Разрешимость задачи оптимального управления для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с критерием качества Лионса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Математика и механика № 1(17)

УДК 517.97

Н.М. Махмудов, В.И. Салманов

РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА ЛИОНСА

Работа посвящена изучению задачи оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, в которой критерием качества является функционал Лионса. При этом исследована корректность задачи оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и доказаны теоремы существования и единственности решения задачи оптимального управления.

Ключевые слова: дифференциальные уравнение второго порядка, оптимальное управление, критерий Лионса.

В этой работе изучена задача оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с критерием качества типа функционала Лионса. Отметим, что задачи оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений, и в том числе случай одномерного эллиптического уравнения, ранее изучены в работах различных авторов [1,2] и др. Однако здесь исследуемая задача с точки зрения целевого функционала и рассматриваемых функциональных пространств отличается от ранее изученных.

1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу оптимального управления о минимизации функционала

Т

•а (и) = Я*1 и)- *2 (;и)|2 Я + а|\и -«оЦ^(0, Т) (1)

0

на множестве

и = ^и = и ((),и е Ь2 (0, Т),и (()> Ь0 > 0, V( е [0, Т],|\и\ь (0 Т)< Ьг при условиях

ё2хр (/)

~2— + и (0 *Р (0 = /р (^ 1 е[0, Т ], Р = ^2; (2)

*1(0) = *2 (0) = 0; (3)

ёх1(0) = ёх2(Т) = 0 (

ё Л

где Т > 0, Ь0 > 0, Ь > 0, а > 0 - заданные числа, и0 е Ь2 (0, Т) - заданный элемент, /р = /р (/), р = 1, 2 - заданные функции из Ь2 (0, Т).

При каждом заданном и е и задача об определении функции х1 = х1 () = х1 ( и) из условий (2), (3) является первой краевой задачей, а функции х2 = х2 (/) = х2 ( и) из условий (2), (4) - второй краевой задачей для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, которую в дальнейшем будем называть редуцированной задачей (2) - (4). Здесь обозначения хр (/; и), р = 1,2 показывают явную зависимость по независимой переменной t и

неявную зависимость от этой переменной по управлению и = и ^), и поэтому эти переменные отделены друг от друга точкой с запятой.

Под решением редуцированной задачи (2) - (4) будем понимать функции

х1 е ^(0, Т), х2 е ^ (0, Т), удовлетворяющие следующим интегральным тождествам:

для любых функций T|i е W2 (0, T), п2 6 W (0, T).

Редуцированная задача, состоящая из двух краевых задач для одномерного эллиптического уравнения, подробно изучена, например, в работах [3,4] и др. Из результатов этих работ следует, что при каждом и е U редуцированная задача (2) -(4) имеет единственное решение и для этих решений справедливы оценки

11Х111ж2 (0, T) - с1 II fl\\l2 (0, T); ()

11^*2 IIw1(0, T) - С2 II/2IL2 (0, T) , ()

где c1 > 0, c2 > 0 - некоторые постоянные.

2. Корректность задачи оптимального управления

Рассмотрим вопрос корректности постановки задачи оптимального управления (1) - (4). Для этого сначала приведем вспомогательную теорему из работы [5]: Теорема 1 ( Goebel M. [5]). Пусть X - равномерно выпуклое пространство, U - замкнутое ограниченное множество из пространства X, функционал I (и)

на U полунепрерывен снизу и снизу ограничен, а > 0, р > 1 - заданные числа.

Тогда существует плотное подмножество G пространства X, такое, что для любого ие G функционал

Jа(и ) = 1 (и ) + а| |u

достигает своего наименьщего значения на U . Если р> 1 , то наименьщее значение функционала Ja(u) на U достигается на единственном элементе.

С помощью этой теоремы докажем следующее утверждение:

Теорема 2. Существует всюду плотное подмножество G пространства L2 (0, T), такое, что для любого и0 е G и а > 0 задача оптимального управления (1) - (4) имеет единственное решение.

T

dt =J fp (t)np (t)dt, p = 1 2 , (З)

Доказательство. Сначала докажем непрерывность функционала J0 (и) на множестве и. Для этого Уи0 е О придадим приращение Ди е Ь2 (0, Т), такое, что и + Ди е и . Пусть хр (Х) = хр (Х; и), р = 1, 2 - решение редуцированной задачи (2) - (4) при и е и , хрД (Х) = хр (Х; и + Ди), р = 1, 2, - решение редуцированной

задачи (2) - (4) при и +Ди е и. Тогда ясно, что функции

Дхр (Х) = хр (Х; и +Ди)-хр (t; и), р = 1, 2 , будут решениями следующей краевой

задачи:

б2Дхр(Х)

- + (и (Х) + Ди(Х))Дхр (Х) = -Ди (Х)хр (Х), р = 1,2,0 < Х < Т ; (8)

Дх1 (0) = Дх1 (Т) = 0 ; (9)

бДх2 (0) бДх2 (Т)

-----=-----------2-^- = 0, (10)

бХ б

где хр хр (; и), р=1,2, - решение редуцированной задачи (2) - (4) при и е и .

В силу теоремы вложения Соболева [6, с. 74] имеем

11х111с[0, Т] - с3 IIх111и^2(0, Т) ; (11)

11х2 11с[0, Т] - С4 I|х2 \\ш^(0, Т), (12)

где с3 > 0, с4 > 0 - некоторые постоянные, не зависящие от х1 и х2 . Из этих неравенств и (6), (7) получим справедливость следующих оценок:

Ы 1с[0, т] - с5 II МL2(0, т); (13)

11х2 11с[0, Т] - с6 II/2 I\ь2(0, Т) , (14)

где с5 > 0, с6 > 0 - некоторые постоянные. В силу этих оценок из условия

Ди е Ь2 (0, Т) получаем, что функции Ди (Х) хр (Х), р = 1, 2, являются элементами

пространства Ь2 (0, Т). Кроме того, из (8) - (10) ясно, что краевая задача (8) -(10) является краевой задачей вида редуцированной задачи (2) - (4). С учетом вышесделанных замечаний и условия Дихр е Ь2 (0, Т), р = 1,2, можем утверждать справедливость оценок

(0, Т)- с7\\ДихЛь2 (0, Т) (15)

\\АхЛш1 (0, Т)- с8 ||Дих2И2 (0, Т) , (16)

где с7 > 0, с8 > 0 - постоянные, не зависящие от Ди . С учетом оценок (11), (12), из последних неравенств получаем

11Дх1 \\ш2 (0, Т)- с9 ||ДиИ2 (0, Т) ; (17)

11Дх2 |1ж2(0, Т) - с10 ||Ди \\ь2(0, Т) , (18)

где с9 > 0, с10 > 0 - постоянные, не зависящие от Ди . Опять в силу теоремы вло-

жения Соболева из оценок (17), (18) можем утверждать справедливость оценок

IKIUT]- C11 IHk(0,T), p = 1,2, (19)

где Cjj > 0 - постоянная, не зависящая от Дм .

Рассмотрим далее приращение функционала J0 (м) на элементе U . По формуле (1) при а = 0 имеем

T

AJ 0 (м) = J 0 (м + Дм)- J 0 (м) = 2|(xj (t; м)- х2 (t; м ))(( (t)- Дх2 (t))dt +

0

T

+ ML2 (0, T) + IMlL2 (0, T) - 2j Дх1 (t )Дх2 (t )dt . (20)

0

Отсюда в силу оценок (6), (7), (17), (18) и неравенства Коши - Буняковского имеем

1^0 (м )|- С12 (|NIl2 (0, T )+11Дм11 L2 (0, T )) Ум 6 U , (21)

где c12 > 0 - постоянная, не зависящая от Дм . Из этой оценки следует непрерывность функционала J0 (м) на любом элементе м 6 U , то есть непрерывность на множестве U . Таким образом,

Д/0 (м) ^ 0 при ||Дм||^(0 T) ^ 0 .

Кроме того, J0 (м) > 0, Ум 6 U . Наряду с этими множество U - замкнутое ограниченное множество в L2 (0, T). Тогда в силу равномерной выпуклости пространства L2 (0, T) [7] получаем, что удовлетворяются все условия теоремы 1, известной из работы [5]. По утверждению этой теоремы существует всюду плотное подмножество G с L2 (0, T), такое, что для Ум0 6 G и Va > 0 задача оптимального управления (1) - (4) имеет единственное решение. Теорема 2 доказана.

Легко видеть, что эта теорема гарантирует существование и единственность решения задачи (1) - (4) при a > 0 не для всякого м0 6 L2 (0, T). Ниже мы д окажем теорему существовании решения для всякого м0 6 L2 (0, T) при a > 0, однако единственности решения задачи оптимального управления (1) - (4) отсутствует.

Теорема 3. Задача оптимального управления (1) - (4) при a > 0 имеет хотя бы одно решение для любого м0 6 L2 (0, T).

Доказательство. Пусть (мк} с U - минимизирующая последовательность в задаче (1) - (4), то есть

,lim Jа(мк ) = Ja* = if J (м ) .

U6U

По структуре множества U ясно, что оно является слабо компактным и слабо замкнутым множеством из L2 (0, T). Тогда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, которую ради удобства снова обозначим через (мк} и которая слабо сходится к элементу м 6 U . Поэтому при к имеем

T T

| мк (t) q (t)dt м (t)q (t) dt (22)

0 0

для Уд = д (») из Ь2 (0, Т).

Пусть функции хрк (») = хр (»; ик), р = 1, 2, к = 1, 2, ..., являются решениями

редуцированной задачи (2) - (4) при каждом ик е и, к = 1, 2,.... В силу сделан-

ных выше замечаний относительно решения редуцированной задачи и оценок (6), (7) имеем для к = 1, 2,...

11Х1к Ии72(0, Т) - С12 II\ь2(0, Т) = с13 , (23)

11Х2к 11^2(0, Т) - С14 IIЛ \\ь2(0, Т) = С15 , (24)

где, с12 > 0 , с13 > 0, с14 > 0, с15 > 0 - постоянные, не зависящие от к .

Из этих оценок следует равномерная ограниченность последовательностей {хрк (»)}, р = 1, 2, в пространстве W21 (0, Т). Поэтому из них можем выделить подпоследовательности, которые ради удобства снова обозначим через {хрк (»)}, р = 1.2. и которые слабо сходятся к функциям хр (»), р = 1,2,

соответственно из W21 (0, Т). Тогда можем написать следующие предельные соотношения:

хрк (») — хр (»), р = 1, 2, в Ь2 (0, Т) слабо; (25)

ёХрк (») йхр (»)

р = 1, 2, в Ь2 (0, Т) слабо, (26)

М ёх

при к — го. Ввиду того, что пространство W21 (0, Т) компактно вложено в С [0, Т], получаем, что при к — го

хрк (») — хр (»), р = 1, 2 , сильно в С [0, Т], (27)

то есть последовательность сходиться равномерно на отрезке [0, Т] .

В силу слабой сходимости (26) имеем

Т ёМ») ёЧЛ<) л — Т ^ ЛпрЛП, л (28)

0 ё» ёх 0 ё» ёх

при к —— го , р = 1, 2.

Теперь докажем, что при к — го

Т Т

Тик (») хрк (»)пр (»)Л — Т и (») хр (»)пр (»№ (29)

0 0

для п р е Ь2 (0, Т), р = 1, 2. Действительно, имеем

Т Т Т

Т ик(») хрк(»)п р(»)ё»=Т ик(»){хрк(»)- хр(»))п р)»№+Т (к(»)- и (»))хр(»)п р(»)ё»+

0 0 0

Т

+Т и (») хр (»)пр (»)ё», р = 1,2, к = 1,2,.... (30)

Сначала оценим первое слагаемое правой части этого равенства. Используя неравенство Коши - Буняковского, получаем неравенства

т

|()( ()-хр ())пр куи < Ъх ||пр\12(0,т)|хРк -хА[0,т],

о

к = 1,2,..., р = 1,2. (31)

В силу предельного соотношения (27) правая часть (31) стремится к нулю при к ^ю, тогда и левая часть будет стремиться к нулю при к ^ю.

В силу оценок (13), (14) и условия пр 6 ^2 (0, Т), р = 1,2, имеем

хрпр 6 Ь2 (0, Т), р = 1, 2 . Поэтому, учитывая это и предельное соотношение вида

(22), получаем, что

т

{(к ()-и (*))хр ()пр (*>* ^ ^ р =1, 2, (32)

0

при к ^ю . Таким образом, учитывая (32), предельные соотношения (27) и неравенства (31), переходим к пределу в обеих частях равенства (30) при к ^ю . Тогда получаем справедливость предельных соотношений (29).

Ясно, что последовательности {хрк (/)} удовлетворяют следующим интегральным тождествам:

Т Г №хрк и) № п и) 1 Т

{ —Ж---------Ж------ик (*)Хрк (*)Пр () = {Л ()Пр (1 №, р =1,2 к =1 2,...,(33)

0 1

для Уп1 6 W2 (0,1), Уп2 6 W21 (0, Т). Учитывая предельные соотношения (28), (29), переходим к пределу в интегральных тождествах (33) при к ^ ю . Отсюда получаем справедливость интегральных тождеств (5) для предельных функций хр (/), р = 1, 2. Кроме того, учитывая слабую сходимость последовательностей

{хрк (/)}, р = 1, 2, в пространстве W21 (0, Т), если переходить к нижнему пределу

в (23), (24), то при к ^ю получим справедливость оценок (6), (7) для предельных функций хр (/), р = 1, 2, так как в силу единственности решения редуцированной задачи все последовательности {хрк (/)}, р = 1, 2 , будут сходиться к

функциям хр (/), р = 1, 2, слабо в W21 (0, Т). Легко показать, что х1 = х1 (/) при-

о 1

надлежит пространству W2 (0, Т). Действительно, в силу теоремы вложения Со-

о 1

болева элементы последовательности {х1к (/)} из W2 (0, Т) принадлежат пространству С [0, Т] и справедливо предельное соотношение (27) при р = 1 . Кро-

01

ме того, из условия х1к 6 W2 (0,Т), к = 1,2,..., следует, что х1к 6 W21 (0,Т) и х1к (0) = х1к (Т) = 0,к = 1,2,... . Тогда с учетом предельного соотношения (27) при р = 1 и при t = 0 , t = Т получим х1 (0) = х1 (Т) = 0 . Из этих равенств и усло-

вия х 6 W21 (0, Т) следует справедливость того, что х1 = х1 ^) принадлежит про-

01

странству W2 (0, Т). Поэтому можем утверждать, что хр ^) = хр (^ и), р = 1,2, -

есть решение редуцированной задачи (2) - (4) при и 6 и .

Используя слабую полунепрерывность снизу норм в пространстве Ь2 (0, Т) и а > 0 для Уи0 6 Ь2 (0, Т), получим слабую полунепрерывность Ja (и) на множестве и , то есть

,1а* < Jа(u )< Ит Jа(uk ) = Jа* .

к

Отсюда имеем Ja (и) = Jа*. Здесь Jа* - точная нижняя грань функционала Ja (и) на множестве и . Это означает, что и 6 и есть решение задачи оптимального управления (1) - (4). Теорема 3 доказана.

Ниже докажем теорему о существовании и единственности решения задачи (1)

- (4) для Уи0 6 Ь2 (0, Т) и Уа>а0, где а0 > 0 - некоторое число, зависящее только от данных задачи.

Теорема 4. Пусть и0 6 Ь2 (0, Т) - заданная функция. Существует некоторое число а0 > 0, зависящее только от данных задачи (1) - (4), такое, что для Уа > а0 задача оптимального управления (1) - (4) имеет единственное решение.

Доказательство. Для доказательства теоремы сначала покажем сильную выпуклость функционала Ja (и) на множестве и с Ь2 (0, Т):

Ja(Pu1 +(1 -Р)и° )а( ) + (1 -РУа(и 0 )-*Р(1 ^Ци1 -и°|^ (0Т} (34)

для Ур 6 [0,1] с константой сильной выпуклости х > 0 (см. [8, с. 24]) .

Пусть и0, и1 6 и - любые допустимые управления и Р6 [0,1] - любое число. Обозначим ир = Ри1 +(1 -Р)и°. В силу выпуклости множества и получаем, что

ир 6 и , Ур 6 [0,1]. Пусть хр0 () = хр (; и0), р = 1, 2, являются решением редуцированной задачи при и = и0 6 и , а хр ^) = хр (; и1), р = 1, 2, - есть решение

редуцированной задачи при и = и1 6 и . Тогда в силу оценок (6), (7) имеем

|М|»-2(0,Т,<с.б1/11к<0,Т), т = 0,1-; ДО)

1М1,1(0, Т )< Ъ 11^2 (0, Т^ т = ^ ^ (36)

При ир 6 и решение редуцированной задачи (2) - (4) обозначим через хр ^) = хр ир), р = 1, 2. Тогда аналогично оценкам (35), (36) имеем

1М12 (0, Т) < ^Ъ К (0, Т); (37)

ИЦ(0, Т) < Ъ2 11^2(0, Т ) (38)

для Ур 6 [0, 1].

Рассмотрим разности 2^ (г) = хрр (г)-р(хр' +(1 -р)хр0), р = 1, 2 . Ясно, что эти функции будут решением следующей краевой задачи:

а2 2 р

р + ир(г)г/= Кр, р = 1,2, г 6 [0, Т]; (39)

Л2 р р

21в (0 ) = 2-1 (Т ) = 0; (40)

аг?р(0) агр(Т)

^ ’ = 2 ’ = 0, (41)

аг аг

где ^рр (г), р = 1, 2, определяются формулами

^р (г) = р(1 -р)(и1 (г) - и0 (г)) (1 (г) - х/ (г)) ,Р = 1, 2, р6[0,1], г 6(0, Т). (42)

В силу оценок (35) и (36) для функций хрт (г), р = 1, 2, т = 0,1, получим

справедливость оценок

1Ы[0 Т^ МЬ1 (0,Т), т = 0,1; (43)

||х2т|с[0Т]^ c2l\\f2\\Ll{о)т), т = 0,1. (44)

В силу этих оценок и формулы (42) получаем, что функции _Ррр (г), р = 1, 2, принадлежат пространству L2 (0, Т), то есть справедливо неравенство

|КР||2 <р2 (1 -р)2|| х'-х°||2 \и1 -и II2 <

II р ^2(0, Т) И V И' II р р 11с[0,Т] II 1^(0, Т)

< 4Р2 (1 -Р)2-(ІХІ2 + ||х_0||2 |«Ч|2 +1 \и0||2 ):

1 У \11 р ІІС[0,Т] II р ІІС[0,Т]/ \ІІ \\ь2(0, Т) II \\ь2 (0, Т))

Тогда аналогично оценкам (6), (7) имеем

< с28, Р = 1,2. (45)

№№т )< МГІЦт ,, М°,Ч; (46)

ХМ-

в II

2 ппА/’

,, 1 < с23 , Рє[0, 1]. (47)

11»г(0, Т) 23 II 2 ІІІ2 (0, Т)

Обозначим wp (ґ) = хр (ґ) - хр° (ґ), р = 1, 2 . Тогда используя редуцированную задачу (2) - (4), нетрудно получить задачу об определении функций wР (ґ), р = 1, 2, из условий

йґ2

+ и1 (ґ)wp = (и0 ()-и1 (ґ))хр0 (ґ), р = 1, 2, ґ є (0, Т); (48)

w1 (0 ) = w1 (Т ) = 0; (49)

dw2 (0) (Т)

—= 0. (50)

йґ йґ

Ввиду оценок (43), (44) функции (и0 ()- и1 (ґ))хр0 (ґ), р = 1,2, принадлежат

пространству L2 (0, Т). Поэтому для решения задачи (48) - (50) получим оценки

1Ы к (0, Т )< с24 - и )х1 ( Т); (51)

Kll^1 (0,Г )< С25 К»0 - U )x2°|i2 (0>г )• (52)

Используя в этих оценках формулы (43) и (44), получим

Ik II °1 ( „ + < c26 х0 и0 - и1 < c2J| fX ( t-Jm0 - и1 ; (53)

II 1\\W 2(0, T+ 26 || 1 ||C[0, t ] || ||l2 (0, t ) n\\J\\ L2(0, T + || Hl2(0, t )’

||w,|Un T) < c28 x20 и0 - и1 < c9J| fJL ( и0 - и1 • (54)

II 2IIW2(0, T) 28ll 2 llc[0, t]II IIl2(0, t) 29 n-'2^0, T+ || IIl2(0, t) v ’

Если обозначим c30 = c2^| fi\\L2 (0, T) , C31 = c2^| f2 II i2 (0, T+ то с Учетом фоРмУл^1 для функций wp (/), p = 1, 2 , имеем

Цх1 - х0! -1 < c30 Ци1 - и 0|| ; (55)

II 1 1 IW2(0, т) 30 II IIl2(0, т)

»x2l - x20 1 < c31 и1 - и0 • (56)

2 2 Ilw1(0, т) 31II IIl2(0, т) v '

В силу формулы (42) получим

||fp(/+ <P(1 -p)| xnl-xi -Ци1 -m0|| ,p = 1,2. (57)

II p v 'IIl2(0,т) v 'II p p Hc[0,т] II IIl2(0,t) ^

С помошью аналога неравенств (11), (12) из (55), (56) получим оценки

||x11 - x1i 0 < c32 Ци1 - и0|| ; (58)

II 1 1 11с0[0, т] 32II IIl2(0, т) v '

k1 - x90|| 0 < c33 Ци1 - и0|| • (59)

II 2 2 11с0[0, т] 33II IIl2(0, т) v '

Из этих неравенств и неравенств (57) , а также из (46) , (47) имеем

1И1 °1 < c34p(1 -р)-| М1 - и 0|| ; (60)

II 1 W2(0, т) 34PV р' II IIl2(0, т+ v '

М 1 < c35P(T -P)-| М1 - и 0||2 • (61)

II 2 Нж1(0, т) 35PV p' II IIl2(0, т) v '

В силу сильной выпуклости функционала ||и -m0||L2(0 т+ получим

IIйв-и01 L2(0,т)=вIй'-m^IL2(0,т)+(1-р)-1 Iй0 -и01 L2(0,т)-р(1-р)-1 К-m0IL2(0,т) (62) .1 ..0

для Vm , и е U , Ре [0, 1] •

Аналогично для нормы ||x1 - x2|L(0 т+ имеем

(x11 - x21 ) + (1-P)(x10 - x20 |^2(0,т) <||P(x11 - x21 |^2(0,т) +||(l-P)(x10 - x20 |^2(0,т) (63) для VP е [0, 1] •

Теперь оценим ||х1р - х/|I . Ясно, что можно написать равенство

II 111,2 (0, Т )

"ХГ - ИЁ, (0,Т )-|Р(1 - ^ ) + (1 -Р)(Х10 - Х^ІІІ2 (0,Т)

= (1 х1Р-^1 L2 (0, Т )-|Р(1 - ^ ) + (1 -Р)(х10 - х20 XL2 (0, Т ))Х Х(| х'Р- L2 (0, Т )+И( - ^ )+(1 -Р)(х'0 - х20 XL2 (0, Т)) .

Используя это равенство, можем получить неравенства

- х2Р III,(0, Т) < 11в - ^ ) + (1 - Р) (( - х20 )112(0, Т) +

ЦхтвЦ +1 |х2в|| +1 |х | +11 х2 | +

II 1 И2(0, Т) II 2 И2(0, Т) II 1 И2(0, Т) II 2 И2(0, Т)

+1 Хі I +1 Х II

II 1 ІІІ2 (0, Т) II 2 ІІІ2 (0, Т)_

21Ч + 22Ч ) (64)

1 И2(0, Т) II 2 1к2(0, Т)/

для Ур 6 [0, 1], У и0, и1 6 и . Отсюда в силу оценок (35) - (38) получим неравенство

1ЬР-х2Р| И2 (0, Т )<И( - х2 )+(1 -р)(х10 - х20 )^2 (0, Т) +

+ (3с1 Ц/^ (0, Т) + 3с2 II /2И2 (0, Т })'х| | )2 (0, Т) +Ы12 (0, Т)).

Используя в этом неравенстве неравенство (60), (61), получаем

ІІХН - Х0Н|| .<||р(Х - Х21 ) + (1 -Р)(х10 - Х20 ) +

Уи1, и0 є и , где

с =

\ь2(0, т) ІГ V 1 2 / 4 г 'V 1 2 >\\ь2(0, т)

+ср(1 -р)|и1 -(0,Т), УР є [0, 1], (65)

(3с1 II(0, Т) + 3с2 II/Ль2(0, Т))'(с33 + с34 ) . (66)

С помощью (63) из (66) получим

1ЬР-х2Р| И2 (0, Т )<Р1Кх11 - ^ ) + (1 -р)(х10 - х20 )^2 (0, Т) +

+ёр(1 -Р)|и1 -и0Ц2х0 Т), УР 6 [0, 1], Уи1, и0 6 и . (67)

Теперь умножим обе части (62) на а > 0 и полученное равенство суммируем с неравенством (67). Тогда имеем

Jа{uвX = ||х,Р -х2в|| +а||ив -и0|| <р!]х,1 -хД +а||и1 -и0|| ) +

а\ / II 1 2 IІL2(0,Т) II 0И2(0,Т) Р\11 1 2 И2(0,Т) У 0И2(0,Т)/

2

- и0 :

011Ь2 (0,Т)

+(1-р)(|Х!0 - Х0,Т )+Н |и 0 - ^ (0,Т o0-P(l-P)(a-с1К

= р-/а (и' ) + Х1 - РКа (и0 ) - Хр(1 - р)||и1 - и0 (0Т) , Уи1 и0 є и , УМ0,1] . (68)

Если х = а- с = а-а0 > 0, то функционал Ja (и) будет сильно выпуклым функционалом с константой сильной выпуклости х = а - а0, где а0 = с • По доказанной теореме 3 задача оптимального управления (1) - (4) имеет хотя бы одно решение при а > 0 для Vm0 е L2 (0, T) • По нашему условию а > а0 > 0 • Поэтому и в данном случае задача оптимального управления (1) - (4) имеет хотя бы одно решение, то есть множество

U* = {и* е U : { (и* + = J^ = inf J (и)}

непусто •

Кроме того, по доказанному функционал J(X (и) является сильно выпуклым функционалом на множестве U при условии а > а0 > 0, более того, строго выпуклым функционалом^ А для строго выпуклых функционалов множество U* состоит из единственной точка Таким образом, нами доказано, что существует такое число а0 > 0, что при а > а0 = с > 0 задача оптимального управления (1) -(4) для Vm0 е L2 (0, T) имеет единственное решение^ Теорема 4 доказана^

ЛИТЕРАТУРА

1, Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными, М^ Мир, 1972.

Литвинов В.Г. Оптимальное управление коэффициентами в эллиптических системах // Дифферент уравнения. 1982. Т ^ № 6. С 1036-1047.

3. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физика М^: Наука, 1973.

4. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М^ Наука, 1976.

5. GoebelM. On existence of optimal control // Math Nachi\ 1979. ¥• 93, ?• 67-73,

6. Иосида К. Функциональный анализ, М^ Мир, 1967,

7. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физи-m М,: Наука, 1988.

8. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М,: Наука, 1981

Статья поступила 2°,°3,2°1° г

Mahmudov N.M., Salmanov V.I. RESOLVABILITY OF THE OPTIMUM CONTROL PROBLEM FOR THE ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION OF THE SECOND ORDER WITH THE LIONS CRITERION OF QUALITY. The work is devoted to the study of a problem of optimum control for ordinary differential equations of the second order with the Lions functional as a criterion of quality. The correctness of the problem of optimum control for ordinary differential equations of the second order is investigated and the theorems of existence and uniqueness for the solution of the problem of optimum control are proved.

Keywords: differential equation of the second order, optimum control, Lions criterion,

MAHMUDOVNuraliMerhali ogly (The Nakhichevan State University)

E-mail: nuralimaxmudov^amblerru

SALMANOV Vugar Ibragim ogly (The Nakhichevan State University)