CC BY
26наличие нецелых промежуточных результатов, иррациональных. Но, тем не менее, рассмотренные процессы решения задач показывают, что эти недостатки можно ликвидировать путем коррекции в решении задач. Также было выявлено, что одной из основных проблем, которые встречаются при выполнении стереометрических задач, являются задачи, где вычисления или доказательства, необходимо построить сечение плоскостью. Получается, что если нет пространственного воображения и умений построения воображаемой пространственной модели, то стереометрическая задача не может быть решена правильно и в полном объеме. Однако, зная всего несколько формул векторной алгебры и способы ведения системы координат на плоскости и в пространстве, задача обретает совсем иной смысл и решить ее значительно проще и быстрее.
Библиографический список:
1. Темербекова, А. А. Использование векторно-координатного метода при решении геометрических задач в школе и в вузе [Текст] / А. А. Темербекова // Информация и образование: границы коммуникаций INFO'16: сборник научных трудов №8 (16); под ред. А.А. Темербековой, Л. А. Альковой. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2016. -С. 201-205.
2. Байгонакова, Г. А. Решение задач повышенной сложности (стереометрия) : учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений [Текст] / Г. А. Байгонакова, А. А. Темербекова. - Горно-Алтайск : БИЦ ГАГУ , 2017. - 108 с.
УДК 378
РАЗВИТИЕ КОМБИНАТОРНО-ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У ОБУЧАЮЩИХСЯ 5-6 И 7-8 КЛАССОВ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ DEVELOPMENT OF COMBINATORIAL AND PROBABILISTIC REPRESENTATIONS AMONG THE STUDENTS OF 5-6 GRADES OF GENERAL EDUCATION SCHOOL
Раенко Е. А., канд. физ.-мат. наук, доцент ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск raenko_elena@mail.ru
Аннотация. В статье рассматриваются вопросы, связанные с изучением стохастических понятий и методов в 5-6 и 7-8 классах средней школы.
Ключевые слова: комбинаторика, вероятность, статистика, преемственность.
Abstract. The article deals with the issues related to the study of stochastic concepts and methods in 5-6 and 7-8 grades of secondary school.
Key words: combinatory, probability, statistics, continuity.
Теория вероятностей и математическая статистика все больше находят применение в различных областях науки и техники: вероятностно-статистические методы применяются при построении моделей в социологии, литературоведении, лингвистике, статистические закономерности используются при изучении природных явлений в биологии, при осуществлении химических реакций в химии, при изучении молекулярного строения вещества в физике. Кроме того, современная жизнь требует от человека умения анализировать случайные факторы, оценивать шансы, прогнозировать развитие ситуации, выдвигать гипотезы, принимать решения в условиях неопределенности.
В настоящее время школьное образование нацелено на развитие вероятностного стиля мышления учащихся, на ознакомление их с более широкими статистическими закономерностями, отличающихся от закономерностей, составляющих классический детерминизм.
Необходимость введения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики в школьный курс математики назрела уже давно. Еще в 60-е годы при реформировании школьного математического образования элементы теории вероятностей были введены в школьный курс математики как замкнутый раздел
программы по математике, относящийся к «чистой», теоретической математике. Тогда учеными-методистами были предприняты попытки разработать методику преподавания теории вероятностей как отдельной темы школьного курса математики. В силу изолированности и инородности по отношению к традиционному курсу математики материал, посвященный изучению элементам теории вероятностей и статистики, в 70-х годах был изъят из программ и учебников. Реформой 80-х годов элементы теории вероятностей и математической статистики были включены в программы профильных классов, в частности, физико-математического и естественнонаучного. Но эти попытки также не увенчались успехом, поскольку в старших классах учащиеся с трудом преодолевают тот глубокий детерминизм, который взрастила в их умах средняя школа.
Начиная с 2003 года элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики были введены в содержание обязательного минимума математической подготовки учащихся средней общеобразовательной школы. Этому способствовало Письмо Министерства образования Российской Федерации «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы» [1], в котором, в частности, говорится следующее: «Один из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в школьные программы элементов статистики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения. Современные физика, химия, биология, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно-статистической базе, и без соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение этих дисциплин уже в средней школе.» В Письме обозначен круг вопросов, представляющих собой некоторый минимум, доступный для учащихся основной школы и достаточный для формирования у них первоначальных вероятностно-статистических представлений:
1. Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения.
2. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.
3. Диаграммы Эйлера. Средние результатов измерений.
4. Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.
В Письме предлагается начать изучение комбинаторно-стохастического материала в 5-6 классах или в 7 классе, в зависимости от системы изложения материала в учебнике, по которому ведется преподавание математики.
Однако современная образовательная практика показывает, что в допонятийном мышлении ребенка закладываются основы иррационально-творческих структур человеческого сознания, его научная картина мира строится на вероятностной основе, его мышление носит вероятностный характер, так как оно еще не сковано требованиями жесткой формально-логической достоверности. Для ребенка важнее ответ на вопрос «Как это могло бы быть?», чем «Как на самом деле?».
Исследования зарубежных и отечественных психологов и педагогов убедительно доказали, что стохастические представления детей о реальном мире должны развиваться непрерывно, а следовательно нужно строить такую модель обучения, в которой не понятийные, а образные структуры являлись бы центром психического развития ребенка (М. Монтессори, С. Френе., А. М. Лобок, М. Холодная и др.). Через развитие собственных вероятностных структур ребенок должен входить в мир научно-теоретического мышления. Таким образом, развитие стохастических представлений у детей должно идти непрерывно: Детский сад - Начальная школа - Средняя школа. С нашей точки зрения в детском саду и начальной школе должна быть раскрыта генетическая основа, те реальные процессы и явления, которые служат источником для возникновения стохастических понятий. Этот непрерывный подход был реализован кандидатом педагогических наук, доцентом Пуркиной В. Ф. в программе и учебном пособии для детского сада (2-7 лет) [8], по которым работают многие детские сады г. Горно-Алтайска
и Республики Алтай, а также в экспериментальных учебниках для начальной школы под редакцией Н. Я. Виленкина [5]. Сейчас эти учебники опубликованы в виде тетрадей для массовой школы под редакцией Л. Г. Петерсон.
В детском саду генетическая основа стохастических представлений и понятий у детей формируется в процессе их взаимодействия с реальными множествами и величинами, путем подсчета числа элементов в подмножествах, их сериации и классификации. В начальной школе, на базе этих представлений рассматриваются реальные ситуации, в которых нет жесткого алгоритма действий. О чем свидетельствует следующая задача.
Задача 1. «У Лены один цветок ромашка и две вазы, светлая и темная. Сколькими способами может Лена поставить цветок в вазы? Постройте «дерево возможностей» для расстановки четырех цветков: ромашки, колокольчика, василька, гвоздики в две вазы: светлую и темную. Покажите на этом дереве путь, указывающий, что ромашка и гвоздика стоят в светлой вазе, а колокольчик и василек в темной. «Дерево возможностей» помогает решать детям разнообразные задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий.
Задача 2. Сколькими способами можно разложить три карандаша в две коробки? С помощью задач этого типа, дети приходят к выводу, что таблица иногда более удобна для описания реальной ситуации, чем «дерево возможностей» (см. табл. 1).
Таблица 1
ТАБЛИЦА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 2
Число карандашей в I коробке 0 1 2 3
Число карандашей во II коробке 3 2 1 0
Использование различных знаковых средств: графов, диаграмм, таблиц, деревьев и.т.п., позволяет ребенку его мысленные образы закрепить в устойчивой форме, использовать их для анализа ситуации и в конечном счете построить свою модель вероятностного мира, личностно-значимую для него.
Исследования, проводимые в последние годы (Бунимович Е. А., Лобок А. М., Селютин В. Д., Ткачева М. В. И др.) также показали, что таблицы, столбчатые диаграммы, сети, пути, деревья возможностей необходимо вводить в курс начальной школы. Этот учебный материал подготавливает изучение стохастической линии в 5-9 классах. Методика преподавания вероятностно-статистической линии в школе была изучена в работах Бунимовича Е. А. [3], Лобока, А. М., Селютина В. Д. [9], Ткачевой М. В. [11] и других отечественных и зарубежных ученых. Например, результаты исследования Буни-мовича Е. А. свидетельствуют о том, что «даже хорошее знание и понимание других разделов математики само по себе не обеспечивает развития вероятностного мышления» [3], в работах Селютина В. Д. был предложен когерентно-интегративный подход к изучению вероятностно-статистической линии в школьном курсе математики.
Следует отметить, что предложенные методики введения в основной курс математики вероятностно-статистической линии не учитывают необходимость преемственности с современным курсом математики начальной школы.
Нами были проанализированы комплекты учебников математики 5-6 и учебников алгебры 7-8 классов, по которым ведется обучение в некоторых школах г. Горно-Алтайска и Республики Алтай, на предмет включения в них элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики. Анализ показал, что например, в Муниципальном автономном общеобразовательном учреждении «Кадетская школа №4 г. Горно-Алтайска» в 5-6 классах используются учебники математики авторов Виленкина Н. Я., Жохова В. И. и Зубаревой И. И., Мордковича А. Г. Учебник авторов Виленкина Н. Я. Жохова В. И. не содержит раздела, посвященного изучению вероятностно-статистической линии, а в учебнике авторов И. И. Зубарева и А. Г. Мордковича вероятностно-статистический материал помещен в самом конце учебника и ограничен двумя параграфами.
Также был проведен анализ учебников алгебры 7-8 классов авторов Г. В. Дорофеева, Ш. А. Алимова, Ю. Н. Макарычева, Г. К. Муравина, А. Г. Мордковича, Ю. М. Колягина, А. Г. Рубина, А. Г. Мерзляк и С. М. Никольского, который показал, что перечисленные разделы имеются только в учебниках Г. В. Дорофеева, Ш. А. Алимова, Ю. Н. Макарычева, Г. К. Муравина, и С. М. Никольского. Наиболее полно изучение вероятностно-статистической линии представлено в учебниках алгебры Г. В. Дорофеева.
Таким образом, если говорить про среднее звено общеобразовательной школы, то в настоящий момент в преподавании вероятностно-статистической линии в 5-8 классах наблюдаются значительные трудности, которые, на наш взгляд, заключаются в следующем:
1) существующие подходы к преподаванию стохастического материала не осуществляют систематического и последовательного включения его в традиционный курс математики. Стохастический материал изучается либо по остаточному принципу в конце учебного года, либо от случая к случаю. Следует отметить, что вероятностно-статистический материал включен не во все учебники математики 5-6 и учебники алгебры 7-8 классов;
2) наблюдается отсутствие преемственности в изучении вероятностно-статистической линии с курсом математики начальной школы;
3) у учащихся возникают трудности при решении задач комбинаторного и вероятностного типов.
В связи с этим имеется необходимость разработки и проведения спецкурсов для обучающихся 5-8 классов общеобразовательной школы, а также проведения курсов повышения квалификации учителей математики по преподаванию элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей.
Библиографический список:
1. О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы. Письмо Министерства образования Российской Федерации от 23 сентября 2003 года № 03-93 ИН/13-03 // Вестник образования России. - №11. - 2003.
2. Бунимович, Е. А. Методическая система изучения вероятностно-статистического материала в основной школе : дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 [Текст] / Е. А. Бунимович. - М., 2004. - 157 с.
3. Бунимович, Е. А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики [Текст] / Е. А. Бунимович // Математика в школе. - 2002. - №3. - С. 52-58.
4. Булычев, В. А. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики [Текст] / В. А. Булычев, Е. А. Бунимович // Математика в школе. - 2003. -№ 4. - С. 59-63.
5. Виленкин, Н. Я. Математика 1-3 кл. [Текст] / Н. Я. Виленкин, Л. Г. Петерсон. -1996. - 80 с.
6. Девкина И. В. Особенности методики изучения элементов комбинаторики, статисти- ки и теории вероятностей в средней школе [Текст] / И. В. Девкина // Метод.разраб. - Рыбинск. - 2000. - 47 с.
7. Пуркина, В. Ф. О развитии вероятностно-статистической линии в школьном курсе математики [Текст] / В. Ф. Пуркина, Е. А. Раенко // Новые тенденции развития вероятностно- статистических знаний: сборник научных трудов I Всерос. научно-практич. семинара с междунар. участием для преподавателей, магистрантов, аспирантов, студентов и школьников / Под ред. М. Е. Деева. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2013. - С. 32-35.
8. Пуркина, В. Ф. Развитие начальных математических представлений у детей до- школьного возраста [Текст] / В. Ф. Пуркина. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 1996. -214 с.
9. Селютин, В. Д. О формировании первоначальных стохастических представлений [Текст] / В. Д. Селютин // Математика в школе. - 2003. - №3. - С. 51-56.
10. Темербекова, А. А. Методика обучения математике : учебное пособие [Текст] / А. А. Темербекова, И. В. Чугунова, Г. А. Байгонакова. - СПб. : Лань, 2015. - 512 с.
11. Ткачева, Н. Ю. Профессиональная направленность как личностное новообразова- ние юношеского возраста // Автореф. дис. ... канд. психол. Наук. [Текст] / Н. Ю. Ткачева. - М., 1983. - 16 с.
12. Раенко Е. А., Раенко Т. В. Развитие комбинаторно-вероятностных представлений у обучающихся 5-6 классов общеобразовательной школы [Текст] / Е. А. Раенко, Т. В. Раенко // Информация и образование: границы коммуникаций INFO'16: сборник научных трудов № 8 (16); под ред. А. А. Темербековой, Л. А. Альковой. Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2016. - С. 205-208.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ METHODSFORSOLVINGIRRATIONALEQUATIONS
Каштаев Ш. Э., студент Научный руководитель: Темербекова А. А., д-р пед. наук, профессор ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск shunu.kashtaev@yandex.ru
Аннотация. В статье раскрыты основные методы решения иррациональных уравнений.
Ключевые слова: уравнения, корни, радикал, степень, переменная.
Abstract. The work describes what the main methods of solving irrational equations are.
Кеу words: equations, roots, radical, degree, variable.
Материалы, связанные с уравнениями, составляют очень значимую часть школьного курса математики. В учебном курсе иррациональным уравнениям уделяется достаточно мало внимания. Однако задачи по теме «Иррациональные уравнения» встречаются на вступительных экзаменах. Поэтому в изучении иррациональных уравнений попытаемся показать основные методы их решения.
Применение разработанной методики решения иррациональных уравнений и неравенств позволит учащимся решать их на сознательной основе, выбирать наиболее рациональный метод, применять разные методы решения, в том числе те, которые не рассмотрены в школьных учебниках.
В статье показаны методы решения иррациональных уравнений.
Стандартными методами являются:
1. Возведение левой и правой части в одинаковую степень.
2. Введение новой переменной.
3. Разложение на множители.
Возведение левой и правой части в одинаковую степень. Данным метод используется обычно, когда присутствует корень (степень зависит от радикала).
Пример 1: 3 = 5
Возведём левую и правую часть в квадрат
Если в уравнение входят несколько радикалов, то их нужно исключать последовательно, с помощью возведения в степень. Преобразуем
УДК 512
тогда получится обычное уравнение, находим неизвестную переменную и получим: х = 22. Ответ: 22.
Пример 2:
мы получим х = 0 или
