Разработка модели оптимизации плана выпуска и доставки продукции с учетом факторов неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

У статтi розроблено та дослГджено статич-ну модель сум^шп оптимiзацii виробничого плану тдприемства та плану доставки готовой продук-цп до заданоi множини споживачiв. Модель врахо-вуе випадковi коливання продуктивностi техноло-гiчних лтш та попиту на продукцю. В результатi одержана задача стохастичноi оптимiзацiiвиробни-чо-транспортного типу

Ключовi слова: ланцюг поставок, стохастична оптимiзацiя, випадковий попит, випадкова продук-

тивтсть лтш

□-□

В статье разработана и исследована статическая модель совместной оптимизации производственного плана предприятия и плана доставки готовой продукции заданному множеству потребителей. Модель учитывает случайные колебания про-изводительностей технологических линий и спроса на продукцию. В результате получена задача стохастической оптимизации производственно - транспортного типа

Ключевые слова: цепь поставок, стохастическая оптимизация, случайный спрос, случайная производительность линий

УДК 658.07

|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.44815|

РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ПЛАНА ВЫПУСКА И ДОСТАВКИ ПРОДУКЦИИ С УЧЕТОМ ФАКТОРОВ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Ю. В. Ку руджи

Ассистент Кафедра менеджмента и маркетинга на морском транспорте Одесский национальный морской университет ул. Мечникова, 34, г. Одесса, Украина, 65029 E-mail: yulia.kurudzhi@mail.ru

1. Введение

В деятельности большинства видов логистических систем, как известно [1], присутствуют элементы неопределенности и риска. Они могут быть вызваны колебаниями рыночного спроса на производимую продукцию и на логистические услуги, конкуренцией, политической нестабильностью, природными факторами и др. Эти факторы нарушают устойчивость работы цепей поставок, снижают надежность взаимных поставок, снижают качество логистических услуг.

Для формализованного описания функционирования цепей поставок в настоящее время используются классические модели и методы: многоиндексные задачи линейного, нелинейного, динамического и стохастического программирования. В работе [2], например, исходная задача стохастического программирования с помощью стандартного приема сводится к своему детерминированному эквиваленту (случай так называемой одноэтапной стохастической оптимизации).

При моделировании работы цепей поставок важным является учет факторов внешней и внутренней неопределенности [3]. При координации действий различных звеньев цепи поставок важно предвидеть возможные риски и использовать современные методы управления рисками. Этим определяется актуальность такого рода исследований.

2. Анализ литературных данных и постановка проблемы

Моделированию и оптимизации различных логистических систем в последние годы уделяется значительное внимание в специальной литературе. Так, на-

пример, в монографиях [4, 5] рассматриваются модели, основанные на использовании классических моделей теории управления запасами, а также оптимизации размещения производства (с учетом транспортировки готовой продукции). В статьях [6-8] исследуется возможность использования для моделирования и совместной оптимизации планов производства и перевозки продукции для цепей поставок различной конфигурации аппарат линейного программирования. В работах [9-11] предложено использовать для моделирования многоуровневой цепи поставок комбинацию известной модели управления запасами Вагнера-Уай-тина и классической транспортной задачи математического программирования в динамической постановке.

Ряд цитированных выше работ (например, [6]), учитывает случайное колебание спроса в пунктах доставки готовой продукции, т. е. фактор внешней неопределенности. В то же время в процессе функционировании цепей поставок могут возникать и другие, так сказать, внутренние, факторы риска. Они связаны, к примеру, с внезапными отказами производственного оборудования, колебаниями производительности рабочих, поставкой некачественного сырья и др.

Поэтому при моделировании логистических систем и оптимизации совместных планов работы различных звеньев цепей поставок важно учитывать влияние как внутренних, так и внешних факторов неопределенности.

3. Цель и задачи исследования

Целью работы является исследование влияния факторов внешней и внутренней неопределенности на функционирование цепи поставок.

©

Задачей исследования является разработка метода оптимизации совместных планов выпуска готовой продукции и ее доставки в пункты назначения с учетом одновременного влияния факторов внешней и внутренней неопределенности.

Для решения этой задачи требуется применить аппарат линейного и нелинейного математического программирования. В основе предлагаемого метода лежит обобщение результатов работы [6].

4. Основные результаты исследования по учету факторов внешней и внутренней неопределенности при моделировании цепи поставок

Приведем модель оптимизации планов производства готовой продукции к видов из г видов сырья и доставки ее в конечные пункты потребления D1, Э2, ..., DM через перевалочные пункты Р1, Р2, ...,РК [6]. При этом величины спроса dkm(ю) являются непрерывными взаимно независимыми случайными величинами с заданными плотностями распределения фкт^):

K K N K N M

S = £ skxk + £ £ sknxkn + £ ££ SlmmYknm + k=1 k=1 n=1 k=1 n=1 m=1

K M I ^ zkm

+ ££(Skm J( Zkm " U )ф km (u)du +

k=1 m=1 \ 0

S+m J(U - zkm )фkm(u)du

zkm

£akA < br,r = 1,2,...,.R;

k=1 N

£ Xkn = Xk,k = U...-K;

n=1

K KM

£ Xkn =££ У knm < Wn,n = 1,2,...,N;

k=1 k=1 m=1

Zkm =£ У knm, m = 1,2,...,M,k = 1,2,...,K;

Xk, xkn,yknm ^ 0 Vk,nm.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Здесь xk - количество готовой продукции k-го вида, запланированное для выпуска предприятием; xkn - количество готовой продукции k-го вида, которое планируется для перевалки в пункте Pn; yknm -количество готовой продукции k-го вида, которое планируется для доставки из перевалочного пункта Pn в пункт назначения Dm; zkm - общее количество продукции k-го вида, которая планируется для доставки в пункт назначения Dm до реализации случайного спроса dkm(rn). akr - количество сырья r-го вида, которое необходимо затратить на производство единицы продукции k-го вида; br - количество имеющегося в наличии ресурса вида r; wn - пропускная способность перевалочного пункта Pn; Sk - производственные издержки по выпуску единицы продукции k-го вида; skn - стоимость перевозки, включая перевалку гото-

вой продукции к-го вида в пункт Рп; - стоимость перевозки единицы продукции к-го вида из пункта перевалки Рп в пункт назначения Dm; Бкт - убытки, вызванные дефицитом продукции к-го вида в пункте назначения Dm; - издержки по хранению единицы этой продукции в том же пункте.

Случайные колебания рыночного спроса относятся к факторам внешней неопределенности для рассматриваемой интегрированной цепи поставок.

Рассмотрим, каким образом можно в исходной модели оптимизации учесть факторы внутренней неопределенности, которые проявляются, например, в колебаниях производительности труда рабочих, внезапных отказах производственного оборудования, нарушении технологии.

Влияние этих факторов в модели можно учесть, считая коэффициенты акг случайными величинами с известными законами распределения. Если акг - случайная величина, то может оказаться, что для данного производственного плана {хк} общее количество требуемого ресурса (сырья) г-го вида больше, чем Ьг. Это означает, что вся работа не может быть выполнена за необходимое время. В этой ситуации можно представить себе два выхода: либо сдавать заказ с опозданием, либо вводить сверхурочные работы. В обоих случаях на заводе возникают дополнительные затраты. Условимся считать, что если действительное количество сырья г-го вида меньше запланированного на величину Дг, то это влечет за собой убытки в размере пгДг, где пг - плата за приобретение дополнительной единицы сырья г-го вида.

Пусть требуется определить план производства и доставки продукции {хк, хкп, укпт}, который минимизирует выражение S плюс средний убыток от недостатка ресурсов. Для любого набора случайных величин акг определим случайные величины V,. по формуле

= £akA , r = 1,2,...,.R.

Плотность распределения случайной величины акг обозначим через укг(а), а через цкг и о^ - ее среднее значение и дисперсию соответственно. Требуется определить плотность распределения случайной величины vг. Считая, что {акг} - независимые в совокупности случайные величины, по правилу нахождения плотности распределения суммы независимых случайных величин находим

¥r(v) = V1r

/ \ v

SV2r

/ \ v

/ \ v

(7)

где * - символ свертки плотностей.

Среднее значение и дисперсия случайной величины будут такими:

к к

^=£ЬА , о2=£окгхк.

к=1 к=1

Если, например, акг нормально распределена, то vг также будет нормально распределенной случайной величиной с плотностью

nr(v;|ir, or) = -

rV2n

-(v-Цг )2/2oi

Отметим, что если vr можно рассматривать как сумму большого числа случайных величин (т. е. при больших К), то по центральной предельной теореме ее распределение будет приближенно нормальным, даже если случайные величины акг имеют произвольные распределения.

Ограничения (2) в данном случае становятся вероятностными и примут вид:

jVr(v)dv>1-е, r = 1,2,...,R ,

(8)

где е - заданная малая вероятность.

Поскольку плотность уг^) определена, то задача сводится к минимизации выражения

(9)

S = S + r j(v - br )у r(v)dv

при ограничениях (3)-(6), (8).

Дадим численную иллюстрацию построенной модели оптимизации для случая, когда предприятие-изготовитель выпускает два вида товаров (К=2) с использованием трех видов сырья ^=3). Продукция предприятия доставляется в три пункта назначения (М=3) через два пункта перевалки (N=2). Положим экт = 5^кт = 50, пг = 0,1, к = 1,2, т = 1,2,3, г = 1,2,3.

Рассмотрим случай, когда величины спроса dkm(ю) имеют экспоненциальное распределение с параметрами Хкт, т. е. их плотности ф^^) = Хктек^кт<1, к = 1,2, т = 1,2,3.

Случайные величины укг(а) также распределены экспоненциально с параметрами , т. е. их плотности распределения имеют вид: укг(а) = Хкге-^кга, к = 1,2, г = 1,2,3. Тогда величина vr, согласно с формулой свертки (7), будет иметь плотность распределения

V r(v) = -

X1r X2r

X2rv/ -Xirv/

e- ^ - e- "

r = 1,2,...,R.

Необходимые для расчетов значения представлены в табл. 1.

В табл. 2 приведены результаты расчетов, выполненных с помощью пакета Excel.

Параметры {xk, xkn, yknm} определяют план производства и доставки продукции по распределительным каналам. Таким образом, продукция 1-го вида будет выпущена в объеме 120,38 ед.: 91,72 ед. поступит в пункт перевалки P1 и 28,66 ед. - в пункт P2. Вся выпущенная продукция 2-го вида (108,28 ед.) будет доставлена в конечные пункты потребления через перевалочный пункт P1. В пункт назначения D1 будет доставлено 20,06 ед. продукции 1-го вида и 50,14 ед. продукции 2-го вида через перевалочный пункт P1. 61,84 ед. товара 1-го вида и 38,45 ед. товара 2-го вида поступит в пункт

D2 через Р^ Пункт потребления D3 получит 38,48 ед. продукции 1-го вида (9,82 ед. через пункт Р! и 28,66 ед. через Р2) и 19,69 ед. продукции 2-го вида.

Таблица 1

Исходные данные для расчета

Условные обозначения Значения параметров Условные обозначения Значения параметров Условные обозначения Значения параметров

b1 200 s'121 3,0 X 21 0,020

b2 250 s'112 2,3 X 12 0,013

Ьз 400 s'122 2,6 X 22 0,025

w1 200 s'113 3,0 X 13 0,020

w2 100 s'123 2,0 X 23 0,050

S1 3,0 s'211 1,5 X 11 5,0

S2 2,0 s'221 3,0 X 21 5,0

s'11 3,5 s'212 2,4 X 12 4,0

s'12 4,0 S222 3,0 X 22 4,0

s'21 2,0 s'213 2,0 X 13 2,5

s'22 3,0 s 223 2,0 X 23 2,5

s 111 2,0 X 11 0,040

При этом расходы на производство, перевалку и перевозку продукции составят 7929,4 ден. ед.

Таблица 2

Результаты расчета

Услов- Зна- Услов- Зна- Услов- Зна-

ные чения ные чения ные чения

обозна- параме- обозна- параме- обозна- параме-

чения тров чения тров чения тров

X1 120,38 У111 20,06 У211 50,14

X2 108,28 У121 0 У221 0

X11 91,72 У112 61,84 У212 38,45

X12 28,66 У122 0 У222 0

X21 108,28 У113 9,82 У213 19,69

X22 0 У123 28,66 У223 0

5. Обсуждение результатов построения оптимизационной модели с учетом факторов внешней и внутренней неопределенности

Полученная задача совместной оптимизации производственного плана предприятия и плана доставки готовой продукции с учетом случайного колебания спроса на продукцию и случайного колебания произ-водительностей технологических линий значительно трудней в вычислительном отношении, чем исходная детерминированная модель без учета влияния внешних и внутренних факторов, поскольку функция (9) не обязательно вогнутая по параметрам управления

{Хк, Хкп, Укшп

} и не сепарабельная. Левые части ограничений (8) также представляют собой не сепарабель-ную и не вогнутую функцию. В полученной задаче совместной оптимизации глобальный минимум может не совпадать с локальным. Для решения такого рода задач могут быть использованы известные методы оптимизации первого и второго порядков.

1

Кроме оптимизации планов производства и доставки готовой продукции, полученные результаты могут быть использованы также для разработки критерия целесообразности страхования рассмотренных рисков. Для этого можно воспользоваться результатами работ [12, 13], в которых анализировались риски, вызванные колебаниями рыночного спроса.

Рассмотренные выше модели совместной оптимизации производственной программы предприятия и доставки готовой продукции потребителям с учетом факторов внутренней и внешней неопределенности являются простейшими статическими моделями, однако они с некоторыми оговорками могут использоваться в практической деятельности логистических менеджеров (при наличии соответствующего программного обеспечения). Область их практического применения ограничена тем, что в них не учитывается, например, процесс поставки сырья на предприятие, возможность перевозки транспортом грузов других предприятий, перераспределение высвобождающихся в процессе перевозки транспортных средств между другими схемами перевозок и др. В связи с этим представляет также интерес изучение динамических моделей указанного класса, в которых производственный и перевозочный процессы рассматриваются на заданном горизонте планирования с учетом колебания рыночного спроса, а также поведе-

ния конкурирующих предприятий-производителей и транспортных предприятий [10, 11].

6. Выводы

Приведена статическая модель совместной оптимизации производственного плана предприятия и плана доставки готовой продукции потребителям. В результате получена задача одноэтапной стохастической оптимизации производственно-транспортного типа и построен ее детерминированный эквивалент (нелинейная задача оптимизации).

Разработанная модель учитывает факторы внешней и внутренней неопределенности. В качестве фактора внешней неопределенности рассмотрено случайное колебание спроса в пунктах доставки готовой продукции: величины спроса dkm предполагаются взаимно независимыми случайными величинами с заданными плотностями распределения. В модели также учтено влияние внутренних факторов: производственные коэффициенты акг являются случайными величинами с известными законами распределения.

В дальнейшем результаты данной работы могут быть обобщены на случай построения динамических моделей управления запасами с учетом факторов внутренней и внешней неопределенности.

Литература

1. Christopher, M. Logistics and supply chain management (creating, value-adding networks), 4th Edn. [Text] / M. Christopher. -Harlow, Prentice Hall, 2011. - 305 p.

2. Юдин, Д. Б. Задачи и методы стохастического программирования [Текст] / Д. Б. Юдин. - М.: Сов. радио, 1979. - 392 с.

3. Гаджинский, А. М. Логистика; 15-е изд., перераб. и доп. [Текст]: учебник / А. М. Гаджинский. - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К0», 2008. - 472 с.

4. Brandimarte, P. Introduction to distribution logistics [Text] / P. Brandimarte, G. Zoretti. - NY: Wiley, 2007. - 581 р.

5. Bramel, J. The logic of logistics: theory, algorithms, and applications for logistics management [Text] / J. Bramel, D. Simchi-Levi. - Berlin: Springer, 1997. - 478 p.

6. Постан, М. Я. Модель оптимального планирования производства и доставки продукции предприятия по распределительным каналам [Текст] / М. Я. Постан, Д. А. Малиновский // Методи та засоби управлшня розвитком транспортних систем: Зб. наук. праць ОНМУ. - 2009. - № 15. - С. 19-28.

7. Куруджи, Ю. В. Об одной модели оптимизации плана выпуска и доставки продукции в цепи поставок [Текст]: зб. наук. праць / Ю. В. Куруджи // Методи та засоби управлшня розвитком транспортних систем: ОНМУ. - Одеса: ОНМУ. - 2014. -№ 1 (21). - С. 27-38.

8. Куруджи, Ю. В. Применение линейного программирования для оптимизации плана выпуска и доставки продукции в цепи поставок [Текст] / Ю.В. Куруджи, М.Я. Постан // Технологический аудит и резервы производства. - 2014. - Т. 2, № 2 (16). -С. 42-47. doi: 10.15587/2312-8372.2014.23050

9. Постан, М. Я. Динамическая модель оптимального управления запасами товаров и их доставкой в деятельности логистической фирмы [Текст] / М. Я. Постан // Логистика: проблемы и решения. - 2009. - № 2. - С. 54-58.

10. Morozova, I. V. Dynamic Optimization Model for Planning of Integrated Logistical System Functioning [Text] / I. V. Morozova, M. Ya. Postan, S. N. Dashkovskiy // Proceedings of 3d International Conference "Dynamics in Logistics", LDIC2012, Bremen, Germany. - Berlin: Springer, 2013. - P. 291-300.

11. Postan, M. Ya. Dynamic model for optimization of production and finished products delivery plans in supply chain [Text] / M. Ya. Postan, N. I. Chuhraj, Yu. V. Kurudzhi // Logistyka. - 2014. - Vol. 4. - P. 2345-2352.

12. Постан, М. Я. Метод оценки рисков при оптимизации планирования выпуска продукции предприятием в условиях случайного спроса [Текст] / М. Я. Постан // Науковi пращ Донецького нацюнального техшчного ушверситету. - 2013. -№ 4(16). - С. 321-325.

13. Куруджи, Ю. В. Разработка метода оценки рыночного риска при планировании работы цепи поставок при случайном спросе [Текст] / Ю. В. Куруджи // Технологический аудит и резервы производства. - 2014. - Т. 5, № 2 (19). - С. 31-35. doi: 10.15587/2312-8372.2014.27317