Разработка математической модели ленточного конвейера с двухдвигательным приводом Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

--------------------------------------- © В.В. Дмитриева, С.В. Гершун,

2008

УДК 621.867.22:51.001.572

В.В. Дмитриева, С.В. Гершун

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЛЕНТОЧНОГО КОНВЕЙЕРА С ДВУХДВИГАТЕЛЬНЫМ ПРИВОДОМ

Семинар № 13

Ш #овышения эффективности эксплуатации конвейерного транспорта можно

-М. Л. добиться путем разработки и внедрения автоматических систем управления скоростью движения конвейерной ленты в зависимости от параметров фактического грузопотока, поступающего на полотно конвейера. На кафедре АТ МГГУ выполнены исследования по созданию такой системы управления. Объектом управления в синтезируемой системе является электромеханическая система «управляемый электропривод-лента конвейера с грузом». В работах [1], [2], [3], [4] были получены математические модели конвейерных установок с однобарабанным приводом. Однако, в настоящее время рост грузопотоков и длин транспортирования обусловил широкое распространение высокопроизводительных конвейерных установок большой длины и мощности с двухдвигательным приводом. В данной статье рассматривается получение такой модели.

Общий принцип построения моделей движения ленты конвейера изложен в работах [1], [2], [4], [5]. Это принцип кусочно-линейной аппроксимации, который заключается в условном разбиении контура ленты на некоторое количество участков, в границах каждого из которых закон изменения скорости деформации по длине предполагается линейным. Расчетные схемы строятся с учетом следующих допущений:

• трасса конвейера прямолинейна с постоянным углом наклона ;

• трансмиссионные валы и муфты абсолютно жесткие;

• масса ленты и вращающихся частей роликоопор равномерно распределена;

• нет проскальзывания ленты на роликоопорах;

• лента представляется упруго-вязким стержнем;

• диссипативные силы внутреннего трения пропорциональны скорости де-

формации;

• массы хвостового и отклоняющегося барабанов пренебрежимо малы по сравнению с распределенной массой ленты и груза;

• коэффициенты сопротивления движению постоянны на грузовой и порожней ветвях ленты;

• скорости в точках набегания и сбегания на приводном барабане равны.

Расчетная схема конвейерной установки с двумя приводами и натяжным устройством в хвостовой части приведена на рис. 1. Система с распределенными параметрами аппроксимируется шестью сосредоточенными массами, три

ь

Рис. 1. Расчетная схема конвейера с двухдвигательным приводом

из которых ш1; т2, т3 расположены на грузовой ветви, две т4, т5 - на порожней, а т6 - представляет собой массу натяжного устройства.

В основе построения математической модели положен метод Лагранжа второго рода:

А

(

_д_.

д с[ і

Л

(

д

+—П + — А = 0.

(1)

$

где I = 1,2,...6.

В котором в качестве обобщенных координат qi прияты перемещения Ху и скорости перемещения X1 сосредоточенных масс т1,1 = 1,2,. ..6.

Кинетическая энергия ленты и груза, равномерно распределенного на соответствующем участке между точками 1 и j представлена выражением

Т)= [ X12 + :Х 1 ^Х, + Xj2 ], (2)

где ву - вес ленты, роликоопор и груза на участке у, lij - длина участка, g - ускорение свободного падения.

Потенциальная энергия у участка длиной 1у складывается из энергии упругих

деформаций и потенциальной энергии замкнутого контура ленты с распределенной массой

( -X,)2 Х1 + X,

П■■ = Є;і^-------------+ вЛ —-----^1пр .

у 2 у у 2

Здесь Cij - жесткость участка, в- угол наклона конвейера к горизонту.

Работа внешних сил на у участке создается суммой сил сопротивления движению и движущей силы привода которое определяется из выражений

X, + X, м , м „

А, = Оу1у^-^-^ес8в, Апр = -я1 X, -Х5, (4)

2 Я б1 Я б2

где ц - коэффициент сопротивления движению, Мп1 и Мп2 - движущие моменты приводов, приведенные к радиусу приводных барабанов, Яб2 и Я б1 - радиусы приводных барабанов.

Работа сил внутреннего трения на участке у определяется в предположении, полагая, что силы внутреннего трения пропорциональны скоростям деформации

А, = П[(X, - X1+1) ( - Х,+1)+(X, - X,-1) (X, - Х,-,)], (5)

где п - коэффициент вязкости ленты.

Кинетическая энергия системы для рассматриваемой расчетной схемы складывается из кинетической энергии ТК, замкнутого контура ленты с равномерно распределенным грузом на верхней ветви кинетической энергии ТП приводного и кинетической энергии ТН натяжного устройства.

Кинетическая энергия контура ленты:

Тк = в- (X ? + X ^ 2 + X 2)+) (X 2 + X 2^^ з + X 2)+) (2 + X ^ 3 + X 2)+ 888 (6)

+( 4 + X 5^ 4 + X 2)+) (2 + X14 5 + X 2),

6^ 7 68 4 7

где вг, вп - погонный вес движущихся частей соответственно груженной и порожней ветви.

Кинетическая энергия приводного устройства:

Тп=2+2, (7)

где тп1, тп2 - массы вращающихся частей электродвигателей, редуктора, муфт и приводного барабана, приведенная к ободу барабана.

Кинетическая энергия натяжного устройства: в X 2

= _н!_1, (8)

н 28 ’

где вну, X6 - соответственно вес и скорость перемещения натяжного устройства.

Суммируя полученные выражения получим выражения для полной Т Е кинетической энергии системы:

ТЕ = вт ( 2 +X ^ 2 + X 2)+) (X 2 + X 2^^ з + X 2)+) (X 2 + X 4]^ 3 + X 2)+

• 2 (9)

вп^2 вп2 . 2\ тп1 2 тп2 2 внуX6

+(X 4 + X 5^^ 4 + X 2)+) ( 2 + X14 5 + X 2)+) 2 + 2 +

Потенциальная энергия упругой деформации системы при принятых допущениях состоит из энергии Пк замкнутого контура конвейерной ленты и потенциальной энергии Пн канатов натяжного устройства.

Предполагая равными коэффициенты жесткости участков конвейерной ленты, получим:

П (X, -х2 )2с (х2 -Хз)2с + (Хз -х4)2с + (Х4 -х5 )2с + ( -X, )2с (10)

к 2 2 2 2 2 ,

где с - коэффициент жесткости каждого участка.

Потенциальная энергия натяжного устройства:

Пн = 0.5 [Хз^Х±-Хб) ск, (11)

где Ск - коэффициент жесткости каната.

Потенциальная энергия положения натяжных грузов:

Пг = О ну Хб, (12)

Работа внешних сил складывается из работы движущей силы привода, сил сопротивления движению ветвей ленты и натяжных грузов, а также силы торможения.

Суммируя полученные выражения, получим выражения для полной П Е кинетической энергии системы:

П (X, - Х2 )с + (Х2 - Хз )2с + (Хз - Х4 )2с + (Х4 - Х5 )2с + (X, - Х5 )2с +

Е 2 2 2 2 2

2 (13)

+0.51 Хз - Х4 - Хб 1 ск + вХб

2 б | К ну б

Работа движущей силы привода, при условии, что радиусы приводных барабанов одинаковы:

Апр =- ^Х, - Мг! Х5. (14)

пр ^ 1 ^ 5

Работа сил сопротивления движению ветвей ленты:

Ак = 0.50 г 1ц'(Х, + 2Х2 + Х3) + 0.50 п1ц''( Х3 + 2Х4 + 2Х5 + Х,), (15)

где ц', ц'' - коэффициенты сопротивления движению груженой и порожней ветви.

Работа сил сопротивления движению натяжных грузов:

Ан =±0 н/Хб, (1б)

где / - приведенный коэффициент сопротивления движению натяжных грузов.

Работа сил внутреннего трения замкнутого контура : а в =(Х 1 - Х 2 )(Х, - Х2 )+(Х 2 - Х з)(Х2 - Хз )л+( Х з - Х 4)(Х3 - Х4 )л+

(Х4 - Х5 )(^4 - Х5 ) + (5 - Х1 )(5 - Х, ).

Введем обозначения:

о г 1 Опі

—— = т г, —— = т п - массы грузового и порожнего участка ленты соответственно.

6ё 6ё

Систему дифференциальных уравнений составляющих математическую модель движения ленточного конвейера получим согласно выражения (1), выполнив необходимые подстановки и дифференциальные преобразования полученных составляющих энергии (9), (13) и обобщенной работы (14)-(17).

1. тг(2Х, + X2) + тм(2Х, + X5) + т^Д, + С(2Х, -Х2 -Х5) + 0.5(0г 1 + Оп 1М)ц8ёпХ, +

+ п(2Х1 -Х2 -Х5) = ^ ®ёп(Хс1 -Х 1),

К б

2. тг (2Х2 + Х 1) + тг (2Х2 + Х3) + С(2Х2 - Х1 - Х3) + Ог 1ц8ёпХ2 + п(2Х2 - Х1 - Х3) = 0,

3. тг(2Х3 + Х2) + тп(2Х3 + Х4) + С(2Х3 -Х2 -Х4) + 0.25Ск(Х3 -Х4 -2Х6) +

+ п(2Х3 -Х2 -Х4) + 0.5(0г +0п)1^пХ3 =0

4. тп(2Х4 + Х3) + тп(2Х4 + Х5) + С(2Х4 -Х5 -Х3) + 0.25С^ -Х3 + 2Хб) +

+ Оп1цзмпХ4 + п(2Х4 -Х5 -Х3) = 0

5. тп(2Х5 + Х4) + тм(2Х5 + Х,) + +тпр2Х5 + С(2Х5 -Х, -Х4) +

+ 0.5(0п 1 + Оп 1м)ЦєяпХ5 + п(2Х5 -Х! -Х4) = ^^(Хс2 -Х5)

К б

о

6. Х 6 + 0.5С к (Х4 - Х3 + 2Хб) + О ну + О 8ёпХ 6 = 0

ё у у

Проведя соответствующие алгебраические преобразования, получим следующую запись системы дифференциальных уравнений, описывающих движение загруженной ленты:

1. (2тг +2тм +тпр)Х 1 +тгХ2 +тпХ5 + 2пХ 1 -пХ2 -пХ5 +2СХ1 -СХ2 -СХ5 +

+ 0.5(Ог 1 + Оп 1м)ЦэёпХ! = ^8ёп(Хс -Х.),

К б

2. тгХ1 +4тгХ2 +тгХ3 -пХ 1 + 2пХ2 -пХ3 -СХ1 +2СХ2 -СХ3 +Ог 1|^пХ2 = 0,

3. тгХ2 + (2тг + 2тп )Х3 + тпХ4 - пХ2 + 2пХ3 - пХ4 - СХ2 + (2С + 0.25Ск )Х3 -

- (С + 0.25Ск)Х4 -0.5СкХ6 + 0.5(Ог + Оп)1ц8ёпХ3 = 0

4. тпХ3 + 4тпХ4 + тпХ5 - пХ3 + 2пХ4 - пХ5 - (С + 0.25Ск )Х3 + (2С + 0.25Ск )Х4 - СХ5 +О п1ц sgnX 4 = 0

5. тмХ1 + тпХ4 + (2тп + 2тм + т^2)Х5 -пХ 1 - пХ4 + 2пХ5 - СХ1 - СХ4 + 2СХ5 +

+ 0.5(Оп 1 + Оп 1м)ЦsgnX5 = ^^(ХС2 -Х5)

К б

6. X 6 - 0.5С кХз + 0.5С кХ4 + С кХ6 + О „у + О „у f 8ёпХ 6 = 0.

ё у у

Для лаконичного представления этой модели используем матричный вид записи относительно вектора обобщенного перемещения

где

М =

N =

[Х1 Х2 Хз Х4 Х5 Х 6 ]Т :

+ №С + СХ + 8эёпХ + УС ну = р18ёп(:х: с1 - Х 1)М пр1 +Р2 с1 - Х 5)М пр

2тг + 2тм + тпр1 тг 0 0 т 0

т г 4т г т г 0 0 0

0 тг 2тг + 2тп тп 00

0 0 т п 4т п тп 0

т м 0 0 т п 2т п + 2т м + т пр 2 0

0 0 0 0 0 ё

2П 0 1 0 -П 0]

-П 2П -п 0 0 0

0 -П 2П -п 0 0

0 1 0 2П -П 0 ?

0 0 0 -п 2П 0

0 0 0 0 0 0

2С -С 0 0 -С 0]

-С 2С -С 0 0 0

0 -С 2С + 0.25Ск -С - 0.25Ск 0 -0.5Ск

0 0 - О - 0.25Ск 2С + 0.25Ск -С 0.5Ск ?

-С 0 0 -С 2С 0

0 0- 0.5Ск 0.5Ск 0 Ск .

(18)

С =

8 = Ааё [0.5(0 г 1 + О п 1М )ц О г 1ц 0.5(0 г + О п )1ц О п 1ц 0.5(0 п 1 + 0п1м )ц О Hуf ],

Р1 = [Я б-1 0 0 0 0 0]Т, Р2 =[0 0 0 0 Я б-1 0] Т,У = [0 0 0 0 0 1]т.

Для получения канонического представления умножим все члены выражения (18) на матрицу М-1:

X + М-1№£ + М-1СХ + М ^ёпХ + М-1УО ну =

М-1Р1 8ёП(]ХС1 - Х 1)М пр1 + М-1Р2 8ёП(5ХС1 - Х5)Мпр2 . (19)

Введем в модель координаты состояния согласно каноническому правилу О. Коши:

х1 = Х1 х7 = Х1

X 8 — Х 2

Х9 = Х3 Х10 = Х 4 Х11 = Х 5

х2 — Х2

хз = Хз Х4 — Х4

Х5 = Х5 Х6 — Х6 Х12 — Х 6

Модель движения конвейерной ленты в пространстве состояний представляется в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений:

X — -(М+ М-1С)х + М ^ёпх + М-1УО ну + М-1Р1 8ёп(Х С1 - Х 1)М пр1 +

+М-1Р2 8ёп(^С1 - Х5)Мпр2 .

В данной системе внешними воздействиями являются движущие моменты, развиваемые приводами, вес натяжного устройства и силы сопротивления движению конвейерной ленты, поэтому введем следующие обозначения: и1 — М пр1 - движущий момент первого привода;

и2 — М пр2 - движущий момент второго привода;

и3 — Бёп х - сопротивление движению конвейерной ленты;

и4 — О ну - вес натяжного устройства.

Матрица А —-(М+ М-1С) является матрицей состояния системы, а матрицы В1 — М-1Р1,В2 — М-1Р2,В3 — М-18, В4 — М-1У - матрицами управления. Система уравнений принимает вид:

х — Ах + В1 8ёп(Х С1 - Х 1)и1 + В2 Бёп(Х С1 - Х 1)и2 ++ В3и3 + В4и4. (20)

Матрицы состояния и управления в модели являются блочными:

(12x1)

A = 0(6x6) E(6x6) , B = 0(6x1) ,B2 = 0(6x1)

-M C(6x6) 0(6x6) (12x12) _-M-1P1(6x1) _ 2 (12x1) -M-1P2(6x1) _

B3 =

’(6x6) ^(6x6)

0

(6x6)

-M-1S

(6x6)

B

4(12x1)

(12x1)

0

(6x1)

-M-1V(

(6x1)

(12x1)

Компьютерное моделирование движения ленты с грузом для двухприводного конвейера проводилось в ППП MATLAB, приложении SIMULINK. Модель движения конвейерной ленты задана блоком State Space, позволяющем задавать внутренние модели линейных систем в виде:

Х (t) = Ax(t) + Bu(t), x(0)

y(t) = Cx(t) + Du(t).

Внешние воздействия объединены блоком Mux в вектор U15x1 =[u1 u2 u3 u4], а матрица управления является блочной

B = [B1: B2: B3: B4]. Выраженная через матрицы (18), она принимает вид:

B =

-46x1)

-46x1)

-/(6x6)

-46x6)

(6x10)

-M-1Pi(6xi) -M-1P2(6xi) 0(6x6) -M-1S(6x6) -M-1V(6xi)

-да

u4

-| GHy I

43*

m

MOMENT NAGRYZKI

SKOROSTY

M 1 Saturationl

-h>-

M2 Saturation2

Рис. 2. Схема моделирования двухприводного конвейера в SIMULINK

х' = Ax+Bu y = Cx+Du

uJ

ul

j2

m nagryzki

PRIVOD 1

W

M nagryzki

PRIVOD 2

Рис.3. Переходные процессы по скоростям обобщенных координат при пуске конвейера со скоростью 2,5 м/с.

Для моделирования приводов используются готовые модели асинхронных короткозамкнутых приводов с частотно-векторным управлением. Для согласования модели движения конвейера и моделей приводов определен момент нагрузки на привода со стороны конвейера. Схема моделирования приведена на рис. 2. Моделирование проводилось для числовых значений:

1 = 1500 м, тг = 1518 кг, тп = 352 кг,

тпр1 = 3000 кг, тпр1 = 2000 кг, Мпр1 = 20900 Нм, Мпр2 = 20900 Нм, Яб = 0.5 м, ц = 0.03, ц = 0.03, і = 0.3, С = 10000 Н/м, Ск = 1010 Н/м,,вну = 52000 кг.

Результатами компьютерного моделирования явились переходные процессы по скоростям обобщенных координат ленты и натяжного устройства, представленные на рис. 3. Графики соответствуют режиму разгона и режиму работы конвейера с постоянной скоростью. Эти результаты адекватны процессам, происходящим в реальном объекте, осцилограммы которых были получены Волотков-ским В.С.(МинЧерМет СССР). Результаты моделирования позволяют определять скорости и натяжения в характерных точках ленточного конвейера, что даст возможность в дальнейшем синтезировать систему управления скоростью движения конвейерной ленты при отсутствии пробуксовки на приводных барабанах и автоматически распределять нагрузку равномерно между приводами при любой скорости движения конвейера.

------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Запенин И.В., Бельфор В.Е., Селищев Ю.А. Моделирование переходных процессов ленточных конвейеров. - М.: Недра, 1969.

2. Дмитриева В.В. Разработка и исследование системы автоматической стабилизации погонной нагрузки магистрального конвейера. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. М., 2005.

3. Дмитриева В.В., Певзнер Л.Д. «Автоматическая стабилизация погонной нагрузки

ленточного конвейера». - М.: Издательство МГГУ, 2004.

4. Дмитриева В.В. «Математическая

модель магистрального конвейера как объекта управления и автоматизации», «Горные машины и автоматика» №7, 2001.

5. Зюзичева Ю.Е. Модель ленточного конвейера, расположенного под углом к горизонту. Определение оптимального для переходного процесса угла наклона. - М.: Издательство МГГУ, ГИАБ №7,2006. ШИЗ

— Коротко об авторах ------------------------------------------------------------

Дмитриева В.В. - кафедра АТ,

Гершун С.В. - кафедра АТ,

Московский государственный горный университет.

Доклад рекомендован к опубликованию семинаром № 13 симпозиума «Неделя горняка-2007». Рецензент д-р техн. наук, проф. Л.Д. Певзнер.