CC BY
31
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2014 Теоретические основы прикладной дискретной математики №3(25)
УДК 519.716.32+519.854
О КЛАССЕ ВАРИАЦИОННО-КООРДИНАТНО-ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ НАД ПРИМАРНЫМ КОЛЬЦОМ ВЫЧЕТОВ1
М. В. Заец ФГУП НИИ «КВАНТ», г. Москва, Россия
E-mail: [email protected]
Работа посвящена изучению нового класса функций над примарным кольцом вычетов, который получил название класса функций с вариационно-координатной полиномиальностью. Этот класс обобщает класс полиномиальных функций и наряду с ним обладает тем свойством, что системы уравнений, составленные из таких функций, могут быть решены методом покоординатной линеаризации.
Ключевые слова: примарное кольцо вычетов, полиномиальные функции, формальные производные, системы уравнений, ВКП-функции.
Введение
Известно, что системы полиномиальных уравнений над кольцом Галуа — Эйзенштейна (т. е. конечным коммутативным цепным кольцом) могут быть решены методом покоординатной линеаризации [1]. Частным случаем такого кольца является примарное кольцо вычетов Zpm, m Е N. Суть рассматриваемого метода над Zpm заключается в последовательном нахождении p-ичных координат неизвестных переменных, при этом нахождение (i + 1)-х координат при известных координатах меньшего порядка сводится к решению системы линейных уравнений над полем GF(p). В работе [2] показано, что класс функций над кольцом вычетов Z2m, обладающий таким свойством, шире класса полиномиальных при m ^ 3. Построенный класс назван классом «ва-риационно-координатно-полиномиальных функций» (ВКП-функций). Данная работа продолжает изучение ВКП-функций и обобщает результаты, полученные ранее в [2, 3], на произвольное кольцо вычетов Zpm.
1. Свойства полиномиальных функций над Zpm
Сформулируем и докажем некоторые свойства полиномиальных и треугольных функций над примарным кольцом вычетов, которые необходимы для описания свойств ВКП-функций. Напомним, что функция называется полиномиальной над кольцом вычетов Zfc, k > 1, если она представима формулой над классом {x\x2, x1+x2,1}, или, что то же самое, представима некоторым многочленом из Z&[xi,... ,xn]. Обозначим класс всех полиномиальных функций от n Е N переменных над кольцом Z& через Pk (n). Договоримся функции от переменных x1,... ,xn записывать кратко f (x), класс всех функций от n переменных над кольцом вычетов Z& обозначим F (n). При этом равенства f (x) = g(x) или сравнения вида f (x) = g(x) (mod pj) будем понимать соответственно как равенство и сравнение, выполнимые при всех x. Всюду далее считаем, если не оговорено иное, что m, n — произвольные натуральные числа и m > 1.
Любой элемент a примарного кольца вычетов Zpm, где m Е N,m > 1, можно однозначно представить в виде
a = a(0) + pa(1) + ... + pm-1a(m-1), j = 0,..., m - 1,
1 Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (НШ №6260.2012.10).
где а3) Е В = {0,... , р — 1} С Ърт, называемом разложением элемента а в р-ичном координатном множестве В. Отображения
73-: ^ В, 73-(а) = а3), = 0,..., т — 1,
называются координатными функциями в координатном множестве В, а элементы а^ = 7^ (а) Е В — координатами ^-го порядка элемента а в координатном множестве В. В частности, любой вектор х = (ж1,... , жп) Е однозначно представляется в виде суммы
х = х(0) + рх(1) + ... + рт-1х(т-1),
где х(3) = (ж3),... , жП3)) Е Вп. Если ввести на В операции сложения ф и умножения ® по правилу
а ф Ь = 70(а + Ь), а ® Ь = 70(а ■ Ь), а,Ь ЕВ, то алгебра (В, ф, ®) = Zpm /рЪрт = ОЕ(р) будет являться полем из р элементов.
Определение 1. Для функции f (х) Е Тр™. (и) и ] Е {0,... ,т — 1} отображение 73-f: ^П™ ^ В, определяемое по правилу
1з f (а) = 7?(f (а))
для всех а Е , будем называть её ]-й координатной функцией или ]-м координатным отображением.
Другими словами, если f (х) Е Трт (п), то она представима в виде суммы
т— 1
f (х) = 5— р3 7з f (х).
3=0
При этом любую координатную функцию 73f, ] = 0,... ,т — 1, можно рассматривать в то же время как функцию 73f: Впт ^ В от ит переменных над полем В, в роли которых выступают координаты х(0),..., х(т—1), при этом в таком случае будем предполагать, что координаты переменных расположены в указанном порядке, т. е. 73f = 73f (х(0),... , х(т—1)). А следовательно, любая такая координатная функция может быть представлена многочленом над полем В от указанных переменных [4].
Определение 2. Функцию f (х) Е (и) будем называть Т-функцией, или треугольной функцией, если для любого ] Е {0,... , т — 1} её ]-я координатная функция зависит только от координат переменных х(0),... ,х(3), т.е. если f (х) имеет вид
т— 1
f(x)= Е РYjf(x(0),...,x(j))
i=0
Примерами треугольных функций над кольцом Zpm являются полиномиальные функции. Для объяснения данного факта потребуется ввести еще несколько определений.
Определение 3. Будем говорить, что наборы целых чисел а = (ai,...,an) и в = (b1,..., bn) сравнимы по модулю d (или а = в (mod d)), если ai = bi (mod d) для всех i Е {1,..., n}.
Определение 4. Функция f (x) Е Fpm (n) сохраняет отношение сравнимости по модулю d | pm, если на сравнимых по модулю d наборах она принимает сравнимые значения по модулю d.
Обозначим через Т>рт (п) класс всех функций над Жрт от п переменных, сохраняющих отношение сравнимости по любому делителю рт, или, что то же самое, сохраняющих любую конгруэнцию кольца Zpm. Из простейших свойств сравнений следует, что любая полиномиальная функция f (х) Е Ррт (п) сохраняет отношение сравнимости по любому делителю рт, и поэтому справедливо включение Ррт (п) С Т>рт (п).
Следующая теорема устанавливает связь между классом треугольных функций и классом Т>рт (п). Её доказательство несложно получить, используя работу [5].
Теорема 1. Пусть f (х) Е Трт (п). Равносильны следующие утверждения:
1) f (х) Е^рт(п);
2) f (х) является Т-функцией.
Таким образом, классы треугольных функций и функций, сохраняющих отношение сравнимости по любому делителю рт, совпадают. Отсюда следует, что полиномиальные функции являются треугольными.
Пусть f (х) Е Zpm [¡л,... , хп]. Полиномиальную вектор-функцию grad f (х) =
^ , ч ^ , Л ^ .. . ^ , .
(х),...,—— (хм будем называть градиентом многочлена /(х), где —— (х) —
dx1 dxn J dx
формальная частная производная многочлена f(x) по переменной x,, i = Следующая теорема является основной для дальнейших рассуждений.
Теорема 2 (формула Тейлора [1]). Для любого многочлена f (x) Е Zpm [x1,..., xn] и любых j Е {1,..., m — 1}, h = (h1,..., hn) Е Z^ справедливо сравнение
f (x + p7 h) = f (x) + pjgrad f (x) ■ h (mod p+1), (1)
n df
где grad f (x) ■ h = ^ — (x)hj.
i=i dxi
Теорему 2 можно в некотором смысле уточнить. Пусть grad f (x) —градиент многочлена f (x) Е Zpm [x1,... , xn]. Приведём каждую его компоненту (формальную частную производную) по модулю p. Тогда в силу свойств многочленов получим полиномиальную вектор-функцию над полем B от переменных x(0):
grad f (x) = grad f (x(0)) (mod p).
В дальнейшем будем её обозначать grad f (x) (mod p). Докажем простое следствие.
Следствие 1. Для любого многочлена f (x) Е Zpm [x1,... , xn] и любых j Е {1,... , m — 1}, h = (h1,..., hn) Е справедливо сравнение
f (x + p7h) = f (x) + p7grad f (x(0)) ■ h(0) (mod p7+1), (2)
где grad f (x(0)) ■ h(0) = ^ — (x
(0))h(0).
i=1 dxi
df
Доказательство. Достаточно воспользоваться формулой 1 и тем, что —— (x)
dx,
является также многочленом, а значит, —-f- (x)h, = -d-f (x(0))h(0) (mod p), откуда и следует сравнение p7grad f (x) ■ h = p7grad f (x(0)) ■ h(0) (mod pj+1). ■ Лемма 1. Если a = x + p7y, где x, y Е Zpm и j Е {0,..., m — 1}, то
Yj(a) = Yj(x) ® Y0(y).
Доказательство. Легко видеть, что Yj(a) = Yj(x + PjУ) = Yj(x + Pj(Yo(y) + PYi(y) + • • • + Pm-1Ym-i(y))) = Yj(x) © 7o(y)- ■ Теперь, если применить результаты леммы 1 к следствию 1, получим ещё одно Следствие 2. Для любого многочлена f (x) Е Zpm [x1, • • • , xn] и любых j Е {1, • • • , m — 1}, h = (h1, • • •, hn) Е Zyn справедливо сравнение
Yj f (x + p h) = Yj f (x) + grad f (x(0)) ■ h(0) (mod p) (3)
Обозначим через 6i = (^д, • • • , ^,n) Е Bn, i Е {l^^n}, вектор, i-я компонента которого равна 1, а остальные равны 0 (^j — символ Кронекера). Используем сравнение (3) при h =
Yjf (x + pj6<) = Yjf (x) + ddf (x(0)) (mod p)
Отсюда
Следовательно, если x = x(0), то
f(x(0)) = Yjf (x + pj6i) — Yjf (x) (mod p)
(0)
f (x(0)) = Yjf (x(0) + pj6i) — Yjf (x(0)) (mod p) (4)
Как видно, в полученном сравнении левая часть не зависит от j и оно выполняется при всех j Е {1, • • •, m — 1}. Это доказывает следующее важное утверждение.
Утверждение 1. Для любой полиномиальной функции f (x) Е Ppm (n) и лю-
dg
бого i Е {^•••М значение формальной частной производной —— (x(0)) (mod p) не
dXi
зависит от представляющего f(x) многочлена g(x) Е Zpm[x^^^xj и для любого j Е {1, • • •, m — 1} верно сравнение (4).
Теперь, если подставить сравнение (4) в (3), получим
n
Yjf (x + pjh) = Yjf (x) + E (Yjf (x(0) + pj6i) — Yjf (x(0))) h(0) (mod p)
i=1
Таким образом, переходя к равенству в поле B, докажем следующую теорему.
Теорема 3. Для любой полиномиальной функции f (x) Е Ppm (n) и любых j Е Е {1, • • •, m — 1}, h = (h1, • • •, hn) Е Zyn справедливо равенство
Yjf (x + pjh) = Yjf (x) © £ (Yjf (x(0) + p6i) 0 Yjf (x(0))) ® h(0),
i=1
где = (^¿,1,... , ), г Е {1,... , п}; 0 — операция взятия противоположного элемента в аддитивной группе поля В.
Из теоремы 3 вытекает, что для любой полиномиальной функции f (х) значение 73f(х + рЬ), Ь = (^1,...,^га) Е , можно вычислить, зная значения 73f(х) и 73f (х(0) + р6^) 0 7зf (х(0)), г = 1,... , п. Это приводит к следующему утверждению.
Утверждение 2. Если функция f (х) Е Ррт (п), то её -я координатная функция 7зf (х(0),... , х(3)) : В""-7 ^ В, Е {1,...,т — 1}, однозначно определяется по значениям на множестве {0,... ,р3 — 1}п и значениям 73f (6 + р6^), 6 Е Вп, = ,... , $г,га), г Е {1,..., п}.
Доказательство. Пусть а = (а1,...,ап) Е . Покажем, как, зная указанные в условии величины, вычислить 77f (а). Разделим каждое на Р7, к = 1,... , п, с остатком и представим вектор а в виде
а = в + Р7 V,
где в = (Ь1,... ,Ьп) Е {0,... — 1}п; V = (гь... , гп) Е 2у„. Аналогично разделим каждое полученное на р, к = 1,... , п, с остатком и представим V в виде
V = в + ^,
где в = (йь ... , ^п) Е Вп; VI Е Znm. Имеем
а = в + Р7 V = в + Р7 (в + р^) = в + Р7 в + Р'+^ь
В силу теоремы 1
77 f (а) = 77 f (в + Р7 в + Р'+Ч) = 77 f (в + Р7 в).
Тогда по теореме 3
п
Ъf (а) = 77f (в + Р7в) = 77f (в) е Е (77f (в(0) + Р7вг) 0 77f (в(0))) ®
г=1
При этом по условию утверждения известны значения 77f(в), 77'f(в(0)) и 77f (в(0) + + Р7в»), а значит, используя полученное равенство, находим 77f (а). ■
Сформулируем утверждение о мощности класса полиномиальных функций над кольцом вычетов Zp2. Его доказательство нетрудно получить, используя работу [6]. Утверждение 3. Для любого п Е N справедливо равенство
|Рр2 (п)| = РР"(п+2).
2. Класс ВКП-функций над кольцом вычетов
Введём понятие функций с вариационно-координатной полиномиальностью над кольцом вычетов, а также опишем некоторые их общие свойства. Дадим оценку мощности класса ВКП-функций над примарным кольцом вычетов и докажем утверждения о его соотношении с классом полиномиальных функций.
2.1. Определение класса ВКП-функций и его простейшие
свойства
Определение 5. Функцию f (х) Е (п) назовём ВКП-функцией, если для любого 3 Е {0,... ,т — 1} существует полиномиальная функция Р7(х) Е Ррт(п), 3-я координатная функция которой совпадает с 3-й координатной функцией функции f (х), т. е. выполняется равенство
77f (х) = 77Р7(х) 3 = 0,... , т — 1 (5)
В таком случае будем говорить, что Р7 (х) является многочленом 3-й координаты функции f (х) или её 3-м координатным многочленом.
При этом в условиях определения 5 будем говорить, что функция f (x) обладает свойством вариационно-координатной полиномиальности. Класс всех ВКП-функций от n переменных над Zpm обозначим через CPpm (n).
Поясним введённое определение. Произвольная функция f (x) Е Fpm (n) является вариационно-координатно-полиномиальной, если существуют такие многочлены, или полиномиальные функции po(x),pi(x),... ,pm-i(x) над кольцом Zpm, что выполнено равенство
m— 1
f (а) = Е YjPj(а) (6)
j=o
для всех а Е Z. Использование при этом термина «вариационно» подчёркивает тот факт, что данные координатные многочлены могут быть разными для различных координат, т. е. могут меняться от координаты к координате. Если же все координатные многочлены одинаковы, то такая функция полиномиальна, поэтому справедливо включение
Ppm (n) С CPpm (n).
Следующая теорема устанавливает, что ВКП-функции, так же, как и полиномиальные функции, сохраняют отношение сравнимости по любому делителю pm.
Теорема 4. При любом n Е N все ВКП-функции f (x) Е CPpm (n) сохраняют отношение сравнимости по любому делителю pm, т.е. справедливо включение
CPpm (n) С Dpm (n).
Доказательство. Если f (x) Е CPpm (n), то существуют полиномиальные функции p0(x), p1(x), ... , pm—1(x), что выполнено равенство (6). В соответствии с теоремой 1 справедливо
Yjf (x) = Yjpj(x) = Yjpj(x(0), • • •, x(j)) j = 0,..., m - l,
а значит, Yjf (x) = Yjf (x(0),..., x(j)) и f (x) является треугольной функцией, поэтому по теореме 1 f (x) Е Dpm(n). ■
Следствие 3. Для любой f (x) Е CPpm (n) справедливо сравнение
Yof (x) = po(x(0)) (mod p). (7)
Используя (7), можно в некотором смысле считать, что многочлен нулевой координаты ВКП-функции является многочленом над полем B и при этом задаёт функцию от младших координат аргументов:
Y0p0 (x(0)): Bn ^B.
Как известно, любая функция над полем B полиномиальна и при этом однозначно представима многочленом, у которого степени входящих в него переменных изменяются от 0 до p — 1 [4]. Поэтому можно считать, что многочлен нулевой координаты определяется однозначно. Более того, по значениям самой функции f (x) Е CPpm (n) его легко восстановить из сравнений f (а) = p0(a10),..., ai0)) (mod p), а Е Z^m.
Следующая теорема говорит о строении координатных функций Yjf ВКП-функ-ций, рассматриваемых над полем B; при этом, как и ранее, будем предполагать, что порядок следования их переменных идёт с возрастанием номеров координат.
Теорема 5 (о строении координатных функций). Если f (x) Е CPpm(n), то для любого j Е {1,...,m — 1} существуют полиномиальные функции gj: Bn ^ B, gj: Bjn ^ B, i = 1,... , n, над полем B, такие, что выполнено равенство
Yjf (x(0),... ,x(j)) = £ gji(x(0)) 0 x(j) 0 gj(x(0),... , x(j-1)). i=1
Доказательство. Действительно, согласно равенству (3),
Yjf (x(0),... ,x(j)) = YjPj(x(0),... ,x(j)) = YjPj(x(0) + ... + pj'-1x(j-1) + pjx(j)) = = YjPj(x(0) + ... + pj-1x(j-1)) + gradpj(x(0)) ■ x(j) (mod p).
Функция YjPj(x(0) + ... + pj-1x(j-1)): Bjn ^ B, рассматриваемая как функция над полем B, представима над ним некоторым многочленом gj от переменных x(0),..., x(j-1). Аналогично, существуют полиномиальные функции gji(x(0)): Bn ^ B, i = 1,...,n, над
dp *
полем B, такие, что 7-^- (x(0)) = g7i(x(0)) (mod p). Отсюда имеем сравнение
dxi
gradpj (x(0)) ■ x(j) = E dX^ (x(0))xj = E gji(x(0)) 0 x(j) (mod p),
которое, при переходе к равенству в поле B, завершает доказательство теоремы. ■
В частном случае, когда функция f (x) полиномиальна, для функций gj справедливо сравнение
f (x(0)) = gji(x(0)) (mod p),
из которого следует, что gj не зависят от j. Это доказывает
Следствие 4. Если f (x) Е Ppm (n), то существуют полиномиальные функции gi: Bn ^ B, i = 1,... , n, над полем B и для любого j Е {1,..., m — 1} существуют полиномиальные функции gj: Bjn ^ B над полем B, такие, что выполнено равенство
Yjf (x(0),... , x(j)) = E gi(x(0)) 0 x(j) 0 gj(x(0),... , x(j-1)).
¿=1
Пример 1. Рассмотрим ВКП-функцию f (x) (см. таблицу) над Z8 с координатными многочленами p0(x) = x, p1(x) = 3x3 + 2, p2(x) = 5x3 + x + 7. Её координатные функции над полем B = {0,1} имеют вид
Y0f (x) = x(0), Y1f (x) = x(0) 0 x(1) 0 x(0) 0 1, Y2f (x) = (x(0) 0 1) 0 x(2) 0 x(1) 0 1.
x 0 1 2 3 4 5 6 7
f (x) 6 5 2 3 2 5 6 3
Теорема 5 свидетельствует о свойстве ВКП-функций, играющем важную роль при решении систем уравнений
{/"1 (х1 , . . . , Хп) = УЪ Л(Х1,... ,Хп) = уг,
где у» Е Ърт; ^ Е СРрт (п), г = 1,... , I (в дальнейшем такие системы будем называть системами ВКП-уравнений). Идея использования данного свойства заключается
в следующем. При нахождении координат неизвестных переменных до j-го порядка включительно (j + 1)-я координатная функция каждой из ВКП-функций, входящих в систему, становится аффинной относительно неизвестных (j + 1)-х координат, а значит, можно свести задачу их нахождения к решению некоторой системы линейных уравнений над полем B.
Сформулируем и докажем формулу Тейлора для ВКП-функций, обобщающую формулу (1). Этот результат в определённом смысле оправдывает терминологию «<по-линомиальность» в названии ВКП-функций.
Теорема 6 (формула Тейлора). Если функция f (x) G CP pm (n) и p0(x), ..., pm-1(x) —её координатные многочлены, то для любых j G {1,...,m — 1} и h G Z^m справедливо сравнение
f (x + pjh) = f (x) + pjgradpj(x) ■ h (mod p7^1). (8)
Доказательство. В соответствии с формулой (3) имеем сравнение
Yjf (x + p7 h) = Yjpj (x + pjh) = YjPj (x) + gradpj (x(0)) ■ h(0) (mod p).
В силу сравнимости grad pj (x(0)) ■ h(0) = grad pj (x) ■ h (mod p) запишем
Yj pj (x + pj h) = Yj pj (x) + grad pj (x) ■ h (mod p). (9)
Теперь воспользуемся равенством (6) и приведём его по модулю p7^1, в результате получим сравнение
j
f (x + p7h) = EpiYipi(x + pjh) (mod pj+1). (10)
Так как p^(x) G Dpm (n), i = 0,... , j — 1, то из свойств функций, сохраняющих отношение сравнимости, очевидно, следует равенство Yipi(x + p7h) = Yipi(x). Подставив данные равенства и сравнение (9) в (10), получим
j_i
f (x + pj h) = E p'Yipi(x) + pj (Yj pj (x) + grad pj (x) ■ h (mod pj+1).
i=0
j
Отсюда f (x + p7 h) = E piYipi(x) + pj grad pj (x) ■ h (mod p7^1). Осталось заметить, что
г=0
j
EpiYipi(x) = f (x) (mod p7^1) и, следовательно, справедливо сравнение (8). ■
г=0
Следствие 5. Если функция f (x) G CPpm (n) и p0(x), ... , pm-1(x) — её координатные многочлены, то для любых j G {1,... , m — 1} и h G Z^m справедливо сравнение
f (x + pj h) = f (x) + pj grad pj (x(0)) ■ h(0) (mod p7'+1). (11)
В заключение данного подраздела дадим определение ВКП-функции над произвольным кольцом вычетов Z&, k G N, k > 1. При этом при m =1 положим по определению, что над полем вычетов по модулю p класс ВКП-функций равен классу полиномиальных (или, что то же самое, совпадает с классом всех функций Fp(n)). Другими словами,
CP p(n) = Pp(n).
Определение 6. Функцию f (x) G (n) будем называть ВКП-функцией над кольцом вычетов Z&, где k = p^1 ' • • • ' Р™' —каноническое разложение числа k, если одновременно выполняются следующие два условия:
— f (x) сохраняет отношение сравнимости по модулю p™4, i = 1, • •. , t;
— f(x) G (n), где fj(x) = f (x) (mod p™4), является ВКП-функцией над примар-
p i
ным кольцом вычетов Zpmi, i = 1, • • • , t.
p i
В частности, как легко видеть, непосредственно из данного определения следует, что класс полиномиальных над Z& функций содержится в классе ВКП-функций над этим кольцом. Класс всех ВКП-функций от n переменных над кольцом вычетов Z& обозначим через CPk (n).
2.2. Оценка числа ВКП-функций от n переменных над Zpm
Поскольку каждая ВКП-функция однозначно определяется соответствующими координатными отображениями полиномиальных функций, то их количество равно произведению мощностей классов таких отображений. При j = 0 количество различных координатных отображений Y0p(x) (где p(x) G Ppm (n)) определяется числом всех функций от n переменных над полем B (см. формулу (7)) и равно ppn. Для каждого j G {1, • • • ,m — 1} оценим сверху количество различных YjP(x) (гдеp(x) G Ppm(n)), что даст верхнюю оценку мощности класса CPpm (n).
Утверждение 4. Для любого n G N верна оценка числа ВКП-функций от n переменных над Zpm:
(pn(m— 1) _ 1)
logp |CPpm (n)| ^ pn + (m — 1)npn + p (p n -1• (12)
pn — 1
Доказательство. Согласно утверждению 2, ]-е координатное отображение, ] С {1,... , т — 1}, любой полиномиальной функции однозначно определяется по значениям на множестве {0,... ,р — 1}" и векторах вида 9+р-79^, 9 С В", 9^ = (^д,..., $г,га), г С {1,... , п}. Количество таких значений равно в точности р-7" + пр". А значит, число всех различных ] -х координатных отображений полиномиальных функций от п переменных над Zpm не превосходит рр^+^р". Отсюда получим оценку мощности класса СРрт (п):
m — 1
pn(pn(m-1) — 1)
т-1 . V (р^+гар") р"+(т- 1)пр" + -
|СРрт (п)| ^ рр^ рр^"+"р" = рр"р;=1 = р Р" — 1 .
7=1
Утверждение доказано. ■
2.3. Соотношение между классами полиномиальных
и ВКП-функций Ранее было отмечено, что класс полиномиальных функций над кольцом вычетов вкладывается в класс ВКП-функций. Ответим на вопрос о строгости этого вложения. Сначала рассмотрим случай примарных колец вычетов.
Теорема 7. Для любого п С N классы полиномиальных и ВКП-функций над Zp2 от п переменных совпадают, т. е.
Рр2 (п) = СРр2 (п).
Доказательство. Согласно утверждению 3,
|Pp2 (n)| = ppn(n+2).
С другой стороны, согласно неравенству (12),
|CPp2(n)| ^ ppn+npn+pn = pPn(n+2).
А значит, |CPp2 (n)| ^ |Pp2 (n)|. Но при этом Pp2 (n) С CPp2(n). Следовательно, имеет место равенство Pp2 (n) = CPp2 (n). ■
Следствие 6. Если k = p^1 ■ ... ■ p™' — каноническое разложение числа k Е N, k > 1, и mi Е {1, 2}, i = 1,..., t, то для любого n Е N справедливо равенство
Pfc (n) = CP k (n).
Доказательство. Если f (x) Е CPk(n), то функция fi(x) = f (x) (mod p™4), fi Е Fpmi (n), i = 1,..., t, в силу теоремы 7 при mi = 2 и равенства CPp(n) = Pp(n),
p г
полиномиальна. А значит, и f (x) полиномиальна. ■
Чтобы показать, что при m ^ 3 существуют не полиномиальные ВКП-функции над Zpm, докажем следующую теорему о достаточном условии отсутствия полиномиального представления для функции из данного класса.
Теорема 8. Пусть функция f (x) Е CPpm(n), m ^ 3, и p0(x),... ,pm-1(x) —её координатные многочлены. Если существуют i,j Е {1,...,m — 1}, i = j,и a Е Bn, такие, что
grad pi(a) = gradpj (a) (mod p),
то f (x) Е Ppm (n).
Доказательство. Так как grad pi(a) = grad pj (a) (mod p), то существует s Е Е {1,..., n}, такое, что
dpi(a) = (a) (mod p). (13)
dxs dxs
Предположим, что функция f (x) полиномиальна и представима некоторым многочленом g(x) Е Zpm [x 1,... , xn]. Тогда в соответствии с утверждением 1 (сравнение (4)) справедливо сравнение
dx
(a) = Yfcf(a + p 0S) — Yfcf (a) (mod p), k = 1,... ,m — 1.
s
В частности, при k = i имеем
dg • dpi 7—(a) = Yif (a + p^s) — Yif (a) = Yipi(a + p^s) — Yi pi (a) = (a) (mod p). dxs dxs
dg dpi
Таким образом, справедливо сравнение —— (a) = —— (a) (mod p). Применяя те же
dxs dxs
рассуждения при k = j , получим
dg dpi dp *
^(a) = я-1(a) = (a) (mod P), dxs dxs dxs
что противоречит (13), а значит, и полиномиальности функции f (x). ■
Пример 2. Вернемся к рассмотрению ВКП-функции f (x) над Zg из примера 1. Найдём формальные производные многочленов p1(x) и p2(x):
p1(x) = x2 = x (mod 2), p2(x) = 7x2 + 1 = x +1 (mod 2).
Ясно, что при любом a Е B = {0,1} p1(a) = p2(a) (mod 2), поэтому выполнено условие теоремы 8, а значит, f (x) не является полиномиальной.
Используя теорему 8, можно доказать утверждение о соотношении классов полиномиальных и ВКП-функций над Zpm при m ^ 3.
Утверждение 5. Для любых n Е N и m ^ 3 класс ВКП-функций CPpm (n) не совпадает с классом полиномиальных Ppm (n).
Доказательство. Действительно, достаточно рассмотреть ВКП-функцию f (x) Е CPpm (n), у которой координатные многочлены p1(x) = x1, p2(x) = 0, а остальные многочлены произвольны. Тогда ясно, что при любом a Е Bn
gradp1(a) = (1, 0,..., 0) = gradp2(a) = (0,..., 0).
Поэтому f (x) Е Ppm (n). ■
Следствие 7. Если k = pm1 • ... • pm' — каноническое разложение числа k Е N, k > 1, и mj ^ 3 для некоторого j Е {1,... , t}, то для любого n Е N справедливо строгое включение
Pk (n) С CPк (n).
Доказательство. Рассмотрим произвольные ВКП-функции fi(x) Е CP(n),
p г
i = 1,... , t, при этом, так как mj ^ 3, можно выбрать ВКП-функцию fj(x) Е P m (n).
pj
Построим ВКП-функцию f (x) над Zk следующим образом. Для любого a Е Z^ если выполнена система сравнений
a = a1 (mod pm1), a = at (mod pm'),
где ai Е Z^mi, i = 1,... , t, то положим значение f (a) Е Zk таким, чтобы была выполнена система сравнений
' f (a) = f1(a1) (mod pm1),
f (a) = ft(at) (mod pm').
Легко проверить, что определённая таким образом функция f (x) сохраняет отношение сравнимости по модулю p™4, i = 1,... ,t, и f (x) = fi(x) (mod p)™4, i = 1,... ,t. Следовательно, f (x) является ВКП-функцией и при этом f (x) Е Pk (n) (иначе получим противоречие с тем, что fj (x) Е P mj (n)). ■
3. Метод покоординатной линеаризации для решения систем
ВКП-уравнений
Опишем алгоритм решения систем ВКП-уравнений над примарным кольцом вычетов, являющийся обобщением метода покоординатной линеаризации для решения
систем полиномиальных уравнений (см. также [7]). Будем при этом предполагать, что для каждой ВКП-функции / (x), i = 1,... , / , из системы уравнений
/i(x) = Уъ
. (14)
№) = Уг,
где yi G Zpm; /¿ G CPpm (n), i = 1,... , / , известны её координатные многочлены pj (x), j = 0,..., m — 1.
1. Приведём систему (14) по модулю p. В силу сравнения (7) получим систему полиномиальных уравнений над полем (B, ф, ®) относительно младших координат неизвестных переменных:
Г Yo/i(x(0)) = y(0), Г pió (x(0)) = y(0),
< . (mod p) ^ < . (mod p). (15)
1 70/i (x(0)) = y¡0) 1 pi0(x(0)) = y(0)
Полученную систему необходимо решить каким-либо образом и найти все возможные значения c(0) = (ci0),... , сП0)) G координат x(0). Если система несовместна, то алгоритм заканчивает работу и исходная система (14) не имеет решений.
2. Пусть при j G {1,... , m} найдены все значения c(0), ... , c(j-1) координат x(0), ... ,x(j-1) соответственно, которые в силу того, что / являются треугольными функциями, т. е. / G Dpm (n), i = 1,... , / , удовлетворяют системам сравнений вида
[ /i(x) = У1, Г /i(c(0),..., c(j-1)) = yi,
< . (mod pj) ^ < . (mod p). (16)
1 /г (x) = Уг ( /i(c(0),..., c(j-1)) = y
Если j = m, то перейти к п. 3. Иначе при любом таком наборе координат неизвестных c(0),..., c(j-1) выполним следующие действия. Приведём систему (14) по модулю p+1, в результате получим систему сравнений вида
Г /1(c(0),..., c(j-1), x(j)) = У1,
1 . (mod pj+1). (17)
1 /i(c(0),..., c(j-1), x(j)) = yi
Рассмотрим i-е уравнение полученной системы, i G {1,...,/}:
/i(c(0),... , c(j-1), x(j)) = y¿ (mod pj+1).
Воспользуемся сравнением (11):
/i(c(0),..., c(j-1), x(j)) = /i(c(0) + ... + pj-1c(j-1) + px(j)) = = /i(c(0),... , c(j-1)) + pgradpij(c(0)) ■ x(j) = y¿ (mod P+1).
В силу (16) справедливо сравнение /i(c(0),... , c(j-1)) = yi (mod pj), а значит,
/i(c(0),..., c(j-1)) = y(0) + ... + p-1yj-1) + pjYj/i(c(0),..., c(j-1)) (mod pj'+1).
Отсюда имеем
y(0) + ... + pj-1y(j-1) + pjYjfi(c(0),..., c(j-1)) + pgrad(c(0)) ■ x(j) = y (mod p+1). Приходим к равенству в поле B:
pjYjfi(c(0),..., c(j-1)) + pgradpij(c(0)) ■ x(j) = py(j) (mod pj'+1) ^ ^ gradргр(c(0)) 0 x(j) =B yj 0 Yjfi(c(0),..., c(j-1)).
Применив таким образом указанные преобразования и рассуждения к каждому уравнению системы (17), получим равносильную ей систему линейных уравнений относительно неизвестных координат x(j) над полем B:
( grad p1j (c(0)) \ ( y(j) 0 Yj /1 (c(0),..., c(j-1)) \
. (18)
V У? 0 Yj /1 (c(0),..., c(j-1))
0 x(j)
у gradpj (c(0)) у
Матрица полученной системы линейных уравнений является матрицей Якоби Jf(c(0)) (mod p) (т.е. приведённой по модулю p) полиномиальной вектор-функции Fj = (p1j,... ,pij) в точке c(0) G Bn. Решая полученную линейную систему над B, найдём все возможные значения координат x(j) (при заданных координатах x(0) = c(0), ..., x(j-1) = c(j-1)).
При всех x(0),... , x(j-1), удовлетворяющих системе (16), необходимо решить систему (18) и найти все возможные значения координат x(j). Если таких x(j) нет (т.е. система (18) несовместна при любых x(0),... , x(j-1), удовлетворяющих системе (16)), то исходная система (14) несовместна и алгоритм заканчивает работу. Увеличить j на 1 и перейти к п. 2 алгоритма.
3. Если найдены все координаты переменных x(0) = c(0), ... , x(m-1) = c(m-1), которые удовлетворяют системе (16) при j = m, то решения c = (c1,...,cn) системы вычисляются следующим образом:
m-1
c = Е pc(j), j=0
и на этом алгоритм завершает свою работу.
Теорема 9. Алгоритм решения системы ВКП-уравнений (14) находит все решения или доказывает её несовместность.
Доказательство. Вектор c = (c1,..., cn) G Z^m является решением системы (14) тогда и только тогда, когда при любом j G {0,... ,m — 1} координаты c(0),... , c(j) данного вектора удовлетворяют системе
/1(c(0),..., c(j)) = У1,
. (mod p+1).
/l(c(0),..., c(j)) = y
Но, как видно, данный алгоритм последовательно при каждом j G {0,... , m — 1} находит все такие координаты c(0),... , c(j), которые удовлетворяют указанной системе. А значит, находит все решения исходной системы (14) либо доказывает её несовместность. ■
Приведём некоторые сложностные оценки описанного алгоритма.
Утверждение 6. Пусть {с^,..., с(0)} — все решения системы (15), t G N, fcj = rang(ci0)), i = 1,...,t, Fj = (pij) и l = O(n). Тогда сложность S
приведенного алгоритма оценивается сверху величинои
m-2
S ^ To + O n3t Е pj(ra-fc)
,3-i
j=0
где Т0 — сложность решения системы (15); к = шт{кь... , кг}, к = шт{ка,... , к^^}, г =1,...,*.
Доказательство. Пусть с(0), г € {1,..., ¿},— фиксированное решение системы (15). Если к? = rang (с^0)), то в п. 2 алгоритма система (18) в случае совместности имеет р"-^ решений для х(б;), 5 = 1,... , т — 1 (при фиксированных предыдущих значениях координат с(1),... , с(б—1)). Отсюда в «худшем» случае для нахождения х(1) потребуется решить одну систему линейных уравнений над полем В со сложностью
0(п3), а для нахождения всех возможных значений координат х?, ] € {2,... , т— 1}, —
¿-1
_и _и ™(?_1)_11 ^
решить р" • ... • р" = р систем линейных уравнений. Тогда слож-
ность нахождения всех возможных значений х(:,), ] € {2, ...,т — 1} (при задан-
(¿-1 \ "С? —1)- Л ^¿а 1
п3р 8=1 . Если
к = ш1п{к^1,... , к,т_ 1}, то при любом ] € {2,... , т — 1} полученное Б? можно оценить следующим образом:
¿-1
Б? ^ 0(п3р"(?_1)—=1 ^) ^ 0(п3р(?_1)("_^).
При этом данная оценка справедлива и при ] = 1. Отсюда сложность Б решения системы (14) не превосходит величины
г т_1 г т_2 / г т_2
Б = То + Е Е Б? ^ То + Е Е 0(пУ("_^) = То + О п3 Е Е р?("_^ | ^
г=1 ?=1 г=1 ?=0 у г=1 ?=0
(г т_2 \ / т_2 \
п3 Е Е р?("_й) = Т0 + 0 п3* Е р?("_йМ . г=1 ?=0 у у ?=0 у
Утверждение доказано. ■
Следствие 8. В условиях утверждения 6 справедливо: 1) если к = п, то сложность Б алгоритма оценивается сверху величиной
р(т,_1)(га_&) _ 1 "
Б ^ Т0 + 0 ( п3*р
рп_й — 1
2) если к = п, то сложность алгоритма оценивается сверху величиной
Б ^ Т0 + 0(п3*(т — 1)).
Заметим, что если к = п в условиях утверждения 6, то и все к? = п для г = 1,... , ¿, = 1,..., т — 1, а значит, система (18) на каждом шаге ] € {1,..., т — 1} (при любом фиксированном решении системы (15)) имеет не более одного решения. И в «худшем» случае алгоритм сводится к ¿-кратному решению (т — 1) системы линейных уравнений над полем В.
Следствие 9. Если система (15) имеет единственное решение c(0), l = n и rang(c(0)) = n, j = 1,...,m — 1, то система (14) имеет единственное решение и сложность S его нахождения алгоритмом равна
S = To + O(n3(m — 1)).
Используя предложенный алгоритм, можно решать системы ВКП-уравнений над произвольным кольцом вычетов Zk, k > 1. Напомним, что задачу решения систем полиномиальных уравнений над кольцом вычетов Zk можно свести к решению систем полиномиальных уравнений над его соответствующими примарными компонентами. Аналогичным образом можно решать и системы ВКП-уравнений над Z&
fi(x) = Уъ fi(x) = Уг,
где y G Zk; / G CPk(n), i = 1,..., l. Для этого в соответствии с определением 6 нужно перейти к функциям /, (x) = /¿(x) (mod p™J), где k = p^1 ' • • •' P™', и решить методом покоординатной линеаризации системы ВКП-уравнений
fij(x) = yij >
(x) = У,
над примарными компонентами Z (у, = yj (mod pmj), j = 1,..., t, i = 1,...,l), после чего найти искомое решение над Z&.
Заключение
В работе введено и обобщено (по сравнению с [2, 3]) понятие функции с вариационно-координатной полиномиальностью на произвольное кольцо вычетов. Показано, что в общем случае данный класс расширяет класс полиномиальных функций, приведены оценки его мощности. Обобщён метод покоординатной линеаризации для решения систем уравнений, составленных из таких функций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов Д. А., Нечаев А. А. Решение системы полиномиальных уравнений над кольцом Галуа — Эйзенштейна с помощью канонической системы образующих полиномиального идеала // Дискретная математика. 2004. Т. 1. №1. С. 21-51.
2. Заец М. В., Никонов В. Г., Шишков А. Б. Класс функций с вариационно-координатной по-линомиальностью над кольцом Z2™ и его обобщение // Математические вопросы криптографии. 2013. Т. 4. №3. С. 19-45.
3. Заец М. В., Никонов В. Г., Шишков А. Б. Функции с вариационно-координатной полино-миальностью и их свойства // Открытое образование. 2012. №3. С. 57-61.
4. Глухов М. М., Шишков А. Б. Математическая логика. Дискретные функции. Теория алгоритмов. М.: Лань, 2012. 400с.
5. Anashin V. and Khrennikov A. Applied Algebraic Dynamics. Berlin, N. Y.: Walter de Gruyter, 2009. 533 p.
6. Hungerbuhler N. and Specker E. A generalization of the Smarandache function to several variables // Integers. 2006. V.6. P. 1-14.
7. Заец М. В. Решение систем ВКП-уравнений методом покоординатной линеаризации над примарным кольцом вычетов // Тезисы ХЫ Междунар. конф., XI Междунар. конф. молодых учёных «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе 1Т+БЕ13». Вестник Московского университета им. С. Ю. Витте. 2013. Сер. 1 (приложение). С.155-157.
