Математическая модель магистрального конвейера со случайным грузопотоком Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

СЕМИНАР 10

ДОКЛАД НА СИМПОЗИУМЕ «НЕДЕЛЯ ГОРНЯКА - 98» МОСКВА, МГГУ, 2.02.98 - 6.02.98

В.В. Дмитриева, В.А. Орлов,

Московский государственный горный университет

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАГИСТРАЛЬНОГО КОНВЕЙЕРА СО СЛУЧАЙНЫМ ГРУЗОПОТОКОМ

Практика эксплуатации ленточных конвейеров показывает, что в настоящее время магистральные конвейеры оказываются в значительной степени недоиспользованы, как по производительности (примерно на 40 - 60%), так и по времени работы на 20 -25%. Это приводит к неоправданным затратам на электроэнергию, уменьшению сроков службы ленты и роликов, и следовательно, к повышению стоимости транспортировки угля. -Невысокая степень использования конвейеров объясняется, главным образом, значительной неравномерностью поступающих на них входных грузопотоков, которые носят случайный характер. Исследованиями установлено, что шахтные грузопотоки характеризуются исключительно большой неравномерностью, а также периодами отсутствия поступления груза, вызванными значительными простоями добычных машин. Существенного повышения экономической эффективности конвейерного транспорта можно добиться путем согласовывания параметров и работы конвейера с фактическими входными грузопотоками, например, применением регулирования скорости движения несущего полотна конвейера в зависимости от величины фактического грузопотока, т.е. создания автоматической системы управления режимами работы.

Замкнутая система непрерывного регулирования скорости состоит из следующих элементов: ленточного конвейера, регулируемого привода и натяжного устройства, которые являются объектами управления. Входными переменными данного комплексного объекта управления являются: управляющее воздействие на электропривод и® и возмущение Q(t), создаваемое входным грузопотоком. Выходными переменными являются: погонная нагрузка на разгрузочной части конвейера z(t), скорость перемещения ленты на месте загрузки грузопотока уО) натяжения ^00 и f2(t) соответственно на сбегающей и набегающей ветвях приводного барабана. Сигналы у(^) и Q(t), ^) и ЗД) доступны для измерения и мало зашумлены. Структура данной системы представлена на рис.1.

Идея управления реализуется при условии изменения скорости движения ленты в месте загрузки по закону

{< )=

о (>)

g

(1)

где g* - желаемая погонная нагрузка на ленте.

Таким образом, текущие изменения входного грузопотока дают информацию о синхронных значе-

ниях текущей скорости ленты конвейера в месте загрузки.

Рис.1. Структурная схема системы регулирования скорости.

Рассматривая выражение (1) как командный сигнал г^) - задание в систему управления, и учитывая, что гф=^) - случайный процесс, задача синтеза системы управления формулируется как задача стохастической стабилизации. Для решения этой задачи разработана цифровая модель ленточного конвейера. Механическая система с распределенными параметрами, каковой является конвейер, заменена эквивалентной моделью с ^сосредоточенными параметрами. При получении данной модели были применены следующие допущения:

- трасса конвейера прямолинейна с постоянным углом наклона (равным 0);

- трансмиссионные валы и муфты абсолютно жесткие;

- масса груза и вращающихся частей роликоопор равномерно распределена;

- нет проскальзывания ленты на роликоопорах;

- лента представляется упруго-вязким стержнем;

- контур ленты разбивается на конечное число N участков, в границах каждого из которых принят линейный закон изменения скорости деформации по длине;

- силы внутреннего трения пропорциональны скорости деформации;

- массы хвостового и отклоняющегося ба рабанов пренебрежимо малы по сравнению с распределенной массой ленты и груза;

- коэффициенты сопротивления движению постоянны на грузовой и порожней ветвях ленты;

- скорости в точках набегания и сбегания на приводном барабане равны.

В основе математической модели лежат уравнения Лагранжа

&

&

— Т

дХ:

\

д

д

+— П +— А _ 0. — дх.

(2)

где г-1,2,...

Кинетическая энергия ленты и груза, равномерно распределенных на соответствующем участке между точками i и j:

Т, = ^ 1 [(с;)2+(*;)•(*; )+(*;.)2 ]

(3)

где qij - масса ленты, роликоопор и груза на участке 1^, 1у - длина участка, g - ускорение свободного падения.

Потенциальная энергия участка длиной 1ц - упругие деформации и потенциальная энергия замкнутого контура ленты с распределенной массой:

х і + х,

^ЇП /3 , (4)

2 1 1 2 где C1J - жесткость участка EF /1 ^ , Е - модуль упругости ленты, F - площадь поперечного сечения

ленты, Р - угол наклона конвейера к горизонту.

Работа внешних сил на участке 1- равна сумме сил сопротивления движению, сил трения и движущей силы привода:

Х + х,

Rs

Rs

(5),

где V - коэффициент сопротивления движению. Работа сил внутреннего трения на участке 1-:

(х;- х;+1 )2 , „ (х;- х;-1)2

2

2

(6)

где 'Л - коэффициент вязкости ленты.

Ограничимся при построении математической модели представлением контура ленты тремя массами на грузовой ветви и одной массой на порожней ветви.

Рис.2. Расчетная схема конвейера.

Расчетная схема для конвейера с однобарабанным приводом натяжным устройством, расположенным в хвостовой части конвейера, представлена на рис. 2. Систему дифференциальных уравнений составляем по общей схеме уравнения (2).

Кинетическая энергия системы для рассматриваемой расчетной схемы складывается из кинетической энергии замкнутого контура ленты с равномер-

но распределенным грузом на верхней ветви ТК, приводного ТП и натяжного ТН устройств.

Используя формулу (3), кинетическую энергию контура ленты запишем следующим образом:

^ (х 2

.2 • • *2^ ЯЛ (*2 • *2^

чг 1 + х 1 х2 + х2 )+-(х2 + х2х3 + х3 ) +

6 g 6 g

+ (х 12 + х 1У1 + У 12 ) + (у 12 + У1х 3 + х 32 )

6 g

(7)

где qг, qn - погонный вес движущихся частей соответственно груженной и порожней ветви.

Кинетическая энергия приводного устройства:

да х,

Т __________________________ пр 1

2

(8)

где тпр - масса вращающихся частей электродвигателя, редуктора, муфт и приводного барабана, приведенная к ободу барабана.

Кинетическая энергия натяжного устройства:

2 g

(9)

где Gг, 8 - соответственно вес и ход натяжного устройства.

Суммируя полученные выражения и производя алгебраические преобразования, полечим выражения для полной кинетической энергии системы.

Потенциальная энергия упругой деформации системы при принятых допущениях состоит из энергии замкнутого контура ПК конвейерной ленты и канатов натяжного устройства ПН:

(х -х2К , (х2 -хз)2С2 , (у -х)2С; , (х, -УІ)2С2

-+■

+-

2 2 2 2

(10)

где С;, С2, С'1 - коэффициенты жесткости соответствующих участков конвейерной ленты;

Пн _ 0.5

хз - У

(11)

где Ск - коэффициент жесткости каната.

Потенциальная энергия положения натяжных грузов:

П = о 8 8

г г

(12)

Работа внешних сил складывается из работы движущей силы привода, сил сопротивления движению ветвей ленты и натяжных грузов, а также силы торможения.

Работа движущей силы привода:

А _-Мп1

Адв

R

(13)

Б

где МП1 - момент двигателя, приведенный к валу приводного барабана; RБ - радиус приводного барабана. Работа силы торможения:

М

, (14)

АТ _

Rc

2

2

где МТ - тормозной момент, приведенный к валу приводного барабана.

Работа сил сопротивления движению ветвей ленты

, , х. + х2 , , х2 + х3 , ,,х, + у, , ,, У. + х3

Ак = дг1ю —---- + qгlю —----3 + цп1ю —-1 + цп1ю —------3

(15)

где й)" - коэффициенты сопротивления движе-

нию груженой и порожней ветви.

Работа сил сопротивления движению натяжных грузов:

Ан _ +GJ5

(іб)

где / - приведенный коэффициент сопротивления движению натяжных грузов.

Полагая, что силы внутреннего трения в ленте пропорциональны скорости деформации, работу сил внутреннего трения замкнутого контура запишем так:

Ф ж _ (х 1 - х 2 Xх 1 - х 2 7 + (х 2 - х 3 )(х 2 - х 3 7 + ,

+ (х 1 - у 1 )(х 1 - у 1 у* + (у 1 - х 3 )(у 1 - х 3 у7

(17)

где у - приведенный коэффициент вязкости.

Систему дифференциальных уравнений движения ленточного конвейера получим, суммируя частные производные по времени от частных производных кинетической энергии по обобщенным координатам, частные производные по обобщенным координатам от потенциальной энергии деформации ленты и положения натяжных грузов, работы движущих сил привода, сил сопротивления движению и сил внутреннего трения.

Введем обозначения

qj_ 6 g

qj_ ,б g

г _ md ,Т^ _ mn .

m г (2 Сі + x 2 )+ m п (2 Сі + У і )+ m nm'x і + (x і — x 2 )C і + (x і — у і )C і + і qd_® sign (x і ) +

+ і-q„l® "sisn (xі) —

— sign ( xc — x і) + M^sign (x і )+ (x і — x 2 )n * + (x і — У і n * _ О

- R Б R Б

(x і + 4 x' 2 + x з )— (x і — x 2 )C і + (x 2 — x з )C 2 + q г1ю 'sign (x 2 )— (x і — x 2 )n * + (x 2 — x 3 )n* _ О

, (x 2 + 2 x' з )+ mn (2 x з + У і )— (x 2 — x з )C 2 + (x з — У і )C 2 + —

і I x з — У і

2 І 2

+ іqllm 'sign (xз )+ -2qnlO) "sign (xз )— (x2 — xз )n * — (yі — xз )n * _ О

(xі + 4 y і + xз )— (xі — yі )cі — (xз — yі )c 2 — “f з - Уі — 5 "1C к +

2 І 2

+ qnl® "sisn (yі)— (xі — yі)n* + (yі — xзУі * _ О

Ск + G, + G*f • sign (5 )_ О

5 + f 5 — x з — y і

Разрешим данную систему уравнений относительно старших производных:

2n *

md - n

mn - n

2(mz + mn )+ mnp і 2(mz + m„ )+ mnp 2 2(m, + m_ )+ m_ 1

С і

2 (ml + mn )^-•np

C"

2(m2 + m„)+ mnp 1 2(mг + m„)+ mnp 2 2(m, + m„ )+ m 1

і , , і , „ M т

і qli^ + і q„l® + —

2(m + mn ) +

sign (xl ) +

2 (ml + m„ )

2(m + m„ ) +

— sign (xc - X1)

М„і

R.

x _ — m - n x — 2n_ • — m - n x + _C^ x — Cі + C2

.-V 2 ““ і .-Vi з •Л'і

4 m, 4 m, 4 m, 4 m, 4

m. - n xз _ - ~------------~-----x2 -

2n *

m„ - n

2 x з уі + " x 2

2 m2 + 2 m„ 2 m2 + 2 m„ 2 m2 + 2 m„ 2 m2 + 2 m„

x2 +--------— xз - q2/ffl 'sign (x2)

ms 4 ms

4C, + 4С 2 + Ск x-,--------------------2-2--------к- ^ +

4 • (2m: + 2m„ )

4C 2 + Ск

4 •(г m2 + 2 mn ) Уі 2 •(г mt + 2 m„ )5 2 •(i m2 + 2mn)

Ск

г n

*

— n

n

m — n • m — n • 2n • Сі 4C 2 + С к 4Cі + 4 С 2 + С к

У 2 _--------„--------x!-------„---------------------xз - -Уі + X1 + —-------------- xз---------------------------л л - Уі

4mn

Ск----й-----q„lm-sign (уі )

4 • 4m„

2•4mn 2•4m„

й _ C^7Txз - ^^Т^Уі - CKGtй - g ^ f ^ sign (^ )-

Получена математическая модель, представляющая собой систему из 5 нелинейных дифференци-

альных уравнений второго порядка, описывающая совместное движение ленты с грузом.

m

m

m

+

n

n

n

Очевидно, что наилучшее качество стабилизации нагрузки на ленте достигается при наилучшем в статистическом смысле слежении входной переменной у(Ґ) за эталонной переменной г(Ґ), поэтому для син-

теза управления будет использован критерий минимума среднего квадрата ошибки слежения реальной скорости движения ленты за эталонной.

© В.В. Дмитриева, В.А. Орлов