Разработка и исследование модели эволюции двумерной системы взаимодействующих упругих блоков Текст научной статьи по специальности «Физика»

Разобьем поверхность 5 радиально на М участков шириной Дф, таких, что МДф = 2па, на каждом элементарном участке должно выполняться граничное условие (2):

-Iz

zH±(p = (Eqz zHo(p)

2Г * гг

ИЛИ С учетом ТОГО, ЧТО —— = Ш^аН(р, получим граничные условия сле-

дг

:

Eiz +

iz дЕ iz

«Да дг

= _(E I iz dE°z)

(Ez + C0fia dr }

(15)

Таким образом, необходимо найти решение краевой задачи третьего рода (со смешанными граничными условиями), включающей уравнение (14), граничное условие (15) и условия излучения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК:

1. Лагарьков AM., Погосян М.А. Фундаментальные проблемы стелс-технологий // Вестник российской академии наук. - 2003.- Т. 73, № 9.

2. Сух иное AM. Двумерные схемы расщеплен ия и некоторые их приложения. - М.: МАКС Пресс, 2005. - 408 с.

3. . . -

// . .

- 2009. - № 8 (97). - С. 240-241.

4. . . . - .: ,

2000. - 558 с.

Гамолина Ирина Эдуардовна

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» . .

E-mail: [email protected].

347928, Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 88634371606.

Gamolina Irina Eduardovna

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected].

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634371606.

УДК 517.958:550.3 + 27.41.77

А.С. Черепанцев

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ЭВОЛЮЦИИ ДВУМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ УПРУГИХ БЛОКОВ

Представленная работа имеет целью развитие исследований по построению дискретной механической блоковой модели, в которой взаимодействие элементов определяет возникновение самоорганизованного критического состояния. Показано, что критическое состояние в двумерной системе возникает при обязательном выполнении условия равенст-

І90

ва величин передаваемой при сбросе энергии соседним блокам для всех имеющихся нстрав-, .

Математическое моделирование дискретных систем; эволюционное моделирование; самоорганизованное критическое состояние; геодинамические процессы.

A.S. Cherepantsev

DEVELOPMENT AND RESEARCH OF TWO-DIMENTIONAL EVOLUTION MODEL OF INTERACTING ELASTIC BLOCKS.

The submitted work continue researches on design discrete mechanical block models in which interaction of elements determines occurrence of the self-organized critical state. It is shown, that the critical state in two-dimentional system arises at obligatory performance equality of drop energy transmitted to the near blocks for all available directions of the parameter determining a critical steady condition.

Mathematical modeling of discrete systems; the evolutionary modeling; the self-organized critical state; geodynamic processes.

Как показано в работе [1], механическая модель с межблоковым связями в виде пружин [2] демонстрирует существование критических режимов поведения лишь при определенных направлениях действующей внешней силы, либо, что то , . не наблюдается в экспериментальных наблюдениях и свидетельствует об ограниченности исследуемой модели. В качестве такого ограничения рассматриваемой механической модели можно, например, предположить необходимость учета деформационных свойств реального упругого блока. В отличие от реального упруго,

£y

v = — равен нулю, т.е. сжатие пружины по оси OX оставляет сжатие пружины

^x

OY . , . -

смотрим построение модели динамики системы упругих блоков с нормальными .

Пусть имеется система упругих блоков на квадратной решетке NxN. Измене- -седним блокам в соответствии с линейной моделью упругости и приводит к изменению упругого состояния не только соседних элементов, но и всей системы элементов в целом. Рассмотрим процесс взаимодействия, обусловленный лишь нормальными напряжениями на границе, считая, что на границах блоков происходит скольжение без трения и тангенциальные напряжения на границе отсутствуют:

Т'xy = Tyx = 0. В двумерной решетке упругих элементов блоков и плоского напряженного СОСТОЯНИЯ (Jz = 0.

Эволюция напряженного состояния в модели определяется существованием постоянного внешнего воздействия Fj (i, j = 1,...,N), прикладываемого к каждому блоку решетки и конечной величиной силы сцепления каждого отдельного блока с поверхностью f (i, j = 1,...,N), на которой он расположен. На рис. 1 представлены схематично силы, действующие на отдельный блок.

Рис. 1. Схема сил, действующих на (,, у) блок

а, в представляют собой коэффициенты пропорциональности между прилагаемыми к границам блоков силами Г и / и вызванными ими нормальными напряжениями и Г ^ . Равновесие блока (,, ]) определяется из условий:

Г-<М _а(ху - х 0,у ) + в(Ху - X ), Г-Г1_1 = а(Уу - у 0,у ) + в(у1] - Пу),

„ =1(-Г) „ =Е(У-Г) (1)

„X _((+. - )-1 „У _ (У,+1,1 - У,.1)-1

„ ь . „ L •

Диссипативность рассматриваемой модели обусловлена возможностью сброса накапливаемой упругой энергии в блоковых элементах и пружинах связи с

внешней силой ¥х и неподвижного основания /х у. При достижении критического значения деформации пружиной связи блока (,, ]) и основания происходит разрыв данной связи, далее перераспределение упругой энергии в системе и затем образования новой координаты связи ( X1, . или У1, .) блока (,, у) в точке нового равновесия левой или нижней границы данного блока.

Описанный процесс сброса напряжений в отдельном блоке может носить ла-.

напряжений соседних блоков, которые за счет нее могут также сбрасывать накопленные напряжения и, в свою очередь, добавляя напряжение новым соседям и т.д. Рассмотрим систему относительно параметра модели, определяющего сброс накапливаемой упругой энергии, - сил натяжения упругих элементов связи блоков с

основанием : , _ 0,..., N - 2, } _ 1,..., N - 2:

2Е + L(1-V2) (а+в) / ч

--------^- А X-1- +1 + V У - УУ-1 + А+\, у-1- А+1, у) =

__в2Е±аЕ(^ х ^+в( у^ + х ^ +1, у-у 1,+,, у+У1, -у 1, у)+(2)

+ авЬ(1 ) X0.;

Е у

, _ N -1; у _ 2,...,N - 2:

2Е + Ь(а + в) ,* г. _ в2Е + аЬ(1 -V2) х. +

Е АN -1, ] АN-1, ] -1 /N -1, ]+1 в Е Х 1N -1, ] +

+в ( Х V-1, у+1 + Х 1М -1, у -1 ) + -) х 0N-1, у ;

, _ 1,..., N - 2; у _ 0:

Е + Ь(1 -V2) (а + в) / \ „Е + аЬ(1 -V2)

------- Ед ; А.0 - А д+V (ХУ - А+1,0) _ -в-------------------------------------------Е--" е 1,0 +

+вх 1,1 + Ув(У1,+1,0 - У1,,0 ) Х+Г) (е + (1 (г-аХ 0,0));

,_ 1,..., N - 2; ] _ N -1:

Е + Ь(1 -V2) (а+в) / \ „ Е + аЬ(1 -V2)

_______4 7У н) Ах - + ,,/ АУ - АУ \ _ /в ^ у ) х 1 +

Е А N-1 3,^ - 2 “ у ^ Ji+1, N - 2 ./;, N - 2^ Н Е — — N-1

+в Х 1 N-2 + вУ У, N-2 - У1,, N-1 ) + ) (1 + Г)(Е + (1 -V))аX 0,, N -1 +Г ));

-ЬУа-+в)/0:а + & +0^ & _ в(1 + а) X 10,0 -вх 1ад -4)(ЬУ 1с,0 + +в)(Е + ть - Т - ^°0,0 + аУ00,0);

Е + Ь(1-(2)(а+в) - ,: - Ау ,хl -

р 70,N-1 -2TИ\1/1,N-2 .70,N-2 / Н Л *0,N-2

Е

/

-в

аЬ (1 -V2) 1 +----^^

V

X 1а„- + V ( У1а„-2 - У К*-2 ) + ) (1+( ( Х + (1 - V) (X 00 N- + Г ) ) ;

------Е---в-^/^-ю - /.-и _ -в---------X ^-1,0 + вX ^-1,1 + — ( -Е + У -ГЬ + аа 0N-1,0 ) ;

Е + Ь(а + в) ^Е + аЬ

------/N:-1, N-1 - АХ-!, N - 2 _ -в—— X1N-1, N -1 + вX 1N-1, N - 2 +

+ ( аХ 0 N-1, N -1 + ТЛ - Т ) .

В случае если в процессе эволюции системы упругая связь с основанием некоторого блока (к,I) достигает предельного значения, происходит разрыв упругой

связи и изменение X1И, У1И , такое , что новые значения: _ АкУ _ 0. Перерас-

пределение упругих сил связи в соседних упругих элементах можно рассматривать как передачу сброшенной упругой энергии соседним упругим элементам, принятое в моделях возникновения самоорганизованного критического состояния [3].

Для исследования возможности возникновения критического состояния в модели (2), оценим аналитически приращение параметров связи АХ, Ау в блоках,

.

Рассмотрим первое приближение сходящейся итерационной последовательности решений (2). Условия равновесия (1) представляют собой систему уравне-, . То есть справедливо:

д = 4-у/

'ь(а+в)(1 -у2) < 1

(3)

АХ 1

ь (1 -V2)

. А/„ »(а + в)АХ 1

Условие (3) с учетом оценок ДТ = Е • можно представить как ДА > 2Ат . Тогда:

А _ 2Е + Ь(а)«)(1 V)(У“ + (- + + Д(- ^^)-

в(2 £ + аЬ (1 -V2))

(4)

АХ 1. . +

2Е + Ь (а+в) -V2

+2 £+ь ав). -V) ( 1 - ■+АХ 1 ( 1- -АП--+АИ- -АП« ».

При начальном приближении A/’k( N+и.;_4,iв•AX 1„ ,

I°У+к{.м+у _ ув • АУ1и , значений приращения упругих связей по : -координате при изменении положения упругой связи (к, I) элемента с основа-

А/

нием на

АХ 1. АП:

1 —

в (1 -V2)

АХ 1 -

у(ЗЕ

2Е + Ь (а+Р)(-V2) 2Е + Ь (а+Р)(-V2)

-АУ1.

=

20 Е

А/и+1 =

2 Е + Ь (а + в)(-V2) 2вЕ

АХ 1.

2 Е + Ь (а + в)(-V2) 2вЕ

А/1и = А/_1,+1 =

2Е + Ь (а + в)-V2) -2 РЕ

(АХ 1 + vАF 1). vАF1.

(5)

vАF 1.

2 Е + Ь (а + в)(1 -V2)

дй, _ дл-и-1 _ дй, -1 _ дй,+1 _ 0.

С учетом (3), (5), погрешность приближения определяется [4] величиной: Ч |Д 1: л,0:|| 8—Ь(а + в) вЬ + 4,5Е

II А/х - А/ Ч| < І А/1х - А/0 І < 4^-——.

11 11 1 - д11 11 3Ь (а-

в)- 16^Е 8Е + 3Ь(а + в)

Возникновение самоорганизованного критического состояния требует выполнения условий равнораспределений части сброшенной величины параметра упругой

связи в (к,I) блоке между соседними блоками (У,I ± 1),(У ± 1,1) и диссипативно-

сти такого перераспределения, при котором общее приращение параметров в соседних

. (5), -

чае данные условия не выполняются. Величины приращения параметров упругой связи в ряде блоков определяются величиной независимого параметра сброса по ортогональной координате, а в соседнем блоке ДА^; имеют нулевое приращение.

Рассмотрим частный случай приближения поведения системы к свойствами .

нуля и равными между собой только нормальными компонентами напряжений: Т _ ТУ _ Ру , ,, ] _ 1,..., N. В линейном приближении плоской модели:

ДЪу КI ч

Ру _-К— ~-Ь Х,у+1 -:,у +У+1,у -У,,у -2Ь), (7)

где К - модуль всестороннего сжатия.

С учетом действующих сил А! _ву (Х1 - :у), )/ _ ву Х Ху - У у),

і.у-1 =а(Х0у -Ху) + /;

Руу - Р............................

/ \ (8) а. -а ■ , = а\У0.. - у..)+ /'.У.

у ..у-1 V а ■'у/ ■>у ’

и значений напряжений на левой аЬ . нижней а0 . верхней и правой границах аЦЯ. дискретная модель системы представляется

і = 0....Ы - 2; у = 1.....N - 2:

2К + (а+в)ь ^________^ ^_________^ ^_________1_ „ + ;у___^ ^ + _1

кв

- /Х------------------/Х----------------------/Х----------------------/У +---------------- /У--------------------/У +---------------------- /У

^у О ^.. .+ 1 О ^ і у-1 О л 1+\.у О <*..у О ^ і у-1 О Л+1. у-1

Ні. у+1 Ні. у-1 Ні+1. у Ні. у Ні. у-1 Ні+1. у-1

2 + —ІХ 1.. -Х1. .+, -Х1. . , -У1.+, . + 71 .-71 . ,+ 71.+ . ,- —Х0..

К і у і.у+1 іу-1 і+1.у іу іу-1 і+1.у-1 к іу

і = 0..... N - 2; у = 0:

К + (а + в 0 )ь 1 1 1

\ ' і.0/ /х х /х х /У . /У =

Vі.0 п Ji.1 п Уі+1.0 п Ji.0 _

КД.0 ^ .0 Д.д і 1 в+1.0 і+1.0 в

і.0

аЬ ь

Х X .0 - Х 1,1 - 71+1.0 + 71.0 - —Х 0і .0 - - аь + 2Ь. і = 0.....N - 2; у = N -1

К + (а + в^1) 1 1 1

______V ' і.^ Ч /Х Х /Х Х / У ■ х /

J і.N-1 п 3 і.N-2 п Л1.N-2 п 3 і

У

П «/і. N -1 ^ «/і. N-2 Л «/ і. N-2 ■ ^ «/ і+1. N-2

Кві. N -1 ві. N-2 в N-2 ві+1. N-2

(9)

ХXі.N-1 ХXі.N-2 71і.N-2 + 71і+1.N-2 + ^ {^ЦЕ аХ 0і.N-1 ) 2Ь.

, _ N -1; у _ 1,...,N -1,

вв— ги у _--------Тв-----(X 0 У -1, у -X1»-У! ),

в-1, у у а + вN-1, у у

/N'-1,0 _ а+в (Тт ~ТЬ -а{Х0У-1,у - X1Ы-1,у )) ,

-1,0 а+Py -1,0

(9)

каждом шаге приращения внешней силы ДГХ « aAX0.., ДГ.У « хАУ0.. путем

,, ] Ч ,, ] Ч

сдвига значений X 0, ■, У0, ■ и соответственного увеличения ДА,.х., ДА,-у является

,,у ,, ] ,, ] I, У

расчет системы уравнений равновесия системы блоков при достижений одним из блоков критического предельного значения, его сброса в новое положение

Ху, у у ) , при котором _ 0, _ 0 является изменение вида системы урав-

. (9) -

тельно /Х, А?-. При возникновении сброса в (,, у) уравнении системы, оно разрешается относительно X 1,Пу при АУ _ а А,У _ 0. Такое изменение вида

системы приводит к усложнению алгоритма при формировании и решении новой системы уравнений и соответственно увеличению временных затрат при расчете. С целью оптимизации времени счета рассмотрен следующий алгоритм.

Сброс отдельного блока и установление нового положения равновесия в системе можно представить эквивалентной процедурой ослабления связи (,, у) с брасы ваемого блока с основанием ву ~ 0, расчетом положений равновесия в системе блоков, расчетом эквивалентных смещений ДX1 ,■, ДУ 1.;, приводящих к данному

Ч Ч

состоянию в исходной системе с в у > 0. Запишем (9) в виде

А• Ах + В• Ау _ с• X1 + В• У1 + в1(Х0,У0,Ть,Т,Т,Т),

А. /у + В'• Ах _ с• У1 + В• X1 + в2(X0,У0,Ть,ТТ,т), где: А _ А (в), В _ В (в)- матрицы системы: в у _ 0, А _ А (/в ),

В' _ В (вГ ). Тогда

/: _(Х - АВ-1А)-1 (С • С1 + В • X1 + в2 - АВ(X • X1 + В • У1 + в1)), /У _(С-ВА^В)-1 (С• У1 + В• X1 + в2- ВА-1 (С• X1 + В• У1 + в1)).

Решая (9) при известных /х, /У относительно X1, У1, получаем новые значения координат упругих элементов связи блоков с основанием, отличающиеся от X1, У1 лишь для (, у) бл ока.

б

Рис. 2. Распределение сбросов по величине силы упругой связи с подстилающей плитой при различных режимах приращения внешней воздействующей силы: а. - случай модели нормально упругой связи с V _ 0,4 и критическим параметром

силы упругой связи ¥х, ¥У; б - случай модели нормально упругой связи в

приближении водонасыщенной среды

. 2,

силы упругой связи ¥х для модели (2) упругосвязанных блоков с коэффициентом Пуассона V _ 0,4. Зависимость представляет собой соотношение

N(¥0 > ¥) _ А • 10 6(¥ ¥°). Параметры системы: N X N _ 20X 20, Ь _ 1,

а_ в _ 100, Е _ 100, Дх _ 4-10-3, ¥пред _ 100 . Как следует из полученных

зависимостей, критического состояния система не достигает. Это следует из оценки наклона графика повторяемости, составляющего величину 6 ~ —2.5 . Для сис-

1. -

зом, модельный расчет подтверждает полученные аналитические оценки (5), в соответствии с которыми самоорганизованное критическое состояние в данной модели не возникает.

Результаты расчета модели (9) в приближении водонасыщенной среды пред. 1, .

. -

тер. Возможная причина отсутствия критического состояния заключается в следующем. В соответствии с базовой клеточной моделью требуется не только равнораспределения приращений сброшенной силы по соседним блокам, что в данном ,

сил в соседних блоках. Это условие оказывается нарушенным, так как при сбросе в (,, у) блоке х -компоненты силы Д¥ , соседние блоки (,, у ± 1) поучают приращения х -компонент, а соседние блоки (, ± 1, ]) поучают приращения У -.

а

б

Рис. 3. Распределение числа сбросов в модели нормально упругой среды в приближении водонасыщенной среды при различных режимах приращения внешней воздействующей силы и критическим параметром упругой энергии:

а - распределение величин сброса сил связи ¥х; б - распределение величин сброса

упругой энергии связи Е

С целью проверки справедливости данного предположения рассмотрим модель, аналогичную предыдущей, но с единственным принципиальным отличием: условие сброса определим не достижением силой упругой связи с плитой основания ¥х, ¥У предельного значения ¥пред , а скалярной функции этих аргументов -

упругой энергии связи блока (,, ]) с плитой основания - Е_ XУ2 + ¥у 2 )/2в-

В данном случае условие равенства приращений в соседних блоках параметра системы (энергии) оказывается справедливым.

. 3, , 3, -

¥х Е .

предельного параметра энергии при равных приращениях на каждой итерации сил ¥х, ¥У для параметра упругой энергии. При этом для сбросов по отдельным проекциям упругих сил ¥х ~ Е12 такое поведение отсутствует. Следует заметить ,

, -

гих блоков — ± 1, у ± 1) и соответственно наклон графика повторяемости имеет более крутой спад (6 ~ 2), по сравнению с критическим случаем 6 ~ 1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Черепанцев А.С. Анализ критического состояния в модели блоков с вязкоупругими связями // Изв. высш. учебн. заведений. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. - 2009. - № 5.

- С. 65-71.

а

2. Burridge R., KnopoffL., Model and Theoretical Seismicity, Bull. Seism Soc. Am. З7, З4І-З7І, 19б7.

3. Olami Z., Feder H.J.S., Christensen K., Self-organized criticality in a continuous, nonconservative cellular automaton modeling earthquakes, Phys.Rev. Lett. б8, 1244-1247. 1992.

4. Самарский АЛ. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1987. - 288 с.

Черепанцев Александр Сергеевич

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный » . .

E-mail: [email protected].

З47928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 88бЗ4З71б0б.

Cherepantsev Alexandr Sergeevich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education "Southern Federal University".

E-mail: [email protected].

44, Nekrasovsky, Taganrog, З47928, Russia.

Phone: +78бЗ4З71б0б.

І99