CC BY
9
УДК 119 ЯН у П04 ОГ)
РАЗРАБОТКА ПОРОГОВЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ С НЕФИКСИРОВАННЫМ СПРОСОМ
Т. 3. Лсванова, А. Ю. 1 иусарсв Институт математики им. СЛ. Соболева СО РиШ, Омский филиал, с. Омск, Россия
Аннппнщин — Ъ,(»чн ]|;|<мешннмн иГ>|1»<уни шдильнмн юигг димф?! ним шиимнинни и нмнни широкий круг прпложенпП. В статье рассматривается задача размещения предприятии, приводится ее математическая модель. В ней для описания нефиксированного спроса используется нелинейная функция, что усложняет разработку методов решения. В статье построены пороговые алгоритмы локального поиска для указанной задачи, выполнен их сравнительный анализ па специально созданных сериях тесто вых прнмероо. Показано преимущество перед решателем СошВоишш системы моделирования (¿АМБ.
Ключевые слова: днекретная оптимизация, задачи размещения, алгоритмы локального поиска.
I. Введение
СрГДИ МНПЮЧИГЛГННЫХ ЦИЧНИДННХ ЧНДг1Ч нтшнгнный ИН1ГрГГ 11])ГД(1ЯК.1ЯНЛ -мллчи ¡»ичмс-щгния кхчни-
каюшне на конкурентном рынке, т.к. они е большей степени списывают реальные экономические ситуации В ряде случаев их моделирование приводит к использованию нелинейных функций Такие модели мало изучены, с. количество используемых методов решения ограничено. Многие задачи размещения М? трудны и па практике имеют большую размерность. В результате часто не представляется возмолаплм находить оптамальпое реше кне для этих задач за приемлемое время. Поэтому з псслсднис годы большое внимание уделяется методам приближенного решения. В работе рассматривается дискретная задача размещения с нефиксированным спросом, приводится ее математическая модель. Для нахождения приближенного решения предлагаются варианты поро-
10КЫХ НЛК)])И1 мок
п. Постановка задачи
В работе рассматривается ситуация, при которой новая компания плакирует выйти на существующий рынок товаров и услуг. Ни необходимо открыл, сеть отгермаркетов. которые будут отличаться размером или предо ставлясмои продукцией. Такие различия называются зарнантом функцнонвроваиия. Клиента выбирают предприятия ко%шаннп пли конкурента з зависимости от их привлекательности и расстояния до ннх Компания ставит перед собой пель заинтересовать наибольшее количество клиентов, т.е. обслужить наибольшую делю спроса. Эя дииш лля компании не яв.1жп.е>. уиксирсванжш. она завнеш 01 мо. тс н ио какому карман.у будут
СП1фЫ1Ы НОКК1Г 11рГД11рИЧ1ИИ
Вперяете ляиная ситуация была рассмотрена к рапоте К АЬоо^яп. О Вет-тап, Г) Кгяяя [1] В ней яв~оры с формулировали задачу' к построили ее математическую модель. Приведем используемые обозначения:
М - множество точек спроса: II, - вес спроса, / (= М :
Р с М — подмножество пунктов возможного размещения предприятий:
С <_ Р - пункты спроса, занятые конкурентом;
Л — Р\С — нункчы 1икми*н1)111 ¡ИШПЦКНИХ пргдирии1ИИ компании ^ - набор оарпа:гтов работы, по которым могут функционировал, предприятия. Г е Л с!.. - расстояние от 1 -го предприятия до у -го? /.] Ь М :
(Ту— грнштекательногтк предприятия вига г >= К раяметг.енного к пункте ] ; ¡3 - параметр чувегьшельжмли к раилиянию.
- коэффициент гибкости спроса в пушете 1 € М : Су. — с"гсжус»п ч «1Ч[1Ы1И> пргдириижм г кярианшм г ■= £. к нуншет ^ 3
ПгрГМГННЫГ <ЙДг1МИ нринимикп ЧНИЧГНИГ X г — 1 . М'ЛИ 11рГД|рИ*1ИГ Н 11уНК1Г ] ^ [К)б|11№1 11(1 кириингу
ГсЛ. X ;г — 0 - в иро.ивном имучае.
Для определения полезности "у предприятия ) «= для клиента ? Е М вводятся коэффициенты
к^ — а^((?9 4-1)"'4 . Тогда г/у вычисляется следующим образом: и^ = полезность С, (О
г€Л
для пункта 1С М от предприятий. открытых конкурентами, спрсдслястся с помощью формулы С",- (С) = У Чц
Функция спроса имеет нелинейный вид: = 1 - ехр(—, где 1Т} - общая полезность для клиента
г Е М от всех открытых предприятии компании и конкурента. II, = X >» + - Функция данного
/еогсЛ
вндл характерна для молелен пространственного взаимодействия в маркетинге [2]. Додч МУ; новых предприятий в общем объеме пбелуд тюник клиента I Г М равна
MS, =
•cSrcX
Тогда математическая модель чадаяи примет следующий вид [1 ]"
LZ Vjt
1(1 схр< ^(ЦЛ^^СОШ С...^-——)-*max (1)
,е5г=Л
X" X"
Ху, c{o,l}. jcS,r<zR . (4)
Неравенство (2) ограничивает расход средств в рамках установленного бюджета: условия (3) показывают, что иреднрияше моап фунхдионнроадхь не белее чем но идиому влриашу.
Ш. Пикл оньь: ашоритмыиих ашчлация
Название алгоритмов связано с методами имитационного моделирования в статистической физике, основанными па методе Мо:пе Карло [3]. Исследование кристаллической решена: и поведение атомоэ при медлен пом остыоаппн (в том числе при отжиге металлов) приэело к идее создания noDLix вероятностных алгоритмов. в которых покск оптмального решения подобен переходу вещества в состояние с наименьшей внутренней энергией Предполагается, что л тс мы уже выстроились в кристаллическую решетку, но ещё допустимы переходы отдельных атомоЕ из одной ячейки в другую. Этот переход происходит с некоторой вероятностью, причём ве-рояшьчль умеш>шае1ся с понижением iемнер<и>ры_ Ус.ойчивам крисглшшческад pemëiKa сош»еи.твус1 минимуму -»Hrjn ии .-1 шм:ж
Общая схема пороговых алгоритмов выглядит следующим образом:
1. Выбрать начальное решение г0. установить счетчик итераций ¡с = 0 . задать величину порога tk и зид окрестности вычислить начальное значение целевой функции /(гу)« положил» значение рекорда
S-fb о)-
2. Пока не выполнен критерий остановки, делать следующее:
? 1 Случайно тотбрятт. новое ретчение в окрестности текущего■ г r- t- Y(z^)
? F.i -iM 1»я-<иици нг иргккиниг I 1и»]иии j (z^) — J {Zjf ) < tjg, m 1= Zj
2.3 Если / > f(zk) . го рекорд f - f(zk )
2.4 Положить к := к +1.
D зависимости от cnocoSa задания последовательности значений порога ] можно Еыделить три варианта алгоршмя:
1) при поспедоваупелъчему.-учыемш <к = 0= 0,1,2,... - вариант локального спуска с монотонным улучшением по пелезой функции:
2) прн пороговом улучшении задается tk = Ck,fi = 0,1,2,..., > 0,<Tt >ftfl и litn*^, ck —»0 -вариант локального поиска, когда допускается ухудшение по целевой функции до некоторого заданного порога, и этот порог последовательно снижается до нуля;
3) прн имитации отжига последовательность tk >0?к = 0,1,2,.. - случайная величина с математическим ожиданием E(ît) = Cj. > 0 — вариант локального поиска, когда допускается произвольное ухудшение по целевой функции, но вероятность такого перехода обратно пропорциональна величине ухудшения, т.е. для
1. если f(zj } < /{z¿ ), А- ■ -1 exp(/(r; )^/(Zj)), если f(zjt ) > /(%).
Первая версия алгоритма кншацнн отжига появилась в 1983 году [4]. В настоящее время алгоритм показывает короптне результаты прн решении широкого крута оптимизационных задач [5. б].
На каждой итерации SA в окрестности текущего решения выбирается соседнее, и если разность по целевой функции между новым и текущим решением не превышает заданного порога, то новое решение заменяет текущее. В противном случае выбирается новое соседнее решение
Важную роль в работе алгоритмов локального поиска играет выбор окрестности. Прн реализации описанных ранее алгоритмов использовались окрестности, указанные в [7]. а также окрестность Лнна-Кернигана [3].
Предложенные алгоритмы реализованы на языке С++ и тестировались на компьютере Intel Î5-2450M. 2,50GHz. оперативная память 4096 Мб. Перед началом основного эксперимента проводились специальные серии вычислений, направленные на настройку параметров алгоритмов. В частности, для алгоритма имитации отжига ск начальное значение с0 =150, количество элементов в окрестности Лнна-Кернигана
равно 3.
Затем выполнялся основной этап экспериментального исследования с целью апробации и сравнения построенных алгоритмов решения рассматриваемой задачи размещения. Две серии тестовых примеров содержали по 96 задач и генерировались по правилам, описанным в [7].
Среди пороговых алгоритмов наилучшие результаты получил алгоритм имитации отжига. Для произвольных расстояний алгоритм SA в среднем улучшил на 1,71% рекорды, полученные с помощью известной системы GAMS (решатель СошВошшп.) Примеры на Евклидовых расстояниях оказались более сложными для GAMS. С ее помощью получены рекорды лишь для 13 задач. За отведенное время алгоритмы SA улучшили все рекорды, найденные СошВошшп.
IV. Заключение
В работе получили дальнейшее развитие методы приближенного решения для задачи размещения предприятии с нефиксированным спросом. Построены варианты имитации отжига, проведено их экспериментальное исследование. Замечено преимущество перед решателем СошВошшп. Показана перспективность исследуемого подхода к решению нелинейных дискретных задач оптимального размещения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
L. Aboolian R., Berrnan. О.. Era к D. Compétitive faciliry location and design problem // EJOR. 2007. Vol. 1E2. P. 40-62.
2. HuffD. L. Definmg and. estiinating a trade яге a !! .Tournai of Marketing. 1964. Vol. 28. P. 34-38.
3. Кочетов A. Ю. Вероятностные методы локального поиска для задач дискретной оптимизации ÍÍ Дискретная математика и ее приложения: сб. лекций молодежных и научных школ по дискретной математике и ее приложениям. М.: МГУ, 2001. С. 87-117.
4. Kirkpatrick S.. Gelatt С. D , Vecchi M. P. Optiruization by Sunulated Aimealing H Science. 1983. Vol. 220. P. 671-680.
5. Aarts E., Lenbtra J K. Local search in Conibinatonal optinnzation // Aaits and- John Wiley and Sons Ltd. 1997. P. 91-120.
6. Леванова T. В.. Лореш M. A. Алгоритмы муравьиной колонии и имитации отжига для задачи о р-меднане // Автоматика н телемеханика. 2004 № 3 С. 80—88
7. Le vano va T., Gimsarev A. Heunstic algorithme for tlie location problem with flexible demand H Proc. of 42nd International Symposium on Opérations Research "SYM-OP-IS 2015". 2015. P. 245-247.
