Разработка матричного метода описания геометрии и расчета аэродинамических характеристик тел с произвольно искривленной осью Текст научной статьи по специальности «Физика»

НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС77 • 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408

электронный научно-технический журнал

Разработка матричного метода описания геометрии и расчета

аэродинамических характеристик тел с произвольно

искривленной осью

# 11, ноябрь 2012

Б01: 10.7463/1112.0492155

Романова И. К., Соловьев В. С.

УДК 623.5 (533.696.3)

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана romanova@sm.bmstu.ru sm4@sm.bmstu.ru

Рассмотрим класс летательных аппаратов, с необратимыми деформациями корпуса в виде произвольно искривленной оси. Актуальной является задача разработки методики расчета аэродинамических коэффициентов таких тел.

Одной из главных компонент аэродинамических нагрузок является составляющая, обусловленная действием сил давления (см. [1]). Ряд приближенных методов ее определения, о которых говорилось в данной статье, оказался по тем или иным причинам непригодным для исследуемого класса тел - искривленных, с большими величинами деформаций. Так, форма исследуемого объекта не позволяет применять в полной мере методы касательных конусов, а точность метода течений разрежения - скачков уплотнения ухудшается с ростом углов атаки, ибо при этом начинает сказываться влияние вязкости, отрывных течений, а также ухудшение использования предположения о плоских течениях в каждой меридиональной плоскости.

В результате анализа существующих методов, проведенной в [1] за основу была взята гипотеза "ньютонова торможения". Она обычно применяется для приближенного расчета давления при больших скоростях обтекания. Согласно корпускулярной теории Ньютона частицы газа испытывают возмущения только при ударе о твердую стенку и полностью теряют нормальную к стенке составляющую количества движения. С физической точки зрения при обтекании тела с большой сверхзвуковой скоростью предположение Ньютона становится справедливым [2], так как в этом случае ударная волна располагается близко к поверхности тела и все струйки до ударной волны имеют

одинаковые направления и величину скорости невозмущенного потока, а за ударной волной движутся в тонком слое между нею и телом и приобретают почти одинаковые скорости, параллельные его поверхности. Чем больше число Маха и тоньше тело, тем ближе к действительности теория Ньютона. Указанная причина объясняет достаточно хорошую сходимость расчета и реального распределения давления, увеличивающуюся по мере роста числа Маха и практический расчет дает во многих случаях удовлетворительные результаты, несмотря на то, что влияние вязкости в теории Ньютона не учитывается. Для повышения точности расчетов в общепринятую формулу, выражающую давление через квадрат синуса угла наклона тела без поправки на центробежные силы, вводится некоторый множитель, учитывающий точное значение давления торможения» Предложенная Лизом формула носит название ньютоновой модифицированной и носит эмпирический характер.

Пределы применения теории с учетом различных модификаций даже в случае исследования нестационарного обтекания (у - коррекция) могут быть расширены до 2-3, причем, как показано в [1] (сравнение с теорией поперечного обтекания), теория может применяться и при больших отклонениях потока. Взятая за основную физическую гипотезу при разработке методики определения стационарных и нестационарных характеристик - составляющих от распределения сил давления гипотеза ньютонова торможения была в [1] проверена экспериментально для исследуемых искривленных тел путем сравнения с расчетными зависимостями значений коэффициентов давления на поверхности тела и суммарных аэродинамических и была подтверждена возможность ее применения.

В соответствии с указанной гипотезой распределение давления на теле определяется по формуле через коэффициент давления:

_ 2

Р = (Р - Рю)/Яю = 2СОБ п

1 (1) = — V 2

Яю = 2 Р* ю

где П - угол между направлением набегающего потока и нормалью к поверхности тела, индекс ( относится к параметрам набегающего потока; - скорость набегающего

потока (модуль), р - плотность, q(X> - скоростной напор.

Рассматриваются две составляющие вектора скорости набегающего потока: от

поступательного движения V и от вращательного движения вокруг центра масс со

скоростью а : - Vа . Тогда коэффициент давления будет состоять из двух членов, определяемых нормальными частями указанных составляющих, так что (1) запишется в виде:

Р = 2(Готн п / V» )2 = (2/ VI )(^ + Гпт )2 (2)

где индекс "отн." определяет относительную скорость частицы газа, равную переносной скорости точки тела, в которой определяется давление, взятой с обратным знаком. Основной задачей, как следует из формул для коэффициента давления, является определение нормали к поверхности, тогда можно определить и составляющие

нормальной скорости, а значит, и коэффициент Р .

Приведем общие соотношения для скоростей, давлений, сил и моментов. Нормальные составляющие скоростей получаются скалярным перемножением вектора соответствующей скорости на вектор единичной нормали:

V = V • N = V N + V N + УМ (3)

'им ' X 1У г X» т X у уX у 2X у 2 >

где Vxю, VyЮ, Vzю - компоненты вектора поточной скорости в некоторой системе ХУХ;

Мх, Му, Nz - компоненты вектора единичной нормали к поверхности в той же системе.

Заметим, что в связанной обращенной системы координат (в дальнейшем обозначим Х"У"Х") для представления компонент вектора скорости набегающего потока через углы атаки а и скольжения в известные формулы:

V =

г X

V»

X

(СОБ в • еоБа • I + СОБ в • Бта • ] + БШ в • к) (4)

где I, 7, к - единичные орты системы Х"У"Х". Угловая скорость вращательного движения:

а = ах • I +&у • у + а2 • к

Добавочная скорость обращенного движения, индуцируемая в рассматриваемой точке А, равна векторному произведению:

Уа=-а х ЯА (5)

Нормальная составляющая этой скорости определяется как скалярное произведение вектора (5) на вектор нормали:

Уnа= КхМх + КуМу + УаzNz http://technomag.edu.ru/doc/492155.html 191

где компоненты скорости получаются из раскрытия векторного произведения.

Заметим, что начало координат используемой системы может не совпадать с центром масс тела, относительно которого осуществляется вращение. Рассмотрим некоторую точку А, принадлежащую деформированному телу, с радиусом-вектором от

начала координат до этой точки Я и точку центра масс тела с радиусом Я? . Тогда

вектор, соединяющий точки А и центра масс и направленный к точке А, обозначим ЯА , и подставим в вышеприведенную формулу:

ЯА = Я - Ят = ЛхА • I + ЛуА • у + ЛгА • к (6)

Для определения аэродинамических коэффициентов рассмотрим силу, действующую на элемент поверхности и порождаемую нормальным давлением:

¿Г = рдаБ • N =

I +

X

У

• у +

• к

Выполняя интегрирование по поверхности для каждой из компонент и относя к характерной площади и скоростному напору согласно общим выражениям

Х а = дБСха; Уа = дБСуа; ^а = дБСга имеем формулы для аэродинамических коэффициентов в некоторой системе координат

ХУ2 :

Сха = Ха /(дБ) = 1/(дБ) \ РgNxdS;

(5)

С = У

^уа 1 а

/(дБ) = 1 /(дБ) | pgNydS;

(Б)

(7)

С2а = 1а /(дБ) = 1/(дБ) | РgNzdS;

(Б)

где Nx, Ny, Nz - проекции нормали на оси координат

р - местный коэффициент давления, действующий на данную площадку ¿Б и рассчитываемый по формуле (2); д - скоростной напор.

Момент силы Г относительно центра O равен векторному произведению радиуса-вектора Г , соединяющего этот центр с точкой приложения силы А на эту силу:

7

г 7 к

М0=1хF= х У

Гх

Рассматривая момент от элементарной силы dF и учитывая выражения компонент силы по осям координат5после раскрытия определителя формулы для М0 имеем:

dM

=(

dF

-

dF

Му2 )• 1 -(

dF

И2х -

dF

Кх? )•] + (

dF

Ыух -

dF

КхУ )• к

где

dF

= pqdS

Отсюда, используя формулы (3) имеем выражения для аэродинамических коэффициентов моментов:

тл

= 1/(qSl) |pq(м2у - Ку?^;

(S)

т

у

(8)

т

= 1 /^I) | pq(Nxz - Ы2х^ (S)

= 1/^1) |Pq(NyZ - КхУ^

(S)

Пределы интегрирования зависят в случае использования метода Ньютона от геометрии тела и параметров его движения. Чтобы установить их, надо исходить из особенностей обтекания тела "ньютоновым потоком": на его поверхности создается некоторая «затененная» зона, в которой не происходит удара частиц.

Граница этой области определяется кривой, на которой, как и всюду за ней, коэффициент давления равен нулю. Из выражения для коэффициента давления ясно, что уравнение границы:

Уп = 0 (9)

откуда и определяют пределы интегрирования.

Очевидно, что важнейшей проблемой является оптимальное задание геометрии искривленного тела и определение основных геометрических соотношений и связи между используемыми системами координат.

Рассмотрим задачу в наиболее общей постановке. Пусть задано тело произвольной формы. Эту форму можно определить, задав некоторую ось тела, тогда в каждом сечении, перпендикулярном этой оси, точка поверхности определится с помощью

угла и радиуса - переменного по оси тела и в общем случае зависящего от этого угла. Тем самым мы используем так называемую цилиндрическую систему координат.

Предположим, что в результате деформаций сечения тела остались плоскими с теми же переменными радиусами, а ось его приобрела некоторую криволинейную пространственную форму. Геометрию нового деформированного тела наиболее удобно задать в криволинейной системе координат, задание которой естественно связать с положением в пространстве искривленной оси тела (рис. 1).

Рис 1. Криволинейная система координат для искривленного тела

Уравнение линии в пространстве задается векторным уравнением:

г = x • I + у • у + г • k где - могут быть заданы как функции некоторого параметра t - например длины

дуги s, так что

г = Г (= <р( б) • I + у/( б) • У + х( В) • к (10)

Известно, что пространственная кривая имеет ряд важных геометрических характеристик, таких как: положение касательной, нормали и бинормали в данной точке кривой.

При параметрическом задании пространственной кривой имеем: 1) касательная к кривой - единичный вектор:

(г / ds = ((х / ds )• г + ((у / ds )• 7 + ((? / ds )• к = о = г

(11)

2) единичный вектор главной нормали п кривой с радиусом кривизны Я и кривизной К = 1/Я:

п

= (1/К)((о7 (У) = (1/К)(( 21 / (Я 2 )=

л 2 х / (у 2 )• 1 + (( 2 у / (у 2 )• 7 + (( 2 ? / (у 2 )• к = - 7

= (1/К)

3) бинормаль для правой тройки орт

Ь = ах п = -к'

(12)

(13)

Эти вектора удобно брать в качестве орт криволинейной системы координат, направление которых в общем случае переменно по длине тела.

Перечислим системы координат, которыми будем далее пользоваться (рис. 2).

Рис. 2. Системы координат, используемые при выводе формул для искривленного тела.

Основная система координат ОХУХ - связанная. Своим началом имеет действительный центр масс тела или какую-либо другую точку (в этом случае

осуществляется пересчет получаемых соотношений). Ее орты , Упр, кпр ориентированы

так, чтобы ось Х была направлена к носку тела. Если тело имеет плоскость симметрии (в случае плоского искривления тела вращения), целесообразно в ней размещать оси ОХОУ. Используется также ряд вспомогательных систем координат. Система О"Х"О"У" имеет следующие свойства: начало координат расположено в произвольной точке, определяемой удобствами получения геометрических, инерционных и аэродинамических соотношений, например, в точке, где находился центр масс тела до деформации, или в сечении торцов.

Орты этой системы *, У, к ориентированы так, что * = —пр, У = -Упр, к = -кпр . Система О1Х1У121 является криволинейной. Ее начало - точка О1 - совпадает с точкой О". Направления орт *Ук' переменны по длине и выбраны:

*' = ( - по касательной к искривленной оси в данной точке; У' = —п - против главной нормали в данной точке; к' = —Ь - против бинормали (дополняет систему *У' до правой)

Тогда связь между ортами *, У, к и *Ук' соответственно исходной (О"Х"О"У") декартовой и криволинейной (О1Х1У121) систем координат будет определяться соотношением:

к*] = У, к] (14)

где А - переходная матрица:

А(1,1) - первая строка матрицы - направляющие косинусы для касательной -коэффициенты при ортах *, У, к в выражении для /' = (( ;

А(2,1) - вторая строка матрицы - направляющие косинусы для противонормали -коэффициенты при ортах *, У, к в выражении для У' =—п ;

А(3,1) - третья строка матрицы - направляющие косинусы для противобинормали; I = 1,2,3.

При этом связь между компонентами в указанных системах координат [аьа2,а3] (О"Х"О"У") и ,а'2 ,а'3 ] ( О1Х1У111) задается соотношением:

[а\ ,а\ ,а'з ]Т = А[а17а2,аз]Т,[а17а2,аз]Т = АТ[а\,а\,а'з ]Т (15)

где А - ортогональная матрица, поэтому А 1 = АТ .

Для описания геометрии тела и после деформации удобно использовать цилиндрическую систему координат, только она также будет криволинейной: У,Г,у причем теперь У - расстояние по дуге искривленной оси.

Поясним выбор этой системы координат. Выберем некоторую точку "С" на произвольно искривленной оси.

Ее радиус-вектор относительно исходной точки начала координат системы (0"Х"0"У") будет Гс и имеет компоненты в системе 0"Х"0"У": х"оси ,у"оси ,г"оси . В системе 01Х1У121- криволинейной, с тем же началом координат компоненты этого вектора х\оси, у\оси, 2\оси ■ Проведем через эту точку плоскость, перпендикулярную к касательной

в этой точке оси. Так как положение касательной определяет положение орта г' системы 01Х1У121, то в указанной плоскости сечения будут находиться орты 7' , к' этой системы. Принимая гипотезу плоских сечений, получаем, что в рассматриваемой плоскости контур тела после искривления не изменится и определится зависимостью Г=/(у,у), где У -текущая координата по длине недеформированного тела или длина дуги искривленного тела, у- текущий угол, характеризующий положение точки на контуре в рассматриваемом сечении; Г - радиус точки, т.е. расстояние от оси до этой точки в рассматриваемой плоскости (перпендикулярной оси). Для тела вращения г=/(у)- радиус не зависит от

угловой координаты; для цилиндра ^ШШ! Орты 7', к' могут быть приняты в

качестве орт вспомогательной системы СУ'12'1, расположенной в плоскости сечения, перпендикулярном оси в данной точке С и имеющей эту точку своим началом. При этом точка на контуре будет характеризоваться радиусом-вектором г' с модулем, определяемым по формуле, приведенной выше; начало его - точка С, компоненты у'1} 2'1 -

соответственно по ортам 7', к'.

Положение точки на контуре, принадлежащем поверхности искривленного тела относительно точки О будет характеризоваться радиусом - вектором г0, складывающимся из суммы двух векторов:

Го = Гс + 1 ' = х\оси ■ г + у\оси ■ 7 + 2\оси ■ к + у ■ 7' + ■ к = = х\оси ■ г + (у\оси + у') ■ 7 + (2\оси + 2'\) ■ к Отсюда, окончательно координаты точки на поверхности произвольного искривленного тела

T T T

[У1 z\] = [оси y1 оси 1 оси У + [0 y1 z1 У

12 12 2

причем z' + y' = r , где r=f(s,y). С учетом переходных формул (15):

x1 x' x" лоси 0

y1 = A y" = A У оси + у'

z1 z' z" ^ оси z'

y' = r(s, y) cos y; z' = r(s, y) sin y Заметим, что элементы матрицы А (см.14) всецело определяются формой искривленной оси и изменяются в зависимости от х"оси, у"оси, z"ocu , зависящих, как следует из выражения для уравнения пространственной кривой (10), от параметра - дуги s, так что матрица А - также функция этого параметра А = А(s);

х1оси = х1оси (s) yi оси = y1 оси (s) z1 оси 1 оси (s) Компоненты точки поверхности, как известно, могут быть представлены в общем

виде:

r = r(u,v), x = x(u,v), z = z(u,v) В нашем случае u=s - длина дуги; v= у - угловая координата, т.к.:

x1 x1оси (s) " 0 " " x"" xоси (s) " 0 "

У1 = у1оси (s) + y' (s,y) ? У' = У"оси (s) + A 1r (s,y) cosy

_ z1 _ _ z1оси (s) _ _z' (s,y) _ ft z _zoси(s)_ sin y

Таким образом, задание искривленной поверхности сводится к заданию координат искривленной оси как функций параметра дуги и закону изменения радиуса точки в плоскостях, перпендикулярных оси.

Как следует из формул расчета аэродинамических характеристик (7) и (8), одной из главных задач является определение выражения для компонент единичного вектора нормали к поверхности. Известно соотношение

N _ [д(у, г) / д(и, у)]Г + [д(г, х) / д(и, у)]_/ + [д(х, у) / д(и, у)]к

д/[д( у, г) / д(и, у)]2 + [д( г, х) / д(и, у)]2 + [д( х, у) / д(и, у)]2 (16)

где д(у, г) / д(и, у) ...- функциональные определители:

д( у1... уп )/ д( х1 -хп) _ / дхк ]

Так как при описании поверхности пользуемся компонентами x",y",z" и неизвестными s и у, необходимо получить производные типа x"s = dx"/ ds;...z"y = dz"/ dy .

Дифференцируя соотношения в матричном виде для x",y",z" (15) и переходя для удобства в систему X1 Y1 Z1, получим:

0 " cos y ; sin y

0

- sin y ; cosy

где индекс ' показывает, что величины представлены в системе X1Y1Z1.

Следует учесть, что dr/ds - это изменение радиуса тела по длине дуги s , то есть если r(s,y)=ri(s)r2(y), то dr/ds=r2(y)dri(s)/ds, причем для тела вращения r2(y)=1 и r(s,y)= r1(s)=r(s); для цилиндра r =COnst и dr/ds=0.

Из указанных формул следует, что главной задачей при определении

1 T

производных является определение матрицы производных dA /ds=dA /ds. Заметим, что проще рассмотреть выражение dA/ds: dA/ds=[da¿/ds], тогда:

T T т

dA /ds=[da z/ds]=[ da¡/ds] Рассмотрим указанное выражение с геометрической точки зрения. Так как А -матрица направляющих косинусов, определяющих положение криволинейной системы X1Y1Z1 относительно базовой (декартовой) X"Y"Z", которое изменяется вдоль дуги s, то dA/ds - это приращение (изменение) положения направляющих косинусов вдоль дуги при приращении последней на величину ds. Так как в качестве подвижных орт криволинейной системы координат были выбраны орты, связанные с касательной, нормалью и бинормалью для пространственной кривой оси (11)-(13), то для получения приращения dA можно воспользоваться известными формулами для изменения положения подвижного трехгранника, связанного с пространственной кривой (формулы Френе -Серре):

а'= da/ds = Kn; n' = dn/ds = -Ka + rb; b' = db/ds = -тп (18)

где K, T- кривизна и кручение пространственной кривой;

(x " s) ' (У ' s) ' (z ' s) '

= A

■У оси

+

tdA 1 dr

A-r + —

ds ds

z

(x"y)' 0

(y"y)' dr

cosy + r

dy

( z"y)' sin y

а, п, Ь - единичные вектора касательной, нормали и бинормали. О учетом определения матрицы А имеем:

йА

Подставляя выражения для производных (18), получим

ах ау а2 1

А = - пх - пу - п2 А N 1

- Ьх - Ьу - ь2 _ к

ах ау а2

- п'х - п'у - п'2

- Ь'х - Ь'у - ьг

йА

КпV

Кп

у

Кп„

(Ках -ТЬх ) (Кау -ТЬу ) (Ка2 -ТЬ2 )

тп„

у

тп

у

тп

Следует подчеркнуть, что в указанном соотношении пх ... Ь2 - компоненты нормали, касательной и бинормали в данной точке пространственной кривой - оси тела, выраженные в прямолинейной системе координат Х"У"2". Итак, йА/йъ выражается через компоненты матрицы А в данной точке оси, а также через значения кривизны р^ и кручения рт в данной точке, определяемые по формулам:

К = (1/ рк 2 х / йъ 2)2 + (й 2 у / йъ 2)2 + (й 2 г / йъ 2)2 йх / йъ йу / йъ йг / йъ

т = ■

1

1

Рт К-

й 2 х / йъ 2 й 2 у / йъ 2 й 2 2 / йъ 2 й 3 х / йъ3 й 3 у / йъ3 й 3 2 / йъ 3

Для плоской кривой кручение Х_0, поэтому в случае выбора системы координат, ориентированной относительно плоскости изгиба, так что в последней лежат оси Х"У":

М

Транспонируя с учетом свойств ортогональности и разбивая на сумму двух матриц, получим окончательно для общего случая изгиба:

Кпх Кпу 0

Ках Кау 0

0 0 0

йА

-1

К

пх ах 0" "0 - Ьх пх

пу ау 0 + т 0 - Ьу пу

п2 а2 0 0 - Ьг пг

(20)

Заметим, что вектор первых членов при определении производных x"ocu ,...xt

ff s

оси ...

есть не что иное, как выражение компонент касательной к искривленном оси в рассматриваемой точке, так что с учетом обозначений:

1Т

,„s y rrs _ ff s

оси У оси Locu

[dx0cu / ds dyОси / ds dzОси / ds]=|[

= ax ay az

используя полученные выражения (19) и (20) для матриц А, и dA 1/ds через

компоненты

ox...n7, K, т

и проводя перемножения в соответствии со свойствами

ортогональности ортонормированных базисных векторов, получим из (17)

V = V • N = V N + V N + V N

r n<x> у <х> 1У r xxiy x r y<xiy y ' r z<xiy z

"(x ' s) '" "1" K cosy " 1 " "(x"y)'"

(y ' s) ' = 0 + r - T sin y dr + — ds cosy ? (y"y)' =

(z ' s) ' 0 Tcosy sin y ( z"y)'

0

(dr / dy) cos y- r sin y (dr / dy) sin y + r cos y

Подставляя полученные соотношения в выражения для вектора нормали (16), получим компоненты нормали к поверхности тела с произвольно искривленной осью. После перехода в систему X1Y1Z1:

Nx, =

x1 F

1 f dr dr Л

—---T

N ^ ds dy

Nz, = —

z1 F

v

f 1 dr

; Ny, =

-1

(

y1 F

N

dr sin y dy r

+ cos y 1(1 + rK cos y);

N

--cos y - r sin y 1(1 + rK cos y);

r dy )

(21)

Fn =-\j[(dr/ds) - (dr/dy)T]2 + (1/r2)(dr/dy)2 + 1J1 + rK cosy]2 В частном случае для цилиндра

Nx1 = 0; Ny1 =- cosy; N^ =- sin y Для элемента площади поверхности в точке (u,v) известно соотношение:

(22)

dS

dS

y¡S(u,v)dudv = ru x rv\dudv

ru x rv

В то же время для вектора нормали:

N = {?и х rv) /

Сопоставляя, получим выражение для элементарной площади поверхности произвольного искривленного тела:

dS = ^[{dr / ds) - (dr /dy)r\ + [(1/r 2)(dr / dy)1 + l][l + rK cos y]1 rdyds (13)

Для искривленного цилиндра с произвольной осью:

dS = [1 + rK cos y]rdyds (24)

С учетом переходных формул и взаимной ориентации систем XYZ и X"Y"Z" имеем

также:

" Nx"~ NX\ ' Nx' ' Nx"~ x ' x"~

Nf = AT Nn ? Ny = A Nf ? У = A У'

Nz»_ _ NZ11 _ _ Nz _ Nz-_ z z'

A =

-100

О 1 0 0 0 -1

(25)

Укажем некоторые соотношения для скоростей. C учетом формул (3) имеем

-Г

Vn<x>

AB

-1

V

' ж 0 0

N

x1

N

У1

N.

z1

= [Q C2 с

3j

N

x1

N

У1

N

z1

(26)

где С1, С2, С3 - члены вектора С (компоненты скорости набегающего потока в местной системе координат), являющиеся функцией координаты X" или дуги ^ оси тела, так как А зависит от указанных величин» В этом выражении использовано представление скорости набегающего потока с помощью В - матрицы перехода от связанной к скорости системе координат

VX'' Vy'' VZ"

. Уж ¿ж

T-B-1[V' 0 0]

T

(27)

Компоненты вектора дополнительной скорости, возникающей при вращении тела, после раскрытия векторного произведения (5) и представления в матричной форме запишутся:

(28)

V y xw 0 AzA -АУа w

V y yw =(-1) 0 AxA w

V y zw _ _ Ay A -AxA 0 w

V = [v

у nw L x

V

xw у yw

VzwA AT

' Nx," 'V ' y xw T ' Nx, "

N.V1 = AA0 V yw Ny1

_ Nz1 _ V _ zw _ . Nz1 _

Последнее получено с учетом свойств транспонирования матриц. Отметим некоторые особенности величин Дхд, Дуд, Д2д. Как показали выше, координаты точки можно представить в виде суммы двух векторов. С учетом выражения для вектора относительного положения текущей точки (6) и центра вращения, компоненты которого рассматриваем, запишем

ГА = г - гт = гс + г' - гт = (гс - гт) + г'

Тогда

Упа = X (Гс - Гт+ (а х г')N

В свою очередь вектор нормали можно представить в виде суммы двух векторов Nn + Np , где Nn лежит в плоскости (7',к' ), перпендикулярной оси в данной точке по

продолжению вектора г', Nр направлен параллельно орту г' С учетом коллинеарности векторов Nn и г' окончательно

Упа = [¿5 X (Г - Гт )]N + (а X г')Np Для цилиндра вектор N направлен по радиус-вектору г , так что

Упа= [а х (Гс - Гт)]N Таким образом, можно рассматривать Упа> как сумму двух составляющих -определяемой положением соответствующей точки С на оси относительно центра вращения и относительным положением точки С и точки на контуре. Компоненты вектора

гА запишутся в виде:

Axa X" X" лоси ЛТ " 0" XA X A

Лул = Ao уоси - yT + Ao A"1 У1 = yA + y A

_Aza _ оси ZT _ _ z1_ /л _ zA _

111 2 2 2 где Xj, ya , za относительные координаты оси; , yA, zA - координаты вектора

г = гСА , соединяющего точку на контуре и точку оси, представленные в системе ХУ2. С учетом вышеизложенного

V = D

у na ^

NX1 N>1 Nz,J

T+d 2

N N N

Xl P У1P zip\

T

(29)

где Б - вектор, определяемый исключительно положением соответствующей проекции рассматриваемой точки на ось -точки С;

Б - вектор, определяемый относительным положением точки на поверхности А и ее проекции С.

Рассмотрим первую часть - вектор Б . Перейдем от системы ХУ2 к системе

X"Y"Z".

" 0 zA - уА Ox - Фу (z'ocu - zT ) -Ox (yocu - yT)

N - zA 0 xA Oy = А - Ox (zocu - zT ) + Oz (x"ocu - xT)

_ уА - xA 0 _ Ox (y"ocu - yT ) + Oy (xocu - xT)

Для случая плоского искривления оси

cose sine 0 A = - sine cose 0 0 0 1

где S - угол наклона касательной к искривленной оси в данной точке: Ox ("z"oeu sm e) + Oy ( zocu cos e) + Oz (xoeu

cose- yOcu sine) ■ zocu coseox + smez"ocu°y + (y'Ocu sme + xOcu cos e)oz Oxyocu + Oyxocu

D1T =

Раскрывая вторую часть, получили

0 z A - yA Ox

D2T = AA0(-1) 2 - zA 0 x 2 xA Oy

y A - x A 0

Вторую составляющую скорости можно также представить в виде:

0 A3 R a2R Ox

VL = (-NTp) A A?, R 0 - A^R Oy

- ALR - A1T R 0 _Oz

где Np - вектор-столбец компонент вектора Np ; R = r(s,y)[0 cos y sin y] ;

A\ , At , At' - строки транспонированной матрицы А.

Используя выражения для нормальных составляющих скоростей относительного движения Vnc (26) и V„w (29), можно рассчитать в каждой точке поверхности коэффициент давления по (2). При этом предполагается, что полностью определено положение в пространстве искривленной оси: самое удобное - как функции дуги s , так что можно рассчитать члены переходной матрицы направляющих косинусов A(s), а также задано изменение радиуса тела r(s,y).

Разбив поверхность тела на ряд элементов: например по дуге s: As и углу у: Ау, можно приближенно (численно) рассчитать интегралы (7), (8) - коэффициенты аэродинамических сил и моментов (в процессе интегрирования проверяются условия затенения и соответствующие участки либо не включаются в интеграл, либо давление в них принимается постоянным.

Выводы

Разработан эффективный матричный метод описания геометрии тел с произвольной искривленной осью, на основе которого создана общая методика расчета аэродинамических характеристик таких тел, использующая физическую гипотезу «ньютонова торможения». Указанный подход позволяет рассчитать не только аэродинамические, но и инерционные характеристики искривленных тел и может служить основой для формирования комбинированной методики деформированных тел с головной частью и оперением.

Список литературы

1. Романова И.К., Соловьев В.С. Исследование особенностей аэродинамики искривленных тел // // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2011. № 11. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/249741.html (дата обращения 14.11.2012).

2. Аэродинамика ракет. В 2 кн. / под ред. М. Хемша, Дж. Нилсена; пер. с англ. под ред. А.Д. Хонькина. М.: Мир, 1989. Кн. 1 : Введение в аэродинамику ракет. 426 с.; Кн. 2 : Методы аэродинамического расчёта. 512 с.

scientific periodical of the raijman ms tu

SCIENCE and EDUCATION

EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408

electronic scientific and technical journal

Method of calculating aerodynamic characteristics of bodies with arbitrarily curved axis # 11, November 2012 DOI: 10.7463/1112.0492155 Romanova I.K., Soloviev V.S.

Russia, Bauman Moscow State Technical University

romanova@sm.bmstu.ru sm4@sm.bmstu.ru

The study of aerodynamics of bodies that received permanent deformation in the process of movement is a very important task. The authors developed an efficient matrix method for describing the geometry of bodies with an arbitrarily curved axis; this method was used as the basis for creating a general method for calculating aerodynamic characteristics of such bodies; this general technique is based on the physical "Newtonian inhibition" hypothesis. This approach allows to calculate not only aerodynamic but inertial characteristics of curved bodies; also it can serve as a basis for formation of a combined method of deformed bodies with head and tail surfaces.

Publications with keywords:the spatial curve, curved body, the hypothesis of "Newtonian inhibition", aerodynamic characteristics, curvilinear coordinate system Publications with words:the spatial curve, curved body, the hypothesis of "Newtonian inhibition", aerodynamic characteristics, curvilinear coordinate system

References

1. Romanova I.K., Solov'ev V.S. Issledovanie osobennostei aerodinamiki iskrivlennykh tel [Studying special features of aerodynamics of curved bodies]. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2011, no. 11. Available at: http://technomag.edu.ru/doc/249741.html , accessed 14.11.2012.

2. Hemsch M.J., Nielsen J.N., eds. Tactical Missile Aerodynamics. New York, AIAA, 1986. 858 p. (Progress in Astronautics and Aeronautics, vol. 104). (Russ. ed.: Khemsh M., Nilsen Dzh., eds. Aerodinamika raket. V 2 kn. Moscow, Mir, 1989. Kn. 1 : Vvedenie v aerodinamiku raket. 426 p.; Kn. 2 : Metody aerodinamicheskogo rascheta. 512 p.).