CC BY
11УДК 517.956.4
РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ*)
В, И, Антипин
Пусть Л — конечный интервал ( —1,1) оси Ox Q — прямоугольник П х (0,T), 0 < T < + <ж. В области Q рассматривается уравнение третьего порядка с меняющимся направлением времени:
Lu = sgn x щ — uxxx = f(x,t). (1)
Решение u(x,t) уравнения (1) ищем при выполнении начальных условий
u(x,0) = щ(х), x £(ОД), u(x,T) = ut(x), x £ ( —1 , 0), (2)
и однородных краевых условий
u( — 1 ,t) = ux( — 1 ,t) = u(l,t) = 0, t £(0,T). (3)
В работе [1] разрешимость поставленной краевой задачи для уравнения (1) сводится к системе сингулярных интегральных уравнений, которая в классе регулярных решений однозначно и безусловно разрешима.
Введем обозначение: (u, v) = J uvdx — скалярное произведение
n
L
о
ем функцию u(x,t) такую, что u £ L2(0,T;W2( —1,1)), ut £ L2(Q) и
Работа выполнена в рамках реализации фцп «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009^2013 гг. (мероприятие 1.3.1.)
© 2011 Антипин В. И.
выполнено следующее интегральное тождество:
я я
1 о
+ / и(х,ТМх,Т)Пх + I ф,0Мх,0)<Ъ
О -1
О 1
= J f(x,t)v(x,t)dxdt + J ит(х)ю(х,Т) ¿х + J щ(х)у(х,0) ¿х (4) Я -10
для любой функции ^х,Ь) € ¿2(0, Т; ( —1, 1)) такой, что VI € Ь2(Я)
v( — ,Ь)^(1,Ь) = 0, Vx(l ,Ь) = 0,
(5)
^х, Т) = 0, 0 < х < 1, ^х^^О, — <х<0. Обозначим через Н гильбертово пространство функций ^х,Ь) € Ь2 (0 ,Т;Щ — 1, 1) П Щ — 1,1)) таких, что vt € Ь2(Я) и 1,Ь) = 0. Н
\\и\\н= {\\и\?ь2(о,т-М1 — ,1)) + \\и^ЫЯ))1/2.
Теорема. Пусть ¡(х,Ь) € Ь2 (0 ,Т;Щ-1(П)), и0{х),ит (х) € Ь2(П).
и
стве Ь2 (0,Т; Щ — 1, 1)).
Н
ную билинейную форму
1 о
м ш] ^.т»™ >ф.т^ + 1и1х,тх.^" ¿х
о -1
—1 ^^пхищ ^
Я Я
— и^х,Ь)(в7^х^ ^(х,Ь))хх dxdt + е ихх(х,Ь^хх(х,Ь) (е > 0)
ЯЯ
и задачу о нахождении функции ие € Н:
ае(пе,у) = ! в7(х+1 ]${х,^{х,1) "х"Ь Я
о 1
+ 1е^Тх>фХ^ + 1е->х+'>МхИх, »XIх (7)
О
для всех V € Н. Вещественный параметр 7 будет выбран позже. Докажем неравенство
Мие,ие)\ > С1\\ие\\Н. (8)
Вначале докажем одно вспомогательное неравенство. Выберем 7 < 0 такое, что в'7' < 2. Тогда
1 1
¡^'и"х Ч и"х. 191
-1 -1
Справедливы неравенства
111 J и2"х <4 J иХ "х <8 J в~'(х+1 )иХх "х (10)
— — -1
для всех и € ( —1, 1) таких, что и(— 1) = и(1) = 0. Действительно, первое неравенство доказывается интегрированием по частям. Имеем
1 1
J и2 "х = — J 2ииХх"х,
-1 -1
откуда с учетом неравенства иих < (1/4)и2 + и^и \х\ < 1 вытекает, что
11 11
-1 -1 -1 -1
Используя (10), из неравенства (9) получим 1 1
е7(х+1 и ¿х / е^(х+1 ]и2х <х, (11)
-что и требовалось.
Рассмотрим интеграл
/ = — J их(е~'(х+1 ]и)хх ¿,хЛЬ, и € Н. (12)
= — I их( е'- 'и )хх ¿хаЬ, и Я
Интегрируя (12) по частям, имеем
/(3
2
Я
Используя неравенство (11), приходим к неравенству
Я
Выбирая теперь 7 < 0 так, чтобы одновременно выполнялись неравенства
(3 — 872) > 1, е27 < 2, (13)
что возможно при малых отрицательных 7, получим неравенство
Я
которое в силу (11) также можно переписать в виде
I > J (и2 + и2)е'(х+1) дЦ Уи € Н. (14)
Я
Далее считаем, что параметр 7 зафиксирован и удовлетворяет неравенствам (13). Возьмем в (7) ^ = иЕ. Интегрируя по частям, получим
1
J е-<(х+1) Я£11хиеи1д,х<й = 1 J (ие)2|о ¿¿г
Я-
i
= ij eY(x+1)sgnx ((ue)2 (x,T) — (uef (x, 0)) dx
-
i
= !J eY(x+V ((uE)2 (x,T) — (u^ (x, 0)) dx о
о
_ iy e^+1)((we)2(x,T) - (we)2(x,0))dx. (15)
Используя (14), имеем
i о
{u£? íx,T)e1(^) dx+ f(ue
J tur- b + jW dx
o -1
-J e7(x+1) sgnx ueuf dxdt + ej(ue)t dxdt — J u%{ eYx+1 ^u£)xx dxdt
Q Q Q
i о
+ ef (uE fxx dxdt > У (uEf (x,T)eY{x+1) dx + j(ue f {xß)eYx+1) dx
Q-i
_iy eT(^+D((^)2(a.jT) _ (Me)2(x, 0 ))dx
о
0
+ iy ((u^ (x, T) — (ue)2 (x, 0)) dx
-
+ £ J(ue ft dxdt — J uex(e~'(x+1 ]u^xx dxdt Q Q
~mf + (м£)2)е7(ж+1) dxdt +e У dxdt
i i = \J {u'f{x,T)e^x+1Ux+l- j (u£f(x, i
е [(ие)2 д,хЖ - — [((ие)1 + (ие)2)е'(х+1) ¿хЛ + е [(ие)2хх ЖсМ.
] 16 ^ Я (16)
Н 16 у
ЯЯ
Окончательно получим неравенство 1 1
еи
Я
--
)" + (иЕхх)2) ¿хЖ + I((и%)2 + (ие)2)е^х+1) ¿Я Я
< с{ ! е1{х+1 Ч^ЬЫхЬХхха^ ! е1{х+1 ]ит(х) ^х,^ ¿х
Я-
+ У е^1 )uo(x)v(x,0)dx^ =с\а(ие,ие)\, (17)
с
Используя неравенство Кошн с малым параметром в правой части, придем к неравенствам
о
Я-1
ЧеУ1х+1 «м*»* < ^
Я
о
•с я.........—
-1 о
1
+ СЕз J (и0(х))2 ¿^¿Ь. (18)
Тогда из (17) получим
1 1 {иЕ? (х,Т)в^х+1) 1(иЕ
-1 -1
/((<? + (иХх)2) йхА + |((<)2 + {и£)2¿ф
Н) Т \ихх) ) Т J \\их)
Я Я
< С Ш(х,*) — д)) + \\ит\Ц2(-1,0) + ||и0 У12(0,1) )> (19)
где постоянная вх те зависит от е. В частности, из (17) имеем
а{иЕ,иЕ) > ^Ци^Ц, (20)
где постоянная ¿о> вообще говоря, зависит от параметра е. Эта оценка и теорема Лакса — Мильграма [2] гарантируют существование функции иЕ такой, что выполнено (7) для всех V € Н. Функция иЕ удовлетворяет априорной оценке (19).
Из оценки (19) вытекает, что найдется подпоследовательность и^ = иЕк такая, что — и,их слабо в (и € — 1, !))>
= 0) (5 — боковая поверхность ф), и^(0,х) — щ € Ь2( —1, 1), и^Т,х) — ит € Ь2( —1, 1) слабо в Ь2— 1, 1). Кроме того,
\е(икхх, ъхх)\ < уД\\икхх\\ьъ{С)) ■ \\^хх\\ь2(д)\^ 0
при е —> 0,
\{еииюг)\ < \[ес —>■ 0
е—
Используя эти сходимости, переходим к пределу в (7) и получаем, что (7) выполнено для предельной функции и и всех V € Н. Далее получим
1 о
! 88° х(-т - -<х' ^ т>+ I в*м их■ т^х-т ¿х
-
1 о
+ / в^1 их ,0)v(x,0)dx+ / (щ — и(х, 0)) sgn хв7(х+1^ ¿х = 0.
I Л (21)
Отсюда следует, что
и(х,Т) = ит € ¿2(0,1), х > 0;
и(х, Т) = 0, х < 0; и(х,0) = щ € ( —1, 0), х < 0; и(х, 0) = 0, х > 0.
Предельное значение и(х,Ь) является обобщенным решением краевой задачи (1)-(3) в смысле интегрального равенства (4). Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнения смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979.
2. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук. Думка, 1965.
г. Якутск
28 января 2011 г.
