Pgm = Т .'/• \ =

+ wJ^_g£XDa^Dß®Xa.

Если ps = 0, то и pgm = 0. Так как р отлична от нуля и внутри и вне тела, то в общем случае уравнение \7еТеЛ = 0 будет описывать динамику не только внутренних элементов тела, но и внешних элементов материи, образуемой связанным гравитационным полем:

/ diia \ (р + р) ( — + + («а«е - 9ае) DeP = 0.

ds

(14)

Ha такую возможность еще в 1962 г. указывал Я. Б. Зельдович [4].

Например, при поступательном движении уединенного тела из (14) последует, что и внешнее поле тела будет перемещаться так же, как само тело. В случае неподвижного статического сферически симметричного тела уравнение (14) трансформируется в уравнение равновесия (10). Его выполнение вне тела обеспечивает равновесие внешнего связанного гравитационного поля. С физической точки зрения это вполне понятно: если вне тела есть материя, обладающая ненулевой плотностью энергии, и она, материя, находится в состоянии равновесия, то должно существовать и уравнение, обеспечивающее это равновесие.

Чтобы построить гравидинамику тел, надо от плотностей энергии перейти к энергиям, т. е. взять интегралы по всему пространству Минковского от соответствующих выражений. Только после этого, как и в классической электродинамике заряженных распределенных сред (в форме разбросанных островков) и полей, возникнут члены гравитационных взаимодействий (ньютоновских и постньютоновских) [5], что даст возможность вводить лагранжианы систем. Простейший способ построения гравидинамики замкнутой системы тел — это вычисление ее сохраняющейся инертной массы в соответствии с выражениями (7) и с учетом (13), (6). Такой подход может оказаться эффективнее других в задачах о двойных звездах.

В силу того что плотность р зависит от потенциалов гравитационного поля, а тем самым и от М, выражение гравитационной массы в формулах (8) будет представлять собой интегральное уравнение для М. От него удобнее перейти к соответствующему дифференциальному уравнению для у = M/Z

= {3«ж2©(1

- х) х)-у 1 — \<! + 2/ Н

dr

= {з«ж2©(1

у + 4:TipgmZ2} q =

7q2 — 6д/ + 2/2 1-2 у

4 4 \

- + -)(1-2 у)

Я Г/

q. (15)

Здесь х = Z/Za, ZQ — значение Z на границе тела г = г0 = а, ©(1 — х) = 1 при х < 1 и 0(1 — х) = 0 при х>1, и введены обозначения « = <1 = rZ'/Я, / = у + рх2 + (1 — 2у), р = . Явный

вид 4-жpgmZ2 в (15) получен с помощью (8) и (9). Функции д и / согласно (9), (10) подчиняются уравнениям

(1-2у)г

dq dr

2y)q = 0. (16)

(1-2У)г|

. dV jr-r

dr

[f - 4(1-2y)f + (1—2y) + 2(1 2y)2] q = 0. (17)

Проанализируем систему уравнений (15)—(17) в предположении а = const. Хотя такое условие не вполне реалистично, все же его принятие позволит получить некоторые принципиальные выводы о свойствах реально существующих объектов. Предположение о постоянстве а скажется на конкретном виде решений, но не на общих рассуждениях и выводах.

Решение этих уравнений в случае слабого поля (а -С 1) было найдено в работе [2]. Рассмотрим здесь случай сильного поля (а » 1).

Из уравнения (15) видно, что в сколь бы малой области ни было сосредоточено все вещество, значение у на границе тела не сможет превысить величины |/о = 1/2- Это обусловлено наличием в (15) полевого вклада 4wpgmZ2, обеспечивающего гравитационный дефект массы. Именно благодаря ему физическая реализация «черных дыр» становится невозможной: при «стягивании» вещества в точку связанное гравитационное поле «съедает» всю энергию «голого» вещества. Поэтому ехлопывающееея под действием собственного гравитационного поля вещество, обладавшее перед началом ехлопывания полной энергией Е, в силу закона сохранения энергии не сможет сосредоточиться в сколь угодно малой области. Значение Z = Zq на поверхности образовавшегося в результате ехлопывания тела будет диктоваться значением полной энергии Е, если пренебречь потерями на излучение. Так как

го

E = 4w J pZ2Z'dr

о

4ж / pgmZ2Z' dr = Mq + AM,

3>

го

то значение Zq ^ 2Мо из-за отрицательного вклада АМд должно будет заметно превышать значение 2Е. Если потери на излучения учесть, то ZQ = 2Mq = 2Е + 2\АМд\ - 2ASrad.

В общем случае уравнения (15)—(17) не поддаются аналитическому решению. Удается найти лишь приближенные решения в примыкающей к поверхности тела малой окрестности |£| «1/а, где £ = 1п(г/го). В основном порядке по £ и степени а и с численными коэффициентами, взятыми с точностью до десятых долей единицы включительно, они имеют вид

/ ~ 2а^2(1 - 2у)1/2, q ~ (а/2)1/2(1 - 2у)1/2,

(1 — %)m — £4/k2а2, (1 - 2y)ext ~ 9а3£2/2, (18)

где величина к должна определяться решением у во внутренней области тела, примыкающей к взятой окрестности*). Плотность р, давление р и вели-

*•' В решениях (18) в функциях /ид опущены множители вида (1 + А»а£), где А^г являются числами. Более пристальный анализ уравнений (15)-(17) позволяет высказать предположение, что во внутренней области решения (18) справедливы в более широком интервале, нежели следует из условия а|£| -С 1. Поскольку, однако, доказать это строго не удалось, ограничение а|£| -С 1 пришлось сохранить.

чина Z(r) будут определяться согласно (18) значениями

4тг pZ2

4тг pZ2

Z Z~o

lext 2

3 кл/а'

4 npZ2\.

r I in

4"pz2L.

-V =

Z0 J ext

2g2 ky/a'

3"\/2a2£,

(19)

Z'0 об-

ще г0 = 2Мо.

Из полученных решений следует, что исходная полная система гравитационных уравнений допускает существование сверхкомпактных объектов (СКО) с ZQ = 2Мо(го) на границе. Они обладают следующими характерными свойствами.

1. На границе тела производная dZ|dr ращается в нуль. Это обстоятельство необходимо учитывать в динамике падающих на СКО частиц, если их удаление от центра СКО задавать посредством Ё(г). Действительно, так как производные по времени (dt или dт = ^Удaadt) Ё иг связаны соотношением Ё = Е'г, то обращение в нуль Ё на поверхности СКО не будет означать остановки частицы: значение г может оказаться при этом отличным от нуля.

2. В приповерхностной внутренней области г (при больших го она может быть достаточно обширной) давление р и плотность р оказываются связанными условием выполняющимся с высокой точностью (тем большей, чем больше величина а); более того, с той же точностью их можно считать в данной области постоянными.

3. Вне тела в очень узкой области г давление связанного гравитационного поля быстро растет (от Ра = —1 /87гZ2), приближаясь к нулю, а потенциал у из-за включения в массу энергии внешнего гравитационного поля тела быстро падает. Это позволяет оценить значение массы Мд (т.е. и Zo) в объеме тела, если известна его полная энергия Е. Учитывая, что вне указанной узкой области справедливы соотношения

я - 1 - у - Зу

12 Zq 2

35 zy '

4TipZ2 ~ у3

величину 4^lpgmZ2 можно аппроксимировать вне тела выражением

4жретг2~^у2/(1^2у).

Тогда во внешней области уравнение (15) примет вид

Его интегрирование даст

М(г) ~ £?•(! + у)3. (21)

Отсюда имеем*) Ид = 2Мд ~ (27/4)Е. В случае схлопнувшегося тела роль Е в (21) и в Ид играет разность исходной полной энергии Ед тела и потерь АЕГШI на излучения: Е = Ед — АЕт^ > 0.

4. Метрические коэффициенты дар индуцируемого телом риманова пространства во всей области 0 ^ г ^ оо остаются конечными. В приповерхностной области СКО коэффициент дгг оказывается в силу (18) равным

^ = — (22)

Метрический коэффициент доо = В вне СКО примет согласно (8), (20) вид

Вех^(1 + у)-2. (23)

На границе тела Во ~ 4/9. В приграничной внутренней области из (8), (18), (20) находим

2\/2а

■ (24)

т.е. внутри СКО значение доо может оказаться (при а » 1) очень малым. Это значит, что излучения из внутренних областей СКО будут энергетически чрезвычайно ослабленными. Массивные частицы с физической скоростью ур и с энергией

Е = тт/в(1 — ю2)^1^2, не превышающей (2/3)т, не смогут покинуть внутреннюю область СКО, даже если на их пути к поверхности СКО не произойдет потерь на столкновения. Другая ситуация имеет место во внешней области СКО. Если в ней по тем или иным причинам образовалась захваченная сильным гравитационным полем плазма, то средние квадратичные скорости ее компонент вполне могут достигать (в равновесии) значений V2 ~ 0.1. Следовательно, из приповерхностной внешней области СКО может испускаться мощное рентгеновское излучение. Гравитационный сдвиг частот будет составлять при этом менее 1/3. Если вне СКО плазма отсутствует, то такой объект окажется практически невидимым; проявляться будет лишь его гравитационный потенциал. Такие тела («реликтовые звезды»?) могли образоваться в ранней Вселенной и большей частью сосредоточиться в центральных областях галактик. Не исключено, что именно они дают основной вклад в темную массу Вселенной. Возможно, сердцевины обычных звезд также представляют собой образования, подобные СКО.

Остановимся в заключение на вопросе о динамике пробных частиц, падающих на СКО. Для этого, пользуясь уравнением д^р^р» = т2, введем гамильтониан />п = II частицы

11/2

Н =

доот

■ доодыРкРп

*-' Значение Мо должно определяться внутренним решением уравнения (15). Из (21) по значению Е можно лишь оценить Мо, если Е определять по энергии взаимодействия с СКО удаленного от него тела. Вычислить Мо и Е точно, пользуясь (7) и (8), в случае сильного поля не удается.

Так как дН/Ш = 0, то величина Н будет сохраняющейся энергией Е частицы: II /.' сопй! . Ограничимся далее частным случаем движения, когда В=ф=0и

1/2

н =

Вт

ВА

Рг

(25)

Отсюда имеем ёг

В А

рг = (т) 1рг. (26)

дн _

дрг ~ Ег>21

'2 1 ВА играет роль эффективной

Значение т = ! '/А

массы частицы, так как рг = туг. Пусть частица, на ходившаяся в точке г = г\, имела нулевую скорость.

Тогда из (25) получим Е21т2 = В\, а из закона сохранения энергии последует связь

В

р2. =

Е2г'2 ВА

1

(27)

Учитывая (27) в (26), найдем

у/ВА Л В_\1/2

г =

У' Вх) '

На поверхности СКО в силу (22), (23) имеем

4 \1/2

\Т0

2^2г0 /__

ЗЯо^ V 9-Вх)

(28)

(29)

Стало быть, частица продолжит свое движение внутрь СКО. Если вместо динамики г (т.е. динамики положений частицы) рассмотреть динамику У, то выражение (28) заменится уравнением

¿ = ^у/ВА М

Вг)

1/2

(30)

Отсюда видно, что на границе СКО ¿\го =0, т.е. уменьшение У на границе прекращается. Однако это не означает остановки частицы. Различие в поведении г и 7, возникает из-за наличия в величине У вклада от гравитационного поля, что хорошо видно из полевой интерпретации гравитационных уравнений. Например, в случае слабых полей (см. [2])

Я

1

М

М ф сог^.

ех1

Чтобы найти ускорение г = сРг/И2 падающей частицы, воспользуемся уравнением Гамильтона

Рг =

дн

дг

НУ.

/2

2 ВА

ВА йВ

_в1г>2 йг

.2 ё , В А г — 1п —7

йг г'2

(31)

Подставляя сюда рг из (26), приведем (31) с учетом (28), (8) и (9) к виду

m

•2 d , -г — In m

ar

= —m

x

В

B¡

(y+4-npZ2)

В ~ZZ'

rZ> 2~

В

Ж

z.\

(32)

Выражения, стоящие в (31), (32) справа, являются силой притяжения, действующей на частицу со стороны СКО; во всей области г эта сила направлена в сторону центра СКО. Вместе с тем из-за наличия в уравнении слагаемого

. .2 d _ mr — m m = ar

4Br

A

-"^¡Ч'-жм1-?) (:!3)

движущаяся (но не покоящаяся!) частица будет испытывать эффективное торможение в силу зависимости т от г. Учитывая (33) в (32), для ускорения г получим выражение

г =

2 Вг

В_у_

Вг

■ 4тгpZ2 ~2q

i-i

ч

(34)

Вдали от СКО это дает известный результат: г ~ —ЪЛ/г2. Вблизи поверхности СКО из (34) с уче-

том (18) имеем

Ir^ro

8гд

9 Z*

4(1 + у/2)

Щ

<0.

(35)

Пользуясь (30), найдем вторую производную Z: (у — 4wpZ2)

(у + 4 wpZ2)

(36)

При больших г (а значит, и Z) отсюда следует известный результат: Й ~ —М¡У."1. Во внешней приповерхностной области СКО согласно (19) из (36) получим

4а ( 4 \

Во внутренней, примыкающей к поверхности СКО, области

Л 4

^Ш^^-т)*0- т

Переход в расчетах от производных по М к производным по собственному времени йт = у/В М или по инварианту сЬ = (тп/Е)В М не вносит принципиальных изменений в полученные результаты.

В рассмотренной динамической задаче начальное положение г\ пробной частицы с нулевой начальной скоростью выбиралось произвольно. Если его совместить с го, т.е. если отпустить частицу с поверхности СКО, то, положив в (29), (30), (35) и (37), (38) В\ Вп — 4/9, найдем

I 8^2г0

г =Z\ = 0,

Iro I Го '

z\ =0,

Iro

<0.

Из сравнения (39) с (37) видно, что результат (37) возникает только тогда, когда физическая скорость

частицы ур = — [1 — В(т/Е)2]1^2 = —[1 — В/Вг}1/2 на поверхности СКО отлична от нуля. Обращение же на этой поверхности значения Й из (30) в нуль обязано коэффициенту А, входящему в метрический коэффициент дгг, но не в доо! Стало быть, эффективное торможение падающей частицы обязано наличию у нее ненулевой физической скорости, играющей главную роль в слагаемом (33), ведущем к торможению, и наличию связи между ¿я дгг. Эффективное торможение органически присуще релятивистской динамике частиц. Обусловлено это нелинейностью функциональной связи координатной скорости частицы с ее каноническим ковариантным импульсом. Последствия эффективного торможения будут зависеть, естественно, от свойств полей, в которых движется частица. В гравитационном поле статического сферически симметричного источника эти последствия были описаны выше. К ним можно лишь добавить, что в таком поле физическая скорость ур = Л/йт и физическое ускорение Юр = й211<1т2 частицы, где Л1 и йт являются элементами физической длины и собственного времени, имеют значения

vn =

wn =

= - 1

Вг) -

2В\ dZ В\ Zy/Î

4тгpZ2

2 У

Они всюду отрицательны, а на границе СКО равны 4 \1/2 , 8^5

I г0

9Bi

Wn

Iro

9B1Z0'

т.е. остановка частицы и ее отскок от тела невозможны. После проникновения частицы внутрь СКО значение ps, а значит, и а в (15) очень незначительно изменится. Это приведет к столь же незначительному изменению решений уравнения (15), опять обеспечивающему выполнение условия 2M ^ Z.

Литература

1. Лоскутов Ю.М. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1991 №4. С. 49 (Moscow University Phys. Bull. 1991. N 4. P. 46)

2. Лоскутов Ю.М. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2001 №4. С. 29 (Moscow University Phys. Bull. 2001. N 4. P. 33)

3. Лоскутов Ю.М. // ТМФ. 1996. 107, №4. С. 329; Loskutov Yu.M. Il Proc. VI Marcel Grossman Meeting on Gen. Rel. Part B. Kyoto, Japan, 1991. P. 1658.

4. Зельдович Я.Б. 11 ЖЭТФ. 1962. 42, №2. С. 641.

5. Лоскутов Ю.М. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2003. №4. С. 19 (Moscow University Phys. Bull. 2003. N 4. P. 26).

Поступила в редакцию 22.06.05