CC BY
34
Эффекты нелинейной электродинамики вакуума в поле
электрического диполя
М.И. Васильев, В. И. Денисов, А. В. Козарь, П. А. Томази-Вшивцеваа
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой теории и физики высоких энергий.
Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: аpolina@physics.msu.ru
Статья поступила 17.11.2016, подписана в печать 22.12.2016.
Проведен расчет нелинейного воздействия поля электрического диполя на распространение электромагнитных волн в эйкональном приближении параметризованной постмаксвелловской электродинамики вакуума. Вычислены углы нелинейно-электродинамического искривления лучей, по которым происходит распространение электромагнитного импульса, и разности времен распространения нормальных волн от источника электромагнитного излучения до приемника.
Ключевые слова: нелинейная электродинамика вакуума, поле электрического диполя, эффективное псевдориманово пространство-время, уравнения лучей, нормальная мода.
УДК: 53.098. PACS: 03.50.Kk.
Введение
Согласно представлениям современной теоретической физики [1, 2] электродинамика в вакууме является нелинейной теорией. Однако эта нелинейность существенно проявляется при полях, сравнимых с квантово-электродинамической индукцией Бч = 4.41 • 1013 Гс. Так как величина полей, которые можно создать в лабораторных условиях, и даже поля, которые имеются у астрофизических объектов, меньше значения Бч, то для теоретического исследования различных нелинейно-электродинамических процессов используется постмаксвелловское приближение [3, 4], которое аналогично постньютоновскому формализму [5] в теории гравитации. В этом подходе лагранжиан нелинейной электродинамики вакуума записывается в параметризованном виде:
1
4п m
(2)
L _ {2/2 + £ [(П1 - 2n2)/f + 4mh\ } -
- -1mAm + O (n£2B6), (1)
Вторая пара уравнений электромагнитного поля совпадает с соответствующими уравнениями теории Максвелла:
9Fkn + dFnm + dFmk _0
(3)
где £ = 1/Б2, ¡2 = РпиРЫ и ¡4 = РпиРктРпиР1п -инварианты тензора электромагнитного поля Рп П1,2 — постмаксвелловские параметры, величина которых различна в разных теоретических моделях нелинейной электродинамики вакуума.
В частности, в теории Гейзенберга-Эйлера, являющейся следствием квантовой электродинамики [6], численные значения [7] параметров П1 и п2 различаются: П1 = е2/(45пйс) = 5.1 • 10~5, П2 = 7е2/(180пйс) = 9.0• 10~5, в то время как в нелинейной электродинамике Борна-Инфельда [8] они равны друг другу.
Уравнения электромагнитного поля в теории с лагранжианом (1) имеют вид [9, 10] д
— {[ 1 + £(т - 2щ)к]Ртп + 4£тРткРкрРрп} =
dxm ' dxk dxn Прямые методы интегрирования систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (2), аналогичные методам [11-13] интегрирования линейных дифференциальных уравнений, в настояшее время не разработаны, а имеются только несколько частных методов [14-16]. Поэтому для задач, где maxFik < Bq, удобно использовать метод последовательных приближений. Этот метод применялся для исследования нелинейно-электродинамических процессов, происходящих как в лабораторных [17-22], так и в астрофизических [23-28] условиях.
Основное внимание в этом подходе уделяется уравнению эйконала [29]. Уравнение эйконала для параметризованной постмаксвелловской электродинамики было получено в ряде ранее опубликованных работ [9, 30]. Согласно этим работам распространение слабой электромагнитной волны fik в постоянном, но неоднородном внешнем электромагнитном поле Fik, в пространстве-времени с метрическим тензором gik, совершаемое по законам нелинейной электродинамики (2), (3), происходит по геодезическим некоторого эффективного псевдори-манова пространства-времени. Метрический тензор этого пространства-времени Gik зависит от метрического тензора gik, квадратичной комбинации тензора электромагнитного поля FinFmkgnm и при П1 _ П2 он различен для волн различной поляризации (нелинейно-электродинамическое двулучепре-ломление). Для одной нормальной волны тензор Gik
имеет вид
(4)
а для другой нормальной волны, имеющем ортогональную поляризацию к поляризации первой волны, он отличается коэффициентом при втором сла-
гаемом:
С?к = ё'к - 4П2С^т
(5)
Это означает [31], что для нахождения лучей, по которым во внешнем поле распространяется слабая электромагнитная волна, и определения законов движения электромагнитных импульсов по этим лучам нам достаточно решить уравнения геодезического движения в эффективном пространстве-времени с метрическим тензором оПт2 : йКп
— + ГптрКтКр = 0, (6)
йа 1
где а — некоторый аффинный параметр, Кт = = йхт/аа — волновой четырехвектор, а Гтр — символы Кристоффеля эффективного пространства-времени с метрическим тензором оПт для нормальных волн первого типа (4) и оП^, — для нормальных волн второго типа (5).
Как и в теории гравитации [32], уравнения (6) имеют первый интеграл:
0Щр'2)КпКр = 0. (7)
Уравнения (6) и (7) позволяют решать большое число задач теоретической физики о распространении двух типов нормальных электромагнитных волн во внешних электромагнитных полях [33-35]. Основное внимание в этих работах было уделено изучению воздействия поля магнитного диполя на распространение слабых электромагнитных волн. Расчеты показали [33-36], что в этом случае лучи, по которым распространяется электромагнитный сигнал, искривляются, а сама электромагнитная волна расщепляется на две нормальные моды со взаимно перпендикулярной поляризацией. Эти моды распространяются по различным лучам с различающейся скоростью.
Однако аналогичные эффекты в поле электрического диполя в научной литературе не рассматривались. Целью настоящей статьи является расчет нелинейного воздействия поля электрического диполя на распространение электромагнитных волн и сравнение предсказываемых эффектов с аналогичными нелинейными эффектами, происходящими в поле магнитного диполя.
1. Уравнения, описывающие распространение
электромагнитных волн в поле электрического диполя
Рассмотрим диполь с электрическим дипольным
моментом d. Поместим начало отсчета в центр этого
диполя.
Предположим, что из некоторой точки г = г0 = = {х0, уо, г°} в момент времени I = был испу-
щен электромагнитный импульс. Будем считать, что в точке г = г/ = {х/, у/, г/} находится приемник электромагнитного излучения. Для удобства дальнейших расчетов ориентируем оси декартовой системы координат так, чтобы источник и приемник электромагнитного излучения лежали в плоскости XOZ, причем ось Z направим так, чтобы их X-координаты были одинаковы: x0 = x¡ = q. Тогда г0 = ^,0, г°}, а г/ = ^,0, г/}. Для применимости постмаксвелловского приближения луч, по которому распространяется электромагнитный импульс, не должен попадать в область, где поле Е не превышает характерное поле Бч, т. е. Е < Бч.
Найдем уравнения лучей, по которым, согласно параметризованной постмаксвелловской электродинамике, электромагнитные импульсы будут распространяться из точки г = г0 в точку г/ = {х0, у0, г/}, где расположен приемник электромагнитного излучения, а также определим законы движения электромагнитных импульсов по этим лучам.
Для решения поставленной задачи перейдем, следуя нашей работе [37], в уравнениях (6) и в первом интеграле (7) от дифференцирования по параметру а к дифференцированию по координате г в соответствии с выражением й/йа = К3 й/йг. В результате получим
й2^
йЫ,
ахр ахт
г3 г.__
1Гтр йг тр} йг йг
йг2
й2х { 1 йх 3 } йхр йхт "772 = IГ тр — ~Г~Г тр {
йг2 тр йг тр йг йг
^ = _(Г2_йУГ3 йг2 I тр йг тр>
(8)
йг
0(1,2) охпохр=°
пр йг йг
йг йг
Решение этих уравнений позволит нам найти уравнения лучей х = х(г), у = у(г) и закон движения электромагнитных импульсов по этим лучам I = 1(г) в параметрическом виде, где роль параметра играет координата г.
Метрический тензор 0(/1'2) эффективного пространства-времени (4) при отсутствии магнитного поля имеет вид
О00,2) = 1 - 4П1,2(9) 0(в] = -а + 4П1,2 ^Ес,(г)Ер(Г).
Сравнивая эти выражения с соответствующими выражениями работы [37] для случая магнитного диполя,
0(1,2) = 1
о00 1, 0^2) = - А
ав
1 + 4^1,2^(0 + 4^1,2^(^(0,
можно констатировать, что метрический тензор 0(1'2^ эффективного пространства-времени, создаваемый полем электрического диполя, существенно отличается от метрического тензора О^1'2, создаваемого полем магнитного диполя.
Для решения поставленной задачи с постмакс-велловской точностью вектор напряженности элек-
пт
пт
трического поля должен быть подставлен в выраже ния (9) с максвелловской точностью:
3^г)г - r2d
E(r) =
Г "
где d — электрический дипольный момент.
(10)
¡1,2(г) = Шг) + ^ [Т(г) - Т(20)],
с
Х1,2 (г) = Х0(г) +
(11)
+ П1,2 £
Х(г) - Х(г0) +
У1,2(г) = У0 (г) +
+ П1,2 £
У (г) - У (20) +
(г - гр)[Х(20) - Х(г[)] (г/ - г0)
(г - г0)[У(г0) - У(г1)]
(г/ - г0)
йг2 йг2
йг2
= 0,
2 (йТ0(г)\ 2 _ (йх0(г)\ 2 _ (йу0(г)\ 2
С V йг ) V йг ) V йг )
= 1.
(чйх ^ (21дйх + 10гйг) -Р2
- d д + 5дйХ- + 3гйхйг
(14)
й2У (г) 12йу
5(дйх + гйг) 2'
5дйх + 3гйг ^^Рр^д2|,
Р
йг2 Р8
йТ(г) 18(дйх + гйг)2д2 { 12(дйх + гйг)дй
Рю~
йг Р
2(йх2 + йу2)
Р6
+
= 0,
где р = ^г2 + д2.
Интегрируя первые два уравнения системы (14), найдем функции Х(г) и У (г), входящие в выражения (11):
2. Интегрирование дифференциальных уравнений для лучей
Решение уравнений (8) будем искать методом последовательных приближений. Для этого представим х = х1>2(г), у = у1>2(г) и ^ = ¿1>2(г) в виде разложений по имеющемуся малому параметру:
Х (г) = 3
64д(
+
{52дйй - 5г(41йх + 16йу2 + 15^)^^ д+ [5д (41 й2х + 16йу2 + 15йг2) + 156гйхйг] +
64д4Р
+
+ [д(йг2 - йх2) - 2гйхйг] +
+ [20гйгйх + д(15йх2 - 23йг2)] +
[д(41 й:2 + 16йу2 + 15й2) + 52гйхйг] , (15)
32д2Р4
„( ) = 3йу (дй г + 25гйх) г йу (3гйг - 25дйх)
У (г) =-тоТк-агсг^ — + -
32д6
32д4Р2
+
В качестве начальных условий для уравнений (8) потребуем, чтобы электромагнитный импульс в момент времени ^ = ¿0 находился в точке г = г0, а луч проходил через точки г = г0 и г = г/. Тогда из соотношений (11) получим условия:
х0(г0) = х0(г/) = д, у02) = у0(г/) = 0, Т^) =
(12)
В нулевом, максвелловском приближении уравнения (8) дают
й2Т0(г) _ й2х0(г) _ й2у0(г)
+ 5йу (дйх + гйг) + йу (гйг - 5дйх) + 4р6 + 16д2 р4 .
Из последнего уравнения системы (14) следует,
что
Т(г) = К - 2дйхйг - гй1] +
4р!
+
1
8р6 3
+ ^рё [3гй| + 16дйхйг + 5гй|] + 3г
64д5
агС^ - +
+
Из этих уравнений с учетом условий (12) следует, что
Т0(г) = ¡0 + г сг0, х0(г) = д, у0(г) = 0. (13)
В постмаксвелловском приближении два линейно независимых уравнения (8) и первый интеграл с учетом выражений (9)—(11) и (13) принимают вид
й2Х(г) = 12 ( 15(дйх + гйг)2д3
йг2 = Р8! Р4
64д4р2 32д2р4
х [41 йх + 16йу2 + 15й2] . (16)
Неравноправный вклад компонент йх, йу и йг в выражения (15), (16) связан с выбранной ориентацией осей декартовой системы координат, в которой электрический диполь, источник и приемник электромагнитного излучения находятся в плоскости ХОХ, а распространение излучения происходит в основном вдоль оси г.
Подставляя выражения (15) и (16) в соотношения (11), получаем уравнения лучей, по которым, согласно постмаксвелловской электродинамике, распространяются электромагнитные волны в поле электрического диполя, а также закон движения электромагнитных импульсов по этим лучам.
3. Исследование воздействия поля электрического диполя на законы
распространения электромагнитной волны
Рассмотрим, к каким эффектам приводит нелинейно-электродинамическое воздействие поля электрического диполя на электромагнитную волну. Из-за нелинейно-электродинамического двулучепре-ломления при п = П2 каждый электромагнитный импульс, испускаемый излучателем в точке г0 = {д,0, г0}, расщепляется на два импульса, один из которых переносится первой нормальной волной,
2
8
Р
а другой — второй нормальной волной, имеющей ортогональную поляризацию. Эти импульсы движутся к приемнику по разным лучам, затрачивая на этот путь разное время.
Найдем, во-первых, величину угла искривления лучей, обусловленную нелинейностью электродинамики в вакууме. Для этого введем вектор N = Ог/Ох, касательный к лучу в произвольной точке г. Обозначим этот вектор в точке г = г0 через N1°, а в точке г = г/ — через N.
Учитывая, что в постмаксвелловском приближении |№ = 1, N| = 1, углы искривления луча в плоскостях XOZ и YOZ можно определить, исследуя выражение для векторного произведения [N0 N ].
Используя соотношения (15), найдем векторное произведение [N1° N ] в постмаксвелловском приближении:
[N0 N] = [Ы°у - ЫУ^х + N - Ы°х]ey. (17)
Наибольший интерес выражение (17) представляет в случае, когда электрический диполь находится на равном расстоянии от излучателя и приемника электромагнитных волн (г/ = -г°). В этом случае синус угла искривления луча в плоскости XOZ равен
sin(Sxoz) = Ы°х - Ых =
= П1,2^
36q3(йX - 4)г° 3q(23й2 - 15йх)г°
Р°°
+
2р°
- (41 йх + 16йу2 + 15й2) х
г0
■+-
5г°
Г + 7
15г°
7 + 7
15
г0
агС^ —
,
L4qp0 ' 16q3 р° ' 3275р° ' 32^^^ Г' (18) где для сокращения записи введено обозначение
=. г
Sin(¿YOZ)= ыу - Ыу = 5г°
=
27Р°
Р°
+
25г°
13Р° 75
+
75г° 1675р°
г0
+
+ ^ 7 )йхйУ. (19)
Если г/ значительно превышает характерный размер области, где напряженность поля электрического диполя совпадает по величине с индукцией Бч, то в выражениях (18) и (19) можно считать, что г° ^ -то, г/ ^ то. В результате получим
sin(¿xoz) = - (41 йх + 16йу2 + 15й2),
Sin(¿YOZ) = - йхйу.
(20)
3276
ориентирован вдоль оси х, в то время как sin(¿YoZ) будет максимальным, если йг = 0, а йх = йу.
Вычислим теперь время распространения электромагнитных импульсов, переносимых первой и второй нормальными волнами, от излучателя до приемника электромагнитных волн. Используя выражение (16), будем иметь
г1 - г° + П1,2<?
^1,2(г/) = + ■
+
[Т (г/) - Т(г°)] .
с с
Время запаздывания импульса, поляризованного в плоскости, в которой находится электрический дипольный момент, относительно ортогонально поляризованного импульса при г0 = -г будет равно
М = ¡1(г/) -¡2(г/) =
= (П1 - П2)^ 9С|° (й2 - йх2) -
- [41йх + 16йу + 15й2] х
(502 + 3й2)г°
4р°
3 г0
—5 аг^- +
3г°
+
г0
При г° ^ -то, и г/ ^ то это выражение дает д, = 3п(п' -^(41йх2 + 16йу + 15йг2).
.
Ро = ^ г0 + 72.
Синус угла искривления луча в плоскости YOZ находится аналогично:
Из этих выражений следует, что максимальное по величине значение угла искривления в плоскости XOZ достигается, когда электрический диполь
Несложный анализ показывает, что величина Д, достигает максимума, если электрический диполь ориентирован вдоль оси х, а минимального значения — при его ориентации вдоль оси г.
Заключение
Проведенный расчет показал, что согласно уравнениям нелинейной электродинамики вакуума поле электрического диполя, так же, как и поле магнитного диполя, искривляет лучи, вдоль которых распространяются электромагнитные импульсы, и величина угла этого искривления зависит не только от ориентации электрического дипольного момента относительно направления распространения электромагнитной волны, но и от поляризации волны (при п1 = П2). Как следует из выражениий (20), в плоскости, проходящей через точки, где находятся электрический диполь, источник и приемник электромагнитного излучения, величина sin(¿Xoz) знакоопределенна при любой ориентации вектора d, в то время как знак синуса угла искривления в плоскости YOZ зависит от знака произведения йхйу. Скорости распространения электромагнитных импульсов при п1 = П2 зависят от поляризации электромагнитной волны. Если из источника электромагнитного излучения испустить короткий импульс, то в общем случае он будет распространяться в поле электрического диполя в виде двух нормальных волн, имеющих взаимно перпендикулярную поляризацию. В приемник электромагнитного излучения эти импульсы прибудут по различным лучам и в разные моменты времени. Метрический тензор эффективного пространства-времени (9), по геодезическим которого распространяется электромагнит-
ная волна в поле электрического диполя, отличается от метрического тензора (10), создаваемого полем магнитного диполя. Это связано с не инвариантностью лагранжиана (1) относительно взаимной замены B ^ E: максвелловская часть при такой замене изменяет знак, а постмаксвелловская — не изменяет. Поэтому электрическое поле при одинаковой топографии с магнитным полем оказывает на эйконал электромагнитной волны отличающееся нелинейно-электродинамическое воздействие.
Список литературы
1. Вайнберг С. // Квантовая теория поля. Т. 1. Общая теория. М.: Физматлит, 2003.
2. Khalilov V.R. Electrons in Strong Electromagnetic Fields: An Advanced Classical and Quantum Treatment. New York, Netherlands: Gordon and Breach Science Pub., 1996.
3. Вшивцева П.А., Денисов В.И., Денисова И.П. // ДАН. 2002. 387, N 2. C. 178. (Vshivtseva P.A., Deni-sov V./., Denisova /.P. // Doklady Physics. 47, N 11. P. 798.)
4. Denisov V./., Denisova /.P. // Opt. Spectrosc. 2003. 90, N 2. P. 282.
5. Уилл К. // Теория и эксперимент в гравитационной физике. М.: Энергоатомиздат, 1985.
6. Heisenberg W., Euler H. // Z. Phys. 1936. 98, P. 714.
7. Denisov V./., Svertilov S./. // Astron. Astrophys. 2003. 399, N 3. P. L39.
8. BornM., /nfeldL. // Proc. Roy. Soc. 1934. 144, P. 425.
9. Denisov V./. // Theor. Math. Phys. 2002. 132, N 2. P. 1071.
10. Denisov V./., Svertilov S./. // Phys. Rev. D. 2005. 71, N 6.
11. Тихонов А.Н., Самарский А.А. // Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
12. Жуковский К.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон.
2015. № 2. С. 19. (Zhukovsky K.V. // Moscow Univ. Phys. Bull. 2015. 70, N 2. C. 93.)
13. Жуковский К. В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон.
2016. № 3. С. 18. (Zhukovsky K.V. // Moscow Univ. Phys. Bull. 2016. 71, N 3. C. 237.)
14. Крамер Д. Штефани Ч., Мак-Каллум М. // Точные решения уравнений Эйнштейна. М.: Энергоиздат, 1982.
15. Kechkin O.V., Mosharev P.A. // Int. J. Mod. Phys. 2016. 31, N 23, P. 1650127.
16. Kechkin O.V., Mosharev P.A. // Mod. Phys. Lett. A. 2016. 31, N 31, P. 1650169.
17. Paredes A., Novoa D., Tommasini D. et al. // J. Phys. B. At. Mol. Opt. 2014. 47, N 6. P. 065601.
18. Franklin J., Garon T. // Phys. Lett. A. 2011. 375, N 11. P. 1391.
19. Denisov V.I., Denisova I.P. // Opt. Spectrosc. 2001. 90, N 6. P. 928.
20. Schellstede G.O., Perlick V., Laemmerzahl C. // Phys. Rev. D. 2015. 92, N 2. P. 025039.
21. Denisov V.I., Denisova I.P., Pimenov A.B., Soko-lov V.A. // Eur. Phys. J. C. 2016. 76, N 11, P. 612.
22. Grote H. // Phys. Rev. D. 2015. 91, N 2. P. 022002.
23. Denisov V.I., Ilyina V.A., Sokolov V.A. // Int. J. Mod. Phys. D. 2016. 9, P. 1640003.
24. Abishev M., Aimuratov Y., Aldabergenov Y. et al. // Astropart. Phys. 2016. 73. P. 8.
25. Denisov V.I., Shvilkin B.N., Sokolov V.A., Vasi-li'ev M.I. // Phys. Rev. D. 2016. 94, P. 045021.
26. Khalilov V.R., Mamsurov I.V. // Mod. Phys. Lett. A. 2016. 31, N 7. P. 1650032.
27. Zakharov A.F. // Phys. Rev. D. 2014. 90, P. 062007.
28. Wei-Tou Ni // Phys. Lett. A. 2015. 379, P. 1297.
29. Wei-Tou Ni, Hsien-Hao Mei, Shan-Jyun Wu // Phys. Lett. A. 2013, 28, P. 1340013.
30. Denisov V.I., Denisova I.P. // Doklady Physics. 2001. 46, N 6. P. 377.
31. Vshivtseva P.A., Denisov M.M. // Comp. Math. Math. Phys. 2009. 49, N 12. P. 2092.
32. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. // Теория поля. М.: Наука, 1988.
33. Denisov V.I., Krivchenkov I.V., Denisova I.P. // JETP. 2002. 95, N 2. P. 194.
34. Kim J.Y. // JCAP. 2011. 10, P. 056.
35. Denisov V.I., Denisova I.P., Svertilov S.I. // Theor. Math. Phys. 2003. 135, N 2. P. 720.
36. Kim J.Y., Lee T. // JCAP. 2011. 11. P. 017.
37. Denisov V.I., Sokolov V.A., Vasili'ev M.I. // Phys. Rev. D. 2014. 90, N 2. P. 023011.
The effects of vacuum nonlinear electrodynamics in an electric dipole field M.I. Vasiliev, V.I. Denisov, A.V. Kozar', P.A. Tomasi-Vshivtsevaa
Department of Quantum Theory and High-Energy Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University. Moscow 119991, Russia. E-mail: a polina@physics.msu.ru.
The non-linear action of an electric dipole field on the propagation of electromagnetic waves within the eikonal approximation of parameterized post-Maxwellian vacuum electrodynamics is investigated. The angles of the nonlinear electrodynamics curvature of rays, along which electromagnetic pulses propagate, and the time difference of the propagation of normal waves from the electromagnetic radiation source to the receiver are calculated.
Keywords: nonlinear electrodynamics of vacuum, electric dipole field, effective pseudo-Riemannian spacetime, ray equations, normal mode. PACS: 03.50.Kk. Received 17 November 2016.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2017. 72, No. 6. Pp. 513-517.
Сведения об авторах
1. Васильев Михаил Иванович — аспирант МАИ (национальный исследовательский университет).
2. Денисов Виктор Иванович — доктор физ.-мат.наук, профессор, зав. кафедрой.
3. Козарь Анатолий Викторович — доктор физ.-мат.наук, профессор, зам. декана.
4. Томази-Вшивцева Полина Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент; тел.: (495) 939-26-96, e-mail: polina@physics.msu.ru.
