О некоторых свойствах собственных и присоединённых функций одной индефинитной задачи Штурма — Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ИНДЕФИНИТНОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА— ЛИУВИЛЛЯ*)

В, Г, Марков

Рассматриваются спектральные задачи вида

п" = \д(х)п, п(-1) = п(1)=0, (1)

где д(х) — вещественная функция, принимающая как положительные, так и отрицательные значения при х € ( —1,1). Задачи Штурма —

дх

липтические задачи такого вида были предметом исследований многих авторов. Эти проблемы возникают во многих областях физики и прикладной математики. Достаточно полная библиография может быть найдена в монографиях [1,2]. В частности, в [1-4] и ряде других работ рассмотрен вопрос о базисности по Риссу собственных и присоединенных функций задачи (1) в пространстве Ь с весом \д\ (которое естественным образом возникает в таких спектральных задачах), т. е. вопрос о существовании эквивалентного скалярного произведения в этом пространстве, относительно которого система собственных функций задачи (1) является ортонормированным базисом. Однако во всех работах, посвященных вопросам базисности, рассматривались спектральные задачи вида (1) лишь с непрерывными условиями скле-

дх

Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (20092011 гг.)» (код проекта 2.1.1/13607).

©2011 Марков В. Г.

случае д(х) = sgnx функция в точке х = О, вклю-

чая первую производную. В настоящей работе мы рассматриваем вопрос о базисности по Риссу собственных функций задачи (1) в случае общей матрицы условий склеивания с постоянными действительными

дх

опальных пространств, используемых в работе, могут быть найдены, например, в [1].

Вопросы разрешимости в пространствах Гёльдера соответствующей краевой задачи для параболических уравнений с меняющимся направлением времени в случае полной матрицы условий склеивания рассматривались в [5].

1 я2

Рассмотрим оператор Ь = в весовом гильбертовом про-

странстве Е = Ь2,д( — 1,1), где д(х) € Ь ( —1,1) и хд(х) > 0 почти всюду па ( —1,1), с нормой

М\2

\12 ,д(-1 д) = J Ых) Ых) I2 -1

Область определения В(Ь) оператора Ь состоит го функций и(х) € ( —1 , 0) П W^0,1) таких, что Ьи € Е, и{ — 1) = и(1) = 0 и выполнены условия склеивания

и-(0) а в \( и+(0) \

и'—{0))~ \ 7 ^ \,и/+(0) )■ (г)

Обозначим определитель общей матрицы склеивания через 6 = аш — вч и будем предполагать, что 6^0.

Введем полуторалинейную форму, которая записывается в виде о 1

[и,у] = ! д(х)а.ои(х)у(х) ¿х + J д(х)вои(х)у(х) ¿х, (3)

-

ав

Ь

формы [-, •], т. е. условие того, что [Ьи,у] = [и, Ьу] для произвольных

u,v G D(L). Интегрируя по частям, находим 0 10 ш

[.Lu, v] = j aou"v dx + j ßau"v dx = j a$v du' + j ß$v du'

-1 о -10

0 1

= a^vu'^^ — j agu'v' dx + Pqvu'\q — j ßgu'v' dx

-

о 1

= agvu'\x=—q — j aov' du — ßovu'\x=^o — j ßov du

-о

= о.оУп'\х=—о — а^'п^-^ J aov"пdx—fiovп'\x=+o — fiov'п\Q + J ¡¡^ю"пйх

-1 о

= [п, + aQvп'\x= -о — aQv'п\x=-о — А^п'^+о + Д^'п^+о

= [п, + а$(уп' — го'п)\х= -о — Ро^п' — -и'п)\х=+о,

где

(1оп' — ^и' п^\х= -0= (аи + виг) (^п + шп')\х=+о — {ти + ^и') (а.п + рп')\х=+о

= (а^п' + ру^ п — р^п' — а^'п) \х=+о = аи^ь/ — ^^ п^\х=+о — Рч^п' — ^п)\х=+о = (аш — Р^^п' — ^п)\х=+о-

Отсюда окончательно получим

[Ьп,^^ [п, Ьп] + а0(аш — р^^п' — ^п)\х=+о — Ро^п' — ^п)\х=+о = [п, 1п] + (а0(аш — Рч) — Р^^п' — ^п)\х=+о-

Итак, равенство [Ьп, ^ = [п, Ью\ имеет место тогда и только тогда, когда ао(аш — р^) — Ро = 0 или

а06 = Ро- (4)

2. При выполнении (4) если 6 = аш — р^ < 0, то постоянные ао, Д> разных знаков. Тогда полуторалинейная форма (п, v) = sgn ро[п, v] является эквивалентным скалярным произведением в Е. Покажем, что

оператор L : Е ^ E самосопряжен вЕс этим скалярным произведением. В силу его симметричности достаточно показать, что О G p(L), или просто решить уравнение

Lu = f G L,g(-1,1) (5)

и показать, что уравнение (5) имеет единственное решение из D(L). В самом деле, из уравнения (5) имеем, что

uxx = f(x)g(x).

Далее, докажем, что uxx G L\( —1, 1). Так как f(x) G L,g( — 1,1) и g(x) G Li ( —1, 1), используя неравенство Гёльдера, получим

Ii 1

J \uxx\dx= J\f(x)g(x)\dx = J\f(x)\s/\g(x)\s/\g(x)\dx -l -l -l

l l <f \f(x)\2\g(x) \ dxj \g(x) \ dx < C. -l -l

Таким образом,

i 1 1

I / f f(t)g(t) dtdr + c± + c2x, x > 0,

I x T

\

I I f(t)g(t) dtdr + + n2x, x < 0, -i -i

i

— J f(t)g(t)dt + c2, x>0,

ux

f f(t)g(t)dt + K2, x < 0.

-i

Используя краевые условия, имеем

c c ,

К\ — К2 = 0.

Введем обозначения

11 От

h = / / dtdT, h = J J ftgt dtdr,

T

(6)

1 и

/з = -1 /(г)д(г) Л, и = У

А,

(7)

о -1

тогда условия склеивания (2) запишем в виде

/1 + «1 = а/1 + а^ + вс2 + /31з, ( ас! + вс2 — = 1д,

/4 + к2 = 7/1 + 7С1 + ^^^ + [ 7С1 + ^^ — к2 = /оо,

окончательно

(а — в)с1 — кх = /0,

(7 — — к = ^о, где /о = /1 — аД — в/з, /оо = Ь — чЬ — и/3.

Для того чтобы система уравнений (7) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы не равнялся нулю, т. е.

а — в — 7 + (8)

Итак, при выполнении условия (8) доказаны самосопряженность и обратимость оператора Ь.

Таким образом, при выполнении условия (8) вместо спектральной задачи

Ьи = Хи (9)

можно рассмотреть спектральную задачу и = \Ь-1 и, где оператор Ь-1 также будет самосопряженным.

Докажем, что обратный оператор Ь-1 : Е ^ Е вполне непрерывен. Как показано выше, если и е Е, то Ь-1 и е ^2(0,1)ПШ^— 1, 0). В силу-компактности вложений ^(0,1) С Са([0,1]) С Ь2,д(0, 1), ^—1с Са(— 1, 0]) С Ь2,д( — 1,0) для любого а е (0,1) итератор Ь вполне непрерывен. Действительно, взяв ограниченную в Е последовательность ип, можем выделить подпоследовательность иПк такую, что подпоследовательность Ь-1 иПк сходится в Ь2,д( — 1,1), откуда и вытекает вполне непрерывность.

Итак, находимся в условиях теоремы Гильберта — Шмидта, согласно которой существует ортонормированный базис из собственных

Е

Таким образом, доказана

Теорема 1. Если 6 < 0, то при выполнении условий (4), (8) найдется эквивалентное скалярное произведение в пространстве Ь ,д (— 1,1), в котором оператор Ь самосопряжен. При этом собственные функции спектральной задачи (9) после соответствующей нормировки образуют ортоиормироваииый относительно этого скалярного произведения базис пространства Ь,д( — 1, 1)-

3. Рассмотрим случай 6 > 0. В этом случае полуторалинейная форма [■, •] уже не является скалярным произведением, а является индефинитной метрикой. Тогда, как и ранее, симметричность оператора Ь

но этой индефинитной метрики (см., например, [6]). Симметричность оператора имеет место при выполнении условия (4). Рассмотрим в Ь ( —1,1) скалярное произведение

о 1

(и, у)о = J «ои(х)у(х) ¿х + J (Зои(х)у(х) ¿х. (10)

-1 о

Здесь считаем, что «о > 0, во > 0. Спектральную задачу (9) запишем в виде

Ь$и = д(х) Ьи = \д(х) и- (11)

При выполнении условия (4), используя рассуждения из п. 1, легко показать, что оператор Ь0 : Ь ( —1,1) ^ Ь ( —1,1) с областью определения £(Ьо), состоящей из функций и(х) £ ( —1 , 0) П1) таких, и — и

жен в пространстве Ь( —1,1) со скалярным произведением (•, •)□• Для доказательства основной теоремы ниже нам понадобится одно вспомогательное утверждение. Мы переформулируем в применении к данному случаю теорему 3.1 из [2, гл. 2]. Рассмотрим спектральную задачу вида

Ь1и = \Би, (12)

где Ьх,Б — самосопряженные операторы в данном сепарабельном гильбертовом пространстве Н такие, что вложение Н = \Ьх I1 /2) С

D(¡Б]1 /2) компактно и оператор —L0 ограничен снизу, причем О G р(Ь) и кегБ = {0}. Ограниченность снизу оператора —L\ означает, что найдется постоянная c G R такая, что — (L\u,u) ^ c\\u\\2.

L

H на негативное пространство И[, построенное то прострапствам H и H, т. е. та пополнении H по норме

\\и\\щ = sup К u,v) |.

|M|Hl=l

Б

непрерывное отображение H в H{ и тогда равенство можно переписать в виде

u = XL— Bu. (13)

Обозначим через F0 пополнение D( ¡Б]1 /2) то пор ме \\u\\^0 = \\|Б^ /2 u\\ и пространство H-i как пополнепне Fq по норме

II,,11 - «,,п и я_1 - sup 1|—,

vEHt ЫИг

где [u,v\ = (Bu, v). В силу компактности вложения H = D(¡Li ^/2) С D(¡Б]1 /2) С E спектр L± не имеет конечных точек сгущения, что с уче-

—L L

луоси {X > 0}, состоит самое большее из конечного числа нормальных

L

[1, гл. 2] переформулируются таким образом.

Теорема о базисности. Собственные н присоединенные функ-

H

¡11 собственных и присоединенных функций задачи (12), нормированных в Fq, можно составить базис по Рпссу пространства Fq тогда н только тогда, когда (Hi,H—i) 1/2,2 = Fq-

В пашем случае H = E, Fq = L2g( —1 , 1), Б^, = g(x)u и L± = Lq-

—L

—Re (Lou,u)o, где u £ D(Lq). Интегрируя по частям, получим 1

—Re (Lqu,u)o = j a\ux\2 dx + ag (ja\u+ \2 + ^e|u£|" + Reu+u£( S^ß)),

и(0 ±0), и£ = иж(0 ±0).

Пусть, например, в ф 0. В этом случае, выражая и£ из условий склейки, получим и£ = (и- — аи+)/р. Подставляя это в предыдущее равенство и используя далее неравенство ||и±р ^ с||и||£2—д) ||и^—д^ и неравенство Коши с е, получим

1 1 —Re (Ьои,и)о (ао — е)\их\2 йх — с(е) J \и\2 3,х. (14)

-1 -1

Это неравенство влечет полуограниченность —Ьд, если выберем доста-

е

Пусть в = 0. В этом случае полученное выражение не содержит и£. Опять используя неравенство ||и±р ^ с||и||£2—д)||и||^1 — д^ и

е

что норма в пространстве Щ = \Ьд^/2) эквивалентна норме

1 \ 1/2 |и||н1= \ \их\2 йх

Обозначим характеристические функции интервалов (0,1) ( —1,0) через Х(од), Х(—,о) и положим = (х(од) — Х(—Л )и. Индефинитная метрика в ^о может быть записана в виде [и, = (д(х)и, у)о-Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Если ви > 0, то пространство Щ совпадает с пространством функций и £ Ь ( —1,1) таких, что и £ ( —1, 0) П Щ21(0,1). Если в = 0, то Щ совпадает с пространством функций и £ Ь ( —1,1) таких, что и £ Щ ( —1 ,0) П ЩЦ0,1) ии(0 — 0) = аи(0 + 0).

Замыкая по норме пространства — 1 , 1) и используя теоремы вложения, придем к утверждению.

Будем использовать также следующие утверждения. Лемма 2 (лемма 4.1 из [1,гл. 2]). Если существует в > 0 такое, чтоЗ е Ь(Н3,Н3) (Нэ = (НиЕ0)то (Я1,Я_1) 1/2,2 = F0.

п

Лемма 3 [3,7]. Пусть /(ц) = § д(т) ¿т и выполнено одно из сле-

о

дующих условий:

(a) У^ е ( ОД) 3ш е ( ОД) Уе е ( ОД) /(ше) < ч/(е);

(b) 3ш е (ОД) Уе е (ОД) /(ше) < /(е)/2;

(c) 3/3 е (ОД) 3ш е (ОД) Уе е (ОД) /(ше) < ¡3/(е); ((1) существуют постоянные е,й> 0 такие, что

Тогда существует в е (0,1) такое, что

Дг/)< с (|) /(£) Угу, 0<Г7<е<1.

№(0,1),Ь2,Д0Д))^ = (^(ОД),^,Л0,1))^,

где Щ(0Д) = {и е ^(ОД) : и(1) = 0}.

Утверждение сохраняет свою силу в том случае, если мы заменим интервал (0,1) в условиях (а)Дс1) интервалом ( —1,0).

Из теоремы о базисности вытекает следующее утверждение.

Теорема 2. Если 6 > 0 п выполнены условия (4), (8), то собственные и присоединенные функции спектральной задачи (11) (нормпро-НН

Теорема 3. Если 6 > 0, выполнены условия (4), (8), а в случае в = 0 еще п одно из условий леммы 3, то собственные н присоединенные функции спектральной задачи (11) (нормированные в Ео) образуют базис Рнсса в пространстве Ь2,д( — 1,1).

Доказательство. Если в Ф 0, то в силу леммы 1 и определений имеем, что З е Ь(Н8,Н8) для всех в е (0,1]. Используя лемму 2 и теорему о базисности получим утверждение.

Пусть ß = 0. В силу леммы 3 найдется в > 0 такое, что

0,1),L2 JO , I = (Щ(0,1),ь J0 ,1 _вг2.

Покажем, что J G L(Hs,Hs), где Hs = ()i_s,2- Если выполнено это утверждение, то (Hi,H_i) 1/2,2 = F и можно применить теорему о базисности, сформулированную выше.

Пусть Eu = х(од)u• Тогда для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что E G L(Hs,Hs). В самом деле (лемма 3.2 из [1, гл. 3]), определим вспомогательные пространства. Положим Ах = ^(0,1), A0 = L,1)» = {u G A ■ u(0) = 0}. Из леммы 1.10 и теоремы 1.4 из [1] вытекает, что найдется so > 0 такое, что

As = (AbA0) i_s¿ = A°s = (A°,A \ _s¡2.

Определим оператор Po : Hs ^ As , P$u = u|(0,i). Очевидно, что Po G L(Hs,As) для всех s. Определим также оператор

n ( u, x G (ОД),

^ H"Piu- { 0,x G(-1,0).

Также очевидно, что P G L(AS,HS) для всex s G [0,1]. Тогда при s < so имеем PP G L(Hs,Hs). Но то построению PiPgu = Eu, т. е. оператор E принадлежит классу L(Hs, Hs) при всех s < s0, что и требовалось доказать.

ЛИТЕРАТУРА

1. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

2. Pvatkov S. G. Operator theory. Nonclassical problems. Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2002.

3. Пятков С. Г: Некоторые свойства собственных и присоединенных функций незна-коопределенных задач Штурма — Лиувилля // Неклассические уравнения математической физики: Сб. науч. работ. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 2005. С. 241-252.

4. Пятков С. Г: Свойства собственных функций одной спектральной задачи и некоторые их приложения / / Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики: Сб. науч. тр. Новосибирск: Ин-т математики, 1986. С. 65-84.

5. Туласынов М. С. Первая краевая задача для одного параболического уравнения с меняющимся направлением времени с полной матрицей условий склеивания // Вестн. НГУ. Сер. 1. Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, вып. 1. С. 57-68.

6. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986.

7. Парфенов А. И. Об одном критерии вложения интерполяционных пространств и его приложении к индефинитным спектральным задачам // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 4. С. 810-819.

г. Якутск

31 января 2011 г.