CC BY
59
УДК 621.452.3-762:532.516.5:539.38
Ю. М. Т е м и с, И. Ю. Д з е в а
РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ БЕСКОНТАКТНОГО ПАЛЬЧИКОВОГО УПЛОТНЕНИЯ
Разработана многодисциплинарная методика расчета конструкции бесконтактного пальчикового уплотнения в газотурбинном двигателе. Введена геометрическая параметризация элементов уплотнения. Напряженно-деформированное состояние определено с помощью модели криволинейного бруса и подтверждено результатами трехмерных расчетов. Аналитическое одномерное распределение давлений в зазоре найдено на основе приближения Рейнольдса для тонкого газового слоя. Для решения совместной задачи применен итерационный процесс. Разработанная методика применена для расчета реальной конструкции пальчикового уплотнения. Получены зависимости перемещений точек уплотнения от осевого перепада давлений.
E-mail: [email protected]; [email protected]
Ключевые слова: бесконтактное пальчиковое уплотнение, многодиспли-нарная модель, НДС, уравнение Рейнольдса, газовая смазка, криволинейная балка, интегралы Мора.
Уплотнения, герметизирующие полости между ротором и статором в турбомашине, снижают утечки рабочего газа, повышают рабочие характеристики газотурбинного двигателя (ГТД), его надежность и ресурс. Снижение расхода топлива на 2-3 % может быть обеспечено разработкой и внедрением перспективных уплотнений [1], что подразумевает переход от жестких конструкций (различных вариантов лабиринтных уплотнений) к использованию уплотнений с гибкими деформируемыми элементами [2], достоинствами которых являются большой ресурс, высокая степень герметизации радиальных зазоров и низкая стоимость изготовления. Принцип их работы основан на балансировке гибких элементов под действием аэродинамических сил в потоке газа, что позволяет уплотнению автономно поддерживать малый гарантированный зазор между вращающимися и неподвижными деталями двигателя, своевременно реагируя в течение всего полетного цикла на изменение относительных перемещений ротора и корпуса, вызванных давлениями, температурным расширением, деформацией и прецессией ротора. К таким перспективным уплотнениям [1, 2] относят пальчиковые, лепестковые, фольговые и др.
Расчет рабочих характеристик пальчикового уплотнения (ПУ) относится к проблемам многодисциплинарного моделирования и требует решения ряда связанных друг с другом задач. Определение НДС гибких элементов необходимо на всех этапах расчета (газодинамический расчет; оптимальное проектирование и подбор жесткости гибких
элементов; динамический анализ с учетом нестационарных эффектов; исследование устойчивости конструкции уплотнения). При этом крайне важно, чтобы расчет НДС можно было выполнять с использованием "быстрых" моделей, привлекая "тяжелые" коммерческие вычислительные комплексы только для верификации разработанных "легких" (быстрых) моделей. Такой подход позволяет избежать значительных затрат на создание необходимых моделей и затрат машинного времени на проведение расчета (несколько часов/дней подготовки и счета на один рассматриваемый вариант параметров).
Цель настоящей работы — разработка и оценка эффективности методики расчета НДС уплотнения, которая, привлекая минимум вычислительных затрат, позволит сократить сроки параметрического анализа конструкции.
Конструкция бесконтактного пальчикового уплотнения. Общее описание. Бесконтактное ПУ представляет собой сборку из четырех тонких кольцевых пластин. Газ проходит через уплотнение, двигаясь из области высокого давления (ВД) рв в область с низким давлением (НД) рн. Передняя 2 (по потоку) и задняя 4 пластины, называемые также кольцами ВД и НД соответственно, закреплены по внешнему диаметру между стенками корпуса 1 и отделены от них кольцевыми проставками 3 (рис. 1, а). На этих пластинах прорези формируют равномерно распределенные по окружности гибкие элементы, называемые пальцами. На задних пальцах со стороны области НД рн выполнены специальные площадки 5, создающие основную газодинамическую подъемную силу. Пальцы передней пластины, расположенные в области ВД рв, не имеют подъемных площадок и состоят только из "ножек" 7, выходящих из кольцевого основания 8, и "лапок" 6, формирующих конечную часть каждого пальца (рис. 1, б). Уплотнение устанавливается с небольшим монтажным зазором по отношению к ротору 12.
Кольца ПУ повернуты относительно друг друга на определенный угол в плоскости вращения ротора так, чтобы пальцы передней пластины с запасом перекрывали прорези задней, что предотвращает прямую утечку газа через уплотнение. Утечка через ПУ определяется несколькими газовыми потоками, основным из которых является поток I в зазоре 11 между площадками и ротором (см. рис. 1). Поток II формируют прорези между пальцами и подъемными площадками, в которые газ попадает, вырываясь из зазоров, увлекаемый вращением ротора, а также под действием разности давлений на входе и выходе уплотнения. Чтобы гарантировать бесконтактный режим работы ПУ, внутренний диаметр передней пластины может быть увеличен. Это конструктивное решение позволяет снизить вероятность контакта ротора и перед-
Рис. 1. Бесконтактное ПУ:
а - расположение в ГТД и сечение твердотельной модели; б - расчетная схема задачи
них пальцев, имеющих из-за отсутствия площадок меньшую подъемную способность, однако также приводит к дополнительным утечкам (поток III), которые могут достигать ощутимых значений. В работе [3] отмечено, что при некотором трении между пластинами и заданной жесткости пальцев, можно добиться отгибания передних пальцев за счет их прижатия к задним пальцам и совместного движения. При таком режиме работы отпадает необходимость в увеличении диаметра передней пластины.
Работоспособное уплотнение должно удовлетворять заданным конструктивным (внутренний диаметр, осевая длина, минимально дости-
жимая технологически ширина прорези и т.д.) и функциональным (рабочие диапазоны осевых перепадов давлений и скоростей вращения ротора, уровень радиальных перемещений и др.) ограничениям и минимизировать расход газа через уплотнение. Для определения размеров уплотнения необходимо ввести пространство изменяемых геометрических параметров.
Геометрическая параметризация. Параметризация конструкции ПУ представлена на рис.2. Общими геометрическими параметрами пластин (колец) ПУ являются: наружный (Дн) и внутренний (Двн) диаметры пластины, толщина пластины И\, ограничивающие диаметры для ножек пальцев (Днп) и площадок (Дп), радиус образующей дуги ножек Я0, диаметр вспомогательной делительной окружности Дд, ширина прорези ы между пальцами и соответствующие радиусы Яг, I = 1, 2, 3, 4, определяющие ее форму, а также окружная длина лапки/площадки I. Габаритные размеры подъемной области для задней пластины — осевая длина Ь и высота по радиусу Л,пл — будут отличаться от аналогичных размеров для передней пластины, у которой Ь = Иь а подъемная площадка отсутствует (Л,пл не используется). Угол сдвига пластин а (угол повторения пальцев) вычисляется, исходя из числа пальцев п в уплотнении, по формуле а = 360°/п. Угол установки ауст определяет конкретный палец в пластине. При построении твердотельной модели колец ПУ удобно использовать указанные параметры группами в следующем порядке:
1. Дн, Двн, И\ (передняя), Ь, Л,пл (задняя) — пластины;
2. Днп, Дп, Бл, ауст, Я0, ы, I, Яг, I = 1, 2, 3, 4 — прорези;
3. а или п — круговой массив пальцев.
Характерное число пальцев в пластине составляет от 60 до 100; толщина пластин — 0,8... 1,2 мм; диаметр уплотнения — 150... 250 мм, осевая и окружная длины площадок — 5. ..8мм, длина пальца — 10... 35 мм, начальный радиальный зазор между площадкой и ротором — сотые доли миллиметра. В настоящее время такая параметризация, первоначально предложенная в университете г. Акрон (США, Огайо) [4], является общепринятой. Например, по такой геометрической схеме изготовлены опытные образцы ПУ диаметром 8,5 дюймов (~ 216 мм), экспериментальное (стендовое) исследование которых выполнено в работах [3-5]. Отметим, что в работе [4] предварительное моделирование работы ПУ, включавшее расчет НДС и газовой динамики, а также решение совместной задачи, было выполнено автором в коммерческом вычислительном комплексе на основе общих уравнений механики сплошной среды в трехмерной постановке.
Введенная схема параметризации содержит большое число параметров, однако представляется возможным для характеристики конкрет-
D\X)
Рис. 2. Параметризация конструкции ПУ:
а - общие размеры пластин; б - формирование прорезей; в - размеры подъемной площадки
ного ПУ назначить в качестве обобщенного параметра жесткость пальца — кпальца. Это позволяет качественно анализировать упругомехани-ческие свойства ПУ уже на стадии геометрического моделирования и при необходимости оперативно вносить изменения в конструкцию. Для первой оценки кпальца воспользуемся вспомогательными размерами, отмеченными на рис.2 знаком *. Палец в грубом приближении можно представить прямолинейной балкой постоянного прямоугольного сечения, заделанной с одного конца. Тогда при нагружении на другом конце сосредоточенной силой методами теории сопротивления материалов [6] можно получить соотношение для жесткости пальца
кпальца ~ Е0Н1 (Н2/Еэкв )3 ,
где Е0 — модуль упругости материала пластины, Н2 — высота поперечного сечения ножки пальца (рис. 2, в), Ьэкв = Ь0 — длина прямолинейной балки, эквивалентная криволинейной длине пальца Ь0.
Величину H2 приближенно определим как
nD
H2 W — sin во - W,
где в0 — угол между касательными к оси ножки пальца и окружности диаметром D = (1 — Л) Dn + ADm, Л £ [0; 1], построенными в точке их пересечения (рис. 2, б). Отсюда, считая в0 ~ const, получим, что отношение H2 (0)/H2 (1), показывающее изменение величины H2 при движении по ножке пальца, при w ^ D определяется значением Dn/DKn, которое обычно не меньше 0,9, следовательно, разность между минимальным (при Л = 0) и максимальным (при Л = 1) значениями H2 не превышает 10 %. Поэтому допущение о постоянстве сечения ножки пальца, использованное ранее, является вполне обоснованным. Далее всюду полагается H2 = H2 (0,5).
Обычно на величину H2 накладывается ограничение, связанное с необходимостью не допустить прямой утечки через уплотнение из-за раскрытия прорезей между пальцами. Это ограничение можно представить в виде
H2 > ncraW,
где По™ ^ 1 — коэффициент, зависящий от характера радиальных перемещений пальцев передней и задней пластин относительно друг друга.
Таким образом, управлять жесткостью пальца в широком диапазоне можно в основном изменением его длины, а также варьированием материала и толщины пластины. При этом длина пальца определяется следующей группой введенных геометрических параметров: Dra, Dn, Dfl, R0. На рис. 3 для примера показано, как меняется криволинейная длина L0 пальца в зависимости от изменения одного из геометрических параметров заданного исходного (базового) набора.
Модель. Нагрузки. Воспринимаемые уплотнением давления в зазоре и соответствующих областях вызывают деформирование передней и задней пластин. Для обеспечения работоспособности уплотнения необходимо, чтобы относительные перемещения пальцев одной пластины не приводили к уменьшению прорези между ними и возникновению радиального контакта соседних пальцев друг с другом. В первом приближении допустим, что это условие выполнено, и рассмотрим расчетную схему на основе одного пальца НД.
Для создания модели выделим из задней пластины ПУ (кольца НД) отдельный палец с подъемной площадкой и часть кольцевого основания пластины. Пренебрежем также перетеканием газа через прорези между соседними пальцами (течение II на рис. 1) и площадками (течение III). Тогда в расчетную схему задачи (см. рис. 1, б) войдут: палец
cd
I 120
90 60 30
1
.1
\(45 ; 12,4)
й-
70 140 210 2S0 Диаметр делительной окружности Dn, мм
350
5 60
а
5 45
30 15
1
I
V (80; 12,4) /
60 70 80 90 100 Радиус образующей дуги ножки мм
110
Рис. 3. Изменение криволинейной длины пальца при варьировании диаметра делительной окружности Од (а) и радиуса образующей дуги ножки Я0 (б)
10 с подъемной площадкой 5, закрепленный на пластине по поверхности 9; тонкий газовый слой 11 в зазоре (течение I) между ротором 12 и площадкой (на рис. 1, б увеличен для наглядности); пальцы передней пластины 13 со стороны области ВД. Также без потери общности будем считать, что ось ротора совпадает с осью уплотнения. Это допущение справедливо в статической постановке, если не принимать во внимание нестационарные эффекты, связанные с прецессией ротора.
Основной нагрузкой является давление проходящего через уплотнение газа. Двигаясь из области высокого давления рв (на входе) в область низкого рн = рв — Ар (на выходе), где Ар — осевой перепад давлений, поток газа деформирует пальцы как консольные балки. В общем случае можно выделить четыре группы нагрузок: 1) к поверхностям пальца, расположенным в области НД, приложено давление рн; 2) к внутренней (ближайшей к ротору) поверхности площадки — давление в зазоре р, складывающееся из газостатического за счет наличия перепада Ар и газодинамического, индуцированного вращением ротора с угловой скоростью ш; 3) на границе областей, если отбросить примыкающие пальцы передней пластины, — контактное давление ( между выбранным задним и отброшенными пальцами и 4) давление рв со стороны области ВД на части поверхности ножки, вырезаемой прилегающей прорезью (за счет наличия угла сдвига у колец ПУ) и на лапке (см. рис. 1, б).
Контактное давление ( зависит от перепада давлений Ар. Рассмотрим задачу о контакте двух прямолинейных балок, расположенных на одном уровне. Из равенства осевых перемещений пальцев можно найти ( = рн + ПктЛр, где
Пкт = - • (1)
2
К такой же оценке приводит уравнение баланса сил рв — д = д — рн. При учете поворота пластин друг относительно друга уравнение баланса сил усложняется: (рв — д) (Н2 — ад) = д (Н2 — ад) + рвад — рнН2, откуда находим
Н — 2ад
Пкт = ^¡тъ-ч , (2)
2 (Н2 — ад)
что при ад = 0 (прорезь отсутствует) совпадает со значением (1). Полученные оценки справедливы, когда передние и задние пальцы плотно прилегают друг к другу (безотрывный контакт) и их форма близка к прямолинейной, т.е. при относительно больших значениях параметра Д0 (рис.2,а). Действительное распределение д с учетом криволинейности ножек, в том числе и при неплотном контакте, можно найти, если решить задачу контактного взаимодействия пальцев двух пластин в трехмерной постановке.
Для нахождения распределения давлений в зазоре в общем случае необходимо решение трехмерной газодинамической задачи. Для ПУ отношение средней толщины зазора к радиусу ротора мало настолько, что допустимо при описании области течения газа в тонком кольцевом канале (зазоре) воспользоваться приближением Рейнольдса для газовой смазки [7]. При этом от глобальной цилиндрической системы координат < г, , г > (ось г совместим с осью уплотнения, направив ее по потоку и поместив начало координат в плоскость контакта пальцев передней и задней пластин ПУ) перейдем к локальной декартовой <8 , у, г = г >, введенной на развертке Бразв области Б, где Б — радиальная проекция внутренней поверхности площадки на поверхность ротора (рис. 4). В осесимметричном стационарном случае уравнение Рейнольдса относительно одномерного распределения давлений р (г) имеет вид
* ^ (г)-р (р) ^=0, (3)
dz \ n dz
где р = р (p) — плотность баротропной среды. В случае адиабатического газового потока, т.е. при р = cp1/Y (c — константа), считая динамическую вязкость газа n постоянной, для частных случаев функций зазора h (z) можно получить аналитические решения нелинейного дифференциального уравнения (3). Например, для h(z) = const (постоянный зазор)
7 + 1
р(г) = ((рв^ — рГ1) Ь + Рн^) 7
Для Л,(г) = а0 + а^, где а0 и а1 — константы (линейный осевой клин), решение имеет похожую структуру, но довольно громоздко и поэтому не приводится. Здесь 7 — показатель адиабаты (для воздуха
Рис. 4. Балочная модель пальца
7 = 1,4), рв и рн — статические давления на входе и выходе уплотнения соответственно. Хорошей аппроксимацией полученных зависимостей является линейное по г распределение давление.
Задавая распределения давлений относительно низкого давления рн (т.е. в избыточных величинах) и пренебрегая конструктивными особенностями в зоне сопряжения площадки и лапки пальца (скругления, ребра жесткости), можно упростить схему нагружения. Тогда поверхности, лежащие в области НД, будут свободны, в области прорези (к ножке и лапке) на границе пластин со стороны набегающего потока будет приложен осевой перепад Ар, к ножке и части лапки — контактное давление ( — рн, равное в первом приближении
Пкт Ар, (4)
где Пкг определятся формулой (2), а распределение давлений в зазоре
в о се симметричном случае будет определяться приближенной зависимостью
р = р(г) = Ар (1 — Ь) , (5)
где Ь — осевая длина подъемной площадки пальца (см. рис. 2, б).
Балочная модель пальца. В первом приближении примем, что подъемная площадка совершает перемещения и повороты как жесткое (недеформируемое) тело в результате перемещений и поворотов сечения Е, которым она крепится к ножке пальца (см. рис. 4). Ножку заменим моделью криволинейной балки постоянного сечения, которая деформируется в результате действия газовых сил, передаваемых через подъемную площадку, а также за счет осевого перепада давлений. Сечение ножки Е считается заделкой. К другому сечению (Е) приводятся все нагрузки, действующие на твердую площадку.
С учетом допущения об абсолютной жесткости подъемной площадки распределенную нагрузку от давления газа р в зазоре заменим равнодействующей силой 1 = Q1 • п1, где п1 — единичный вектор нормали к внутренней поверхности площадки в точке приложения силы Р1 (вектор нормали всегда направлен от ротора).
Равнодействующую силу Q1 =
Q1
и точку ее приложения (si; z1)
вычислим по распределению давлений р = р (в, г) на развертке Дразв площадки:
( =// р (в,2) ЬЬ;
^разв
в1 = (ц- JJ в • р (в, г) д,вд,г, г1 = JJ г • р (в, г) <Лв(Лг,
-^разв -^разв
после чего определим глобальные координаты Р1 (х1; у1; г1). Здесь р(в, г) в общем случае является решением двумерного уравнения Рей-нольдса для газовой смазки.
Вектор равнодействующей силы ((1 можно перенести на ось балки в центр тяжести (точка Е) торцевого сечения с добавлением соответствующего векторного момента М1 = ЕР1 х ((1.
При расчете изолированного пальца НД (без учета контакта) действие осевого перепада давления на лапку учтем аналогично при помощи сосредоточенной силы ((2 = (2 • п2, приложенной в центре масс Р2 передней грани лапки (п2 — вектор единичной нормали, который для недеформированного пальца совпадает с ортом глобальной оси г). Сила определяется как
( = Ар$лапки;
где $лапки — площадь передней грани лапки пальца. При переносе этой силы в точку ^ к ней необходимо добавить векторный момент М2 = х <52. Площадь лапки $лапки и глобальные декартовы координаты точки Р2 (х2; у2; 0) вычислим при помощи формулы Грина
тдх- ^¡г) ^у = / (Тж1ж+Т1у)
5лапки Г лапки
где Глапки — контур лапки (рис. 4), 1Х и 1у — направляющие косинусы внешней единичной нормали к контуру. Полагая Тх = 0
и Ту — х,
Ху(Ях) = х2/2, Ту(5у) = ху, имеем в левой части формулы Грина
£лапки = J J ^Ыу, £х = уу хАхАу, £у = J J ув,хА,у
5лапки 5лапки ¿'лапки
соответственно, и для получения окончательного результата остается вычислить криволинейный интеграл в правой части с учетом того, что контур интегрирования легко представляется в параметрическом виде, и воспользоваться формулами х2 = $х/$лапки и у2 = $у/$лапки.
Действие осевого перепада давлений на ножку пальца учтем при помощи распределенной нагрузкой д = д°Н2 ■ п2, где Н2 — высота поперечного сечения ножки пальца (рис. 2, в), а д° в общем случае зависит от контактного давления д и осевого перепада Ар. При расчете изолированного пальца НД можно принять д° = Ар. Полагаем п2 = в.
Главный вектор < = <1 + <2 и главный момент М = М1 + М2 сил давления газа разложим по трем ортогональным направлениям — касательному нормальному п и по бинормали Ь:
<5 = N°т + <1V + ; мм = мк°т + м2°Т + М0в, (6)
где т, V, в — орты подвижной системы координат < £, п, Ь >, связанной с осью балки. При этом п, Ь — главные оси сечения ножки пальца (для прямоугольного сечения совпадают с осями симметрии).
Компоненты внешней нагрузки можно разделить на две независимые группы [8]: 1) нагружение в плоскости — нормальная сила N0 (по касательной к оси балки), перерезывающая сила < (по нормали), изгибающий момент М° (по бинормали); 2) нагружение вне плоскости — крутящий момент М® (по касательной), изгибающий момент М° (по нормали), перерезывающая сила и распределенная нагрузка д° (по бинормали). Под действием этих нагрузок балка испытывает изгиб в плоскости (перемещения 8Т, 8и, угол поворота 9в; группа а); изгиб вне плоскости (перемещение 8в, угол поворота 9^; группа б); и кручение (угол поворота 9Т; группа в) (рис. 4).
Для определения перемещений и углов поворота сечения ^ воспользуемся интегралами Мора [6, 8]:
— в плоскости
(0
. Г (М^М^ + NЩ* + , я
А = /--+ -+ к»~т~Я--К°п \
0 \ Е0^в Е0^ножки Ь"0^ножки / (/а)
Аг Е[6ТАЛ} , г = 1, 2,3,
для указанной группы а (перемещения 8Т = Аь = А2 и угол поворота = А3);
— вне плоскости
(0
А г (М2ММ11 + Мк(у)МкА- + . ОЫО^ \ Аг = / —Е^-+ —-+ -
J \ Е0^ ^О^к ^О^ножки / (/О)
0
Аг ,втА} , г = 4, 5, 6,
для групп б и в (перемещение 8в = А4 и углы поворота вт = А5, в у = А6), где Я0 — радиус образующей ножки пальца. Здесь компоненты внутренних силовых факторов с индексом А» отвечают единичному нагружению в каждом конкретном случае определения перемещения или угла поворота А», г = 1; 6, без индекса — внешней нагрузке. Материал пластин уплотнения считаем линейно упругим и изотропным с модулем упругости Е0 и модулем сдвига й0 = 0,5Е0(1 + ^0) [6], где
— коэффициент Пуассона. Геометрические характеристики прямоугольного поперечного сечения ножки пальца определяются по формулам [6]:
^ножки = Н1Н2
— площадь;
т ^ ^ножки
- з,з«( 1 - ^
3 ' V 12
t—H
момент инерции сечения на кручение;
_ _ Hzißjf т _ Н (H2)3 — — , Jß —
12 ' в 12
— моменты инерции сечения на изгиб относительно соответствующих осей связанной системы координат < ¿, п, Ь >;
к^ = кв = 5
— коэффициенты формы сечения.
Балка, свободная на одном конце и имеющая заделку на другом, является статически определимой [6]. Поэтому распределения внутренних силовых факторов:
— при нагружении в плоскости
N (<) = N0 cos < - Q0 sin
Qi (<) = N0 sin < + Q1 cos (8а)
Ml (<) = M0 - N0Ro (1 - cos <) - Q0Ro sin
— при нагружении вне плоскости
' Q2 (i) = Q0 + q0R0<;
Мк (<) = -M20 sin < + M0 cos < - Q2R0 (1 - cos <) -
< -q0R2I (l - cos I); (8б)
M2 (|) = M20 cos | + MK0 sin | + Q0R0 sin <+
^ +q20R2I sin(,
причем N0,Q0,M10,Q0,MK),M20 имеют знак в соответствии с направлениями осей связанной системы координат балки < t, n, b >. Подставляя в формулы (8) соответствующие значения для N0,Q0,M0,Q0, Мк0,М20, получаем внутренние силовые факторы единичных нагруже-ний (табл. 1).
Таблица 1
Внутренние силовые факторы при единичных нагружениях
5Т, i =1 5V, i = 2 Bß , i = 3 5ß, i = 4 BT, i = 5 Bv, i = 6
M0 0 0 1 M0 0 0 1
N 0 1 0 0 M0 0 1 0
Q0 0 1 0 Q2 1 0 0
Mfi —R0 (1 — cos p) —R0 sin p 1 R0 sin p sin p cos p
N cos p — sin p 0 Mt —R0 (1 — cos p) cos p — sin p
Qti sin p cos p 0 Q21 1 0 0
Начало отсчета и направление угла по которому ведется интегрирование в формулах (7), показано на рис. 4. При этом необходимо отметить, что дуга радиуса R0 оси балки принадлежит окружности, проведенной из точки O1 (Rfl cos а1; sin a1;0) (лежащей на делительной окружности диаметра Бд), координаты которой определяют угол установки пальца ауст и угол сдвига пластин а (см. рис. 4). Здесь Rд = Бд/2, ад = ауст - а/2.
Размер области интегрирования задает угол <0, учитывающий эффективную длину ножки пальца. Это вызвано тем, что в реальности
ножка заделана не строго по сечению E. Податливость ножки в этом сечении зависит от податливости смежной области кольцевого основания. Как показали предварительные трехмерные расчеты, податливость "треугольной" части этой области можно учесть, увеличив длину оси балки на A2LC2E, где Lc2e — криволинейная длина дуги C2E, C2 — точка пересечения оси балки и ограничивающего диаметра для ножек пальцев (Днп) (рис. 4). Аналогично для другого конца балки. Таким образом, для эффективной (расчетной) длины балки L0 имеем
Lo = А2 Lc2 E + Lef + A3LFC3,
где Lef — исходная (недеформированная) длина ножки пальца; LFC3
— криволинейная длина дуги FC3, C3 — точка пересечения оси балки и ограничивающего диаметра для площадок (DH), А2,А3 £ [0; 1] — весовые множители, определенные на основе результатов предварительного трехмерного расчета.
Зная L0, по формуле = L0/R0 находим верхний предел интегрирования в формулах (7).
Напряженное состояние в ножке пальца определяем по известным формулам теории сопротивления материалов [6, 8].
Нелинейная совместная задача. Проблема в применении интегралов (7) состоит в том, что внутренние силовые факторы зависят от зазора, который определяется через искомые перемещения и углы поворота.
Уменьшение зазора под площадками ведет к увеличению подъемной силы и, соответственно, к перемещению пальчиков в направлении от ротора, и наоборот. Наступление баланса сил (давления газа и упругих реакций пальца) определяет положение статического равновесия площадок и рабочий зазор. Таким образом, задача становится нелинейной. Для простоты будем называть ее совместной, хотя в англоязычной литературе она имеет название fluid-structure interaction (FSI)
— взаимодействие жидкости (газа) и твердого тела [4].
Статическое положение равновесия пальца находим, применяя итерационный процесс с критерием останова по малости приращения AQk = | Qk — Qk-1 | эквивалентной силы нагружения со стороны газового слоя (6)
AQk < е,
где е — параметр точности, k — номер текущей итерации.
В осесимметричной постановке, когда оси уплотнения и ротора совпадают и выполняется окружная цикличность (поворотная симметрия) зазоров, расчет для пластины ПУ завершается. Если нужно учесть прецессию ротора (или другие эффекты, нарушающие цикличность зазоров), то для подсчета основных характеристик уплотнения
(расход, значение рабочего зазора и др.) в этом случае, не выходя за рамки предложенной расчетной схемы, необходимо организовать цикл по всем пальцам пластины, лишь корректируя угол установки текущего пальца. Следует отметить, что при этом деформации пальцев независимы друг от друга, что дает возможность уплотнению подстраиваться и реагировать на возможную асимметричность радиального зазора, вызванную прецессией ротора, овализацией корпуса или другими причинами.
Результаты расчетов. Балочная модель пальца была верифицирована при помощи трехмерного моделирования методом конечных элементов. Характерные размеры реальной конструкции ПУ составили Ь0 ~ 13 мм и £ножки ~ 1,2мм2. Нагрузка задавалась в абсолютных величинах при рв = 3,5 и двух значениях осевого перепада — Ар = 0,1 МПа и Ар = 0,2 МПа. Передние пальцы не рассматривались и считалось, что на границе областей действует ВД рв. Под площадкой был задан линейный перепад рабс = рн + р(г), где р(г) взято из формулы (5). При этом значение эквивалентной силы балочной модели было порядка 3. ..5 Н.
Сравнение результатов расчетов проводилось по угловым точкам площадки — точки К, Ь, М, N (см. рис.4). В табл. 2 приведены погрешности вычисления радиальных компонент перемещений в глобальной цилиндрической системе координат < г, г > и полных перемещений. Относительные погрешности для точки М, получившей максимальные перемещения, были порядка инженерно допустимого значения 4 %, что позволяет сделать вывод об адекватности балочной модели.
Результат апробации разработанной на основе балочной модели методики решения совместной задачи представлен на рис. 5, на котором показан характер деформирования подъемной площадки пальца НД в зависимости от осевого перепада давлений (радиальные перемещения точек площадки даны относительно начального зазора). Использовалась одномерная аналитическая осесимметричная модель течения газа. Параметр точности был выбран е = 10-4. Тогда добавку к общей погрешности модели, вносимую итерационным решением, можно считать не превосходящей 0,01 %. Решение сходилось за 5-7 итераций, причем наибольший вклад в итоговый уровень перемещений вносила первая итерация. Необходимо отметить, что с увеличением осевого перепада давления увеличивается нежелательное подкручивание площадки, обусловленное криволинейностью ножки пальца.
Заключение. На основе балочной модели была предложена эффективная методика расчета НДС гибких элементов ПУ. Модульная
Таблица 2
Сравнение результатов вычисления перемещений угловых точек площадки пальца НД
Ар, МПа Точка Радиальные перемещения, мм Погрешность, % Полные перемещения, мм Погрешность, %
3D модель Балочная модель 3D модель Балочная модель
0,1 К 0,0733 0,0769 4,88 0,1401 0,1412 0,83
L 0,1223 0,1265 3,45 0,2089 0,2110 1,00
М 0,1558 0,1505 3,41 0,2309 0,2268 1,77
N 0,1109 0,1052 5,16 0,1610 0,1561 3,05
0,2 К 0,1466 0,1540 5,06 0,2801 0,2826 0,89
L 0,2446 0,2534 3,59 0,4177 0,4220 1,02
М 0,3117 0,3001 3,70 0,4618 0,4527 1,96
N 0,2219 0,2095 5,59 0,3221 0,3112 3,38
rmn max к о ■--■-->--■--
a 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Й Осевой перепад давления, МПа U б
Рис. 5. Результаты расчетов:
а - характерное деформированное состояние пальца НД (перемещения увеличены); б - радиальные перемещения угловых точек площадки при изменении осевого перепада давления
структура методики позволяет при необходимости легко модифицировать расчетную схему, расширяя перечень моделируемых конструктивных особенностей ПУ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Sealing in Turbomachinery : NASA Technical Memorandum / R.E. Chupp, R.C. Hendricks, S.B. Lattime, B.M. Steinetz. - 2006. - NASA/TM-2006-214341. -60 p.
2. Темис Ю. М., Селиванов А. В. Функциональные системы. Системы управления радиальными зазорами и уплотнительные устройства // Машиностроение. Энциклопедия : В 40 т. Т. IV-21. Самолеты и вертолеты. - Кн. 3 : Авиационные двигатели / В.А. Скибин, В.И. Солонин, Ю.М. Темис и др.; Под ред. В.А. Скибина, Ю.М. Темиса, В.А. Сосунова. - М.: Машиностроение, 2010.
— С. 322-330.
3. Preliminary Test Results of a Non-Contacting Finger Seal on a Herringbone-Grooved Rotor: NASA Technical Memorandum / M.P. Proctor, I.R. Delgado. - 2008.
- NASA/TM-2008-215475. - 22 p.
4. M a r i e H. A Study of Non-Contacting Passive-Adaptive Turbine Finger Seal Performance : PhD Dissertation / Hazel Marie. - University of Akron, Akron, Ohio, 2005. - 543 p.
5. B r au n M. J., P ie r s o n M. H., Li H., Dong D. Numerical Simulations and an Experimental Investigation of a Finger Seal // 2005 NASA Seal/Secondary Air System Workshop : NASA Conference Publication. - 2006. - NASA/CP-2006-214383/VOL1. - P. 309-359.
6. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов / Под общ. ред. К.С. Колесникова. - 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. - 592 с.
7. T e m i s J. M., Te m i s M. J. Contribution of Bearing Structure in Gas Turbine Power Unit Rotor Dymamics // Proc. of 3rd Int. Symp. on Stability Control of Rotating Machinery. Cleveland, Ohio, 2005. - P. 570-581.
8. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Том 1 / Под общ. ред. И.А. Биргера, ЯГ. Пановко. - М.: Машиностроение, 1968. - 831 с.
Статья поступила в редакцию 03.10.2011
