CC BY
29
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XIX 1 988
№ 3
УДК 533.6,071.1
АЭРОУПРУГАЯ ДЕФОРМАЦИЯ СЕРПОВИДНОЙ ЖЕСТКОЙ СТОЙКИ, РАСПОЛОЖЕННОЙ В КАМЕРЕ СТВОРОК ДИФФУЗОРА АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЫ
А. В. Пилюгин
В рамках линейной теории невязкого течения рассчитано упругое взаимодействие серповидной жесткой стойки, расположенной в камере створок диффузора, с обтекающим ее дозвуковым аэродинамическим потоком. Предложенная методика, построенная на базе точного аналитического решения, позволяет быстро и эффективно проводить многопараметрические численные исследования по выявлению конструктивных особенностей узла крепления, подвергающегося одновременно изгибу и кручению под действием воздушного потока, с учетом интерференции прилегающих участков аэродинамической трубы. В пределах точности принятой модели можно, например, рассчитать такое негативное для методики эксперимента явление, как девиацию угла центрального узла крепления при заданном угле скольжения модели. Предложенный подход к проблеме может оказаться полезным специалистам, занимающимся методикой эксперимента и конструированием рабочих частей аэродинамических труб.
1. Повседневная практика проведения эксперимента в аэродинамических трубах выдвигает ряд прикладных задач, находящихся на стыке различных областей аэромеханики. Одна из таких задач — упругое взаимодействие стойки с потоком воздуха. В зависимости от способа крепления модели существуют различные конструктивные решения; в данной же статье рассматривается только широко применяемая на практике серповидная жесткая стойка, которая схематично изображена на рис. 1.
Пусть г — радиус средней линии серповидной жесткой стойки, а 0О — угловая координата центрального сечения стойки, которая, очевидно, совпадает с величиной установочного угла атаки рис. 1,6. Все линейные размеры здесь и в дальнейшем будем считать отнесенными к полуширине рабочей части аэродинамической трубы; компоненты возмущенной скорости — отнесенными к скорости набегающего потока; возмущенное давление — к удвоенному скоростному напору набегающего потока; модуль линейного растяжения Е и модуль сдвига б, как величины, имеющие размерность давления, — также отнесенными к удвоенному скоростному напору набегающего потока. Таким образом, все физические величины будут обезразмерены.
t-стенки труоы
Рис. 1
IX
А \ п
/*
>=/W
г = 2,3
*В0СЧг*0,75
Рис. 2
Учитывая, что ширина серпа жесткой стойки существенно меньше радиуса закругления средней линии, удобно перейти к сферической системе координат, схематизировав жесткую стойку упругой линией, как показано на рис. 2, при этом угол скольжения а=фо будет углом отклонения меридионального сечения стойки АОС' (ф=ф0) от нулевого сечения АОО' (ф = 0). Обозначим символом у угол закрутки поперечного сечения стойки и будем считать, что отклонение упругой линии от меридионального сечения АОС' описывается уравнением изгиба упругой ЛИНИИ СТОЙКИ ф = /('0). Введем вектор угловой деформации упругой линии, как отношение приращения вектора угла поворота локальной системы координат {т, И, п} к соответствующему приращению длины упругой линии:
тогда изгибу стойки в плоскости, перпендикулярной плоскости серпа, будет соответствовать компонента £2^, т. е. поворот касательного вектора т относительно нормали Ы, а кручению — компонента Qx , т. е. поворот нормали N относительно касательного вектора т. Компоненту £2П, соответствующую повороту нормали N относительно бинормали п, будем считать нулевой, так как сопротивление стойки изгибу в плоскости серпа, очевидно, много больше сопротивления стойки изгибу в перпендикулярной к серпу плоскости.
Рассмотрим распределение нагрузок, действующих на стойку. Элемент дуги 101 <01 подвержен изгибу от распределенной нормальной компоненты аэродинамической силы ^ и кручению со стороны распределенного крутящего аэродинамического момента т, и, кроме того, сосредоточенного момента от модели Мто(1б(0 — 0о), приложенного к центральному сечению стойки. (Здесь и в дальнейшем символом 6(0 — 0О) обозначена дельта-функция Дирака).
Поскольку основным конструктивным требованием, налагаемым на стойку, является требование малого изгиба и кручения, то задача определения деформации жесткой стойки по известным распределенным и сосредоточенным нагрузкам линеаризуется. Допущение о линеаризации лежит в основе всего дальнейшего исследования и позволяет: во-первых, сразу же воспользоваться принципом суперпозиции решений, т. е. отдельно рассматривать задачу с распределенной аэродинамической нагрузкой и сосредоточенной нагрузкой; во-вторых, существенно упростить выражения для моментов изгиба и кручения. Действительно, поскольку
то компоненты вектора момента, действующего на стойку, легко выразить через компоненты вектора смещения и компоненты главных осей тензора инерции следующим образом [1]:
ІІІ ’
2^=-^-[аг^//(б)]
Л*, = 0Д2Х = 0Л
г=х*1у
С!
Л
Р2(хР2) Р’2(хР‘2) ЩхС) С "
С1 )Р1(хРП
А(хвН1)
Г ЧУ
С(хВ31)
т9_^р^тт9с___.
р&7 -/^ (лп -ешс) о црг' цисз?) ц®
\iGS1--1-0 !*С^-£ \tGS2-UB
Рис. 3
, А3 / , . й, \
где /л? = и (I—момент инерции поперечного сечения стоики,
соответствующий изгибу, а Д = -у- ^ — момент инерции по-
перечного сечения стойки, соответствующий кручению. Геометрические параметры поперечного сечения стойки представлены на рис. 3,а.
Уравнения равновесия для серповидной жесткой стойки запишутся следующим образом:
а*Мы' 1 <ШТ _
<11* = Я -Г— (Ц ’ -
<Ш, М„
(11 ~ т Г ’
где ^ и т. соответственно распределенная изгибающая сила и распределенный крутящий момент. Воспользовавшись вторым уравнением равновесия, исключим из первого уравнения член, содержащий Тогда предыдущую систему уравнений можно представить в следующем виде:
d2 MN MN _________________________ m
dp ^ г
dMT M
= m —
N
dl г
Подставляя выражения для Мм и /Их, получаем:
/1у(б)+/'(е) = ^(-^ + <7);
Т" (в) = — т - /" (0).
о/, о/т у ^
Рассмотрим две модельные задачи. Распределенная изгибающая сила <7 и распределенный закручивающий момент т постоянны по всей области нагружения в диапазоне 101 <0! и равны нулю вне этого диапазона. Другая ситуация: распределенная изгибающая сила отсутствует, а распределенный крутящий момент сосредоточен в центральном сечении и равен М6('0 — 0О). Первый случай соответствует деформации жесткой стойки от собственных аэродинамических нагрузок, а второй — деформации от модели, действующей на жесткую стойку через державку как рычаг.
Для первой модельной задачи уравнения равновесия выписываются следующим образом:
/1У(6) + /"(6) = ТПГЫ(~Г +?)’ 10!<61 т> Я — со!^,
/lv(6)+/"(e) = 0, |0|>
'1 >
7" (б) = -77- т ~ (е). I 0 i < 0i т ~ const>
GI,
т"(0)=--^7m>6i.
GI-.
Рассмотрим наиболее общий случай — случай ненулевого угла атаки (0о=йО). Решением задачи, определяющей деформацию изгиба, являются следующие функции:
/, (0) = Ct cos 6 + С% sin 0 + С3+0 + С4+, 0. < 0 < ^-0О;
/n(e)=i^(7 + ?)e, + c'cos,) + c2sln0 + QHC(> |б!<0,;
Аи (®) ==‘ C0S ® ^2 Sin 0 + С3 0 + С4 , -------0О < 0 — ®1 >
где Сь С2, С3, С4 — неизвестные константы, определяемые по известным граничным условиям, индекс «+» относится к диапазону углов
0[ < 0 < —-0О, индекс «—» — к диапазону углов-”-< 6 < — •
2 ^
Граничные условия выписываются следующим образом:
точка А (моментная заделка): /, — 0oj = f{ ^-----в0| .= 0;
точка В (шарнирная опора): /,(02) = О;
точка D (0 = 0i) условия плавного сопряжения решений (без излома): /i(ei)=/u(0|)i f'x (^i) —/ц ОМ и условие непрерывности изги-
бающего момента Мы'- /’ (®l)=/u(®1)v
Аналогичные условия выписываются и для нижней полусферы. Таким образом, для определения двенадцати неизвестных констант имеем двенадцать граничных условий — задача сводится к решению системы линейных уравнений двенадцатого порядка. В случае нулевого угла атаки (0о=О) порядок системы понижается вдвое. Действительно, заметим, что в силу симметрии задачи достаточно рассмотреть диапазон углов только верхней полусферы, причем функция /ц(0) должна обладать свойством четности, что сразу же приводит к условию С2 = С3 = 0.
Решением задачи, определяющим деформацию кручения, являются следующие функции:
EI
т. W ^ - -077/(0) + С+ W + Со+> 01<в<в2;
Ъ(Ь) = -Щ-т62 -^/т + Св + Со, |в|<е,;
7ш (6) = - -^/(0) + С” (9) + С0- - б2 < © < - 0,,
X
где значение функции /(0) известно из решения предыдущей задачи. Граничные условия выписываются следующим образом: точка В (шарнирная опора): yi(02)=O;
точка D (0 = 04) условие плавного сопряжения решений (без излома) :
Ti(6i) = Tii(ei)v 'rJ(0i) = TI',(6i)-
Аналогичные условия выписываются и для нижней полусферы. Таким образом, для определения шести неизвестных констант имеем шесть граничных условий — задача сводится к решению системы линейных уравнений шестого порядка. В случае нулевого угла атаки, в силу симметрии задачи и условия четности уи(9) порядок системы понижается вдвое.
Рассмотрим теперь вторую модельную задачу — случай сосредоточенной нагрузки. Имеем следующие уравнения равновесия:
/1У(0)+/"(0) = -^-/И8(8-ео),
С.1 дг
f (0) = МЪ (0 - 60) - -|^-/" (6).
Используя метод вариации постоянных, легко найти частное решение первого уравнения:
/,(0)= ^{-anie-Ooi + ie-m
тогда полное решенние можно представить в. следующем виде:
А (0) = 4г- [- sin (9 - 6о) + 0 - ®о] + Ct COS 6 + С2+ sin 0 + Сз+ 0 + C4+>
6 > eo;
fn (0) ~ ei [ — s*n (0o — 0) H- 0o — 0] + Cl cos 0 -|- C2 sin 0 -f Сз 0 + C4, 0 < 0O.
Для определения восьми неизвестных констант имеем восемь граничных условий: две моментные заделки и две шарнирные опоры дают шесть граничных условий, и условие плавного сопряжения в точке 0 = 0о дает еще два граничных условия. Условие непрерывности изгибающего момента в точке 0 = 0О в случае сосредоточенной нагрузки становится лишним.
С учетом решения первого уравнения, методом вариации постоянных определяем частное решение второго уравнения:
Тч(в) = 13Г-[sin | 0 — е01 ].
X
Тогда полное решение представится следующим образом:
Ti (0) — sin (0 — 0о) + 6 + Со", 0>6О;
т
Тп(0) = ^ sin^o-^ + C-e + C-, 0<©о.
Для определения четырех неизвестных констант имеем четыре граничных условия: две шарнирные опоры дают два граничных условия, и условие плавного сопряжения в точке 0 = 0О дает также два граничных условия.
2. Перейдем к вычислению аэродинамических нагрузок. Будем считать, как это принято в теории крыла большого удлинения, течение в районе расположения стойки плоским. Интерференционное влияние модели на течение около стойки, в силу относительно малого поперечного размера следа и достаточной в таких случаях длины хвостовой державки, является слабым, и мы им пренебрегаем. С физической точки зрения задача сводится к отысканию возмущенного плоского течения около профиля, форма которого совпадает с формой сечения стойки в заданных границах, что в рамках линейной теории невязкого дозвукового течения соответствует отысканию аналитической функции по заданным линейным граничным условиям. Существо вопроса поясняет рис. 3,а. Классификацию граничных условий можно провести следующим образом:
а) на перфорации — условие Дарси Rl:2u±v = 0, где Rlt2 — заданный параметр проницаемости боковых перфорированных стенок, а и, v — возмущенные продольная и поперечная компоненты скорости;
б) на жесткой стенке и = и(0), где и(0)—заданный наклон жесткой границы: в случае глухих боковых стенок и(0) =0 и в случае закрытой створки диффузора у(6) =tg0*»0*, где 0* — угол расширения створки диффузбра;
в) на профиле v = v(Q, а), где и(0, а)—наклон граничной линии тока, являющийся суммой местного наклона границ профиля и угла атаки профиля (т. е. угла скольжения поперечного сечения стойки) ;
г) на границе следа — условие Кирхгофа u=const; константа в дальнейшем самосогласуется с общим решением задачи; точки схода свободной границы будут определены угловыми точками профиля, лежащими на границе основного течения и аэродинамической тени;
д) на границе низконапорной струи, эжектируемой из камеры давления через створки диффузора в рабочую часть — условие Кирхгофа и = const; константа самосогласуется с общим решением задачи.
Физическую картину течения заменяем схематизированной — в виде полосы с заданным в ней разрезом. Граничные условия сносятся на
6—«Ученые записки» № 3
81
границу полосы и разреза. Вводя параметрическое представление границы односвязной области, изображенной на рис. 3, б, приводим граничные условия к единому виду:
a(s)M(s) + 6(s)t>(s) = c(s), (1)
где a(s), b(s), c(s)—известные разрывные функции от аргумента s. В такой постановке задача свелась к известной краевой задаче Гильберта. Используя метод Векуа, можно перейти от задачи Гильберта к задаче сопряжения Римана. Для этого совершим конформное отображение исходной области на параметрическую полуплоскость и аналитически продолжим искомую функцию из верхней полуплоскости в нижнюю полуплоскость по принципу симметрии Шварца. Тогда граничное условие Гильберта трансформируется в граничное условие Римана следующим образом:
Ф (|i) = (iO + g(iO;
Г, АїЛ = — Д(М-) + Ufa) . и а ([х) + ib (ji.) ’
g(v) = - 4 c^a w +ib M-
(2)
Связь между физической плоскостью г — х+іу и параметрической плоскостью £ = ц-НФ дается формулой
х—----— 1п (^2— 1) + — 1п-^4-— 1п4^- +
% ' 71 к I — 1 те І+є'
+ -^1п(1-г2) + хС+ г(1+в), (3)
где хС — абсцисса носика профиля (начало координат выбрано в центре профиля); є — величина смещения центра профиля от оси симметрии. Окончательное решение в самом общем виде имеет вид:
N
dw 1 (& — 1) гл.,
dz ~ ni (t + s) ] I ^ ^ X
k~\
N
ib ([!.)] — 1) П (M- - Pk)1k (lI — 0 * = 1
с (fJ-) (м. + є) dp
c(fi) 04- s)
a (fx) + lb (jx)] (fA2 — 1) П (f* — k = i
(4)
где fife — точки разрыва в граничных условиях
_ Arg G — 0) - Arg О (txfc + 0).
2л
Arg О ((і) = 2arctgf^-;
N
2 Tft + = 0.
k=l
Последнее условие гарантирует однозначность решения. Интегрирование, очевидно, ведется по той области, где с([х)=тМ). Более детальное изучение всех получающихся решений можно найти в работе [2]. Обобщение на класс сжимаемых течений проводится по правилу Прандтля— Глауэрта, согласно которому формула для возмущенного давления примет вид:
/>--»=—г>Ц|г)=—гКе(т)-
что соответствует сжатию в р раз [$ = V\ —М2) вдоль оси х метрики сжимаемого течения и приведение ее, таким образом, к метрике несжимаемого течения. Зная вид комплексной потенциальной функции в параметрической плоскости £ и связь между физической и параметрической плоскостью, можно вычислить аэродинамические нагрузки, действующие на данное сечение. Особенно просто получаются выражения для сил:
Х — 1У= I* р (4у + 1с1х) =-'г- | Ие ) {йу + 1йх), (5)
где Сь — контур, отслеживающий границы тела рис. 3, б, в. Учитывая, что да = ср — д|5 и, используя условие Коши—Римана (условие потен-
. д<? дЬ
циальности течения) -^- =---, получим:
С1 с£
г=4-.[-й-^ = т1‘г’>
с£ с£
или более кратко:
А - 1У = — 4~ $ йчю. (6)
Р С/.
Формула (6), как и следовало ожидать, в предельном случае несжимаемой жидкости (Р=1) является результатом линеаризации классической формулы Чаплыгина. Дополняя дугу Сь дугой Ся до замкнутого контура (рис. 3, б, в) и учитывая, что интеграл от аналитической функции ш, не содержащий внутри контура особых точек, равен нулю, получим:
= — | йчю = | йчю = 9(Р2) — <р(.Р1) 4- г[ф(Р2) —ф(Г1)],
Сх /;+ гт
где С к положительное направление обхода контура (против часовой стрелки), а С я отрицательное направление обхода контура (по часовой стрелке). Последнее выражение позволяет интерпретировать ре-
зультат, как силу, компоненты которой равны силе сопротивления, действующей на источник интенсивности Q = ty(F'2)—i|)(fl) и подъемной силе, действующей на вихрь интенсивности Г = ф(/?/2)—ф(^1). Попутно отметим, что след в модели Кирхгофа не создает дополнительной циркуляции, так как верхняя и нижняя границы следа являются линиями
постоянной разности потенциалов = « = const. Очевидно,.
что вычисление силы удобнее всего проводить в параметрической плоскости, и, кроме того, поскольку результат интегрирования не зависит от формы контура, а только от концевых точек F1 и F'2, то контур Сн выбираем так, чтобы он не содержал неинтегрируемых особенностей (каковая, например, имеется в носике профиля). Зная подъемную силу и силу сопротивления, легко найти нормальную силу:
qN = X sin a -f Y cos а,
где а — угол атаки профиля, он же угол скольжения жесткой стойки.
В случае вычисления закручивающего момента относительно центра профиля, поступая аналогично, получим:
т* — f p(xdx + ydy) =-------( Re ({х dx + у dy) =
CL ?.cJL \dz)
где С% и С# обозначают то же, что и ранее. Формулы (3), (4), (6), (7) полностью определяют искомые аэродинамические нагрузки в заданном сечении стойки.
Для профиля, изображенного на рис. 3, а (все относительные геометрические размеры приведены на рисунке), был проведен расчет аэродинамических нагрузок при различных углах скольжения стойки в диапазоне от 0 до 15° и конфигурациях боковых створок диффузора, при числе М, равном 0,7, и постоянной десятипроцентной степени перфорации боковых стенок. Коэффициент проницаемости перфорации, как и в работе [2], брался по эмпирической зависимости Я = 0,05х (степень перфорации в %). Диапазон углов скольжения стойки от 0 до 5° считался докритическим, при котором обе поверхности стойки обтекаются безотрывно, и отрыв происходит от задних угловых кромок. Диапазон углов скольжения от 5° до 15° считался сверхкритическим, при котором подветренная сторона стойки обтекалась с образованием развитого отрыва (как показано на рис. 3, а). Расчет проводился с шагом в 1°. Для получения промежуточных значений использовалась интерполяция кубическими сплайнами. Проведенные расчеты представлены в виде графиков на рис. 4, а, б.
3. Расчет взаимодействия упругих сил жесткой стойки с аэродинамическими силами потока, воздействующими на стойку, строится на основе метода последовательных приближений. На первом шаге задает-
Рис. 4
ся угол скольжения стойки, и в заданных сечениях при ивестных граничных условиях вычисляются аэродинамические нагрузки по линейной теории невязкого дозвукового течения. Далее, по заданному распределению аэродинамических нагрузок вычисляются соответствующие таким нагрузкам изгиб и кручение, которые, в свою очередь, будут соответствовать несколько измененному положению контрольных сечений, поэтому производится пересчет аэродинамических нагрузок и вновь уточняется положение контрольных сечений. Процесс должен продолжаться до тех пор, пока не установится требуемый баланс упругих и аэродинамических сил. Однако на практике, поскольку изгиб и кручение являются малыми величинами по сравнению с углом скольжения и заданным смещением средней линии стойки относительно оси симметрии, можно отбросить все последующие итерации и ограничиться только первым шагом. В рамках линейной теории такое требование является достаточно очевидным, из которого. сразу вытекает, что распределенная изгибающая сила и распределенный закручивающий момент, действующие на поперечное сечение стойки, почти постоянны по всей области нагружения, так как с точностью до величин следующего порядка малости угол скольжения сечения стойки и смещение сечения относительно оси симметрии всюду одинаковы. Поэтому можно воспользоваться
результатами первой модельной задачи. На рис. 4, в представлен расчет угла закрутки центрального сечения стойки при различных углах скольжения в диапазоне от 0 до 15°, различных конфигурациях боковых створок диффузора, при нулевом угле атаки и числе М, равном 0,7, при постоянной десятипроцентной степени перфорации боковых стенок.
В заключение автор выражает благодарность Амирьянцу Г. А. и Токарю В. Л. за обсуждение результатов работы и конструктивную критику.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л., Лцфшиц Е. Механика сплошных сред. — М.:
ОГИЗ Гостехиздат, 1944.
2. П и л ю г и н А. В. Дозвуковое обтекание тонкого профиля в канале со смешанными струйными и перфорированными границами. — Ученые записки ЦАГИ, 1986, т. 17, № 5.
Рукопись поступила 15/ХП 1986 г.
