Развитие частотного метода анализа устойчивости двумерных систем автоматического управления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 658.512

РАЗВИТИЕ ЧАСТОТНОГО МЕТОДА АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

В.И. Морозов

Излагаются положения комбинированного метода динамического исследования линейных двумерных (двухканальных) систем автоматического управления (САУ). Метод объединяет достоинства метода комплексных координат как наиболее рационального для проведения промежуточных преобразований при получении передаточной функции разомкнутой САУ и методов исследований одномерных систем, развитых гораздо более основательно в части анализа их устойчивости. Вводятся понятия приведенной одномерной системы, определения плоского контура САУ, амплитудной и фазовой связей между каналами, а также способы оценок показателей устойчивости системы в зависимости от их значений для разомкнутого плоского контура и связей.

Ключевые слова: двумерная САУ, одномерная САУ, плоский контур, связи каналов, запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

При исследовании двумерных САУ, особенно двумерных систем с модуляцией, получил распространение метод комплексных координат и комплексных передаточных функций (ПФ), основанный на представлении пары однотипных координат или сигналов двух каналов управления или амплитуд и фаз амплитудно-фазо-модулированных сигналов комплексными числами, в которых их действительная (Яе) и мнимая (1т) части характеризуют составляющие пары [1,2]. ПФ двумерных звеньев, связывающие комплексные координаты на их входах и выходах, могут содержать, в отличие от одномерных САУ, комплексные коэффициенты, характеризующие связи между координатами или сигналами. Эти ПФ носят название комплексных ПФ. При таком представлении динамики САУ их устойчивость принято определять комплексной ПФ Ш(р), где р = ^ - символ

дифференцирования по времени ^ для которой комплексно-сопряженная ей ПФ Ш*(р) ф W(p), а годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) W(jto), где j = V—1, ш - круговая частота, в отличие от одномерных САУ, несимметричен относительно действительной оси плоскости комплексного переменного, то есть частотная ПФ и соответствующая ей АФЧХ ШОш) ф (ШНш)}* [1,2].

При наличии такой несимметрии устойчивость САУ, оцениваемая по расположению АФЧХ ШОш) относительно точки (—1^0), характеризуется, как правило, двумя величинами запасов устойчивости по фазе и двумя - по модулю (различными для положительных и отрицательных частот ш), что иногда осложняет оценку степени близости системы к границе устойчивости (например, когда один из запасов устойчивости уменьшается, а другой повышается).

Кроме того, выбор на этапе динамического синтеза САУ параметров корректирующих устройств, обеспечивающих «желаемый» вид АФЧХ одновременно для положительных и отрицательных частот, может вызвать в некоторых случаях затруднения.

До настоящего времени не существует общих формальных методов динамического синтеза двумерных САУ непосредственно по комплексной ПФ, по наглядности и удобству применения подобных тем, которые развиты в теории одномерных. В то же время непосредственное применение методов, принятых для анализа одномерных САУ, при исследовании двумерных наталкивается (из-за сложности и громоздкости) на существенные трудности, возрастающие при увеличении связей между каналами и исследовании САУ с модуляцией.

В связи с изложенным представляется целесообразным разработка комбинированного метода, позволяющего при анализе и синтезе двумерных САУ использовать, наряду с методом комплексных координат, достижения теории одномерных систем в целях приведения (насколько это возможно и целесообразно) методов анализа и синтеза двумерных систем на их заключительных этапах к методам исследования одномерных, развитых значительно более основательно. При этом используются преимущества метода комплексных координат как наиболее экономичного в отношении промежуточных преобразований, а также полнота и наглядность методов исследования одномерных систем. Оказывается возможным в более компактной форме представить динамические свойства САУ, в частности, уменьшить количество величин, характеризующих её устойчивость, и в ряде случаев упростить задачу динамического синтеза двумерной САУ, приведя ее, в значительной степени, к синтезу одномерной [3].

Суть метода заключается в структурировании ПФ Ш(р) посредством выделения из неё общей для каждого из каналов, не содержащей комплексных коэффициентов, ПФ плоского контура WI1K(p) и комплексной ПФ связи Wсв(p), характеризующей амплитудные и фазовые связи между каналами САУ, с последующей оценкой динамики САУ по ПФ взаимовлияния каналов W'(p), характеризующей динамику системы, разомкнутой по одной из двух регулируемых координат с учетом её связи с другой однотипной координатой. ПФ взаимовлияния каналов не содержит комплексных координат, и поэтому допускает анализ АФЧХ W'(jw) только для частот ^ > 0, что резко уменьшает количество параметров, характеризующих устойчивость.

Цель работы - подробное изложение комбинированного метода динамического исследования двумерных САУ в части приемов частотного анализа их устойчивости.

Метод основан на введенных понятиях приведенной одномерной системы, ПФ плоского контура, комплексной ПФ связи и её составляющих: амплитудной и фазовой связей каналов и ПФ взаимовлияния каналов.

278

Приведенная одномерная система

Введем понятие приведенной одномерной системы.

Представим комплексную ПФ разомкнутой САУ в виде

W(p) = + (1)

где Wl(p), W2(p) - ПФ, не содержащие комплексных коэффициентов, то есть

* *

^(р) = ReW(p) = W(p) + W (р), W2(p) = Ь^(р) = W(p)" W (р),

2 2]

*

в которых W (р) - комплексно-сопряженная ПФ, которая получается из ПФ W(p) заменой всех ее коэффициентов на комплексно-сопряженные.

Формула (1) представляет ПФ двумерного звена с антисимметричными прямыми перекрестными связями, у которых идентичные звенья в

каждом из каналов имеют ПФ ^ф), а прямые антисимметричные перекрестные связи между каналами - звенья с ПФ [1].

Учитывая (1), структурную схему замкнутого контура (с ПФ W(р) разомкнутого), полагая при анализе устойчивости входные воздействия равными нулю, можно представить в виде, изображенном на рис. 1, которую, исследуя далее как одномерную, в отношении любой из координат будем называть приведенной одномерной системой. Приведенная одномерная система - это та же двумерная система, но представленная в форме, допускающая её анализ как одномерной.

Устойчивость приведенной одномерной системы можно исследовать, размыкая ее в различных точках и анализируя соответствующие ПФ.

Наиболее удобной для анализа является ПФ W/(p), которая получается при размыкании приведенной одномерной системы в точках 1 или 2 (рис. 1).

Данная ПФ, связанная с ПФ W(p) соотношениями

*

W22(p) W(P)W*(P) + ^ ^)|2 + ReW(p) (2)

W,(p) = W1(p) +-=--= -^, (2)

^ ^ 1 + ^ф) 1 + W(p) + W*(p) 1 + ReW(p)

2

имеет ясный физический смысл - это ПФ разомкнутой системы по одной из действительных координат (например Ь^ с учетом связи этой координаты с другой (например И2).

ПФ W,(p) не содержит комплексных коэффициентов, и соответствующая ей АФЧХ для частотной ПФ W/(jю) симметрична относительно действительной оси.

Параметры устойчивости, определяемые по АФЧХ частотной ПФ W/(jю), можно принять в качестве характеристик устойчивости двумерной системы в целом. Вследствие симметрии характеристик количество пара-

279

метров устойчивости уменьшается по сравнению с оценками по АФЧХ Ш(]ю), как правило, вдвое.

Рис. 1. Структурная схема приведенной одномерной системы

На рис. 2 представлен примерный вид типовых логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик (ЛАФЧХ) Ш(]ю) (а) и

ЛАФЧХ Ш'^ю) (б) для общего случая, когда комплексная ПФ Ш(р) не

*

равна своей комплексно-сопряженной ПФ Ш (р).

В этом случае, когда частотная ПФ Ш^ю) Ф [Ш(-]ю)] *, амплитудные характеристики А(ю) = 20^а(ю) и А(-ю) = 20^а(-ю) несимметричны, а фазовые ф(ю) и ф(-ю) - неантисимметричны для положительных (ю > 0) и отрицательных (ю < 0) частот ю.

Вследствие этого величины характерных параметров: частот среза

ю+ и ю-, частот среза по фазе ю+ и ю-, запасов устойчивости по фазе

ф + и ф- и амплитуде А += 201§а + и А-= 201§а- для положительных

(ю +, ю +, ф +, А +) и отрицательных (ю-, ю -, ф -, А -) частот ю могут существенно различаться между собой для однотипных величин (величин частот и величин запасов).

На рис. 2, а частота ю + Ф

ю- , а частота ю+ Ф с 0

ю0 , причем

ф+ >>ф3 , а А +<< А3 .

Различия в параметрах устойчивости для частот ю разного знака не влияют на установление самого факта устойчивости или неустойчивости САУ, но для устойчивой САУ затрудняют оценку степени ее близости к границе устойчивости по четырем (иногда существенно различным) запасам для частот ю разного знака (ф +, ф-, А+, А-), которые к тому же иногда могут быть не только неодинаковыми, но и (как в примере) противоположными по направлениям изменений в зависимости от знака частоты

ю: ф+ >> ф-, а А + << А -.

Рис. 2. Примерный вид ЛАФЧХ (а) для комплексной ПФ Ж(р)

и ЛАФЧХ W/(jю) (б) для ПФ приведенной одномерной системы (сплошные линии - амплитудные характеристики Л(ю), А'(ю); штриховые линии - фазовые характеристики ф(ю), ф'(ю))

Кроме того, по обобщенным параметрам устойчивости (фз, Аз) для АФЧХ одномерных САУ принято оценивать не только сам факт устойчивости САУ, но и (приближенно) ее качественные показатели: по частоте среза юс - быстродействие, полосу пропускания (при достаточном

запасе Аз по модулю), по запасу (з - показатель колебательности, по частоте юс и запасу ф з - затухание колебаний и динамическую ошибку по некоторым видам возмущений [1]. Сделать то же самое непосредственно

+

по характерным четырем параметрам АФЧХ W(jw) (юс труднительно.

Ю с

ф + , ф з ) за-

Причина этих затруднений понятна: АФЧХ двумерной САУ Ш(]ю) определяет динамику САУ сразу по двум координатам одновременно, в то время как в одномерной системе - только по одной.

На рис. 2, б представлена АФЧХ ШСю) приведенной одномерной системы для той же САУ с теми же значениями параметров ПФ Ш(р).

Здесь, естественно, ПФ Ш'^ю) = [Ш'(-]ю)]*, и поэтому можно

ограничиться построением АФЧХ только для частот ю > 0 (на рис. утолщенные линии).

Различных по величине параметров, характеризующих динамику САУ ( юс , ) и ее устойчивость (ф , А^), здесь вдвое меньше, чем в предыдущем случае. Смысл их тот же, что и в обычных одномерных САУ.

В этом - основное преимущество АФЧХ Ш/(]ю) перед АФЧХ

Ш^ю).

Определение «приведенная одномерная» связано со способом получения ПФ Ш'(р): не непосредственно из структуры САУ, а из комплексной ПФ Ш(р), определяющей динамику системы сразу по двум регулируемым координатам одновременно.

Если бы можно было так же просто (как из ПФ Ш(р)) получить ПФ Ш'(р) непосредственно из структуры САУ для действительных координат, то необходимость в «приведении» отпала бы.

К сожалению, сделать это для систем с сильным взаимовлиянием каналов и модуляцией, а тем более - для САУ безгироскопными ракетами, у которых могут быть связаны между собой не только каналы управления, но и каналы управления с каналами модуляции (каналами формирователей опорных сигналов), весьма затруднительно [4].

Поэтому представляется рациональной комбинированная технология динамического проектирования двумерных САУ, когда на первых этапах преобразования исходных структур и получения ПФ разомкнутой САУ применяется метод комплексных координат (который здесь явно сильнее), а на более поздних этапах или даже только на заключительном этапе - метод исследования одномерных (приведенных одномерных) систем: более наглядный, допускающий возможность непосредственного использования опыта, накопленного теорией одномерных САУ.

Процесс построения АФЧХ Ш^ю) представляет довольно трудоемкую задачу. Покажем, что интересующие нас параметры этой АФЧХ (параметры устойчивости) можно определить, не прибегая к построению собственно годографа Ш^ю), что значительно упрощает процесс определения параметров устойчивости.

В дополнение к понятию приведенной одномерной системы введем еще и понятие плоского контура (выделенной плоской системы).

282

Для этого представим ПФ W(p) в виде:

W (р) = WnK (p )Wce (p),

где

Wпк (p) = W(p) =V W(P)W (p)

не содержащая комплексных коэффициентов ПФ, которую будем называть ПФ разомкнутого плоского контура или просто ПФ плоского контура;

Ж(р) _

Wcв (Р) =

W (Р)

W (Р)

Wm (Р)

ПФ связей регулируемых координат САУ, содержащая комплексные коэффициенты.

Нетрудно убедиться, что при ПФ W^ (p) = 1, когда связи между регулируемыми координатами отсутствуют, ПФ W'(p) = W^ (p). Полагая

W( jw) = a(w)exp[jj(w)], W*(j w) = [W( - j w)] *= a(-w) exp[- jj(-w)], амплитудные a пк (w), Апк (w) = 20lgaпк (w) и фазовую фпк (w) частотные характеристики (ЧХ) плоского контура можно представить в виде формул:

апк (w) = IW^ (jw)| = д/a(w)a(-w), jш (w) = arg Wпк (jw) = j(w) j( w)

А

пк

2

(w) = A(w) + A(-w), A(w) = 20lga(w), A(-w) = 20lga(-w).

Аналогично, для амплитудных 1(ю), Л(ю) = 20^1(ю) и фазовой

А(ю) ЧХ, определяемых частотной ПФ связей W (]ю) = 1 (ю)exp[jА(ю)],

св

полагая

получаем

Wce (jw) = [W^ (- jw)] *= l(-w) exp[- jD (-w)],

l(w) =

l(-w)

= W (jw) =

a(w)

L(w) = A(w) - A(-w), D(w) =

2

a(-w) j(w) + j-w) 2

Отметим, что w св (jw)

1

l (w)

arg Wсв (jw) = -D(w).

Для примера представим динамику САУ для частот ю > 0 ЛАФЧХ плоского контура Апк(ю) = 20lgaпк(ю), (о(ю) = фпк (ю) + р, а также амплитудной Л(ю) = 20lg 1(ю) и фазовой А(ю) связями для той же системы

(рис. 3), которая приведена на рис. 2, а с АФЧХ W(jw) Ф ]ю)]* для частот ю < 0 и частот ю > 0.

1

Рис. 3. Логарифмические амплитудная Апк(ю) и фазовая ф0(ю) ЧХ

плоского контура и амплитудная А(ю) и фазовая А(ю) характеристики связей, соответствующие АФЧХ, приведенным на рис. 2, а

Плоский контур характеризуется частотой среза юс = 2р • 1,19- и

с

1

частотой среза по фазе Юо = 2тс- 3,27-, а также запасами фз = 31° и

с

А з = 20^а з = 7,6 дБ (а з = 2,4).

Связи на частотах юс и Юо: А(юс) = 20^ 1 (юс) = Ас = 0,52 дБ (1 с = 1,062 ), А(юс) = Ас = 20°; А(ю0) = 201в 1 (ю0) = А0 = 1,4дБ (10 = 1,175), А(ю0) = А0 = 18,6° . ПФ взаимовлияния каналов. Частотный анализ устойчивости приведенной одномерной системы

Согласно формуле (2) и введенным определениям плоского контура и связей, представим ПФ W '(р) в виде

п(р) + Wпк (р)

W '(р) = WпK (р)

1 + (р)

(3)

где

V(р) = К^св (р) =

Wсв (р) + Wсв (р)_К^(р)

2 Wпк (р)

ПФ взаимовлияния каналов, а соответствующая ей АФЧХ V С) ю) = П1(ю) + ^ 2(ю) = п(ю)ехр[| фп (ю)] = 2 {wсв 1) + [Wсв (-|ю)] * }=

1 2

1(ю) +

1

1(ю)

008 А (ю) + )

1(ю) -

1

1(ю)

бш А(юН,

где

п1(ю) =п1(-ю) = К^(ю)СОБА(Ю), п2(ю) = л К1(ю) -1 бША(ю)

K l (w) = K l (-Ю):

2

l(w) +

l(w)

(K i (w) > 1),

v(w) = -\jKl(w) - sin2 D(w), N(w) = 20lg v(w),

jv (w) = arctg

l2(w) -1 2,

(4)

12(ю) +1 _

Для оценки влияния амплитудной 1(ю) и фазовой А(ю) связей на динамику САУ определим с помощью формулы (3) АФЧХ М'^ю) = а/(ю)ехр[]ф/(ю)] через параметры а пк (ю), фпк (ю) АФЧХ МпкС!©) разомкнутого плоского контура и параметры у(ю) и фп (ю) АФЧХ

у^ю) взаимовлияния каналов, отражающих влияние амплитудной и фазовой связей на устойчивость.

Учитывая введенные обозначения, полагая избытки фазы фо(ю)

АФЧХ М!) и фо(ю) АФЧХ WIIK(!ю) равными: фо(ю) = ф'(ю) + Р, фо(ю) = фпк (ю) + Р, опуская аргумент ю, из (4) получаем:

2 2 v - 2aпкv cos( jv -j0 ) + aпк

2„2 пк

1 - 2a пк v cos( jv +jo) + v 2a

jo = jo + arctg

2 2 v(1 - a пк )sin jv- a nK (1 -v )sin jo

2 2 v(1 + a пк )cos jv - a пк (1 + v )cos jo

(5)

(6)

Из формулы (4) видим, что фаза jv (w) = o, если отсутствует связь хотя бы одного вида, то есть если амплитудная связь l(w) = 1 (L(w) = 2oig l(w) = o) или фазовая связь D(w) = o.

В этих случаях формулы (5) и (6) упрощаются и, что особенно важно, частоты среза по амплитуде юс и частоты среза по фазе wo АФЧХ

W(jw), на которых САУ может выйти на границу устойчивости, совпадают с соответствующими частотами среза по амплитуде wc и фазе w o АФЧХ W^ (jw) разомкнутого плоского контура.

Это свойство позволяет выразить для этих случаев запасы устойчивости по фазе j^ и амплитуде a 'з приведенной одномерной системы через соответствующие запасы устойчивости по фазе j з и амплитуде a з плоского контура и значения амплитудной характеристики v(w) АФЧХ взаимовлияния каналов v(jw) на соответствующих частотах среза по амплитуде юс и фазе wo АФЧХ W^ (jw) плоского контура формулами:

, ^ v C - cos j.

j^ = 2arctg —-^, (7)

sin j,^

285

1

1

r

a

аз = а з

аз -nо

vоаз -1

(8)

в которых VG =V(wG), Vo =V(Wo)-

В этих формулах для случая, когда отсутствует амплитудная связь (1с =1, lo = 1), vc = cosAc V о = cos А o, а для случая, когда отсутствует фазовая связь на частотах Юс и Wo (А =0, Ао = 0)

V с = K i (Юс)

2

l с + с l

1

V o = K l (Wo):

2

l o +

l o

Характер влияния связей на устойчивость особенно наглядно проявляется, если формулы (7), (8) заменить их аппроксимациями и

л; = 20^з:

а) если отсутствует амплитудная связь на частотах Юс и Юо (1с = 1, 10 =1):

Ф'з = j з

A з = A з

'а л2

с

V j з у

1 +

h

С А Л2

Ao

V A з у

(9)

(Ю)

где h = 43,5

Г \2 ' град4

V

дБ

; A o - в град.;

у

б) если отсутствует фазовая связь на частотах Юс и Wo (Ас = o,

Ao = o):

j; = j з

1+h

2

' Лс '

V jз у

A з = A з

1 -

2

Ao

V A з у

(11)

(12)

где Лс = 20lg 1 с, Л0 = 20lg 10; фз - в град. Из анализа формул (9), (10) следует:

- САУ устойчива, если устойчив плоский контур (фз >0, Лз > 0) и величина фазовой связи |Ас| на частоте среза Юс меньше запаса по фазе фз плоского контура;

1

1

1

с

1

1

- запас по модулю Лз с ростом фазовой связи А^ на частоте Ю0 среза по фазе только увеличивается;

- система выходит на границу устойчивости на частоте среза Юс

плоского контура, когда Ас =фз.

Из анализа формул (11), (12) следует:

- САУ устойчива, если устойчив плоский контур (фз >0, Лз > 0) и величина амплитудной связи Л^ = 20^10 на частоте среза по фазе Ю0 меньше запаса Л з = 20^а з устойчивости плоского контура по модулю;

- запас по фазе ф з с ростом величины амплитудной связи Лс = 20^ 1с на частоте среза Юс только увеличивается;

- система выходит на границу устойчивости на частоте Ю0 среза

плоского контура по фазе, когда 10 = аз или — = аз ( Л^ = Лз).

10

При наличии обоих видов связи ( 1(ю) Ф1 и А(ю) Ф 0) фаза фу (ю) Ф 0 (4), частоты среза Юс и Юс, а также Ю0 и ю0 не совпадают. Следовательно, в этом общем случае получить точные оценки параметров устойчивости возможно, только определив АФЧХ (см. рис. 2).

Однако для распространенных на практике случаев реальных систем телеуправления малогабаритными ракетами, когда А £ 20°, а

0,7 <1< 1,4, отличия модуля АФЧХ взаимовлияния у(ю) от ее действительной части У1(ю) не превосходят обычно 1%, а фаза фу (ю) < 5°.

В этих случаях влиянием фу(ю) в формулах (5), (6) можно пренебречь и считать:

фу (ю) » 0: у^ю) »У(ю) «У^ю), У2(Ю) » 0, Ю =Юс, Ю0 =Ю0,

у(4) »у(юс) =Ус, У(ю0) »у(ю0) =У0.

В условиях возможности этих допущений запасы устойчивости ф и аз (Лз) можно оценивать по тем же формулам (7), (8), полагая в них

Пс =n(Wc) = V Kl(W>) - sin2 Л(о>с)» К1 («с) cosА(Юс) 5

Vq = v(wq) = ^Kl(wq) - sin2 A(wq) » Ki(wq)cosA(wq) ,

а также по аппроксимациям A3 = 2Qlg~3 формул (7), (8), зависящим от величин Пс =v(«) и VQ =v(wq):

а) если Vc £1, V0 £1:

Фз =Фз

1

Г Л2

Фс

V Фз у

(13)

где Фс = arccovc,

Аз = Аз

1+

h

/ \2 Фо

V A з У

(14)

где фо = агесоБП о, причем фаза ф о - в градусах; б) если Ус >1, Уо >1:

Фз =Фз

1 + h

Hc ^

V Фз у

(15)

.2

где Нс = 2оЫ Vс + ^|vс -1 I, причем запас фз - в град.,

Аз = Аз

Но

V Аз У

(16)

где Но = 2оЦ^Vо + -1 |.

Из анализа формул (7), (8), (13) - (16) следует: - САУ устойчива (фз > о, аз >1), если устойчив плоский контур (фз > о, аз >1), а характеристики V с и V о взаимовлияния каналов (определяемые амплитудной 1(ю) и фазовой А(ю) связями) отвечают требованиям:

а2 +1

V > соф5, vo <-з—;

2а3

- с ростом V с в пределах cos фз £v с £

1

cos Ф з

запасы по фазе фз

увеличиваются от значения % = о (если Пс = COSфз) до значения фз = 2фз (ф'з =фз, если ^ =1);

2а з

—з ^ ^ а2 +1 - с ростом V о в пределах —— <по < ——

а 2 +1 2а з

запасы по модулю

з

2a

Л / Л

уменьшаются от значения а'з = а2 (если Vо =——) до значения аз =1

(а'з = аз, если Vo =1).

а2 +1

1

1

Полученные результаты позволяют свести анализ устойчивости к следующему:

- определению АФЧХ Мпк (!ю) и v(jw) и по ним - с помощью соотношения (3) - АФЧХ м!) с последующей оценкой устойчивости по запасам фз и аз (общий случай);

- для класса САУ, для которого можно принять фv(юс) = о,

фу (юо)=о - определению АФЧХ Мпк (!ю), частот среза юс, юо, запасов

устойчивости фз, аз (Аз), коэффициентов V с , V о и по ним - с помощью

(7), (8) или их аппроксимаций (9) - (12) или (13) - (16) - запасов фз, аз устойчивости САУ с учетом влияния связей каналов на устойчивость (рис. 4 и 5).

На рис. 4 приведен пример представления динамики САУ (см. рис. 2, а) АФЧХ плоского контура и логарифмической амплитудной

N(0)=2(^(0:)) и фазовой ф^ю) характеристиками взаимовлияния каналов:

) = 2о^(Шс) = N =-о,52дБ (Vс = о,942), ф (юс)=1,24, ^юо) = 2о^(юо) = Nо =-о,34дБ (Vо = о,961), фv(ц) = 3,о9°.

Рис. 4. Логарифмические амплитудная Апк(ю) и фазовая фо(ю) ЧХ плоского контура и амплитудная М(ю) и фазовая ф^ю)

характеристики взаимовлияния каналов, соответствующие АФЧХ,

представленным на рис. 2, а

Если пренебречь влиянием фаз фv (юс) и фу(0((), то по формулам (8), (9) можно получить приближенные оценки запасов устойчивости по фазе и модулю приведенной одномерной системы с ПФ (4) без построения АФЧХ м!) :

фз = 18,6°, А'з = 8,43дБ (а3 = 2,64).

По аппроксимациям (14), (15) получаем: ф =18,5°, Л^ = 8,37дБ = 2,62).

На рис. 5 приведен пример представления динамики той же системы АФЧХ одномерной системы с амплитудной и фазовой

ф0(ю)) =ф (ю)+Р характеристиками для частот ю > 0.

Для АФЧХ ^^оз): частота среза ю'с = 1,14 • 2р 1 (юс = 1,19 • 2р

с с

частота среза по фазе о0 = 3,17 • 2р 1 (юо = 3,27 • 2р 1), запасы устойчивости

сс

по фазе фз = 18,28° (аналитические оценки: 18,6°, 18,5°) и модулю Лз = 8,02дБ (аналитические оценки: 8,43 дБ, 8,37 дБ).

Параметры , ю0, ф, и Лз, определенные с помощью АФЧХ ^^Ю)), - точные характеристики устойчивости, остальные - в той или иной степени приближенные.

На рис. 3 и 5 представлен общий случай, когда присутствуют оба вида связей, различных для частот Юс и Ю0, причем таких, что фаза фу (ос) =1,24° более чем вдвое меньше фазы фу (ю^) = 3,09°.

А,А',

дБ 20

-20

X '' Фо(®) к- ~ . ^ ФоМ ч

т — Фз 00^

со'с^г А'(со)'

0,5

1,5

Фо> Фо'

град 20

1ёСО

-20

Рис. 5. Логарифмические амплитудные Лпк(ю) и Л'(ю) и фазовые

ф0(ю) и ф0(ю) ЧХ плоского контура и приведенной одномерной системы, соответствующие АФЧХ, представленным на рис. 2, а и 3, 4

Поэтому различия между частотами юс и ю'с незначительны, и точное значение запаса по фазе фз = 18,28°, определенное по АФЧХ W(jw) (рис. 5), практически совпадает с его приближенным значением ф з = 18,6°, определенным по формуле (7) для у с = 0,942 или фз = 18,5° -по формуле (3) для фс = агссов 0,942 = 19,63°.

290

Различия между wо и w0 более заметны (фаза jv(wo) = 3,09°), однако и здесь точное значение запаса по модулю A 3 = 8,02 дБ не слишком отличается от значения A3 = 8,43 дБ по формуле (8) для v о = 0,961 или значения А'з = 8,37 дБ по формуле (14) для ф0 = arccos 0,961 = 15,95° .

Анализ устойчивости приведенной одномерной системы, разомкнутой по перекрестной связи, в условиях наличия только фазовой связи каналов

Для САУ, в которых влиянием амплитудных связей Л = 20 lg l можно пренебречь, а ПФ W(p) разомкнутой САУ - представить формулой

W(p) = W0(p)exp[jAj, (17)

где W0(p) - ПФ, не содержащая комплексных коэффициентов, а А - рас-фазировка каналов САУ, оценку предельно допустимого значения Адоп

фазовой связи А можно получить, если исследовать на устойчивость приведенную одномерную систему (см. рис. 1), разомкнутую по одной из перекрестных связей. Для этого случая ПФ приведенного разомкнутого контура имеет вид

2

W"(p) = (sin A)W0(p) [1 + (cos A)W0(p)

Данная ПФ удобна тем, что соответствующий ей годограф W "(jw) при А < фз, как правило, лежит внутри или вблизи круга единичного радиуса (рис. 6).

На рис. 6 изображены годографы АФЧХ частотных ПФ W "(jw) и W "(jw) для одной и той же САУ с одними и теми же параметрами.

Годограф АФЧХ W "(jw) позволяет определять устойчивость САУ (устойчивой при расфазировке А = 0 ) только одним показателем - запасом устойчивости аз по амплитуде.

Примеры оценок устойчивости по АФЧХ W"(jw) и W"(jw) на рис. 6 представлены для трех значений расфазировки А:

- отсутствия расфазировки, когда годограф АФЧХ WQ(jw) = W(jw) = W"(jw) на частоте среза wc пересекает окружность единичного радиуса в точке определения запаса фз устойчивости по фазе плоского контура с АФЧХ W()(jw), а определяемый АФЧХ W "(jw) (годограф которой здесь превращается в точку начала координат) запас устой»

чивости аз ® ¥;

- наличия расфазировки А = 0,707фз, когда запас ф^ устойчивости по фазе приведенной одномерной системы, определяемый на частоте среза Юс =w(: по АФЧХ W"(jw) составляет половину запаса фЗ плоского контура, а определяемый по АФЧХ W"(jw) на частоте wc запас устойчивости - по модулю а^ = а^ (wc) = 2;

- наличия расфазировки А = фз (граница устойчивости), когда определяемый на частоте Ю = ®с по АФЧХ W/(jю) запас устойчивости по

фазе фз = 0, а определяемый по АФЧХ WЛ'(jю) на частоте Юд = юс запас

" 1

устойчивости - по модулю а з = 1.

Рис. 6. Годографы АФЧХ W '^ю) и WЛ'(jю) для различных значений расфазировки: А = 0 -сплошная линия (W '^ю)) и точка в начале координат (^^ю)); А = 0,707ф з —штриховые линии; А = фз — штрихпунктирные линии

Запас устойчивости по АФЧХ W//(jю) будем определять значением

I № I ^ 1/1

модуля W ^ю) на частоте среза ю = юс модуля W (]ю) по формуле

//_

а п —

1

2

1 + ооб А — 2ООБфз СОБА

Бт2 А

^ок)

с возможной аппроксимацией ее (с погрешностью не более 15 % при фз < 60°, А £фз) простой зависимостью

а з =

г л 2

V А у

согласно которой, принимая величину допустимого значения аз доп запаса ~з равным не менее 2 (А з доп = 201§а^ доп — не менее 6 дБ), получаем

А

1

доп 292

которому по формуле (10) соответствует величина ф 3 = 1 ф з.

Следует особо отметить, что приведенная оценка a3 определяет здесь запас устойчивости по амплитуде не на частоте WO среза arg W"(j«)) по фазе, на которой argW'(jwO) = ±Р, как это обычно принято (и как это имеет место при оценках устойчивости по АФЧХ W'(jw)), а на частоте среза W по амплитуде АФЧХ W'(jw), на которой

„т///. ч ^ cos A- cos фз ,

arg W уюс) = -p + 2arctg-— = -p + ф з

sin ф з

Такая оценка представляется здесь допустимой потому, что система с ПФ W(p) вида (17) может выйти на границу устойчивости (как это следует из анализа устойчивости по АФЧХ W'(jw)) только на частоте Юс среза по амплитуде АФЧХ W'(jw). Частота Юс только на границе устойчивости САУ совпадает с частотой WO среза по фазе АФЧХ W''(jw), на которой определяется запас устойчивости по модулю в его классическом определении.

Целесообразность «подмены» при A < фз частоты WO частотой Юс

при определении запаса устойчивости a^ объясняется простотой формулы оценки запаса устойчивости при таком подходе и простотой ее связи с формулой оценки той же устойчивости по запасу ф^ устойчивости по фазе, определяемой формулой (9).

Выводы

Разработанный метод имеет следующие преимущества в сравнении с оценкой устойчивости непосредственно по АФЧХ W(jw):

- АФЧХ W^ (jw), v(jw) и W(jw) определяются и анализируются только для частот w > 0;

- показатели устойчивости по фазе ф^ и модулю a^ более компактно и однозначно определяют степень близости САУ к границе устойчивости, их смысл тот же, что и в одномерных системах (при оценках только по W(jw), которая определяется как для w > 0, так и для w < 0, показателей устойчивости, как правило, вдвое больше при их возможном существенном отличии);

- выявляется характер влияния связей различного рода на устойчивость: V с < 1 V0 < 1 (преобладает фазовая связь A(w)) - уменьшаются запасы ф'з устойчивости по фазе, но растут запасы a^ - по амплитуде, а при Пс > 1, V0 > 1 (преобладает амплитудная связь l(w)) -наоборот.

Список литературы

1. Казамаров А.А., Палатник А.М., Роднянский Л.О. Динамика двумерных систем автоматического регулирования [Текст]. М.: Наука, 1967. 308 с.

2. Красовский А. А. О двухканальных системах автоматического регулирования с антисимметричными связями // Автоматика и телемеханика. 1957. Т. XVIII. № 6.

3. Морозов В.И. Комбинированный метод динамического анализа и синтеза двумерных автоматических систем // Известия Тульского государственного университета. Серия «Вычислительная техника. Автоматика. Управление». Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. Вып. 3. Т. 3. С. 210 - 220.

Морозов Владимир Иванович, канд. техн. наук, доц., зам. начальника отделения и начальник отдела, khkedr a tnla.net, Россия, Тула, АО «КБП»

DEVELOPMENT OF THE FREQUENCY METHOD OF ANALYSIS OF

STABILITY OF TWO-DIMENSIONAL AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS

V.I. Morozov

The article sets forth propositions of the combined method of dynamic study of linear two-dimensional (two-channel) automatic control systems with respect to analysis of their stability. The method combines advantages of the complex coordinate method as the most rational method for intermediate conversions when deriving the transfer function of an open-loop automatic control system and advantages of the methods studying one-dimensional systems, which are developed more thoroughly. The author introduces concepts of a reduced one-dimensional system, definition of the two-dimensional shape of an automatic control system, amplitude and phase couplings between the channels, as well as methods of evaluation of the system stability performances depending on their values for the open-loop two-dimensional shape and couplings.

Key words: two-dimensional automatic control system, one-dimensional automatic control system, two-dimensional shape, couplings of the channels, amplitude and phase stability margins.

Morozov Vladimir Ivanovich, candidate of technical sciences, docent, Deputy Chief of Division and Chief of Section, kbkedratula. net, Russia, Tula, JSC "KBP "