Решение систем линейных дифференциальных уравнений и расчет динамических характеристик систем управления в веб-сервисе MathPartner Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.688

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ В ВЕБ-СЕРВИСЕ МАТНРАШ^Е11.

© Г.И. Малашонок, М.А. Рыбаков

Ключевые слова: система линейных дифференциальных уравнений; система автоматического управления; передаточная функция; временные характеристики; частотные характеристики; преобразование Лапласа.

Обсуждаются алгоритмы нахождения символьно-численного решения неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и расчета динамических харакетристик систем автоматического управления, которые используются в веб-сервисе МаНаРаг^пег. Приводится описание языка пользователя Ма^раг в той части, которая позволяет использовать сервис для решения систем дифференциальных уравнений и для вычисления характеристик систем автоматического управления. Представляет интерес для специалистов в прикладных областях, которые используют решения систем дифференциальных уравнений и родственные задачи большого размера.

1 Введение

Веб-сервис МаЛРаг^пег предназначен для проведения символьных вычислений в инженерных расчетах, научных исследованиях и образовании. Он позволяет оперировать с функциями и функциональными матрицами, получать как точные численно-аналитические решения, так и решения, у которых числовые коэффициенты в аналитических выражениях имеют требуемую точность.

Одним из хорошо продвинутых здесь направлений является нахождение символьно-численного решения систем линейных дифференциальных уравнений и круг близких к нему задач.

Целью данной работы является обзор методов, которые используются в этом сервисе для символьного решения систем линейных дифференциальных уравнений и вычисления динамических характеристик систем автоматического управления, а также описание языка пользователя в той части, которая необходима для решения этих задач.

Во втором и третьем параграфе описываются виды систем дифференциальных уравнений, которые могут быть исследованы и решены, а также виды систем автоматического управления, исследование которых допускает текущая версия веб-сервиса.,

В четвертом параграфе представлены основные классы и составляющие их процедуры, которые входят в пакет алгоритмов laplaceTransform, предназначенный для решения указанных задач.

Последние два параграфа содержат описание языка пользователя Mathpar в той части, которая позволяет использовать сервис для решения систем дифференциальных уравнений и для вычисления характеристик систем автоматического управления.

2 Постановка задачи решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть задана неоднородная система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

п m

Dji(t)xi(t) = fiit), Djiit) = akji-JTk> 1 = •■•'m' e R, n, m G N, (1) j=1 k=0

где afcjj — действительные числа, /г(£), xt(t) — ограниченные на R+ функции, имеющие конечное число экстремумов и точек разрыва I рода и удовлетворяющие условиям: fi(t) ее 0 при t < 0, \fi(t)\ < MeSot при t > 0, где M > 0, s0 ^ 0 — некоторые действительные постоянные [1].

Систему (1) можно записать в матричном виде:

A(t)X(t) = F(t), (2)

где

A{t) = ( Dl3(t) ) ,X(t) = [x1(t),...,xn(t)]T, F(t) = [/1(i),...,/n(i)]T.

Для этой системы дифференциальных уравнений начальными условиями являются значения функций и их производных в нулевой момент времени:

®Î(0) = 4г, (3)

где к = 1,2..., m — 1 ,г — 1,2 ...,т,х^ G R.

При этом мы полагаем, что каждая функция /¿(£) в правой части может иметь в самом общем случае следующий вид:

п

fi(t) = ^Рцфе*"* sin^(ctijt) cos(Pijt)UnitStep{t, j=i

где aij, fa, , 5ij G R, ¡j,^, Uij G N, Pij(t) — многочлен переменной t и функция единичного скачка определяется так

UnitStepit, а) = < 6СЛИ \ ^

4 ' [0, если t ^ а.

Обычно для таких систем дифференциальных уравнений ставится задача поиска конкретного аналитического решения X(t) при заданных числовых значениях для

начальных условий (3). Она носит название «задачи Коши». Кроме этого можно решать задачу поиска общего решения, когда начальные условия являются произвольными параметрами, которые входят в решение. И первую, и вторую задачу можно попробовать решить с помощью веб-сервиса «МаШРаНпег».

3 Постановка задачи расчета динамических характеристик систем автоматического управления

Мы рассматриваем системы автоматического управления, которые описываются системами дифференциальных уравнений (2). Для описания таких систем необходимо в векторе решения системы дифференциальных уравнений выделить две части. Одна часть называется входными переменными U , а другая часть, либо получаемая из него линейная комбинация, — выходными переменными У. Если в системе дифференциальных уравнений зафиксированы входные переменные U, то она может быть записана в виде

АХ = BU + F, (4)

где X е R(t)n называют вектором состояния; U € R(t)m — вектором управляющих воздействий; Л и В — матрицами дифференциальных операторов.

Уравнения (4), в которых выделены входные переменные и переменные состояния, называются дифференциальными уравнениями состояния системы автоматического управления [2]. Выходными переменными объекта автоматического управления являются либо некоторые из переменных состояния, либо их некоторая линейная комбинация

Y = СХ, (5)

где Y G R(t)k — вектор выхода; С — в общем случае прямоугольная матрица коэффициентов. Уравнения (4) и (5) описывают объект автоматического регулирования.

В результате преобразования Лапласа к уравнениям (4) и (5) получим операторное уравнение, которое описывает поведение объекта автоматического регулирования:

У(р) = СА-\р)В{р)Х(р) + CA-'Fip). (6)

Поведение системы автоматического регулирования в переходном режиме принято характеризовать с помощью динамических характеристик. При этом используют следеующие основные динамические характеристики:

— передаточные функции;

— временные характеристики;

— частотные характеристики.

Передаточной функцией системы называется оператор, выражающий приращение изображения выходных переменных через приращение изображения входных переменных:

К(р) = СА(р)~1В(р) (7)

Статический коэффициент усиления — это коэффициент усиления в установившемся режиме (при t —> сю или р —» 0), он равен

К(0) = lim К(р). (8)

р">0 519

Временной характеристикой системы называется закон изменения выходной величины при изменении входного воздействия. Временные характеристики определяются как реакция системы на типовые воздействия при нулевых начальных условиях. К основным временным характеристикам относятся переходная функция и функция веса.

Переходная функция h(t) — это реакция системы на единичное воздействие при нулевых начальных условиях. При этом связь между передаточной и переходной функцией имеет вид:

h(t) = L~^]. (9)

Весовая функция k(t) — это реакция системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях. При этом связь между передаточной и весовой функцией имеет вид:

k{t) = L-x[K(p)\, (10)

т.е. весовая функция является оригиналом функции, преобразование Лапласа для которой будет передаточной функцией [3].

Связь между переходной и весовой функцией имеет вид:

k(t) = h'(t). (11)

Частотные характеристики определяются как реакция системы на гармоническое типовое воздействие при нулевых начальных условиях.

Если выполнить подстановку р = jw в передаточной функции системы, то получим комплексную передаточную функцию

K{ju) = K{p)\\p=ju. (12)

В зависимости от числа переменных выделяют: одноканальные системы автоматического управления — объекты, в которых есть только одна выходная переменная (т=1), и многоканальные системы автоматического управления — объекты, в которых число выходных переменных больше одного (т>1).

В литературе по многоканальным системам автоматического управления наиболее популярной формой является один частный случай, когда (4) является следующей системой дифференциальных уравнений первого порядка [2]:

(1^-+А)х = Ви, (13)

at

где А и В — числовые матрицы коэффициентов.

4 Одноканальные системы автоматического управления

Другой распространенной формой систем автоматического управления являются системы, которые описываются одним дифференциальным уравнением вида:

+ 01 + - + ^ = + + - + (14)

где aj и bi —числовые параметры системы, п — порядок системы.

Для получения решения уравнения (6) необходимо задать начальные условия в момент времени t = 0: у(0) = у0; У (0) = у0,..., у(п-1)(0) = .

В веб-сервисе MathPartner сегодня можно вычислять динамические характеристики для одноканальных систем автоматического регулирования, которые описываются уравнением (19).

Для этого случая получим динамические характеристики: Передаточную функцию

К( ) = у{р) -- b°Pm + blPm~1 + -+brn = В{р) х(р) а0рп + ахрп~1 + ... + ап А(р)'

Статический коэффициент усиления: К(0) = ^ . Переходную функцию:

h(t) = L(16)

Весовую функцию:

k(t) = L-1[K(p)]. (17)

Частотные характеристики:

к(= b0(ju)m + b1(jcu)m-1 + ... + bm = Aoute^t+^ ^J(jJ> a0(ju)n + al(ju)n~1 -I- ... + an Aine^t+^) '

K(jw) = ^Le^out-<Pin) = А(и)еМш) = P(u) + jQ(u), (19)

A.*,

Hn

An

А(ш) = \K{ju)\ = ^P2H + Q2H = (20)

•'нп

<р(ш) = argK(ju) = arctg^\ = <рout - <pin. (21)

При изменении частоты 0 ^ ш ^ +оо получим следующие частотные характеристики:

K(jui) — АФХ — амплитудно-фазовая частотная характеристика; P(td) — ВЧХ — вещественная частотная характеристика; Q(u>) — МЧХ — мнимая частотная характеристика; А(ш) — АЧХ — амплитудно-частотная характеристика; <р(ш) — ФЧХ — фазовая частотная характеристика.

Частотные характеристики могут быть выражены через коэффициенты полиномов передаточной функции:

к(.) = + + + ^ = aM+jfrH

U ao(juj)n + ai(juj)n~x + ... + an c(w) + jd(u) '

. ас + Ьс1 . Ьс — ас1 .. . а2 + Ь2

Кроме обычных еще используют логарифмические частотные характеристики. При этом натуральная логарифмическая амплитудная и фазовая частотные характеристики определяются из соотношений:

ln[K(ju)] = ln[A( w)] + <р(и).

(24)

На практике часто используют десятичные логарифмы. При этом логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) строится в логарифмическом масштабе частот и определяется соотношением [3]:

Этот пакет алгоритмов состоит из четырех основных классов. Приведем краткое описание этих классов.

5.1 Класс SystemLDE

Этот класс включает в себя процедуры, предназначенные для решения систем дифференциальных уравнений.

Процедура systDifEquationToMatrix вычисляет полиномиальную матрицу Л(р) для системы (1), применяя прямое преобразование Лапласа к левой части системы (1).

Процедура initCondLaplaceTransf orm вычисляет вектор-функцию В(р), которая получается в результате применения прямого преобразования Лапласа к начальным условиям.

Процедура primeFractionsForSingle предназначена для разложения дроби 1 / f(p) с факторизованным знаменателем f(p) в сумму простых дробей. Числители этих дробей находятся методом неопределенных коэффициентов.

Процедура primeFractionsForSum раскладывает сумму дробей V/»(p) с

факторизованными знаменателями /, (р) в сумму простых дробей.

5.2 Класс LaplaceTransform

Этот класс включает в себя процедуры, предназначенные для вычисления прямого преобразования Лапласа. Главная процедура этого класса vectorLaplaceTransform вычисляет прямое преобразования Лапласа правой части системы (1).

5.3 Класс InverseLaplaceTransform

Этот класс включает в себя процедуры, предназначенные для вычисления обратного преобразования Лапласа. Главная процедура vectorlnverseLaplaceTransform вычисляет обратное преобразование Лапласа для вектор-функции Х(р) ■ Это последний шаг алгоритма решения системы (1).

L(u>) = 201дА(ш).

(25)

5 Пакет алгоритмов laplace Transform

5.4 Класс dynamicProperties

Класс dynamicProperties включает в себя процедуры, предназначенные для расчета характеристик систем автоматического управления.

Процедура solveTransf erFunction вычисляет передаточную функцию САУ, применяя прямое преобразование Лапласа ко входу и выходу САУ.

Процедура solveTimeResponse вычисляет временные характеристики САУ: переходную функцию и функцию веса.

Процедура solveFrequenceResponse вычисляет частотные характеристики САУ: амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ), амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), фазовую частотную характеристику (ФЧХ), логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ).

Процедура solveReAndlmFrequenceResponse вычисляет вещественную частотную характеристику (ВЧХ) и мнимую частотную характеристику (МЧХ).

Процедура solveStaticGain вычисляет статический коэффициент усиления.

5.5 Другие используемые пакеты

Алгоритмы, которые реализованы в пакете laplaceTransform, опираются на пакеты number, matrix, polynom, june.

Пакет number предназначен для задания числовых множеств и операций над ними. Кроме того, в пакете number имеются два специализированных класса — Product и SumOfProducts. Класс Product включает в себя процедуры, предназначенные для операций над объектами вида: Пг а"*, где n,i £ N, ct"¿ — скалярный объект (число, полином, функция). Все элементы в произведении упорядочены. Класс SumOfProducts включает в себя процедуры, предназначенные для операций над объектами вида: J^jYli0^]3 ■ Процедура primeFract ions класса SumOfProducts производит разложение произведений Product в сумму простых дробей. Процедура jointExpPolSort упрощает и сортирует слагаемыми Product в суммах SumOfProducts.

Пакет matrix предназначен для операций над числовыми и функциональными матрицами. Процедура matrixAdjointDet пакета matrix позволяет вычислить определитель и присоединенную матрицу для матрицы полиномов. Процедура solveLAE вычисляет решение системы линейных алгебраических уравнений.

Пакет polynom предназначен для операций над полиномами. Процедура factorüfPol раскладывает полином одной переменной на множители в поле комплексных чисел.

Пакет func предназначен для выполнения различных операций над композициями трансцендентных и рациональных функций.

6 Решение систем дифференциальных уравнений

Для решения неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами необходимо задать:

1) пространство переменных ( SPACE);

2) систему уравнений (systLDE);

3) начальные условия (initCond);

4) оператор решения (solveLDE).

Пространство переменных определяется числовым множеством и именами переменных, например, « SPACE = i?64[x, у, z] ». В этом случае будет задано пространство трех переменных над действительными числами, которые используют 64-разрядные машинные слова.

Кроме того, можно использовать вспомогательные средства системы MathPartner, такие как команда настройки окружения « FLO AT PO S = n », которая устанавливает число десятичных знаков после запятой ( п ), которые должны появиться при выводе числового результата приближенных вычислений.

Если задано пространство « SPACE = J?[ж, у, z] », то можно еще использовать команду « ACCURACY = m », которая устанавливает число точных десятичных позиций после запятой ( m ), которые сохраняются во всех арифметических операциях. Для хранения таких чисел в оперативной памяти может использоваться любое необходимое число байт. Пример 1.

Решить систему уравнений:

Г x"(t) + y'(t) = sh(t) - sin(t) - t, \ y"(t) + x'(t) = ch(t) - cos(t)

с начальными условиями: x(0) = 0; ж'(0) = 2; y(0) = 1; y'(0) = 0.

Эта задача на языке Mathpar записывается так: SPACE = Д64[г];

g = \systLDE(\d(x, t, 2) + \d{y, t) = \sh{t) - \sin{t) -1, \d(y, t, 2) + \d(x, t) = \ch(t) -\cos(£));

/ = \initCond(\d(x, t, 0,0) = 0, \d(x, t, 0,1) = 2, \d(y, t, 0,0) = 1, \d{y, t, 0,1) = 0);

h = \solveLDE(g, /);

\print(h)]

Результатом решения будет:

SPACE = #64 [i];

x" + y't = sh(t) - sin(i) - t, y? + x[ = ch(i)-cos(i).

fXt=о = o, xt=0 =

out:

f=<

Vt=о = 1,

Ы=о = 0.

h = solveLDE (gj)-print (/i);

\xt = ¿ + 0.5е4 -0.5е-(, I yt = (-i2/2) + 0.5ей + 0.5e_it.

Пример 2. 524

Решить систему уравнений:

( x'(t)=y(t)-z(t), y'(t)=x(t) + y(t), k z'(t) = x(t) + z(t)

с начальными условиями: x(0) = a; y(0) = b; 2(0) = c.

Эта задача на языке Mathpar записывается так: SPACE = Д64[£];

д = \systLDE(\d(x, t) - у + 2 = 0, -х - у + \d(y, t) = 0, -х - z + \d(z, t) = 0); / = \initCond(\d(x, t, 0,0) = a, \d{y, t, 0,0) = b, \d(z, t, 0,0) = c); h = \solveLDE(g, /); \print(h);

Результатом решения будет:

= Я64ОД;

zj - yt + = 0, 9 = { -xt - to + y't = -xt - zt + z't = 0.

xt=o = a, f = Vt=0 = b, k 2t=o = c.

h = solveLDE (3,/);

print (/г);

out:

'xt = -6 + с + a + (b + (-c))e\ yt = -c+ (-a) + b + (c + a)eL + (-c + b)eH, zt = b+ (-a) + (-c) + (-6 + a + 2с)е* + (6 + (~c))eH.

7 Расчет динамических характеристик систем автоматического управления

Пусть объект описывается дифференциальным уравнением у" (t) + 2у'(t) — 3x(t),y(0) = у (0) = 0. Будем рассчитывать для него динамические характеристики. Пример 1.

Для нахождения передаточной функции системы необходимо выполнить следующие шаги.

1. Задать пространство переменных (SPACE).

2. Задать уравнение входа — правую часть уравнения.

3. Задать уравнение выхода — левую часть уравнения.

4. Вычислить передаточную функцию (solveTransferFunction).

5. Изобразить график передаточной функции (plot).

Пример записи задания на языке Mathpar: SPACE = Д64[*]; f = \d(y,t,2) + 2\d(y,t)-, д = 3z;

h = \solveTransferFunction(g, /); \print{h)\

p = \plot(h, [-10,10, -10,10],'pY W{p)'y)\

Результатом решения будет: SPACE = Д64Й; f = y"(t) + 2y'(ty, g = 3x;

h = solve Transfer Function^, /); print (/i);

p = plot(h, [-10,10, -10,10],V/ W(p)',")-out:

h = [3.0/(i2 + 2.0i)].

Построить i загрузить 3 l| • j 3 i

Список графиков:

Передаточная функция

W(p)

10 •I I.........

Jo 1 1 • ■ i / ■ ^ it 1

•10

Рис. 1. Передаточная функция W{jp)

Остальные динамические характеристики получаются аналогично. Пример 2.

Временные характеристики объекта (переходная функция и функция веса) вычисляются с помощью функции solveTimeResponse.

Нужно ввести: h = \solveTimeResponse(g, /); \print(h);

р = \Piot(h, [-Ю, ю, -ю, ю],у/ед, %)'.");

В результате будет: h = solveTimeResponse(<7, /); print (/г);

р = plot(h, [-10,10, -10,10],У/ к{р), Л(р)',"); out:

h = [4.5e2 0i - 4.5, -0.75 - 1.51 + 0.75e2i];

526

Рис. 2. Временные характеристики к(р) , h(p)

Пример 3.

Частотные характеристики вычисляются с помощью функции solveFr equenceResp onse:

SPACE = Д64[*]; f = \d(y,t,2) + 2\d{y,t)i g = Зж;

h = \solveFrequenceResponse(g, /); SPACE = RM[j,p\] \print(h);

В результате будет получено: h = solveFrequenceResponse((7, /); SPACE = R6A[j,p]-, print (h)]

out: _

h = [3.0/(pV + 2.0pj), у/9.0/(p4 + 4.Op2), arctg(v/27^),20.01g(x/9.0/(p4 + 4.0p2))];

8 Заключение

Мы привели описание текущего состояния одного из пакетов алгоритмов веб-сервиса МаЛРайпег. Этот пакет предназначен для нахождения общего и частного решений неоднородных систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и для расчета динамических характеристик одноканальных систем автоматического управления. Мы подробно описали язык пользователя, привели примеры, которые позволяют использовать веб-сервис для решения данных задач.

Предполагается, что в дальнейшем возможности данного пакете будут расширены и появится возможность вести расчет для многоканальных систем автоматического управления.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рыбаков М.А. О нахождении общего и частного решений неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Тамбов, 2012. Том 17. Вып. 2. С. 552-565.

2. Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. Т. 5: Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М.: Эдиториал УРСС, 2001.

3. Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического регулирования: учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006.

4. Ван-дер Поль В., Бремер X. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. М.: ИЛ, 1952.

5. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. СПб.: Профессия, 2003.

6. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразованию Лапласа. М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1965.

7. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1974.

8. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979.

9. Малашонок Г. И. Компьютерная математика для вычислительной сети // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Том 15. Вып. 1. С. 322-327.

10. Минусинский Я. Операторное исчисление. М.: ИЛ, 1956.

11. Рыбаков М.А. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Том 14. Вып. 4. С. 791-792.

12. Рыбаков М.А. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерыв-ными правыми частями с помощью преобразования Лапласа // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Том 15. Вып. 1. С. 339-341.

13. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. С предисловием Луи Де Бройля. М.: Наука, 1964.

14. Старков В.Н. Операционное исчисление и его применения: учебное пособие. СПб.: Изд-во. СПбГУ, 2000.

15. Шостак Р.Я. Операционное исчисление. Краткий курс. Изд. 2-е, доп. Учебное пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1972.

16. Malaschonok G.I. Project of Parallel Computer Algebra // Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2010. V. 15. Issue. 6. P. 1724-1729.

17. Malaschonok N.A. An Algorithm for Symbolic Solving of Differential Equations and Estimation of Accuracy // Computer Algebra in Scientific Computing. LNCS 5743. Berlin: Springer, 2009. P. 213-225.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 12-07-00755-а.

Поступила в редакцию 25 декабря 2013 г.

Malaschonok G.I, Rybakov М.А. SOLVING SYSTEMS OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS AND CALCULATION OF DYNAMIC CHARACTERISTICS OF CONTROL SYSTEMS IN A WEB SERVICE MATHPARTNER.

We discuss algorithms for finding symbolic-numerical solution of the inhomogeneous system of ordinary differential equations with constant coefficients and calculation of dynamic characteristics of automatic control systems, which are used in the web service MathPartner.

528

We describe the user's language Mathpar in the part that allows you to use this service for solving systems of differential equations and to calculate the characteristics of control systems.

This work is of interest to professionals in applied fields that need to use solutions of systems of differential equations and related problems of large size.

Key words: system of linear differential equations; automatic control system; transfer function; timing; frequency response; Laplace transform.

Малашонок Геннадий Иванович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа, e-mail: [email protected].

Malaschonok Gennadi Ivanovich Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Mathematical Analysis Department, e-mail: malaschonok@gmail. com.

Рыбаков Михаил Анатольевич, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, ассистент кафедры математического анализа, e-mail: [email protected].

Rybakov Mikhail Anatolyevich Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Assistant Professor of Mathematical Analysis Department, e-mail: [email protected].