Разработка теории создания подъемной силы в трудах Н. Е. Жуковского Текст научной статьи по специальности «Математика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXVIII 1997

№1

РАЗРАБОТКА ТЕОРИИ СОЗДАНИЯ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ В ТРУДАХ Н. Е. ЖУКОВСКОГО

С. В. Ляпунов

Н. Е. Жуковскому удалось, по существу, заложить фундамент современной аэродинамики профилей и крыльев, а именно, внести ясность в вопрос создания подъемной силы. Результаты, изложенные в его работах периода 1904—1912 гг., практически в неизменном виде вошли во все моно1рафии по аэрогидродинамике.

Первый и наиболее значимый результат, полученный Н. Е. Жуковским, — это знаменитая его теорема, устанавливающая пропорциональность между подъемной силой, действующей на тело в плоскопараллельном потоке идеальной несжимаемой жидкости, и циркуляцией скорости вокруг этого тела. Этот результат сформулирован в цикле работ 1904—1906 гг. [1—3]. До появления работ Н. Е. Жуковского исследователи понимали, что происхождение подъемной силы при обтекании тел связано с различными величинами скоростей и соответственно давлений на верхней и нижней поверхностях тела. Однако никаких количественных соотношений при этом не устанавливалось. Создав теорию подъемной силы, Н. Е. Жуковский сделал колоссальный вклад в аэродинамику как науку.

Первоначально теорема Жуковского была сформулирована для обтекания системы точечных вихрей применительно к замкнутому контуру, охватывающему эти вихри. В дальнейшем эта теорема была доказана для плоскопараллельного обтекания произвольного тела. В своей классической формулировке она приведена в работе [4]:

«Сила давления потока, текущего со скоростью V и обтекающего контур с циркуляцией /, выражается следующей формулой:

Р = р/Г.

Направление этой силы определится, если мы повернем вектор V на прямой угол в сторону, противоположную циркуляции скорости».

В дальнейшем были получены различные обобщения теоремы Жуковского. Ф. И. Франкль и М. В. Келдыш в 1934 г. показали, что теорема Жуковского для адиабатических течений сжимаемого газа

имеет тот же вид, если под плотностью и скоростью понимать соответствующие значения в невозмущенном потоке [5]. Теорема Жуковского справедлива и для случая обтекания плоских решеток профилей, если в этом случае под вектором скорости V понимать среднее арифметическое векторов скорости далеко перед решеткой и за ней [6]. С. М. Белоцерковский доказал и широко использовал теорему Жуковского «в малом» при рассмотрении обтекания тонкой несущей поверхности [7]. Оказалось, что теорема Жуковского справедлива и для элементов тонкой несущей поверхности, совершающей пространственное неустановившееся движение, если под подъемной силой понимать на1рузку на данный элемент, а под скоростью — относительную скорость в данный момент времени в рассматриваемой точке несущей поверхности.

Понимание роли вихрей и циркуляции в формировании подъемной силы лежит в основе многих последующих работ, в частности, теорема Жуковского является, важной составной частью теории крыла большого удлинения Прандтля, имеющей большое практическое значение и оказавшей огромное влияние на развитие прикладной аэродинамики. Теорема Жуковского нашла применение и в экспериментальных исследованиях, на ней основан метод определения подъемной силы профилей без использования аэродинамических весов, так называемый метод «пол—потолок», в соответствии с которым измерение скоростей на верхней и нижней стенках аэродинамической трубы и вычисление циркуляции скорости позволяют по теореме Жуковского определить подъемную силу.

Второй важный результат, связанный с именем Н. Е. Жуковского, — это постулат, или условие Чаплыгина—Жуковского, которое также называют условием Кутта. Решение задачи о плоркопараллельном обтекании тела потоком идеальной несжимаемой жидкости не единственно и может быть получено при произвольной величине циркуляции скорости. Однако если рассматривать обтекание контура с угловой точкой, подобного профилю крыла самолета, то среди всех возможных решений лишь одно, с определенным значением циркуляции, соответствует конечной скорости в этой точке, которая в этом случае является точкой схода потока с контура — точкой слияния потоков над верхней и нижней поверхностями профиля. В связи с этим С. А. Чаплыгин в 1909 г. сформулировал следующий постулат, известный как постулат Чаплыгина—Жуковского: среди бесконечного числа теоретически возможных плавных обтеканий профиля с угловой точкой на задней кромке в действительности осуществляется обтекание с конечной скоростью в этой точке.

Несмотря на то что данный постулат был сформулирован С. А. Чаплыгиным, он не зря носит также имя и Н. Е. Жуковского, который применял его и ранее при рассмотрении конкретных гидродинамических задач. В частности, уже в упоминавшейся работе 1906 г. «О присоединенных вихрях» [3] это условие использовалось для получения единственного решения задачи об отрывном обтекании пластинки, расположенной поперек потока при моделировании отрыва двумя точечными вихрями.

душ окружности в плоскости & Расчет обтекания таких плоских тел с использованием функции Жуковского, таким образом, не представляет трудностей.

Весьма важным с точки зрения аэродинамических приложений является рассмотрение Н. Е. Жуковским других контуров, получающихся в результате преобразования окружности с помощью функции Жуковского. Так, если центр окружности в плоскости С, смещен относительно начала координат и окружность проходит через точку С, = Я (точка С, = -Я расположена внутри нее), то в плоскости z такой окружности соответствует, вообще говоря, несимметричный контур, имеющий острую заднюю кромку и подобный сечениям крыла самолета. Этот контур называется профилем Жуковского. В частном случае, когда центр окружности в плоскости С, лежит на действительной оси, в плоскости г получается симметричный относительно действительной оси контур, называемый рулем Жуковского. Формы плоских тел, получаемых в различных случаях с помощью преобразования Жуковского, приведены на рисунке.

Таким образом, Н. Е. Жуковский впервые получил аналитическое решение задачи об обтекании семейства аэродинамических профилей конечной толщины с острой задней кромкой, подобных сечениям крыла самолета, Он же получил выражение для подъемной силы Р, действующей на такие профили, которое имеет вид :

Р ~ 2%рУ^Кът(а. ад),

где Р — ПЛОТНОСТЬ ЖИДКОСТИ, V — скорость набегающего потока, а — угол атаки, а0 — угол нулевой подъемной силы, зависящий от формы профиля.

Преобразование Жуковского и профили Жуковского нашли широкое применение в теоретической аэродинамике. Решение, полученное Н. Е. Жуковским, используется в качестве теста для проверки точности численных методов расчета обтекания профилей. Еще одно применение преобразования Жуковского связано с тем, что некоторые расчетные методы, например метод вихревого слоя [9], плохо сходятся при близком расположении вихревых слоев в области тонкой хвостовой части профиля. Предварительное применение пре-

Плоская пластинка

Дуга окружности

Руль Жукоискош

Профиль ЖуКОЬСКО! о

Плоские тела, получаемые преобразованием окружности с помощью функции Жуковского

образования Жуковского устранило этот дефект и позволило создать метод, обеспечивающий быструю сходимость итерационного процесса решения задачи. Такой подход получил название комбинированного метода [9]. Аналогичное преобразование используется и при применении метода конформных отображений к расчету профиля произвольной формы [10]. При этом область течения в плоскости I около произвольного контура трансформируется в область вне некоторого контура в плоскости С, с помощью преобразования Жуковского (2"). Если обтекаемый профиль является профилем Жуковского, то в плоскости С он соответствует окружности. В противном случае будет получен контур, близкий к окружности, тем ближе, чем ближе исходный контур профиля к профилю Жуковского. Уравнение этого контура в плоскости С, в полярной Системе координат (р, е) имеет вид р = ро(е).

Отображение этого близкого к окружности контура на окружность в плоскости комплексного переменного со находится в виде отрезка ряда

где Сп - Ап + Шп — искомые коэффициенты ряда. Разделение действительной и мнимой частей этого выражения дает

где Л — радиус окружности, а 0 — полярный угол в плоскости ш. В настоящее время разработан эффективный численный метод разложения функций (4) в ряды Фурье и суммирования этих рядов (так называемое быстрое преобразование Фурье), позволяющий определить искомые коэффициенты А„ и Вп. Применение преобразования Жуковского на первом этапе обеспечивает быструю сходимость рядов (4) и позволяет ограничиться относительно небольшим числом N коэффициентов ряда (3).

Преобразование Жуковского (2) дает профили, имеющие в задней кромке точку возврата. Обобщением преобразования Жуковского является преобразование вида

которое дает профили, имеющие угол х между касательными к верхней и нижней поверхностям профиля в задней кромке. Эти профили называются обобщенными профилями Жуковского или профилями Кармана—Треффтца [11]. В случае х = 0 преобразование (5) переходит в пре-

N

(3)

(4)

N .

б - 0 = Вп сойиб - Ап вши©, и=о

(5)

образование Жуковского (2')- Это преобразование может быть использовано и фактически используется вместо преобразования (2') в описанной выше методике расчета обтекания произвольного профиля по методу конформных отображений.

Преобразование Жуковского и обобщенное преобразование Жуковского совместно с методом конформных отображений нашли применение и при расчете обтекания профилей и крыльев сжимаемым газом. В этом случае уравнения движения газа являются нелинейными (уравнения Эйлера или нелинейное уравнение для потенциала скорости). Конечно -разностные численные методы решения этих уравнений требуют генерации разностных сеток, в узлах или ячейках которых определяются неизвестные значения газодинамических величин. Если произвести конформное отображение профилей или поточных сечений крыла конечного размаха на окружность, то сетка, образованная линиями р = const, 0 = const, в полярной системе координат (р, 0) соответствует некоторой криволинейной сетке в исходной области течения. Достоинством такой сетки является ее ортогональность, что упрощает запись уравнений движения газа в криволинейной системе координат и повышает точность расчетов. Кроме того, решение задачи об обтекании данного контура несжимаемой жидкостью, которое получается как побочный продукт в данном подходе, может быть использовано в качестве хорошего начального приближения для итерационной процедуры решения задачи о течении сжимаемого газа. Такой подход к решению задач расчета течения сжимаемого газа широко использовался в целом ряде работ различных авторов (см., например, [12]).

Создав теорию подъемной силы, Н. Е. Жуковский заложил фундамент современной теоретической и прикладной аэродинамики. Развитие вдей Н. Е. Жуковского лежит- в основе решения многих конкретных аэрогидродинамических задач, имеющих большое прикладное значение. Благодаря трудам Н. Е. Жуковского и его учеников теория создания подъемной силы стала краеугольным камнем современной аэрогидродинамики. ,

ЛИТЕРАТУРА

1. Жуковский Н. Е. О падении в воздухе легких продолговатых тел, вращающихся около своей продольной оси.— Собр. соч., т. 4. — М. —

Л.: Гостехиздат.—1949, с. 41—50. . . s, , :

2. Жуковский Н. Е. О падении в воздухе легких продолговатых тел, вращающихся около своей продольной оси. — Там же, с. 51—68.

3. Жуковский Н. Е. О присоединенных вихрях. — Там же, с. 69-71.

4. Жуковский Н. Е. О контурах поддерживающих поверхностей аэропланов. — Там же, с. 91—116.

5. Франкль Ф. И., Келдыш М. В. Внешняя задача Неймана для нелинейных эллиптических уравнений с приложением к теории крыла в сжимаемом газе // Изв. АН СССР, сер. матем., № 4,—1934.

6. Седов Л. И. Теория плоских движений идеальной жидкости. —

М.: Обороншз,—1939.

7. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа.— М., Наука.—1965.

8. Жуковский Н. Е. Определение давления плоскопараллельного потока жидкости на контур, который в пределе переходит в отрезок прямой. — Собр. соч., т. 4. — М. — Л.: Гостехиздат.—1949, с. 117—126.

9. П а в л о в е ц Г. А. Методы расчета обтекания сечений крыла идеальным несжимаемым потоком // Труды ЦАГИ.—1971. Вып. 1344.

10. Серебрийсхий Я. М. Обтекание крыловых профилей произвольной формы // Инженерный сборник. Т. Ill, I.—1946.

11. К arm an Т. Von, Trefftz Е. Potenlialstrtmung шп gegebene Tragfl&chengueischuitte, Z. Flugtechn. Motoriuftsch., 9.—1918, S. 111—116.

12. I v e s D. C. Conformal grid generation. Numerical grid generation, ed. by J. F. Tompson, Noxth-Holland, Amsterdam.—1982.

Рукопись поступила 25/IX1996 г.