Методы оценок качества переходных процессов в двумерных системах телеуправления малогабаритными ракетами Текст научной статьи по специальности «Физика»

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 623.465.7

МЕТОДЫ ОЦЕНОК КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМАХ ТЕЛЕУПРАВЛЕНИЯ МАЛОГАБАРИТНЫМИ РАКЕТАМИ

В.И. Морозов

Для идеализированных типовых двумерных систем автоматического телеуправления малогабаритными ракетами находятся аналитические оценки качества переходных процессов при воздействии на систему скачка координаты или скачка скорости.

Ключевые слова: двумерная система телеуправления, вещественные и мнимые частотные характеристики, качество переходных процессов.

На начальном этапе проектирования двумерной системы автоматического управления (САУ) часто бывает полезно представить хотя бы приближенно качество переходных процессов при типовых воздействиях на нее - скачках координат, скоростей и т.п. Обычно оценки такого качества для одномерных систем связывают с частотными характеристиками САУ, поскольку методы их проектирования особенно хорошо развиты именно для частотных представлений динамики линейных или линеаризованных систем.

Методы теоретических оценок качества переходных процессов в замкнутых двумерных системах с помощью их вещественных и мнимых частотных характеристик на основе преобразования Фурье с приложениями преимущественно к следящим системам изложены в [1], где особое внимание уделено возможности получения упрощенных приближенных оценок показателей качества (перерегулирования, максимальных значений отклонений и др.) непосредственно по характерным показателям частотных характеристик (без необходимости трудоемкого построения самих переходных процессов - как это делается и для одномерных систем [2]).

7

Здесь разрабатывается метод получения подобных оценок качества переходных процессов в приложении к тем типам двумерных систем, к которым относятся системы телеуправления малогабаритными ракетами (МГР).

Особенность этого метода - представление динамики САУ, характеризуемой частотной ПФ разомкнутой системы и Ф()а>) - замкнутой, аппроксимирующими их ПФ и Ф(]ю), зависящими только от

трех показателей: запаса устойчивости по фазе ф+ = ф з + А и частоты среза №с (для положительных частот амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) и запаса по фазе ф- =фз - А и частоты среза

минус юс (для отрицательных частот АФЧХ ^Ою)), где А - фазовая связь каналов в САУ (её расфазировка).

Приоритетные цели искомых оценок - простота и наглядность. Связь переходного процесса двумерной САУ с ее частотными характеристиками.

Реакция у двумерной системы на воздействие х типа единичного

скачка

ц г > 0, ) = |0,г < 0,

X 2 (г) = 0,

то есть комплексная переходная характеристика системы определяется формулой [1]

1 ¥ Р(ю) + 70(0))., у(г) = - { 47 7 81п(ю- г)аю,

Р ю

— ¥

в которой Р(ю) = а зам (ю)ео8 ф зам (ю) - вещественная, а Р(ю) = а зам (ю^т ф зам (ю) - мнимая частотные характеристики замкнутой САУ, определяемые АФЧХ:

Ф(^ю) = , ч = азам (ю)ехр[]фзам (ю)] .

1 + W(jю)

Поскольку

У (г) = У1 (г) + зу 2 (г), то составляющие у1(г) , у2 (г) переходной характеристики определяются соотношениями

1 ¥ р(ю) . . У1 (г) = — } Б1п(ю- г )аю = р ю

2°?Р(ю) . , ^ 2°?Р(-ю) . . — | Б1п(ю- г )аю+— | ——- Б1п(ю- г )аю

р 0 ю р 0 ю

2 ¥ РС (ю) . — } —С-Б1п(ю- г )аю,

р 0 ю

у2(г) =— { sm(ю■ г=

р

ю

— {эт(ю- г | т—sm(ю■ г ^ю

р 0 ю

р

0

ю

2 ¥ 6с(ю) • , ^

— {—С— sm(ю■ г ую,

р

0

ю

в которых

Рс (ю) = Р(ю) + Р(-ю) , (ю) = 0<ю) + 6(-ю)

2 2 где Р(ю), Р(-ю), 6(ю), 6(-ю) - вещественные и мнимые частотные характеристики для положительных и отрицательных частот ю [1].

Из приведенных соотношений следует, что в случаях, когда Р(ю) = Р(-ю) и 6(ю) = -6(-ю), что имеет место, если ПФ Ф(р) не содержит комплексных коэффициентов,

, Л 2 ¥ Р(ю) • , чл У1(г) = — | sin(ю■ г )аю,

р ю

— ¥

У 2(г) = 0.

Оценки качества переходных процессов в двумерной САУ при воздействии на нее единичного скачка координаты

Оценим некоторые показатели качества переходных процессов для

САУ с типовыми АФЧХ систем управления МГР( фз = 38°, юс = 2р ■ 0,95-)

с

и соответствующими им вещественными Р(ю) и мнимыми 6(ю) характеристиками, представленными на рис. 1 и 2 для случая, когда расфазировка Л = 0, а на рис. 3 и 4 - для случая, когда расфазировка Л Ф 0.

-1,8 -1,2 -0,6 0 0,6 Ч--1ё|со| ^(со)-►

Рис. 1. Типовые логарифмические АФЧХ разомкнутых (А(со) = 201§а(со) и Ф0(ю)> и замкнутых (Азам(ю) = 20азам(ю) и фзам(ю)) САУ и их аппроксимации (А(ю) = 20lg<a(ю), ф0(ю),

Азам(ю) = 20^~зШ(о)), фзам (ю)) - для расфазировки Л = 0

— оо

Р,0,

■*--^Н ^(ю)-►

Рис. 2. Вещественные (Р(ю) и Р(-ю)) и мнимые (О(ю) и О(-ю)) частотные характеристики замкнутой САУ и их аппроксимации (Р(ю), Р( ю), , ), соответствующие рис. 1 - для расфазировки А = 0

-1,8 -1,2 -0,6 0 0,6 1,2 1,8 -«--^(со)-►

Рис. 3. Типовые логарифмические АФЧХ разомкнутых (А(ю) и Фо(ю)) и замкнутых (А зам (ю) и ф зам (ю)) САУ и их аппроксимации (А(ю), Фо(ю), Азам (ю), ф зам (ю)) - для расфазировки А = 20 °

Р,0, р,о

з 2 1 0 -1 -2

Л

СК-м) 1 { 1 р Р(-СО) Р(со)

О(-со) \ Р(ю) 0(со) г

\ /У ✓ 1 \ \ 1

Г-ш «с ^ ____> —— —

Р(-О))/ 0«»)/

— 1,8

-1,2

-0,6

1,2

0 0,6 1--1{>|<в| ^(со)-*>

Рис. 4. Вещественные (Р(ю) и Р(-ю)) и мнимые (О(ю) и О(-ю)) частотные характеристики замкнутой САУ и их аппроксимации (Р(ю), Р(-ю), 0(ю), 0(-ю)), соответствующие

рис. 3 - для расфазировки А = 20 °

10

Приведем примерные параметры типовой сфазированной (А = 0) САУ с АФЧХ, представленными на рис. 1 и 3:

- частота собственных колебаний планера ракеты юпл = 5 ■ 2р- ;

с

- коэффициент его относительного демпфирования Хпл = 0,1;

- параметры Тк = 0,212 с, пк = 7,5 корректирующего фильтра с передаточной функцией,

ТкР +1 .

W (p) =

T

± p+1

пк

- инерционность координатора - 15 мс;

- запаздывание рулевого привода - 15 мс;

- коэффициент передачи разомкнутого контура - 30,4 -1.

с2

На рис. 1 (А = 0) и 3 (А = 20 °) представлены типовые логарифмические амплитудные и фазовые характеристики разомкнутых (A(w) и j>o(w)) и замкнутых (A зам (w) и фзам (w)) САУ (для фазовых характеристик разомкнутых систем - избытки фаз), а на рис. 2 (А = 0) и рис. 4 (А = 20 °) - соответствующие им вещественные Р( w) и мнимые Q( w) характеристики замкнутых САУ.

Отличительным признаком этих АФЧХ является то, что их амплитудные характеристики в районах частот среза w+ = юс и w- = юс имеют

наклон примерно - 20 ——, а фазовые - примерно постоянные значения:

дек

j(w+) = -p + и j(w-) = p - ф-, где ф+ = фз + А и j- = фз - А - запасы устойчивости по фазе соответственно для положительных и отрицательных частот w, в которых составляющая фз - запас устойчивости по фазе участка САУ с ПФ W0(p), не содержащей комплексных коэффициентов

(здесь - плоского контура), а А - расфазировка, которая может принимать как положительные (А > 0), так и отрицательные (А < 0) значения в комплексной ПФ разомкнутой САУ W(p) = Wo(p)exp(jА).

Из теории автоматического управления известно, что качество переходного процесса в слабодемпфированных САУ (с показателем колебательности м »—1— > 1, который в рассматриваемых случаях для запасов sin фз

по фазе фз величиной от 20 до 50° составляет 2,29 - 1,30) определяется в основном среднечастотными участками АФЧХ W(jw) (частотными интервалами, включающими частоты среза ± w^.

11

На этих участках вещественные Р(±ю) (для одно- и двумерных САУ) и мнимые 0(±ю) (для двумерных САУ) частотные характеристики и их средние значения Рс (ю) и Qс (ю), как правило, принимают экстремальные значения, по величинам которых можно сделать приближенную оценку некоторых характерных качественных показателей переходных процессов в САУ (максимальных отклонений У1,2тах или перерегулирований

Оц при воздействии единичного скачка координаты или скачка скорости [1, 2]).

Такие известные оценки, однако, носят слишком общий характер (в особенности - для двумерных систем) либо рассчитаны, прежде всего, на радиолокационные или тепловые следящие координаторы [1].

Имея целью получение подобных приближенных качественных оценок именно для слабодемпфированных двумерных систем телеуправления ракетами и при том - в простом и легко обозримом виде, удобном для первичного приближенного анализа в общем, АФЧХ разомкнутой САУ ^ю) = а(ю)ехрф(ю)] аппроксимируются здесь в предельно упрощенном виде ^^^ю) = ~(ю)ехр[]ф(ю)], определяемом только частотами среза ±юс, запасом по фазе фз плоского контура с ПФ Wo(p), а также рас-фазировкой А.

Соответственно АФЧХ W(jю) определяется аппроксимированная АФЧХ замкнутой САУ Ф(|ю), а для нее - аппроксимированные вещественные Р(ю) и мнимые Q(w) частотные характеристики.

Для отображения степени близости ЛАФЧХ W(jю), а также аппроксимирующих характеристик Р(ю), Q(w), Ф(|ю) их истинным значениям W(jю), Р(ю), Q(w), Ф(|ю) в районах частот ±юс среза по модулю W(j ю) они также представлены на рис 1 - 4.

Из рис. 1 - 4 видим, что АФЧХ W(jw) и W(jw), а также вещественные Р(ю) и Р(ю) частотные характеристики близки друг другу в интервалах частот ю, близких частоте юс. Амплитудные характеристики Азам(ю) и Азам(ю) близки и при частотах ю < юс .

Итак, при расфазировке А = 0 представим:

\~(|ю) = аЭДехрО ф(ю)] =

к ехр[- |(р - фз)] = - к exp(jфз), ю > 0, ю ю

—exp[j(р - фз)] = - ехр(-jфз), ю < 0,

ю ю

Ф(|ю) = 1 , = яеФ(|Ю) + jImФ(|Ю) = Р(ю) + jQ(ю),

1 + W(jw)

в которых k=w,

P(w) =

k2 - kwcosфз

22

k - 2kwcos фз + w 2

k + kwcos фз

Q(w)

2 2 ' k + 2kwcos фз + w

- kw sin ф з

2 2 ' k - 2kwcos фз + w

- kw sin ф з

2 2 ' k + 2kw cos ф з + w

w> 0,

w< 0,

w> 0, w< 0,

причем

~зам (w) = $CÍw) =

k

2 2 k - 2kwcos фз + w

_k_

22 k + 2kw cos фз + w

w> 0, w< 0.

В тех случаях, когда расфазировка А Ф 0, все приведенные зависимости для определения P(w), 0(ю), ~зам(ю) по форме не изменяются, но вместо значений ф в них следует использовать значения:

Фз = Фз + А, если ю > 0,

Ф- = Фз - А, если ю < 0 . Полученные характеристики P(w) и 0(ю) удобны тем, что позволяют аналитически определять и исследовать их характерные точки. В частности, из их анализа при расфазировке А = 0 следует:

- в интервале частот 0 < ю < ^—, в котором P(w) > 0, характе-

cos ф з

ристика P(w) имеет максимумы

max

1

+1

sin фз

wr

тервале частот —-— < W < cos фз

P =

1 min

1

sin фз

1

на частотах ± w max = ±w

минимумы:

на частотах ± wmin = ±юс

C

1 - sin ф з 1 + sin ф з

1 + sin фз

а в ин-

1 - sin ф з

- на частоте w = 0 характеристика P(w) = 1;

- мнимая частотная характеристика Q(w) = -Q(-w) на частотах Ю=±Юс имеет экстремумы:

0(ЮС) = -0(-®с) = +

_ 1

218

фз 2

и нулевое значение при частоте ш = 0 .

Известно [2], что для значений Рт1п < 0,2 • Р(0) (здесь это условие,

примерно, выполняется при фз >45) величина максимального отклонения У1тах при воздействии единичного скачка может быть оценена величиной У1тах < 1,18Ртах, то есть

У1

тах

< 0,59

1

+1

Б1п фз

а максимальное перерегулирование ^1тах = У1тах — 1 - величиной

тах

< 0,59

1

б1п фз

1

которая для запасов устойчивости 20°<фз < 50° согласуется, например, с известной оценкой перерегулирования САУ (в процентах)

Н = 100о = 73 — ф0 [3].

Это дает основание использовать и полученные оценки у и

1тах

С^1тах для указанного диапазона, а не только для значений фз > 45°.

При расфазировках А Ф 0 максимальное отклонение У1тах в плоскости воздействия единичного скачка будет определяться полусуммой

максимумов вещественных характеристик Ртах(ш>тах) =1

_1

бш ф+

+1

и

Ртах(штах)

(

Л

+1

Б1П фз

на

+

штах шс

11 — б1п фз 1 + б1п ф+

У1тах< 0,59

и штах =шс

соответствующих 1 — б1п ф—

частотах

1+

1 + б1п фз

2б1п фз соб А соб2А—соб2Фз

Г 1 1

» 0,59

Б1п фз

где ф'з = ф з (1 — V 2), V

фз

Максимальное отклонение У2тах в плоскости, перпендикулярной плоскости воздействия единичного скачка координаты на входе САУ, определяется по максимальному среднему значению Рстах полусуммы

14

1

экстремумов мнимых частотных характеристик 0(ю) и 0(—ю), которые для случаев, когда А Ф 0, не равны по абсолютной величине (см. рис. 2 и 4):

Q

с тах

«с) + Q(-W)):

- sin А

А

2(cos А- cos фз) фз фз Соответственно этому QG max:

_ 1 _ 2

v

фз

1

ф+

+

1

2tg^ 2tg

ф 2

У2

тах

£ 1,18

v

фз

то есть и величина, и знак отклонения У2тах полностью определяются

А

значением запаса фз, а также величиной и знаком отношения V = —.

Ф з

Так, при расфазировке А > 0 отклонение У2тах будет со знаком «минус» (вращение годографа у(1:) в картинной плоскости в направлении против направления вращения часовой стрелки), что также видно и по модулю |Ф(—ую>)| (см. рис. 3), на котором |Ф(—у'юс )| >> |Ф()|, то есть колебательные составляющие у(1:), вращающиеся на частотах ю < 0 (против направления вращения часовой стрелки), будут иметь большие амплитуды, которые и определяют общее направление вращения годографа - против направления вращения часовой стрелки.

Если расфазировка А < 0, то отклонение У2тах сменит знак, что будет свидетельствовать и об изменении направления вращения у(1;) - по

направлению вращения часовой стрелки.

Оценка качества переходного процесса при воздействии на САУ скачка скорости

Оценим теперь максимальное значение ^тах динамической ошибки ^(г) = х^) — у1(г) в плоскости воздействия на замкнутую систему скачка скорости:

[а • г, г > 0, х1(') = к г < 0.

Примерные АФЧХ системы те же, что и раньше, то есть предполагают их аппроксимацию в районе частот среза ±юс в виде АФЧХ представленных на рис. 1 и 3.

Представляя скачок скорости в виде

t

x¡(t) = a jl(t )dt, 0

где

1(t) =

11,

t > 0, t < 0,

a

1

и объединяя оператор — с ПФ ошибки:

p

^ (p) =1 - Ф(Г) = -.w( ,

1 + W (p)

получаем для воздействия a • 1(t) эквивалентную по результату его воздействия на САУ ПФ:

Фэ (p) =-1-,

p + pW (p)

по вещественной Рэ (w) и мнимой Q (w) частотным характеристикам которой можно оценивать максимальную hjmax динамическую ошибку при скачке скорости [1].

Определим характеристики Рэ (w) и Q3 (w).

Соответственно Фэ (p), полагая p = jw, для принятой (W(jw)) аппроксимации АФЧХ W(jw) при А = 0 получаем

k sin jз - j(w - k cos jз)

Ф э (jw) =

2 2 '

k - 2kwcos jз + w

k sin jз - j(w + k cos j-з)

2 2 '

k + 2k wcos jз + w

w> 0,

w< 0,

для которых

Рэ (w) = Re Ф э (jw) =

Q э (w) = Im Ф э (jw) =

k sin jз

2 2 ' k - 2kwcos jз + w

k sin jз

2 2'

k + 2kw cos jз + w

w-kcos j-з

2 2

k - 2kwcos jз + w

w + kcos jз

2 2

k + 2kwcos j з + w

w > 0, w< 0,

w> 0, w< 0.

Вид характеристик Рэ (ю) и О (ю) для типовых САУ с АФЧХ, представленными на рис. 1 и 3, и их аппроксимации Рэ (ю) и Оз (ю), соответствующие АФЧХ для А = 0 и А = 20 °, изображены на рис. 5 и 6.

Кроме того, на рис. 6 изображены средние мнимые частотные ха-

Q э(ш) + Q э ^ и 0 эр (ш) = ^э

0э (ш) + 0э (—ш)

рактеристики: 0(ш) = — - ^ ч „ ^

Из анализа рисунков видим, что вещественные характеристики Рэ (ш) имеют ярко выраженные максимумы в районе частот среза Шс и — шс, причем величины этих максимумов весьма близки их значениям Рт(ш) и Рт(—ш), определяемым по приближенным вещественным характеристикам Рэ (ш) и Рэ (—ш).

Рэ^э, Рэ,Оэ 0,45

0,15

0

-0,15

-0,3

Рэ(-со) Рэ(со) Рэ(со)

<3э(-ю) \

\

Рэ (-со)/ \\ V Оэ(со)/ \ ч ^ г

(-СО)/ \0э(т)

-1,8 -1,2 -0,6 0 0,6

«--1§|со| ^(со)-►

1,2

Рис. 5. Вещественные частотные характеристики (Рэ (ш) и Рэ (—ш)) и мнимые частотные характеристики (О(ш) и 0э (—ш))

эквивалентной АФЧХ Фэ^ш) и их аппроксимации (Рэ (ш), Рэ (—ш), 0э (ш), 0э (—ш)) - для расфазировки А = 0

Анализируя эти характеристики совместно с Рэ (ш) и О(ш) на (рис. 5 и 6), видим: вещественные частотные характеристики Рэ(ш) и Рэ (ш) практически не меняют знак; в районе частот среза ± шс они близки или совпадают, а в районе частоты ш = шт = ксоБфз =шс С0Бфз и частоты ш=—шт =—шсС0фз имеют экстремумы:

1

Рэ ( шт\) =

шс 81И фз

Соответственно Рэ (шт ) определяем, что

^тах £ 1,18

а

Юс 81И фз

w

m

Если же расфазировка А Ф 0, то на частотах w^n = юс cos j+ и -юс cos j- вещественная характеристика P3 (w) будет иметь соот-

+ . 1 ^ 1

ветствующие максимумы: P3 (wm)

Рэ^э,

юс sin j+

и P3 (wm)

юс sin j3

0,45 0,15 0

-0,15 -0,3

рэ(-«) /

Q3(-co) / Рэ(ш)

Q3(-ro) \ ¿к V /л \ л* я \ \ Рэ(-т) \ Q3(co)

л '/Ч Рэ(со)

Qgp(-co) ----. ч > ■__. *v. >JMc f

—- Q§P(a»/ - \Q?(co) \Q3((0)

-1,

1,2 -0,6 0 0,6

«--lg|(o| lg(co)-►

1,2

Рис. 6. Вещественные (Pэ (ю) и Pз (—ю)) и мнимые (О (ю) и О (—ю)) частотные характеристики эквивалентной АФЧХ Фэ ^ю) и их аппроксимации (Рэ (ю), Рэ (—ю), Оэ (ю), Оэ (—ю)), а также средние

мнимые (0эр(ю)) и их аппроксимации (Оэр (ю)) - для расфазировки

А = 20 °

Значения характеристик Рэ (ю) и Рэ (—ю) одного знака. Поэтому

можно полагать, что

1 a

himax £ 1,18 • a • - • (Рэ (w+m ) + Рэ № )) = 1,18 —

1,18a 2sin jз cos А

1

2

1,18a

л

+

sin j з sin j

з

wс cos 2А - cos 2 jз wс sin j'

r\

где, как и ранее, j3 = j3 (1 - v ), v =

_А_

j3

Оценка максимального отклонения Ь2тах в плоскости, перпендикулярной плоскости воздействия скачка скорости, по максимальным значениям средних мнимых характеристик Оэр (ю) и их аппроксимациям

1

1

Q(w), не представляется возможной вследствие того, что Q(w) и

Q эр (w) сравнимы по величине на интервалах их положительных и отрицательных значений.

Список литературы

1. Динамика двумерных систем автоматического регулирования / А.А. Казамаров [и др.]. М.: Наука, 1967. 308 с.

2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.

3. Морозов В.И. Связь точности теленаведения малогабаритных ракет с обобщенными параметрами системы управления // Фундаментальные основы баллистического проектирования: сб. мат. III Всерос. науч.-техн. конф. (Санкт-Петербург, 2-6 июля 2012 г.). СПб.: БГТУ, 2012. Т. 2. С. 62 - 65.

Морозов Владимир Иванович, канд. техн. наук, доц., заместитель начальника отделения и начальник отдела, kbkedr@tula.net, Россия, Тула, АО ««КБП»

METHODS EVALUATING TRANSIENT PERFORMANCE IN TWO-DIMENSIONAL SYSTEMS CONTROLLING SMALL-SIZE MISSILES REMOTELY

V.I. Morozov

The article deals with analytical evaluation of transient performance when the system is affected by a coordinate jump or a velocity jump. The analytical evaluations are found for idealized standard two-dimensional systems of small-size missiles remote automatic control.

Key words: two-dimensional remote control system, real and imaginary frequency responses, transient performance.

Morozov Vladimir Ivanovich, candidate of technical sciences, docent, Deputy Chief ofDivision and Chief of Section, kbkedr@,tula. net, Russia, Tula, JSC «KBP»