Функции с вариационно-координатной полиномиальностью над группой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таблица 2

n Кол-во EA-классов Кол-во аффинных функций А: Г + А € р

2 1 24

3 1 26

4 1 210

5 2 Для обоих классов: 210

6 13 Для одного класса: 213; для остальных 12 классов: 212

7 > 487 Для всех известных 487 классов: 214

8 > 8179 Для одного класса из известных 8179: 220; для остальных 8178 классов: 216

ЛИТЕРАТУРА

1. Тужилин М. Э. Почти совершенные нелинейные функции // Прикладная дискретная математика. 2009. №3. С. 14-20.

2. Pott A. Almost perfect and planar functions // Des. Codes Cryptogr. 2016. V. 78. P. 141-195.

3. Carlet C. Open questions on nonlinearity and on APN functions // Arithmetic of Finite Fields. LNCS. 2015. V. 9061. P. 83-107.

4. Глухов М. М. О матрицах переходов разностей при использовании некоторых модулярных групп // Матем. вопр. криптограф. 2013. Т. 4. №4. С. 27-47.

5. Сачков В. Н. Комбинаторные свойства дифференциально 2-равномерных подстановок // Матем. вопр. криптограф. 2015. Т. 6. №1. С. 159-179.

6. Городилова А. А. О пересечении множеств значений производных APN-функций // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. С. 25-27.

УДК 512.542.3 DOI 10.17223/2226308X/9/9

ФУНКЦИИ С ВАРИАЦИОННО-КООРДИНАТНОЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОСТЬЮ НАД ГРУППОЙ

А. И. Зуева, А. В. Карпов

Определён класс функций с вариационно-координатной полиномиальностью над группой, являющийся обобщением класса ВКП-функций над примарным кольцом вычетов. Представлен алгоритм нахождения координат для элемента группы. Доказано, что класс ВКП-функций над UTn(Zp) не совпадает с классом полиномиальных функций. Указан способ обращения биективной ВКП-функции над UTn(Zp).

Ключевые слова: функции над группой, функции с вариационно-координатной полиномиальностью, координатные функции.

В [1] определён класс функций с вариационно-координатной полиномиальностью (ВКП-функций) над примарным кольцом вычетов, порождающий системы ВКП-урав-нений, для решения которых применим метод покоординатной линеаризации.

В данной работе делается обобщение класса ВКП-функций на случай, когда полиномы рассматриваются над группой с нормальным рядом. Получающийся при этом класс ВКП-функций над группой даёт конструктивный пример дифференцируемых функций над группой, рассмотренных в [2].

Пусть задана группа G с нормальным рядом G = H0 ¡> H ¡>... ¡> Hn = e. Как и в случае примарного кольца вычетов, для определения класса ВКП-функций над группой необходимо определить понятие координатной функции полинома над группой.

Определение 1. Полиномом над группой G от переменной x будем называть выражение вида p(x) = g1x£lg2x£2 ... gmx£m, где все «коэффициенты» g — элементы группы G, а экспоненты ej принимают значения 1 либо -1.

Каждый полином индуцирует функцию на G по следующему правилу:

p(g) = glg£l g2g£2 . . .gmg£m.

Определение 2. Функцию p : G ^ G будем называть полиномиальной, если она индуцирована некоторым полиномом над G.

Определение 3. Для k Е {0,... , n — 1} будем называть функции Yk : G ^ Hk координатными функциями группы G относительно нормального ряда, если произвольный элемент g Е G однозначно представляется в виде произведения

g = 7o(g)7i(g) ■ ■ ■ Yn-i(g).

Элемент g(k) подгруппы Hk, равный g(k) = Yk(g), будем называть k-й координатой элемента g. Если задана функция f : G ^ G, то k-й координатной функцией функции f будем называть отображение Ykf : G ^ Hk, определяемое по правилу Ykf (g) = = Yk (f (g)).

Координаты элемента группы определяются способом выбора представителей в факторах ряда и могут быть найдены с помощью алгоритма 1.

Алгоритм 1. Нахождение координат элемента группы

Вход: группа G = H0 > H1 > ■ ■ ■ > Hn = e с нормальным рядом, элемент g Е G, функции выбора представителей в факторах ряда s0,... , sn-2 (sj : Hj/Hi+1 ^ H^) Выход: набор координат (Yo(g),..., Yn-i(g)), Yi(g) Е Hj и g = Yo(g) ■ ■ ■ Yn-i(g) 1: Для всех i от 0 до n — 2 2: g := gHi+b Yi(g) := si(g) 3: g := Yi(g)-1g 4: Yn-i(g) := g, конец

Определение 4. Функцию / : G ^ G будем называть ВКП-функцией, если существуют полиномы р0,... ,рп-1, такие, что для произвольных д Е G, к Е {0,... , п — 1} выполняется

1к/ (д) = 1кРк (д).

Как видно из определения, класс ВКП-функций над группой определяется нормальным рядом в группе, способом выбора представителей в факторах ряда и тем, как понимать термин полинома над группой. Например, можно отказаться от требования полиномиальности либо рассматривать иначе определённые (например, так, как в [3]) полиномы. Далее полиномы понимаются в смысле определения 1.

С практической точки зрения наибольший интерес представляют конечные группы. Известно, что конечные нильпотентные группы (интересующие нас, как относительно простые некоммутативные группы) исчерпываются прямыми произведениями конечных р-групп, каждая из которых, в свою очередь, изоморфно вкладывается в иТга^р) [4]. Поэтому в качестве основной интерпретации будем рассматривать группу унитреугольных матриц с центральным рядом

иад) = итПад > итПад > ■ ■ ■ > итп^р) = е,

где п ^ 3 и иТП(^р) —подгруппа, состоящая из унитреугольных матриц с г — 1 нулевыми диагоналями над главной.

Очевидно, что класс ВКП-функций над произвольной группой включает в себя класс полиномиальных функций. Обратное включение не выполняется.

Теорема 1. Пусть С = ЦТп^р) и п ^ 3. Тогда класс ВКП-функций над С не совпадает с классом полиномиальных функций.

Следующие теоремы дают критерий биективности ВКП-функции и формулу обращения биективной ВКП-функции над ЦТп^р).

Теорема 2. Пусть С = [7Тп^р); f : С ^ С — ВКП-функция, заданная полиномами р0,... , рп-2. Тогда f биективна на С, если и только если выполняются следующие два условия:

1) р0 биективен по модулю ЦТ^^р);

степени полиномов р0,

, рп-2 взаимно просты с р.

Теорема 3. Пусть С = иТп(Ър); f : С ^ С — биективная ВКП-функция, заданная полиномами р0,... , рп-2; к Е {2,... ,п — 1}; г^ — обратная в смысле композиции ВКП-функция к f по модулю иТк(^р). Тогда обратной к f по модулю ЦТ^1^^ является функция

где т

deg(pfc_l) 1

гк+1(х) = гк (х)(х 1f (г к (х)))_ (mod р).

Рассмотрим группу С = ЦТ3^3) с функцией : ЦТ3^3)/иТ|^3) ^ ЦТ3^3), выбирающей в качестве представителя смежного класса матрицу с нулевой верхней клет-

/ /1 2 2\ \ /1 2 0\ / /1 2 2\ \ /1 0 2^ кой. Тогда, например, 70 || 0 1 1 || = | 0 1 1 I , 71 || 0 1 1 || = | 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Построим следующие полиномы:

ро(х)

111 0 1 2 ,0 0 1,

х

102 0 1 2 ,0 0 1,

111

112

102

1

х

0 1 0 I х, р1(х) = | 0 1 2 I х | 0 1 2

х.

,0 0 1,

,0 0 1,

,0 0 1,

Занумеруем матрицы из [7Т3^3) следующим образом:

= 1 + а1 + 3а2 + 9а3.

I

1 а1 а3 0 1 а2 0 0 1

Тогда построенные полиномы индуцируют следующие перестановки номеров:

р0 : (1,6,8)(2, 22,18)(3,14,25)(4, 27,11)(5,16,21)(7,12,23)(9, 20,13)(10,15,17)(19,24, 26),

р1 : (1, 5,19,14,10, 23)(2,22)(3,15,12,6,21,24)(4, 20)(7,17,16, 8,25,26)(11,13)(18, 27). Построим по р0 и р1 ВКП-функцию f (х) = 70р0(х)71р1(х) :

f : (1,6, 26)(2, 22, 9)(3,14,16)(4, 27,11,13,18, 20)(5, 25, 21, 23, 7,12)(8,19,15,17,10, 24).

В качестве обратной к / по модулю UT32(Z3) возьмём функцию, индуцированную /1 1 0\

полиномом p(x) = 0 1 2 x. Степень p! равна 2, значит, m = 2 и обратная пере-

V0 0 V

становка к / получается как g(x) = p(x)(x !/(p(x))) 2:

g : (1, 26, 6)(2,9, 22)(3,16,14)(4, 20,18,13,11, 27)(5,12, 7, 23, 21, 25)(8, 24,10,17,15,19).

Таким образом, при фиксированных нормальном ряде в группе и способе выбора представителей в факторах этого ряда определён класс ВКП-функций над группой. Функции класса задаются набором полиномов и получаются как произведение их координатных функций. Класс ВКП-функций над UTn(Zp) не совпадает с классом полиномиальных функций над UTn(Zp) (теорема 1). К ВКП-функциям применимы критерий биективности и формулы обращения дифференцируемых функций, которые в случае G = UTn(Zp) принимают вид теорем 2 и 3 соответственно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Заец М. В. О классе вариационно-координатно-полиномиальных функций над примарным кольцом вычетов // Прикладная дискретная математика. 2014. №3. С. 12-27.

2. Карпов А. В. Обращение дифференцируемых перестановок над группой // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. C. 30-33.

3. Anashin V. S. Solvable groups with operators and commutative rings having transitive polynomials // Algebra. Logika. 1982. No.21(6). C.627-646.

4. Меньшов А. В. Асимптотические свойства рациональных множеств и систем уравнений в свободных абелевых группах и разрешимость регулярных уравнений в классе нильпо-тентных групп: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Омск, 2014.

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308X79/10

О РАССТОЯНИИ ХЭММИНГА МЕЖДУ ДВУМЯ БЕНТ-ФУНКЦИЯМИ1

Н. А. Коломеец

Рассматривается расстояние Хэмминга между двумя бент-функциями. С использованием конструкции бент-функций на минимальном расстоянии друг от друга получен ряд возможных значений расстояния. Найдены всевозможные значения расстояния между бент-функциями из класса Мэйорана — МакФарланда.

Ключевые слова: булевы функции, бент-функции, расстояние Хэмминга.

Булевой функцией от п переменных называется отображение вида / : КП ^ F2. Расстоянием Хэмминга ^б^/, д) между двумя булевыми функциями / и д от п переменных называется количество значений аргументов, на которых значения функций различаются. Функция вида (а,х)фс, где а Е КПП, с Е К2 и (а,х) = а1х1 фа2х2ф.. .фагахга, называется аффинной булевой функцией. Бент-функциями называются булевы функции от чётного числа переменных, находящиеся на максимально возможном расстоянии от множества всех аффинных функций. Они предложены О. Ротхаусом [1]. Бент-функции имеют приложения в алгебре, комбинаторике, теории кодирования, криптографии [2]. Обозначим через В2к множество всех бент-функций от 2к переменных.

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №15-07-01328.