Применение верхних оценок для анализа алгоритмов приближенного решения конкурентной задачи размещения с гибким спросом Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 519

йй! 10.25513/1812-3996.2017.4.4-10

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРХНИХ ОЦЕНОК ДЛЯ АНАЛИЗА АЛГОРИТМОВ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ КОНКУРЕНТНОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ С ГИБКИМ СПРОСОМ

Т. В. Леванова1, 2, С. Е. Белан2

1 Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, г. Омск, Россия

2 Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия

Информация о статье

Дата поступления 02.09.2017

Дата принятия в печать 12.09.2017

Дата онлайн-размещения 15.12.2017

Ключевые слова

Дискретная оптимизация, конкурентная задача размещения предприятий, гибкий спрос, приближенное решение, верхние оценки

Финансирование

Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук, направление N5.1.6

Аннотация. Рассматривается конкурентная задача размещения, спрос клиентов в которой не фиксирован, а гибко меняется в зависимости от расположения и вида открываемых предприятий. Целевая функция соответствующей модели нелинейная, задача является NP-трудной, реальные примеры имеют большую размерность. Всё это осложняет поиск оптимального решения, в том числе с помощью коммерческого программного обеспечения. Поэтому разработка приближенных методов и оценка качества получаемых ими решений является актуальным направлением исследований, при этом могут быть использованы верхние оценки значений целевой функции. В данной работе изучаются новые и известные способы получения верхних оценок, с их помощью проводится анализ алгоритмов приближенного решения.

APPLICATION OF UPPER BOUNDS FOR ANALYSIS OF APPROXIMATE ALGORITHMS FOR A COMPETITIVE LOCATION PROBLEM WITH ELASTIC DEMAND

T. V. Levanova1, 2, S. E. Belan2

1 Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Omsk Branch, Omsk, Russia

2 Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia

Article info Abstract. The competitive facility location problem with elastic demand is considered. In

Received this problem the customers' demand is not fixed, but flexibly varies depending on the lo-

02.09.2017 cation and type of facilities being opened. The objective function of the corresponding

model is nonlinear, the problem is NP-hard, real examples have a large dimension. All of Accepted this complicates the search for optimal solution, including using commercial software.

12.09.2017 Therefore, the development of approximate methods and the evaluation of the quality of

solutions obtained by them is an actual research direction, upper bounds of the objective Available online function can be used. In this paper, new and known methods for obtaining upper bounds

15.12.2017 are studied, with their help an analysis of approximate solution algorithms is carried out.

4 -

Herald of Omsk University 2017, no. 4 (86), pp. 4-10

Вестник Омского университета 2017. № 4 (86). С. 4-10

ISSN 1812-3996-

Keywords

Discrete optimization, competitive facility location problem, elastic demand, approximation algorithm, upper bounds

Acknowledgements

This research was supported by the Program of Fundamental Scientific Research of the State Academies of Sciences, task I.5.1.6

1. Введение

На современном этапе развития экономической деятельности для решения возникающих проблем часто требуется построение новых моделей и алгоритмов. В последние годы всё большее внимание уделяется алгоритмам приближенного решения, позволяющим даже для задач большой размерности находить близкие к оптимальным результаты за относительно небольшое время. В процессе разработки становится актуальным вопрос выявления качества получаемых решений. В том случае, когда оптимальные значения целевых функций не известны, применяют оценки их величины. В данной работе проводится анализ пороговых алгоритмов с использованием таких оценок, показывается влияние их качества на анализ экспериментальных данных на примере конкурентной задачи размещения с гибким спросом.

Среди широкого круга прикладных проблем задачи размещения предприятий занимают отдельную, активно развивающуюся область. Многие из них, такие как простейшая задача размещения, задача о ¿»-медиане, с ограничениями на мощности производства и др., уже стали классическими, они хорошо изучены и являются предметом значительного числа публикаций (см., например: [1-5]). В большинстве из них решение принимает одно лицо (монополист), хотя часто клиенты имеют свои собственные предпочтения, а за их спрос борются другие участники рынка. Подобные ситуации описываются с помощью конкурентных моделей размещения. В зависимости от поведения соперничающих сторон и клиентов, расположения пунктов возможного размещения, получаются различные типы указанных задач [6]. Авторы статьи исследовали и развили так называемые статические конкурентные задачи размещения. В них предполагается, что одна сторона уже приняла свое решение, ее размещение известно и не будет меняться ни при каких действиях второй стороны (новой Компании). В задачах этого класса считается, что предприятия производят однородный продукт, все клиенты имеют оди-

наковый спрос и выбирают предприятие, исходя только из расстояния до него. Конечно, в реальных ситуациях на выбор влияют и другие факторы. Поэтому появились модели, в которых привлекательность предприятия для клиента описывается специальной функцией, имеющей вероятностный характер, а нестандартный вид спроса моделируется с помощью идей пространственного взаимодействия из маркетинга. В работе [7] рассмотрена ситуация, когда привлекаемые части всего обслуживаемого спроса гибко меняются в зависимости от решения Компании. Эта конкурентная задача имеет одноуровневую математическую модель, но остается сложной в связи с нелинейной целевой функцией и большой размерностью реальных задач. Ранее проведенные исследования [8] показали, например, что известная система моделирования и оптимизации GAMS (решатель CoinBonmin) [9] не находит даже допустимого решения уже при 80 пунктах возможного размещения. В работе [7] для ее решения предложена вероятностная жадная эвристика, и других методов не существовало. Появилась необходимость разработки алгоритмов приближенного решения и методов определения качества их работы. Одним из способов анализа является построение оценок и их использование для проведения экспериментальных исследований.

В данной статье описываются известные и новые методы нахождения верхних оценок целевой функции конкурентной задачи размещения и дизайна с гибким спросом, сформулированной в статье [7], проводится их сравнение на примере пороговых алгоритмов.

2. Задача размещения предприятий с гибким спросом

Рассматривается задача размещения с гибким спросом [7], в которой участвуют два лица: Компания, принимающая решение об открытии новых предприятий, и Конкурент, чьи предприятия уже обслуживают потребителей. Суммарный объем спроса клиентов известен. Имеется дискретное множество пунктов спроса и подмножество мест возможного

размещения предприятий. Также существует дискретное множество проектов предприятий. Каждый проект характеризуется привлекательностью для клиентов и стоимостью. Расходы Компании ограничены выделенным бюджетом. В одном месте может быть построено предприятие только по одному проекту. Часть пунктов спроса занята предприятиями Конкурента. Компании необходимо разместить свои предприятия таким образом, чтобы привлечь максимальную долю спроса на рынке.

Выбор клиентом предприятия для удовлетворения своего спроса обусловлен расположением и проектом предприятия. Поэтому для Компании доля удовлетворяемого ею спроса является гибкой и зависит от набора открытых предприятий.

Дадим описание математической модели, используя обозначения из работы [7]. Заданы: N -множество пунктов спроса; Р с N - подмножество пунктов возможного размещения предприятий; С с Р - подмножество пунктов, занятых Конкурентом; 5 = Р \ С - множество пунктов, доступных Компании; Я - набор проектов предприятий; щ -вес спроса в пункте I е N; ^ - расстояние между пунктами I, j е N. При размещении необходимо учитывать доступный бюджет В; привлекательность а и стоимость открытия с^. предприятия

у е Б, работающего по проекту г е Я. Кроме того, даны параметры: 3 - чувствительность к расстоянию и X - гибкость спроса клиентов. Заметим, что чем больше 3, тем чувствительнее клиент к расстоянию до обслуживающего предприятия. Чем меньше X, тем сильнее влияет размещение предприятий на значение суммарной полезности.

Переменные задачи принимают следующие значения: х = 1, если предприятие в пункте у е Б

работает по проекту г е Я, иначе х = 0 .

Спрос рассматривается с точки зрения предприятий и выражается в полезности, которую предприятие приносит клиентам. Для определения полезности щ предприятия Компании j е Б

для клиента I е N вводятся коэффициенты к„г = а,„($„ +1)-3. Тогда щ вычисляется следую-

Уг у' у

щим образом: и.. = Хк..х. . Общая полезность

^ г У уг ]г ^

геЯ

Ц (С) для пункта 1е N от предприятий Конку-

рента определяется формулой Ui(C) = , а по-

jec

лезность от предприятий Компании Ц(Б) = ^и .

jеS

Функция спроса имеет нелинейный вид: g(Ц) = = 1 - ехр(-ХЦ), где Ц - общая полезность всех открытых предприятий Компании и Конкурента для клиента I е N, Ц = Ц(С) + Ц(Б). Доля предприятий Компании в общем объеме обслуживания клиента 1е N равна

U (Б)

YYt.x.

у У

jеБ reR

U (Б)+U(C) YLK

j^jr + XX kjrxjr

уеБ reR jeC reR

С учетом введенных обозначений имеем следующую математическую модель:

( ( ( \\\

X w ■

1 - exp

XX k..x. +XX k..x.

Z_l Z_l jr Jr Z_l Z_l jr Jr

у jeБ reR jeC reR

X

XX kx.

Z_fZ_f jr у

jeБ reR

Л

XXk

V jeБ reR

при условиях:

x

jr у

+XX k.. x.

Z_|Z_I У jr

jeC reR

^ max,

XXjx, < B,

jeБ reR

X xy < 1, j e Б,

reR

xjr e {0,1}, j e Б, r e R.

(1)

(2)

(3)

(4)

Целевая функция (1) отражает цель Компании максимизировать долю удовлетворяемого спроса. Неравенство (2) не позволяет выйти за рамки доступного бюджета; условия (3) показывают, что предприятие может быть открыто с использованием только одного проекта.

3. Верхние оценки целевой функции В работе [10] мы описали три способа получения верхних оценок значений целевой функции и условия их применения. Общая идея построения заключается в переходе от нелинейной целевой функции к ее линейному аналогу, что делает вычисления более простыми и позволяет воспользоваться известным программным обеспечением. Первые два способа построения оценок UB1 и UB2 разработаны Ю. А. Кочетовым. Третий из них для нахождения верхней границы UB3 предложен нами в статье [10]. Кратко приведем идеи их построения.

Оценка UB1 строится при значении X, близком к 1 [8]. Можно заметить, что при этом

1 - exp(-Xf/)«1, а исходная целевая функция (1)

эквивалентна следующей:

(

X wi

XX*.

jeS reR

x.

у jr

ХХк**г+и (С)

V ^ геЯ у

Далее, с использованием замены и вспомогательных переменных а, выписывается следующая модель:

ХХХ^/г ^ тах, (5)

¡еЫ jеS геЯ

при условиях:

^ max

* a, + m(x -1) < z < * a,, is N,j e S,r e R,

(6)

m = max-

w.k..

i ijr

'ЩС)

z.. < x.w.,i e N, j e S,r e R, (8)

ijr jr I ' ' J ' ' V '

XXW < ^ , (9)

jeS reR

XX Zjr + aUi (C) = w, , i e N, (10)

jeS reR

zt.r e R,a e R,xJr e {0,1}, i e N, j e S, r e R. (11)

Эта задача является более простой, чем исходная, и может быть решена с помощью известного пакета GAMS [9].

Второй способ построения оценки UB2 применяется, когда значение параметра X мало. В этом случае сначала решается серия из n = |N| вспомогательных задач. Найденные значения целевой функции Mt, i e N подставляются в исходную целевую функцию (1), она принимает вид:

X w, (1 - exp(-X(M, +XX Kxjr))) х

jeC reR

(

XXK

jeS reR

.. x.

ijr jr

Л

x

ijr jr

^ max. (12)

ХХ kjгxjг+ХХ к*

у jеS геЯ *еС геЯ

Задача, соответствующая модели (12) и (2)-(4), может быть решена с использованием системы 1_о-са1Бо!уег [11].

Третий способ построения верхней оценки иВ3 разработан нами на основе известного неравенства

1 -е<Лу [12]. Здесь у = ХХКхг + и,(С). В

jеS геЯ

результате замены в целевой функции (1) имеем

х хх к*+и, (с ) ^

¡еЫ у jеS геЯ у

XX*..

jeS reR

.. x.

jr jr

XXjj + и, (C)

V jeS reR

=X wXXX k

x. .

jr jr

jeS reR

,ie N, j e S, r e R, (7) 1 - exp

Получаем модель целочисленного линейного программирования с целевой функцией

Х ^ЛХХ к«г**г ^ тах (13)

¡еЫ jеS геЯ

и условиями (2)-(4). Для задачи в такой формулировке может быть найдено оптимальное решение с использованием известных методов. 4. Сравнительный анализ оценок Идея всех представленных в статье способов состоит в замене множителя целевой функции

( ( Х\

-X

XXV,+и С)

\ jeS reR у у

линейным выра-

жением или мажорирующей константой. В первом способе этот множитель оценивается 1, во втором -некоторой величиной, которая больше значения этого множителя, в третьем способе для оценки используется линейная функция. Ранее в работе [10]

нами было показано, что иВ3<иВ1 при

( \

max

ieN

1

<— . X

(14)

ТХк^+и С)

у jеS геЯ у

Поэтому исследования будут посвящены сравнению иВ2 и иВ3.

Очевидно, что чем ближе значение оценки к величине самой функции, тем более точно можно сделать вывод о качестве работы алгоритмов приближенного решения. Покажем различие в оценках иВ2 и иВ3 на примере пороговых алгоритмов. Эти алгоритмы относятся к методам локального поиска, в которых переход от одного решения к другому происходит с использованием окрестности. Под окрестностью текущего решения г называ-

ется множество решений, в некотором смысле близких данному г . В случае целочисленных векторов для измерения близости используется расстояние Хэмминга. Наиболее известным пороговым алгоритмом является алгоритм имитации отжига, который появился в 1983 г. (см.: [13]) и в настоящее время показывает хорошие результаты при решении широкого круга оптимизационных задач (см., например: [14; 15]). Кроме того, существуют теоретические результаты по вопросам его сходимости.

Традиционно рассматривают общую схему пороговых алгоритмов из работы [13], она выглядит следующим образом.

1. Выбрать начальное решение ^ , установить счетчик итераций k = 0, задать величину порога (к и вид окрестности N (гк), вычислить начальное значение целевой функции f (^ ), положить значение

рекорда / = / (^о).

2. Пока не выполнен критерий остановки, на итерации с номером k делать следующее:

2.1. Случайно выбрать новое решение в окрестности текущего: zj е N(гк).

2.2. Если разница не превышает порога /(zj) - /(гк) < tk, то := zJ .

2.3. Если / > /(2к) то рекорд / := /).

2.4. Положить к: = к +1.

Исходя из способа задания последовательности значений порога }, выделяют три варианта

алгоритма [13]:

1) последовательное улучшение - вариант локального спуска с монотонным улучшением по целевой функции, Тк = 0, к = 0, 1, 2,...;

2) пороговое улучшение - локальный поиск, в котором допускается ухудшение по целевой функции до некоторого заданного порога, и этот порог последовательно снижается до нуля, ^ = ск, к = 0,

1 ^ ск >а ск >ск+1, Ьт^ск ^0;

3) имитация отжига - вариант локального поиска, когда допускается произвольное ухудшение по целевой функции, но вероятность такого перехода обратно пропорциональна величине ухудшения, последовательность ^ > 0, к = 0, 1, 2,... -случайная величина с математическим ожиданием Щк) = с, > 0 .

Разработка алгоритмов для конкретной прикладной задачи заключается в том, что с учетом ее специфики определяются значения порога, предлагаются виды окрестностей, задаются все необходимые параметры. После серии предварительных вычислительных экспериментов, в частности, были выбраны начальные значения порога, равные 5, и предложены новые виды окрестностей [16].

Для проведения вычислительного эксперимента использовался набор из 192 тестовых примеров, построенных ранее на основе данных реальной прикладной задачи [8]. Набор состоит из двух серий, в которых расстояния между пунктами заданы с равномерным распределением (Серия 1) и удовлетворяют неравенству треугольника (Серия 2). В каждой

серии сформировано по 16 примеров размерности \N\ = 60,80,100,150,200,300 с тремя возможными проектами и ограничениями на бюджет в 3, 5, 7 и 9 единиц.

Описанные алгоритмы, разработанные для задач со значением параметра Х = 1, без изменения настроек были использованы для обеих серий задач. Лучший известный результат, полученный при однократном запуске каждого алгоритма, сравнивался со значениями верхних оценок UB2 и UB3. В табл. 1-2 представлены средние отклонения значения целевой функции от верхней оценки в процентном отношении в рамках одной размерности.

Серия 1

Таблица 1

Размерность UB2 UB3

60 32,191 1,544

80 31,957 0,978

100 30,715 3,804

150 29,803 4,551

200 29,147 9,472

300 27,101 9,847

Таблица 2 Серия 2

Размерность UB2 UB3

60 65,350 1,974

80 64,621 1,692

100 60,354 3,532

150 66,060 4,096

200 64,490 5,444

300 65,585 12,310

На основе указанных результатов можно сделать вывод о том, что оценка иВ3 является более точной, чем иВ2, и позволяет существенно улучшить представление о построенных алгоритмах. Так, например, для Серии 2 и размерности 60 отклонение от оценки снижается с почти 65 % до 2 %.

Каждая задача из тестового набора была решена 1000 раз, на основе полученных результатов был проведен статистический анализ с использованием оценок иВ2 и иВ3. В данном эксперименте параметр X подобран для каждой задачи таким образом, чтобы выполнялось условие (14).

В табл. 3-5 приведены данные экспериментальных исследований для задач Серии 1. В ячейках указана вероятность нахождения решения с отклонением от верхней оценки не более чем на определенный уровень: 10 % для иВ2 и 2,5 % для иВ3. Для каждой размерности использованы результаты 16 000 за-

пусков - по 1000 запусков для каждой из 16 задач. Уровень 10 % для UB2 выбран как максимальное приемлемое отклонение, а уровень 2,5 % для UB3 - как среднее отклонение для алгоритма имитации отжига, показавшего лучшие результаты в эксперименте.

Таблица 3 Последовательное улучшение

Размерность UB2(< 10 %) UB3(< 2,5 %)

60 0,062 0,807

80 0,118 0,752

100 0,093 0,589

150 0,147 0,525

200 0,163 0,399

300 0,168 0,374

Таблица 4 Пороговое улучшение

Размерность UB2(< 10 %) UB3(< 2,5 %)

60 0,038 0,180

80 0,078 0,256

100 0,016 0,088

150 0,041 0,075

200 0,033 0,047

300 0,085 0,117

Таблица 5

Имитация отжига

Размерность UB2(< 10 %) UB3(< 2,5 %)

60 0,063 0,919

80 0,125 0,958

100 0,125 0,908

150 0,187 0,957

200 0,243 0,887

300 0,221 0,926

Для задач Серии 2 при использовании оценки иВ2 в 100 % случаев отклонение превысило 20 %. В табл. 6 представлена частота получения решения, отклоняющегося не более чем на 3 % от оценки иВ3. Уровень в 3 % выбран из тех же соображений, что и для Серии 1. Обозначения: А1 - алгоритм последовательного улучшения, А2 - пороговое улучшение, А3 - имитация отжига.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что оценка иВ3 является более точной, чем иВ2 для задач со специальным значением параметра X.

При использовании оценки иВ3 для Серии 1 с надежностью 95 % можно утверждать, что вероятность получения решения, отклоняющегося от верхней оценки не более чем на 2,5 %, находится в интервале [0,572; 0,578] для алгоритма последовательного улучшения; в интервале [0,125; 0,129] для порогового улучшения и в интервале [0,924; 0,927] для алгоритма имитации отжига. Для Серии 2 с тем же уровнем доверия можно утверждать, что вероятность нахождения решения, отклонение которого не превосходит 3 %, находится в интервале [0,595; 0,601] для последовательного улучшения; в интервале [0,193; 0,198] для порогового улучшения и в интервале [0,911; 0,914] для имитации отжига. Эти данные еще раз подтверждают, что из всех пороговых алгоритмов, имитация отжига показывает лучшие результаты и является среди них наиболее перспективной для поиска приближенного решения.

Таблица 6 Частота получения решения с отклонением менее 3 %

Размерность А1 А2 A3

60 0,852 0,434 0,949

80 0,669 0,152 0,859

100 0,683 0,137 0,887

150 0,491 0,140 0,910

200 0,512 0,152 0,897

300 0,378 0,169 0,964

5. Заключение

Проведено экспериментальное исследование двух видов верхних оценок на примере конкурентной задачи размещения с гибким спросом, являющейся достаточно сложной с вычислительной точки зрения. Оценки значений целевой функции были применены для анализа точности разработанных пороговых алгоритмов, относящихся к приближенным методам решения. Анализ показал, что разработанная нами оценка иВ3 является более точной для рассматриваемого класса задач и ее применение позволяет существенно улучшить выводы о качестве приближенных алгоритмов, что в итоге позволит выявить их сильные и слабые стороны, а также повысить эффективность алгоритмов.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Береснев В. Л. Дискретные задачи размещения и полиномы от булевых переменных. Новосибирск : Изд-во Ин-та математики, 2005. 450 с.

2. Discrete Location Theory / ed. by Pitu B. Mirchandani and Richard L. Franscis. N. Y. : John Wiley and Sons, Inc., 1990. 576 p.

- 9

Herald of Omsk University 2017, no. 4 (86), pp. 4-10

Вестник Омского университета 2017. № 4 (86). С. 4-10

-ISSN 1812-3996

3. Гришухин В. П. Полиномиальность в простейшей задаче размещения: препринт / ЦЭМИ АН СССР. М., 1987. 64 с.

4. Колоколов А. А., Леванова Т. В., Поздняков Ю. С. Алгоритмы искусственной иммунной системы для вариантной задачи размещения телекоммуникационных центров // Изв. Иркут. гос. ун-та. Серия «Математика». 2013. № 1. С. 35-44.

5. Kochetov Y, Alekseeva E., Levanova T., Loresh M. Large Neighborhood Local Search for the p-Median Problem // Yugoslav Journal of Operations Research. 2005. Vol. 15, № 1. P. 53-63.

6. Karakitsiou A. Modeling Discrete Competitive Facility Location. Heidelberg : Springer, 2015. 61 p.

7. Aboolian R., Berman O., Krass D. Competitive Facility Location and Design Problem // Eur. J. Oper. Res. 2007. Vol. 182(1). P. 40-62.

8. Levanova T., Gnusarev A. Variable neighborhood search approach for the location and design problem // Kochetov Y. et all (eds.). D00R-2016. LNCS, Vol. 9869. Heidelberg : Springer, 2016. P. 570-577.

9. The General Algebraic Modeling System (GAMS). URL: http://www.gams.com.

10. Леванова Т. В., Белан С. Е. Анализ верхних оценок для одной задачи размещения с гибким спросом // Россия молодая: передовые технологии в промышленность. 2017. № 2. С. 41-51.

11. LocalSolver - All-terrain mathematical optimization solver. URL: http://www.localsolver.com.

12. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории : пер. с англ. М. : Мир, 1999. 335 с.

13. Kirkpatrick S., Gelatt C. D., Vecchi M. P. Optimization by Simulated Annealing // Science. 1983. Vol. 220. P. 671-680.

14. Local sea^h in Combinatorial optimization / ed. by E. Aarts and J. K. Lenstra. N. Y. : J. Wiley and Sons Ltd., 1997. 512 p.

15. Леванова Т. В., Лореш М. А. Алгоритмы муравьиной колонии и имитации отжига для задачи о р-медиане // Автоматика и телемеханика. 2004. № 3. С. 80-88.

16. Gnusarev A. Comparison of Two Heuristic Algorithms for a Location and Design Problem // Valery A. Kal-yagin et all (eds.). Models, Algorithms, and Technologies for Network Analysis. NET 2016 (Nizhny Novgorod, Russia, May 2016). [S. l.]: Springer, 2017. P. 47-55.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Леванова Татьяна Валентиновна - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, 644099, Россия, г. Омск, ул. Певцова, 13;

доцент, доцент кафедры прикладной и вычислительной математики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: levanova@ofim. oscsbras.ru.

Белан Станислав Евгеньевич - магистрант, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: [email protected].

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Леванова Т. В., Белан С. Е. Применение верхних оценок для анализа алгоритмов приближенного решения конкурентной задачи размещения с гибким спросом // Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 4 (86). С. 4-10. D0I: 10.25513/1812-3996.2017.4.4-10.

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Levanova Tatyana Valentinovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Omsk Branch, 13, Pevtsova st., Omsk, 644099, Russia; Docent, Docent of the Department of Applied and Computational Mathematics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: [email protected].

Belan Stanislav Evgenevich - master's student, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: [email protected].

FOR QTATIONS

Levanova T.V., Belan S.E. Application of upper bounds for analysis of approximate algorithms for a competitive location problem with elastic demand. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2017, no. 4(86), pp. 4-10. DOI: 10.25513/18123996.2017.4.4-10. (in Russ.).