Разрешимость квазилинейного уравнения с моно- тонным оператором Текст научной статьи по специальности «Математика»

решениями, которые реализуются в режимах охлаждения с постоянными скоростями выдвижения формы.

Предварительно рассчитываются значения угла отклонения 8, градиента температуры О при квазистационарных режимах охлаждения для различных частей системы отливка-форма. Таким образом, получается набор предельных значений искомых параметров.

При известных временах перестроения параметров между предельными значениями в результате расчета выбираются моменты времени для изменения скорости выдвижения и температуры

печи, которые должны обеспечить удовлетворительный режим затвердевания монокристаллической отливки.

Результаты расчетного анализа применялись для назначения технологических режимов формирования монокристаллических лопаток газотурбинных двигателей и приводили к повышенному выходу годной продукции.

Таким образом, применение разработанной математической модели оказывается полезным для ускоренного проектирования динамических режимов направленной кристаллизации монокристаллических лопаток.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Каблов, Е.Н. Литые лопатки газотурбинных двигателей (сплавы, технология, покрытия) [Текст] / Е.Н. Каблов. - М.: «МИСИС», 2001. -632 с.

2. Кутателадзе, С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление [ Текст]: справ. пос. / С.С. Кутателадзе. - М.: Энергоатомиздат, 1990. -367 с.

3. Цаплин, А.И. Теплофизика в металлургии [Текст]: учеб. пос. / А.И. Цаплин. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. - 230 с.

4. Никулин, И.Л. Математическое моделирование роста монокристалла в промышленных условиях [Текст] / И.Л. Никулин, А.И. Цаплин, А. С. Коряковцев // Вестн. Перм. гос. техн. ун-та. -2005. - № 1. - С. 3-8.

УДК 517.988

А. Р. Абдуллаев, Э.В. Плехова, А.А. Савочкина

РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С МОНОТОННЫМ ОПЕРАТОРОМ

Рассмотрим уравнение

Ьх = Ех (1)

с линейным ограниченным оператором Ь: X ^ У и вполне непрерывным оператором Е: X ^ У, где X, У - банаховы пространства.

В случае обратимости оператора Ь вопрос о разрешимости уравнения (1) эффективно решается исследованием эквивалентного уравнения

х - их¥х

с применением теорем о неподвижных точках. В ситуации, когда оператор Ь необратим, квазилинейное уравнение (1) принято называть резонансным [1, 2].

Интерес к операторному уравнению в резонансном случае обусловлен тем, что в представленном виде (1) можно рассматривать многие классы периодических краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и краевые задачи для уравнений с частными производными в критических случаях. Уравнение (1) в случае резонанса активно изучалось многими авторами (см. библиографию к работам [3-8]). При этом основные методы исследования на разрешимость уравнения (1) используют предварительное применение преобразования Ляпунова - Шмидта [9, с. 18], и проблема разрешимости уравнения (1) сводится к вопросу о существовании неподвижной точки вспомогательного оператора. Применение теорем

о неподвижных точках позволяют получить достаточные признаки разрешимости уравнения (1).

В предлагаемой работе получены новые достаточные условия разрешимости уравнения (1) в случае, когда вспомогательный оператор, связанный с уравнением (1), является монотонным в смысле скалярного произведения [10, с. 79]. Эффективность основного утверждения работы показана на примере периодической задачи для скалярного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Вспомогательные утверждения и конструкции

Для удобства чтения содержание этого параграфа разделено на пункты.

1. Символом У(г) обозначим замкнутый шар радиуса г > 0 с центром в нулевом элементе. Для непрерывного оператора Е: X — У рассмотрим функциональную характеристику Ьр (г)= вир Ц-РлсЦ.

1Н1-'"

В случае линейного ограниченного оператора Ь: X —> У имеет место равенство Ь1 (г) = ||!,||г Для нелинейного оператора Е удовлетворяющего условию Ц-КсЦ^ а + б||лг||, х е X с некоторыми неотрицательными константами а и Ь, справедлива оценка Ьр(г) <а + Ьг. Если Ьр(г^<°°, то справедливо вложение ^(к(г))ск(г[), где гх - Ьр (г). Отметим, что такое вложение играет ключевую роль при использовании теорем о неподвижных точках.

2. Пусть Н - действительное гильбертово пространство со скалярным произведением (•,•), 2 - банахово пространство, и Ф\2х.Н —> Н -непрерывный оператор. Рассмотрим уравнение

Ф(г,и)=0 (2)

и введем в рассмотрение оператор Ф0 :2 —» Н,

Фо* = фоМ).

В следующем вспомогательном утверждении, предполагается сильная монотонность оператора Ф(у) по второму аргументу.

Лемма 1. Пусть существует такая положительная константа с > 0, что для любых пар и, V е Н и произвольного г е 2 выполнено неравенство

(ф(г,м)- - у)> с\\и - у||2. (3)

Тогда существует такой непрерывный оператор Т: 2 — Н, что:

1) для любого г е 2 и = Тг есть решение уравнения (2), то есть Ф(г, Тг) = 0;

2) ^(г^бфДг).

Доказательство. Произвольно зафиксируем г е 2. Оператор Ф(г,-) является строго монотонным [11, с. 459]. Пусть X - некоторое число, удовлетворяющее условию

Х>-||ФМ)||.

с

Для любого ивН, ||и|| > Я справедливо неравенство

(ф(г,м),и)=(ф(г,и)-Ф(г,е),и-0)+ + (ф(г,0),м)>(с||м||-||ф(г,е)|Щ|м||>О. (4)

Таким образом, оператор Ф(^,-) удовлетворяет условиям теоремы о существовании единственного решения уравнения первого рода со строго монотонным оператором [11, с. 468], согласно которой уравнение (2) имеет единственное решение и е Н при каждом фиксированном г е 2 Иными словами, существует оператор Т: 2 — Н, который каждому г е 2 ставит в соответствие и е Н - решение уравнения (2), то есть для любого г е 2 выполнено равенство Ф(г, Тг) = 0.

Если положить щ = Тгъ и0 — 7г0, еX, то в силу условия (3) справедливо соотношение

Из последнего неравенства следует непрерывность оператора Т.

Полагая в неравенстве (4) и = Тг, полечим

0 = (ф{г,Тг),Тг)> (с||Гг|| - ||ф(г,0)||)|2Ь||.

„ „ 1ФМ)1

Таким образом, \\Тг\\ <11--.

с

Переходя в последнем неравенстве к супремуму по всем г е У(г), получим оценку для Ьр (г):

Лемма доказана.

Отметим, что в случае уравнения Ф(и) - г = 0 с оператором Ф: Н — Н утверждение леммы 1 совпадает с широко известной теоремой о существовании обратного оператора [10, с. 97].

3. В этом пункте приведем описание схемы исследования на разрешимость уравнения (1). Пусть Ь: X — У — линейный ограниченный оператор с дополняемыми ядром Кег Ь и образом Я(Ь), т. е. существуют такие замкнутые подпространства !0с! и 70 с У, что

Х = Х0® Кег Ц У = Я{Ь)® У0.

Пусть Р : X —> X — проектор на Кег Ь, и X — обобщенно обратный к оператору Ь, ассоциированный с проектором Р [12]. Пусть Q : У — У — проектор на Я(Ь), 0,° — дополнительный проектор. Определим оператор Оо '.У —ьУ^ равенством О^у - О?у, у е У.

Вместе с уравнением (1) рассмотрим вспомогательное уравнение

x = KpF(x + Tx).

(5)

Если будет установлено существование такого оператора Т : X—X, что Т (X) с Кег Ь и Е(х+Тх) е е Я(Ь) для любого х е X, то из разрешимости уравнения (5) будет следовать разрешимость уравнения (1).

Для доказательства существования требуемого оператора Т рассмотрим уравнение

Q^F(x + u)= 0

(6)

а4) оператор Е: X — У является вполне непрерывным.

В значительной части работ, посвященных исследованию уравнения (1) в случае резонанса, оператор Ь предполагается фредгольмовым или нетеровым неотрицательного индекса. Для таких классов операторов выполнены условия а1) и а2), причем (ШпКег Ь<°°. В данной работе не предполагается конечномерность ядра линейного оператора. С другой стороны, сформулированные условия исключают случай, когда оператор Ь имеет ненулевое ядро и сюръективен. По классификации, предложенной в работе [13], такой случай резонанса относится к устойчивому, и в данной работе не рассматривается.

При выполнении условия а2) существует инъ-ективное отображение J :У0 —> Кег Ь, которое далее предполагается выбранным.

Теорема 1. Пусть существует такая константа с > 0, что неравенство

(/¡05 ^(х + ^-^х + у)),!/-^ > + Ч1я0 (7)

справедливо для всех х е Xи произвольных и, у е

Тогда существует такой непрерывный оператор Т: X —> Н0, что для любого х е X имеет место включение Р(х + Тх)вЯ(Ъ) и справедлива оценка

JQo bF{r). (8)

bT (r) = sup \\Tx\\H < — ||дг||<Г ° С 1

Доказательство. Оператор Ф:ХхЯ0 определенный равенством

• На

и докажем, что при каждом фиксированном и е Кег Ь существует единственное решение х = = х(и) уравнения (6). Для реализации этого этапа применяется лемма 1.

Теорема существования

Основной результат работы будет доказан в следующих предположениях:

а1) ядро и образ линейного ограниченного оператора Ь дополняемы, т. е. X -Х0® Кег Ь, 7 = Д(Х)ФУ0;

а2) подпространство нетривиально и изоморфно некоторому подпространству Кег Ь;

а3) ядро Кег Ь = Н0 оператора Ь является гильбертовым пространством со скалярным произведением (•,• , причем ||х||я = ||х||^;

ф(х,и) = ^Р(х + и),

удовлетворяет условиям леммы 1. Поэтому существует непрерывный оператор Т: X —> такой, что

^Р{х + Тх) = Ъ.

Так как оператор О инъективен, то

0^Р{х + Тх)=Ъ

для любого х е X. Это означает справедливость включения Р (х + Тх) е Я (£) для любого х е X. С использованием утверждения 2) леммы 1, имеем: г \

Ът{г)±-

с

вир

|Ы|<г

Теорема доказана.

<1

JQo bF{r).

Теорема 2. Пусть выполнены условия:

1) существует такая константа с > 0, что неравенство

выполнено для всех х е Xи произвольных и,у е Н0;

2) существуют константы а > 0, Ь > 0 такие, что выполнено неравенство ЦЕсЦ^ я + йЦдсЦ, для всех х е X;

3) b\\Kf

Ъ

1 + -

JQo

<i.

be <r

<a + b

r +

JQ)

(a + br)

имеет положительное решение fy Это означает справедливость вложения

Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение.

Доказательство. Согласно теореме 1, условие 1) теоремы 2 гарантирует существование непрерывного оператора Т .X —> Н0, обладающего свойством + Тх) € Я (¿), для любого x е X. При этом справедлива оценка

bT(r)<-JQq bF (г) < — (а + br) JQq

с с

Рассмотрим операторное уравнение

x = KPF0x, (9)

где Кр - обобщенный обратный к оператору L, а оператор Fq .X—^R(L) определен равенством F0x-F(x + Tx).

Оператор F0 обладает свойством полной непрерывности как произведение линейного ограниченного оператора Кр, вполне непрерывного оператора F и непрерывного оператора (I + T). Переходя в неравенстве

||F (jc + Гх)|| < а + b ||JC + 7х| к супремуму по всем x е V(r), получим оценку: bpo (г) = sup ||F (л + Гх| < а + b (г + Ьт (г))<

Таким образом, выполнены условия теоремы Шаудера, согласно которой уравнение (9), а вместе с ним и уравнение (1) имеют хотя бы одно решение.

Приложение

Приведем пример, показывающий эффективность применения теоремы 2.

Рассмотрим периодическую краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

[*(*)=/(*,*(*)). te[0,T]; |х(0)=х(Г), х(0) = *(Г),

(10)

где функция f; [0,7,]хЛ1 —> Л1 удовлетворяет условию Каратеодори.

На пространстве Ж = ^[0,7Т] функций , имеющих абсолютно непрерывную производную, таких, что хеХ^ = ^[О^], норму определим равенством

14гЧ*(°)+1*(0)1+11*1

I L£

где ¿2 - пространство суммируемых с квадратом функций х: [О,Г]—> в}. Под решением задачи будем понимать функцию x е W, почти всюду удовлетворяющую дифференциальному уравнению и периодическим краевым условиям задачи (10).

Пусть X = {х е Ш / х (0) = * (Т), х (0) = х (Г)}, У = Ьт Определим операторы Ь,Р: X —> У равенствами

Lx = x, (Fx)(t)=f(t,x(t)).

(11)

В силу условия 3) неравенство

||.Кр I (а + b (г + bp (r)))< г

Это позволяет представить краевую задачу (10) в виде операторного уравнения (1). Для линейного оператора L имеем:

Кег L-^xsX I x(t)~ const}, R(L)=\y<=YI ¡у (s)ds = 01.

Таким образом, для рассматриваемого примера оператор Ь является фредгольмовым с одномерным ядром.

Условия разрешимости краевой задачи (10) сформулируем в виде следующей теоремы существования.

Теорема 3. Пусть выполнены условия:

1) существует такая константа сх >0, что справедливо неравенство

(/ ('> Щ )- / ('> "2 ))(м1 — м2 ) — С1 ("1 - "2 )2

для любого £ е [0;Г] и произвольных щ,и2 е Т?1;

2) существуют такие константы а\ >0, 1\ > 0 Ь1 > 0, что неравенство

|/(^,м)|<а1+61|м|

выполнено для любых t е [0;Г], и е

3) (л/Г + Ь^/с^ + у[Щ)< 1, где

у = шах{1, Т, л/ГАЗ }.

Тогда краевая задача (10) имеет хотя бы одно решение.

Доказательство. Если проектор Р : X — X на Кег Ь определить равенством Рх = х(0), то обобщенный обратный к Ь оператор, ассоциированный с данным проектором, будет действовать по правилу

гТ *

{КРу){г) = -1 (*)& +1 (г - з)у (5)&.

о о

Известно [2], что для нормы оператора КР справедлива оценка

\\КР\\<1 + 4т1Ъ.

Непосредственная проверка показывает, что оператор, определенный равенством

1

является проектором на Я(Ь), тогда оператор

л

Оо : Г —» 1о имеет вид

о

Изоморфизм между одномерными подпространствами и Кег Ь определим равенством

Оу = у. Можно показать, что

да

Будем рассматривать одномерное пространство Кег Ь, состоящее из тождественных констант, как пространство со скалярным произведением

(м1,м2)=С1С2,

где И! (V Сь м2 (*)= С2.

Из условия 1 теоремы следует выполнение условия 1 теоремы 2 с константой с = сх. Условие 2 обеспечивает не более чем линейный рост оператора Е, т. е. выполнение второго условия теоремы 2 с константами а = г^л/т и Ъ = у. При выполнении условия 3 теоремы справедливо соответствующее условие теоремы 2.

Таким образом, все условия теоремы 2 выполнены, поэтому операторное уравнение (1) с операторами Ь, Е, определенными равенствами (11), имеет хотя бы одно решение. Для краевой задачи (10) это означает существование хотя бы одного решения в пространстве Ж.

Теорема доказана.

Полученный результат уточняет, в частности, теорему 3 работы [2].

В заключение отметим, что применение теоремы существования (теорема 2) оказывается гораздо эффективнее традиционных подходов, применяемых в теории краевых задач для уравнений в частных производных.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», регистрационный номер проекта 2.1.2/6150.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Martelli, M. A note on boundary value problems at resonance [Text] / M. Martelli // Atti. Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. -1978. - Vol. 64. - № 4. - P. 356-362.

2. Абдуллаев, А.Р. Об одной схеме исследования на разрешимость резонансных краевых за-

дач [Текст] / А.Р. Абдуллаев, А.Б. Бурмистрова // Изв. вузов. Математика. - 1996. - № 11. - С. 14-22.

3. Bonheure, D. Problems at resonance for equations with periodic nonlinearities / D. Bonheure, C. Fabry, D. Ruiz // Nonlinear Analysis. - 2003. - № 55. - P. 557-581.

4. Fucik, C. Ranges of nonlinear operators [Text] : monography / С. Fucik. - Prague: UCP, 1977. - 133 p.

5. Furi, M. Contributions to the spectral theory for nonlinear operators in Banach spaces [Text] / M. Furi, M. Martelli, A. Vignoli // Ann. Math. Pura Appl. - 1978. - Vol. 118 - P. 229-294.

6. Mawhin, J. Landesman - Laser's type problems for nonlinear equations [Text] /J. Mawhin // Conf. Sem. Math. Univ. Bary. - Bary, 1977. - № 147. - 50 p.

7. Nirenberg, L. Variational and topological methods in nonlinear problems [Text] / L. Nirenberg // Bull. Amer. Math. Soc. - 1981. - Vol .4 - № 3. -P. 267-302.

8. Tarafdar, E. On the existence of solutions of the equation Lx = Nx and a coincidence degree theory [Text] / E. Tarafdar, S. K. Teo // J. Austral. Math. Soc. -1979. - Ser. A. - Vol. 28. - P. 139-173.

9. Вайнберг, М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений [Текст] : монография /

М.М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М.: Наука, 1969. -529 с.

10. Гаевский, Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения [Текст] : монография / Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. - М.: Мир, 1978. - 336 с.

11. Треногин, В.А. Функциональный анализ [Текст] : монография / В.А. Треногин. - М.: Наука, 1980. - 496 с.

12. Абдуллаев, А.Р. Элементы теории топологически нетеровых операторов [Текст] : монография / А.Р. Абдуллаев, А.Б. Бурмистрова. - Челябинск, 1994. - 93 с.

13. Бурмистрова, А.Б. Краевые задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений в случае резонанса [Текст] : дис. ...канд. физ.-мат. наук: 01.01.02: защ. 16.10.1991: утв. 23.04.1992 / Бурмистрова Алла Борисовна. -Свердловск, 1991. - 134 с. - Библиогр: с. 123-134.

УДК 535.233.43/535.321.54/536.52

В. И. Иордан, А.А. Соловьев

РЕДУКЦИЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ ГЕТЕРОГЕННЫХ ПОТОКОВ МЕТОДОМ «ОБРАЩЕНИЯ» ИХ ИНТЕГРАЛЬНОГО ТЕПЛОВОГО СПЕКТРА

В современном машиностроении и других отраслях промышленности важное место занимают газотермические технологии обработки материалов концентрированными потоками энергии [1], напыления защитных и восстановительных покрытий [2], синтеза материалов с заданными функциональными характеристиками [1]. Чаще других используются плазменное, газоплазменное и дето-национно-газовое напыление (ДГН) покрытий, которые производятся с помощью мелкодисперсного порошка частиц металлов или их оксидов, распыленных дозатором в процессе загрузки порошка, например, в струю плазмотрона или струю ДГН, истекающую из выходного «сопла» технологической установки напыления. Объемная плотность напыляемых частиц в транспортирующей струе обычно не велика, поэтому такие гетерогенные многофазные потоки называют «запыленными» струями [2]. Контроль скорости и температуры дисперсной фазы потока в технологии ДГН за-

труднен в связи с проявлениями характерных особенностей процессов взрыва и горения. При этом оптические методы требуют учета гетерогенности и излучательных характеристик материала частиц в потоке.

Кроме этого, не всегда учитываются дисперсность сред, высокая температура, быстротечность при разработке большинства приборов контроля температурно-скоростных параметров высокотемпературных быстропротекающих технологических процессов получения покрытий и синтезируемых материалов. Помимо этого, напыляемые частицы в различных сечениях струи (рассматриваются как конденсированная фаза потока в сочетании с существенными динамической и тепловой неравновесностями фаз многофазного потока) характеризуются распределениями по размерам, температурам и скоростям. Поэтому измерение и контроль только лишь одного «эффективного» (осредненного) значения температуры или скорости