CC BY
14
УДК 519.716.32+519.854 DOI 10.17223/2226308X/10/5
РАЗРЯДНО-ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ПОДСТАНОВОК
НАД КОЛЬЦОМ ГАЛУА
М. В. Заец
Рассматривается новый способ построения подстановок над кольцом Галуа, использующий функции с вариационно-разрядной полиномиальностью. Класс функций с вариационно-разрядной полиномиальностью над различными кольцами определялся ранее автором. Особенность данного класса в том, что он содержит класс полиномиальных функций и при определённых условиях не совпадает с ним. В данной работе обобщаются критерий биективности полиномиальной вектор-функции и критерий подстановочности полиномиальной функции. Представленные результаты позволяют, в частности, строить неполиномиальные п-квазигруппы.
Ключевые слова: подстановки, п-квазигруппы, биективные вектор-функции, функции с вариационно-разрядной полиномиальностью, разрядное множество, кольцо Галуа.
Кольцом Галуа называется конечное коммутативное локальное кольцо R = = GR(qm,pm), нильрадикал J(R) которого имеет вид pR, где p = char R и R = = R/J(R) = GF(q) —поле вычетов данного кольца [1]. При этом char R = pm, |R| = qm и m = ind J(R), m E N, — индекс нильпотентности нильрадикала J(R). Подмножество B = {bo = 0,...,bq-1} С R называется разрядным множеством кольца R, если его элементы образуют полную систему вычетов по нильрадикалу J(R). В таком случае любой элемент a E R однозначно представляется в виде
a = a(0) + p ■ a(1) + ••• + pm-1 ■ a(m-1), a(i) E B, г = 0,...,m - 1,
называемом разложением элемента a в разрядном множестве B. Функции Kf: R ^-B, определяемые по правилу Kf(a) = a(i), г = 0,... , m — 1, называются разрядными функциями в разрядном множестве B, а элементы a(i) = Kf(a) —разрядами г-го порядка элемента a в разрядном множестве B.
Обозначим через PR(n) класс всех полиномиальных функций от n переменных над кольцом Галуа R = GR(qm,pm).
Определение 1. Функцию f (x): Rn ^ R, R = GR(qm,pm), m > 1, назовём вариационно-разрядно полиномиальной (ВРП-функцией) в разрядном множестве B, если для любого г E {0,...,m — 1} существует полиномиальная функция pi(x) E E VR(n), такая, что Kf (f (a)) = Kf (p»(a)) при всех a E Rn. При этом многочлен p^(x), г = 0,... , m — 1, будем называть г-м разрядным многочленом функции f (x).
Класс всех ВРП-функций от n переменных над кольцом R в разрядном множестве B обозначим через DVR(n). Свойства данного класса над различными кольцами описаны автором в [2-4]. В частности, имеет место следующая
Теорема 1. Справедливы утверждения:
1) если R = GR(q2,p2), то Vr(n) = DVR(n);
2) если R = GR(qm,pm), m ^ 3, то Vr(r) С DVR(n).
(df df \ df
Пусть f (x) E R[x], обозначим gradf (x) = I ——(x),... , —— (x) I, где —— (x) — фор-
\ dXi dXn / dxi
мальная частная производная многочлена f (x) по переменной Xi, г = 1,... , n. Если
18
Прикладная дискретная математика. Приложение
( grad fi(x) \
/i(x),... , /t(x) G R[x], то матрица J/b...,/t (x) = . называется матрицей
\ grad ft(x) /
Якоби системы многочленов, а её определитель (при t = n) |J/b...,/„ (x)| —якобианом. Следующая теорема обобщает известный из [5] результат о биективности полиномиальной вектор-функции, а также результат о биективности ВРП-вектор-функции, полученный ранее автором в [6], со случая примарного кольца вычетов и p-ичного разрядного множества на случай произвольного кольца Галуа и его разрядного множества.
Теорема 2. Вектор-функция F(x) = (/1(x),... ,/n(x)): Rn ^ Rn, где / G G DPR(n), является биекцией тогда и только тогда, когда одновременно выполняются следующие условия:
1) (p01(x(0)),... ,p0n(x(0))) (mod J(R)): Bn ^ Bn является биекцией;
2) для любого j = 1,..., m — 1 якобиан \ JPj1,...,Pjn(x(0))\ ф 0 (mod J(R)) при всех x(0) G Bn,
где Pji(x) — j-й разрядный многочлен функции /¿(x), j = 0,... , m — 1, i = 1,... , n, и x(0) = (x10),...,xn0)).
Получим отсюда следствие — обобщение результата о биективности полиномиальной функции [7].
Следствие 1. ВРП-функция /(x) G DPR(1) с разрядными многочленами p0(x), ... , pm-1(x) задаёт подстановку кольца R тогда и только тогда, когда одновременно выполняются следующие условия:
1) p0(x(0)) (mod J(R)) задает подстановку на B;
dp *
2) для любого j G {1,... , m — 1} частная производная (x(0)) ф 0 (mod J(R))
dx
при всех x(0) G B.
Напомним [8], что пара (Q,/), где /: Qn ^ Q и Q — конечное множество, называется n-квазигруппой (или n-арной квазигруппой), если унарная операция, полученная фиксацией всех аргументов операции /, кроме одного, любыми значениями из Q, является биекцией (такая унарная операция называется элементарной трансляцией). Иногда n-квазигруппой называют саму функцию /. При n =1 n-квазигруппа — это подстановка элементов Q. Если Q — кольцо и функция / является полиномиальной над Q, то такая квазигруппа также называется полиномиальной. Дадим критерий того, что ВРП-функция над кольцом Галуа задаёт n-квазигруппу. Соответственно такую n-квазигруппу будем называть ВРП n-квазигруппой.
Теорема 3. Функция /(x) G DPR(n) с разрядными многочленами p0(x),..., pm-1(x) задаёт n-квазигруппу на кольце R тогда и только тогда, когда одновременно выполняются следующие условия:
1) p0(x) (mod J (R)) задает n-квазигруппу на B;
2) для любого j G {1,... , m — 1} gradpj(a) (mod J(R)) не содержит нулевых координат при любом a G Bn.
Следствие 2. Свойство ВРП-функции /(x) G DPR(n) с разрядными многочленами p0(x),... ,pm-1(x) задавать подстановку или n-квазигруппу инвариантно относительно выбора разрядного множества B.
Следствие 2 означает, что свойство ВРП-функции задавать подстановку или n-ква-зигруппу зависит лишь от разрядных многочленов, а не от выбора разрядного множества B, относительно которого рассматривается такая функция. Это позволяет строить различные подстановки и ВРП n-квазигруппы, используя одни и те же разрядные многочлены, но разные разрядные множества.
ЛИТЕРАТУРА
1. Елизаров В. П. Конечные кольца. М.: Гелиос-АРВ, 2006.
2. Заец М. В. О классе вариационно-координатно полиномиальных функций над примар-ным кольцом вычетов // Прикладная дискретная математика. 2014. №3. С. 12-28.
3. Заец М. В., Никонов В. Г., Шишков А. Б. Класс функций с вариационно-координатной полиномиальностью над кольцом Z2m и его обобщение // Матем. вопросы криптографии. 2013. Т. 4. №3. С. 19-45.
4. Заец М. В. Классы полиномиальных и вариационно-координатно полиномиальных функций над кольцом Галуа // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2013. №6. C. 13-15.
5. Lausch H. and Nobauer W. Algebra of polynomials. Amsterdam: North-Holl. Publ. Co, 1973.
6. Заец М. В. Построение подстановок с использованием вариационно-координатно полиномиальных функций над примарным кольцом вычетов // Матем. вопросы криптографии. 2015. Т. 6. №1. С. 5-32.
7. Нечаев А. А. Полиномиальные преобразования конечных коммутативных локальных колец главных идеалов // Матем. заметки. 1980. Т. 27. Вып. 6. C. 885-899.
8. Белоусов В. Д. n-Арные квазигруппы. Кишинев: Штиинца, 1972.
УДК 519.688 DOI 10.17223/2226308X/10/6
О ГРАФЕ КЭЛИ ОДНОЙ ПОДГРУППЫ БЕРНСАЙДОВОЙ ГРУППЫ B0(2, 5)1
А. А. Кузнецов, А. С. Кузнецова
Пусть 2, 5) — максимальная конечная двупорожденная бернсайдова группа периода 5, порядок которой равен 534. Определим автоморфизм p, при котором каждый порождающий элемент отображается в другой порождающий. Пусть CBo(2,5)(p) — централизатор p в B0(2, 5). Известно, что |CBo(2,5)(p)| = 517. В работе вычислена функция роста данного централизатора для минимального порождающего множества. В результате получены диаметр и средний диаметр соответствующего графа Кэли Cb0(2,5)(p).
Ключевые слова: функция роста группы, граф Кэли, группа Бернсайда.
Одним из важных инструментов для определения строения группы является изучение её роста относительно фиксированного порождающего множества. Пусть G = (X). Шаром Ks радиуса s группы G будем называть множество всех её элементов, которые могут быть представлены в виде групповых слов в алфавите X длиною, не превышающей s. Для каждого целого неотрицательного s можно определить функцию роста группы F(s), которая равна числу элементов группы G относительно X, представимых в виде несократимых групповых слов длиною s. Таким образом,
F(0) = K = 1, F(s) = |Ks| — |Ks-1| при s G N.
1 Работа поддержана РФФИ и Правительством Красноярского края (проект № 17-47-240318).
